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6 



COURS 



D'ALGEBRE SUPÉRIEURE 



COURS 



D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE 



PAn 



J.-A. SERRET, 



> 



MEMBRE DE L INSTITUT ET DU BUREAU DES LONGITUDES. 



CINQUIÈME ÉDITION. 



TOME SECOND. 




PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU BUBEAU DES LONGITUDES, DE l'ÉGOLB POLYTBGHNIQ U E. 

SUCCESSEUR DE MALLET-BAGUELIEK, 
Quai dei AuçusUrs, 55. 

1885 

(Tool droits réMffét.^ 



TABLE DES MATIERES 



DU TOME SECOND. 



POfOI 

lanoDCcnon ^ 



SECTION III. 

LES PUOPRIÉTÉS DES NOMBRES ENTIERS. 



CHAPITRE PREMIER. 

DES CONGRUENCES. 

Dos nombres congrus ou équivalents 5 

Du nombre qui exprime combien il y a de nombres premiers à un 

nombre donne et non supérieurs à ce nombre 9 

Des congruences en général l 'l 

Des congruences du premier degré. i'") 

Sur le nombre des racines de la eongruence x' — 1 1 — o (inod. M). •,»'| 

Théorème de Fermât Sd 

Théorème de Wilson 3.» 

Théor<>me de Fermât généralisé 'M\ 

Théorème de Wilson généralisé H- 

Des congruences dont le module est un nombre premier .'««j 

Nouvelle démonstration du théorème de Wilson 4'' 

CHAPITRE II. 

DES RÉSIDUS DES PUISSANGKS ET DES CONGRUENCES RLNONES. 

Des nombres qui appartiennent à un exposant doniié relativement 

à un module donné ^'j 

Des racines primitives 5o 



VI TABLE DES MATlfeKES. 

Des racines primitifos, dans le cas où le module est un nombre 

premier impair 53 

Autre manière de présenter les résultats qui précèdent 67 

Théorème relatif aux résidus des puissances dont le degré est un 

diviseur de p — i 64 

Recherche des racines primitives d*un nombre premier 68 

Des racines primitives dans le cas où !c module est égal à une 
puissinco d*un nombre premier impair ou égal au double d'une 

telle puissance 77 

De la congruonce jt' — 1 r-3 o ( mod. M ), dans le cas où M est égal 
à une puissance d'un n.'>mbre premier impair ou égal au double 

d'une telle puissance 83 

Du module 2* 83 

De la congruence x* — 1 znk o (mod. a*) 88 

De la congruence x* ~ 1, dans le cas d*un module quelconque. . . <;o 

Des indices 91 

Usage des indices dans U résolution des congruences binômes ... 93 

Démonstration d'un théorème de Lagrange 9l 

Théorème de Legendre sur la loi de réciprocité qui existe entre 

deux nombres premiers loa 

• De la congruence jc* — N r~~: o (mod. p\ p étant un nombre pre- 
mier . . ni 

De la congruence jr' - tN ::.. . o, dans le cas d'un module quelconque . 117 



CHAPITRE m. 

rnOPRIÉTÉS DES FONCTIONS KKTlfeRES d'uNE VARIABLE, 
RELATlVfcMENT A UN MODt'LK PREHIEl. 

Des fonctions entières irréductibles suivant un module premier. . . laa 
Remarques sur la décomposition d'une fonction entière en facteurs 

irroducliblos i^^ 

Des fonctions ontiores d'une variable, K'duites suivant un module 

premier et suivant une fonction entière irr.ductible 129 

Propriétés fondaniontales des polynômes irréductibles suivant un 

module premier • • '33 

Détermination du nombre des fonctions eiitiiTes de dt'gré v irK»- 

ductib'es suivant un module p- entier p i37 

Sur la décomposition d'une fonction entière donnée en facteurs 

im'ductibles suivant un module premier 1 |i 

Classilication de» fonctions entières de degré v im'ductibles suivant 

lé module premier p i l-^ 

CompHraisood«esfonctions entières irréductibles suivant le module^ 



TABLE DES MATIÈRES. Vil 

Pa^-es 
qui appartiennent à des exposants formés des mâmos facteurs 
premiers . i ^19 

Sur une fonction irréductible du degré p suivant le module p i63 

Classification des fonctions réduites suivant un module premier et 
suivant une fonction irréductible i6/| 

Des congruences suivant un module premier et suivant une fonc- 
tion modulaire 171 

Propriétés des racines d'une congrucnce dont le premier membre 
est une fonction irréductible de degré égal au degré de lu fonc- 
tion modulaire ou égal à un sous-niultiplc de ce degré 174 

Des racines primitives de la congruciice 

X' ' — I rr:o [mod./?, F(jr)] 17'» 

Du point de vue sous lequel Galois a envisagé les congruences sui- 
vant un module premier et une fonction modulaire 179 

Application de la théorie précédente au cas du module 7 181 

CHAPITRE IV. 

DÉTERMlNATIOIf DES FONCTIONS ENTIÈRES IRRÉDUGTIDLES, 
SUIVANT UN MODULE PREMIER, DANS LE CAS OU LE DEGRÉ 
EST UNE PUISSANCE DU MODULE. 

Sur les fonctions entières irréductibles, suivant un module pre- 
mier, dans le cas où le degré est égal au module 190 

Sur les fonctions entières irréductibles suivant un module premier, 
dans le cas où le degré est une puissance du module 193 

CHAPITRE V. 

SUR LA TOTALITÉ DES NOMBRES PREUIEUS COMPRIS ENTRE 

DES LIMITES DOMSÉES. 

Sur l'évaluation approchée du produit i.3.3...jr, quand x est un 
grand nombre 312 

Extension des formules précédentes au cas où x n'est pas un 
nombre entier positif 219 

Deteruiination de deux limites entre lesquelles reste comprise la 
sofiime des logarithmes népériens de tous les entiers qui ne sur- 
passent pas un nombre donné 225 

Sur la totalité des nombres premiers compris entre deu;L limites 
don nées -226 

Propriété fondamentale de la fonction 0{z) 227 



Ylir TABLE DES MATIÈRES. 

Patcs 

Démonstration do deux inéj^alités auxquelles latUfait la fonr- 
lion -p- z' 3^0 

D 'tcrmination de deux limites entre lesquelles sont comprises 1**5 
fonctions ^(z) et 9'^z] a^i 

Drtermination de deux limiti>s du nombre qui indique combien il 
y a de nombres premiers compris entre dt*ux nombres donne*»... 336 

Application des résultats qui précèdent 33tt 



SECTION IV. 

LES SUBSTITUTIONS. 



CHAPITRE PREMIER. 

PBOPRIÊTÊS GÊ.NÉRALES DKS SUBSTITOTIOIIS. 

Des permutations i'ormces arec des lettres données, et des substi- 
tutions par lesquelles on passe d'une permutation à une autre. . . 3|3 

Deh produits de substitution*^ a |5 

Ordre d'une substitution a Î7 

Des sub.'ititutions circulairci. a4i) 

D composition d'une substitution quelconque en cycles 3r>o 

Décomposition d'une substitution donnée en facteurs primitifs — a.')4 

Des substitutions semblables aj7 

Du nombre «les substitutions semblables à une substitution donnée, ajg 

Des substitutions échan(;eables entre ellesi a(jo 

Réduction d'une substitution quelconque à un produit de transpo- 
sitions a73 

CHAPITRE 11. 

PROPRIÉTÉS DES STSTfcXBS DE SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES. 

Des systèmes conjuguée 378 

Des systèmes semblables et des systèmes échan(;cables entre cu>... aSa 
Du problème général qui (ait l'objet principal de la tbéorie dos 

substituiionr a83 

Des groupes de peruiutation» 309 



TABLE DES MATIERES. IX 

CnAPITRE III. 

DBS INDIGKS DBS SYSTÈMES CONJUGUÉS. 

Indice d'un système conjugué. — Limite inférieure des indices su- 
périeurs à a 3 1 <l 

Démonstration nouvelle du théorème relatif à la limite inférieure 
des indices plus grands que 2 334 

Du système conjugué d'indice 6 qui comprend i3o sub:»titutions de 
six lettres et qui n'est pas formé pur les lao substitutions de cinq 
lettres 335 

Dej systèmes transitifs de substitutions conjuguées S.^o 

Des expressions susceptibles de représenter l'indice d'un système 
tntransitif. 3.'i9 

Sur la limite des indices supérieurs à 2, dans le cas des systèmes 
transitifs 353 

OIAPITRE IV. 

sua QUELQUES CAS PARTICULIERS DE LÀ THÊORIB 

DES SUBSTITUTIONS. 

Sur les fonctions linéaires de la forme —, 77 356 

a' X -r- if 

Des fonctions rationnelles linéaires prises suivant un module pre- 
mier 363 

Des fonctions analytiques propres à représenter les substitutions.. . 383 

Des substitutions rationnelles et linéaires 390 

De quelques propriétés des substitutions linéaires 393 

Sur les substitutions de cinq et de sept lettres 4^^ 

CHAPITRE V. 

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES SUBSTITUTIONS. 

Des valeurs diverses que prend une fonction de plusieurs variables 

par les substitutions de ces variables 4 '^ 

Des fonctions semblables 4 > 7 

Sur la formation des fonctions de n variables qui admettent des 

substitutions données 4^^ 

Des fonctions doublement transitives de n variables qui ont 

1.2.3. ..(/i — 2) valeurs, n étant premier 4^4 

Des fonctions triplement transitives de n -h i variables qui ont 

i.a.3.. .(n — 2) valeurs, n étant premier 4^8 



X TABLE DES MATIÈRES. 

Pare* 

Sur les fonctions triplement transitives de six variables qui ont six 

valeurs distinctes 43a 

Méthode de Lagrange pour calculer une fonction des racines d'une 
équation donnée quand on connaît une autre fonction quelconque 

des racines 4^3 

Recherches de Galois relatives à la théorie précédente 44 ' 



SECTION V. 

LA RÉSOLUTION ALGEBRIQUE DES ÉQUATIONS. 



CHAPITRE PREMIER. 

DBS ÉQUATIONS DU TROISIÈME BT DU QUATRIÈME DEGRÉ. CON- 
SIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DBS 
ÉQUATIONS. 

Résolution de l'équation générale du troisième degré 4^> 

Des équations du troisième degré dont deux racines peuvent s'ex- 
primer rationnellement en fonction de la troisième racine et des 

quantités connues 4^ 

Résolution de l'équation générale du quatrième degré 47> 

Sur la résolution algébrique des équations 483 

Des équations dont le degré est un nombre premier 484 

Des équations dont le d^ré est un nombre composé 49> 

CHAPITRE II. 

DE l'impossibilité DE LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS 
GÉNÉRALES AU DELA DU QUATRIÈME DEGRÉ. 

Des fonctions algébriques 497 

Des fonctions entières 498 

Des fonctions rationnelles 499 

Classification des fonctions algébriques non rationnelles 5oo 

Forme générale des fonctions algébriques 5oa 

Propriété des fonctions algébriques qui satisfont à une équation 

donnée âo6 

Démonstration de l'impossibilité de résoudre algébriquement les 

équations générales de degré supérieur au quatrième 5ia 



TABLE DES MATIÈRES. SI 

CHAPITRE III. 

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNBS. 

Pofes. 
Des équations irréductibles dont deux racines sont tellement liées 

entre elles, que l'une puisse s'exprimer rationnellement par 

l'antre 5i8 

Hésolution algébrique des équations dont toutes les racines peuvent 

être représentées par $x, $*x, ..., 0^^ x^ $x étant une fonction 

rationnelle de x et des quantités connues, telles que O^x =x.,, 5og 

Cas où les quantités connues sont réelles 53/| 

Première méthode particulière relative aux équations abélienncs 

dont le degré est un nombre composé SS'y 

Deuxième méthode 5!^3 

Des équations irréductibles dont deux racines x ci x^ sont liées 

ox -+- b 

par la relation linéaire x* -= —, n» où a, 4, a', b' sont des 

* a X -\- b' 

constantes données 544 

Des équations irréductibles à coefficients numériques dont plusieurs 
racines se développent en des fractions continues terminées par 

les mêmes quotients 546 

Des équations dont toutes les racines sont exprimables rationnelle- 
ment par l'une d'entre elles 553 

Résolution algébrique des équations binômes 556 

Résolution algébrique des équations dont dépend la division de la 
circonférence du cercle' en un nombre premier de parties égales. 558 

Division de la circonférence en dix-sept parties égales 563 

Construction géométrique 569 

Sur une propriété remarquable de la fonction — - — f p étant un 

X — I 

nombre premier 578 

Sur quelques propriétés de la fonction résolvante qui se rapporte à 

xf — I 
l'équation = 58î 

Démonstration nouvelle de la loi de réciprocité de Legendrc 590 

CHAPITRE IV. 

SUR UNE CLASSE d'ÉQU^TIONS DU NEUVIÈME DEGRÉ RÉSOLUBLES 

ALGÉBRIQUEMENT. 

Du déterminant d'une fonction entière et homogène de trois va- 
riables 5^4 

Sur les points d'inflexion des courbes du troisième degré 601 



XIT TABLE DES MATikRES. 

PafM. 

Sur un théorème de Steiner relatif aux courbet du troisième degré. Gai 
Propriété de l'équation du neuvième degré qui a pour racines les 

abscisses des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré. 6a6 
Sur la résolution algébrique d'une classe d'équations du neuvième 

degré 63o 



CHAPITRE V. 

SUR LES ÉQUATIONS RfiSOLUBLBS ALGÉBRIQUEMBIIT. 

Recherches de Galois. — Théorèmes généraux 6^7 

Suite des recherches de Galois. — Applications aux équations irré- 
ductibles de degré premier 664 

Recherches de M. Hermite 677 

Recherches de M. Kronecker 684 



FIN DS LA TABLI DU HATIÉBKS DO TOIIB •BOON». 



COURS 



D'ALGEBRE SUPERIEURE. 



Les propriétés générales des équations et les ques- 
tions d'Analyse qui s y rattachent ont été développées 
dans le tome I*' de cet Ouvrage ; il nous reste à traiter 
de la résolution algébrique des équations. 

Mais, bien que cette importante question soit Tobjet 
principal que nous ayons en vue, nous devons exposer 
d'abord les théories partielles dont nous aurons ensuite 
à emprunter le secours. Ces théories offrent d'ailleurs 
un grand intérêt par elles-mêmes ; aussi les avons-nous 
présentées avec des développements étendus. 



S. — Jlg' sup,f U. 



SECTION III. 



LES PROPRIÉTÉS DES NOMBRES ENTIERS. 



SECTION III. 

LES PROPRIÉTÉS DES NOMBRES ENTIERS. 



CHAPITRE PREMIER. 

DES CONGRUENCES. 



Des nombres congrus ou équwalents, 

281 . Si la différence des deux nombres entiers a et i, 
positifs ou négatifs, est divisible par un troisième nombre 
positif M, a et i sont dits congrius ou équivalents par 
rapporta M; le diviseur M est appelé le module; a et i 
sont résidus l'un de l'autre suivant le module M. 

Pour exprimer que n cl b sont congrus suivant le mo- 
dule M, il suffît d^ccrire 

a = bzh un multiple de M; 

mais nous adopterons la notation plus commode de 
Gauss, et nous écrirons 

arzrb (mod. M); 

cette formule sera dite une congruence. 

Si r désigne le reste de la division de a par M, on a 

a^zizr (mod. M); 

le reste r est, si Ton veut, compris entre o et M, ou 

M M I, , .i . . 

entre et H » d ou il suit que tout nombre a un 

2 2 * 

résidu inférieur en valeur absolue à la moitié du module. 



6 COURS d'algèbre supérieure. 

On le nomme résidu minimum; mais, si Ton ne veut 
considérer que les résidus positifs, les limites seront 

o et M, et le résidu minimum pourra surpasser — • 

282. La notation de Gauss, pour représenter les con- 
gruenccsy a Tavantage de mettre en évidence l'analogie 
qui existe entre les congruences et les égalités, sans qu'il 
y ait pourtant de confusion à craindre. Nous allons faire 
voir que la plupart des transformations que Ton peut 
' faire subir aux égalités peuvent être appliquées aux con- 
gruences. 

Additiow et soustraction. — Si Ton a 

aznb (mod. M), 
a! r.-y (mod. M), 
on aura aussi 

a-±,a^—h±h' (mod. M). 

Les congruences proposées expriment, en effet, que 

a := b + un multiple de M, 

^' iir: ^' H- un multiple de M ; 

donc 

adia' =ih±b* + un multiple de M, 

ou 

a±:a'^b±b' (mod. M), 

ce qu'il fallait démontrer. 

Multiplication. — On peut multiplier une congruence 
par un nombre entier quelconque ; car soit 

aE3b (mod. M), 

c'cst-à-dirc 

a-^jz b-^jxa multiple de M, 

on aura aussi, quel que soit Tentier m, 

ma =- /it6 + un multiple de M, 



SECTION III. CHAPITRE i# 7 

oa 

ma^=mb [mod. M). 

On peut aussi multiplier entre elles plusieurs con- 
gruences de méihe module. Soient, en effet, deux con- 

gruences 

a ^b (mod. M), 

a' = b' (mod. M), 

ou 

a = 6 + un multiple de M, 

af =:b* + \m multiple de M. 
On aura, en multipliant, 

aa^ = bb' + un multiple de M, 

ou 

aa'^bb' (mod. M), 

ce qu'il fallait démontrer. 

On voit généralement que, si Ton a 

a =ô 

' (mod. M), 

on aura aussi 

aa! ,.,a^'^)E^bb\., b^^^ (mod. M). 

Élévation aux puissances — On peut élever à une 
même puissance les deux membres d'une congruence. 
Cela résulte immédiatement de ce que nous venons de 
dire au sujet de la multiplication. Si donc on a 

a 1=12 b (mod. M), 

on aura aussi 

am^lm (mod. M), 

D'après cela, si 

/(x) = Aa:"'4-Ba:'»4-... 



8 COURS d'algèbre supérieure. 

est une fonction entière et rationnelle de Xj dont les 

coefficients A, B, ... soient des nombres entiers, et 

que Ton ait 

a-:=ih (mod. M), 

on aura aussi 

f[a)^f[h) (mod.M;. 

Division. — On peut diviser une congruence par un 
nombre quelconque premier avec le module. 
Soit, en effe*, la congrucnce 

ma EU mh ( mod. M ) 
ou 

ma =r mh H- M X Ç, 

on aura, en divisant par m, 

a^=zh -\ ^, 

et, si Ton suppose m premier avec M, q devra être divi- 
sible par m, et Ton aura 

a -= ^ + un multiple de M, 

ou 

a-=B.h (mod. M). 

Mais ce résultat ne subsiste pas quand le nombre m et le 

M' 

module M ont un diviseur commun; car soit — r la frac- 

m 
lit 

tioD irréductible équivalente à -9 on aura 

* m 



m ' 



cela exige seulement que 9 soit divisible par wln, et Ton 

aura 

a^zzb (mod.M'). 

On peut aussi diviser une congrucnce par une autre, 
pourvu que les membres de la seconde soient premiers 



SECTION III. CHAPITRE I. 9 

avec le module. Soient, en efTet, les deux congruences 

(i) aci — hV (mod. M), 

(2) azL^ib (mod. M). 

Désignons par r le résidu minimum de la diflerence 
d — V^ on aura 

(3) a'~.Vz±.r (mod. M), 

et, en multipliant les congrucnccs (a) et (3) l'une par 
l'autre, 

(4) aa!^hy±hr (mod. M). 
Des congrucnces (i) et (4) on déduit 

hr^ziQ (mod. M): 

or M est premier avec J, par hypothèse ; donc 

r-znQ (mod. M), 
ou 

puisque r^M. On a par conséquent 

a'^b' (mod. M), 
ce qu'il fallait démontrer. 

Du nombre qui exprime combien il y a de nombres 
premiers à un nombre donné et non supérieurs à ce 
nombre. 

283. Lemhe. — Si l'on multiplie les termes de la 
suite 

(i) I, 2, 3, ..., (M—ï) 

par un entier a premier avec M, les produits obtenus 

{2) «, 2^, 3fl, ..., (M — \]a 



10 COURS d'algèbeb supérieure. 

seront respeciwement congrus, suwant le module M, 
aux nombres (i), abstraction faite de l'ordre. 

En effet, Tun des nombres (a), ma par exemple, ne 
saurait être divisible par M, puisque M est premier avec a 
et quMI est supérieur à m ; la même chose a lieu, à Tégard 
de la différence ma — m'a de deux termes de la suite (a), 
car cette différence est aussi un terme de la même suite. 

11 résulte de laque, si Ton prend les résidus minima posi- 
tifs des nombres (i), par rapport à M, ces résidus seront 
tous différents et aucun d'eux ne sera nul ; ce seront donc, 
dans un certain ordre, les nombres de la suite (i). 

Corollaire, — Si le nombre M est premier à a, les 
termes de la progression arithmétique 

(i) r, c-\-a, c-\-2a, ... c4-(M — i)a, 

sont respectiv^ement congrus, suis/ant le module M, quel 
que soit l'entier c, aux nombres 

(2) o, 1, a, . . ., (M — 1). 

En effet, d'après le lemme précédent, les nombres (i) 
sont respectivement congrus à 

r, c-4-1, cH-2, ..., c -h . M — i), 

et il est évident que ces derniers sont congrus aux nom- 
bres (a), suivant le module M. 

284. Nous emploierons le symbole 9 (M) pour dési- 
gner combien il y a de nombres premiers à M et non 
supérieurs kM, D'après cette déGnition, on a évidemment 

TfléoRkME. — «Si M désigne le produit de plusieurs 
nombres a, b, ...^ l, premiers entre eux deux à deux, 

on aura 

?(M) = ?(«)f(6). ..?(/). 



SBCnolf III. CHAPITHB I. II 

Prenons d'abord le cas de deux facteurs et soit 

a et b désignant des nombres premiers entre eux. Les ab 
premiers nombres peuvent être disposés comme il suit : 

6-f-i, ^H-2, ..., A-f-A-, ..., b-\-b, 

«6-î-I, 2^4-2,..., 2^-h^, ..., 26-h6, 
• » 

(a— l)^H-i, (a— i)6h-2, ..., [a—i)b-\-^,.,., (a— i)ftH-A. 

Considérons Tune des colonnes verticales de ce tableau, 
par exemple celle qui commence par Ar. Si k est premier 
avec by il en sera de même de tous les autres termes de la 
colonne ; au contraire, si k et b ont un diviseur commun 
autre que i, il n'y aura dans la colonne aucun nombre 
premier avec b. D'ailleurs, la première ligne du tableau 
renferme f(i) nombres premiers avec b; donc le ta- 
bleau entier renferme 9 (£ ) colonnes verticales dont tous 
les termes sont premiers à by et qui épuisent tous les 
nombres de celte espèce non supérieurs à M. Supposons 
que k soit premier avec b ; la colonne verticale qui com- 
mence par k est une progression arithmétique dont les 
termes sont respectivement congrus, suivant le module a, 
aux nombres o, 1, 2, ..., {a — i); cette dernière suite 
contient f (a) nombres premiers à a, et, par conséquent, 
la colonne que nous considérons en renferme un pareil 
nombre. De tout cela il résulte que notre tableau renferme 
y(a)x9(i) nombres premiers à a et à &, c'est-à-dire 
premiers au produit ab ; on a donc 

Passons maintenant au cas général où l'on a 

M = abc. . . /, 



la COTJRS d'algèbre supérieure. 

a, i, Cy,.,, l étant des nombres premiers entre eux, 
deux à deux. On aura successivement 

-:^{a)f{b)f{c)f{,..l) 



ce qui achève la démonstration du théorème énoncé. 

285. Le théorème précédent fournit un moyen très- 
simple de trouver la valeur de 9 (M). 

Lorsque M est égal à un nombre premier />, il est 
évident que les nombres premiers à M = ^, et non su- 
périeurs à oe nombre, sont 

I, 2, 3, . . ., (/? — 1); 

on a donc 

?[p) =P — '• 

Lorsque M est égal à une puissance p* d'un nombre 
premier /7, il est évident que la suite des p^* nombres 

p, 27?, 3p, . . . , 7?*-* ,p 

renferme tous les nombres non supérieurs à M qui ad- 
mettent p pour diviseur; on a donc 

9(M) =/>^ — /i^-> =:--/7^-» (/? - i), 
ou 



y(M)=M(i-i) 



Considérons le cas général; soient/?, y, r, ... les fac- 
teurs premiers inégaux de M, et supposons 



SECTION JII. CHAPITRE I. ta 

yfyHyXj... étant des exposants entiers. On aura (n** 284) 

9W = ?{p']?(gnf[^)^"'^ 



d'ailleurs 



? 



donc 



ou 



?{î'')='7'(«-^)' 

,{M) = p.,M...(.-i)(.-i)(,-l).... 

,(M) = M(.-i)(.-i) (,_i).... 

Il importe de remarquer que, si M est un nombre im- 
pair, on a 

y(2M).-=:y(2)f(M)î 

or cp(2)=^ I : donc 

286. Il convient de remarquer encore le théorème 
suivant, qui nous sera très-utile dans la suite : 

Théorème. — Si r/, rf', d'\ ... désignent la suite des 
diviseurs du nombre M, parmi lesquels figurent l'unité 
et le nombre M lui-même, on a 

y (r/) ^- y (é/' ) -i- 9 ;^") H-. . . = M. 

En effet, soit 

p, y, r,... étant des nombres premiers inégaux; les di- 
viseurs dj d'y d"j ... ne seront autre chose que les 



I4 COURS d'algèbre SI^PÉRIEtTRB. 

termes du polynôme égal au produit 

(i-r-/?-f-/?»-f-...-h/?»);i-h7H-9*-h...-h9»*)(n-r-4-...-f-r^).... 

L*un quelconque des termes du polynôme dont il s'agit 
a la forme p* q' r^. . .; d*ailleurs Tégalité 

entraîne 

f(d) = f{p*)f{q')f{rl)...; 

donc la somme de toutes les quantités <^{d) sera le pro^ 
duit des polynômes 

I -*- ? (7 ■ -^ ?(7*) H-- • • -♦- ?(9'')» 
l-hf{r) H-y[r«)-4-...H-y(r^), 



Le premier de ces polynômes a pour valeur 

i'-h{p-i][i-hp'hp*-h...-i'p^') = p% 

et Ton voit de même que les polynômes suivants ont res* 
pectivement pour valeurs y»*, r^, . . . ; on a donc 

f {d) -h f (d') -i- f [d") -h . . .=p^q^ r^ . , ,z=TA. 

Des congruences en général. 

287. La théorie des nombres résout sur les con- 
gruences le même problème que TAlgèbre ordinaire sur 
les équations; elle se propose, en particulier, de trouver 
les valeurs de x qui satisfont à une congruence telle que 

/{jr)^=io (mod.Mj, 

où^(x) désigne un polynôme entier et rationnel dont 
les coefficients sont des nombres entiers. Si Ton satis- 



SECTION m. — châpithe i. i5 

fait à cette congruence, en faisant x = a, on y satisfera 

aussi y d'après une remarque précédente, en faisant, quel 

que soit l'entier Ar, x = a -h kM; d'où il suit que chaque 

solution en donne une infinité d'autres, mais qui sont 

toutes équivalentes suivant le module M. Les diverses 

solutions renfermées dans une même formule a + ArM 

peuvent se déduire de l'une quelconque d'entre elles; 

d'ailleurs, on peut disposer de l'entier Ar de manière que 

« -.. . M M 
a-hkal soit compris entre — - et H > ou entre o 

*^ 2 2 

et M ; il n'y a donc lieu de s'occuper que des solutions 
comprises entre ces limites. 

Cela posé, nous appellerons racines de la congruence 

f{x) =:ho (mod. M^ 

les diverses valeurs de x comprises entre o et M, qui ren- 
denty(x) divisible par M. 

Une congruence est identique lorsque tous ses coeffi- 
cients sont divisibles par le module, et elle est évidem- 
ment impossible lorsque ses coefficients sont divisibles 
par l'un des facteurs du module, à l'exception du terme 
indépendant de x. 

Si F (j:) désigne un polynôme entier et rationnel, ayant 
pour coefficients des nombres entiers, on peut substituer 
à la congruence 

/(a:)^o (mod. M) 
la congruence équivalente 

/(x) -HMF(ar)=o (mod.M), 
et disposer ensuite des coefficients indéterminés de F(x), 
pour rabaisser au-dessous de M, et même de — si l'on 
veut, tous les coefficients de la congruence. 



i6 CODAS d'algèbre svpérievee. 

Des congruences du premier degré. 

288. La congruence du premier degré 

* 

(i) ûx-h^^o (mod.M'l 

peut se mettre sous la forme 

(2) ûx -h ^ = M/, 

et la recherche de ses racines est ramenée à celle des so- 
lutions en nombres entiers de l'équation (2) qui renferme 
les deux inconnues xely. Si a et M sont premiers entre 
eux y réquation(2) est toujours résoluble en nombres en- 
tiers; on obtient une première solution Xo, y^ (n** 13) 

par la réduction de — en fraction continue ; après quoi 

toutes les solutions sont données par les formules 

où t désigne une indéterminée. On peut disposer de cette 
indéterminée de manière à obtenir une valeur de x com- 
prise entre zéro et M, et, si Ton représente cette valeur 
par Xo, les autres valeurs de x continueront à être don- 
nées par la première des formules qui précèdent. 

Il résulte de là que la congrucnce du premier degré ( i ) 
n'admet qu'une seule racine, quel que soit le module, 
lorsque le coefficient de l'inconnue est premier avec ce 
module. 

On arrive à la même conclusion au moyen du Icmme 
du n"" 283 (Corollaire). Effectivement, si l'on donne 
à X les M valeurs 

o, I, 2, ..., (M — i), 

le premier membre de la congruence (i) prendra M va- 
leurs incongrues suivant le module M; l'une de ces 



SBCTIOIf III. CHAPITRE I. I7 

valeurs sera donc nulle , relativement à ce module, et la 
valeur correspondante de x sera la racine demandée. 
Si Xo désigne cette racine, on peut écrire 

^0^ (mod. M], 

a ^ ' 

comme Gauss Ta pro'posé. 

Si le coefficient a n*est pas premier avec le module M 
et que d désigne le plus grand commun diviseur de ces 
deux nombres, la congruence (>) ne sera résoluble que 
si b est divisible par d. Quand il en est ainsi, la con- 
gruencCi divisée par d, devient 

(3) 5'+5 = « ("""i-?)' 

on rentre alors dans le cas que nous venons d'examiner. 

Soit Xq la racine de la congruence (3) ; les valeurs de x 

qui pourront y satisfaire seront toutes comprises dans la 

formule 

M 

d 



X = .r^ H- — ^ 



et Ton voit que la proposée admettra les d racines 

M 2M (d—i)M 

qui sont incongrues suivant le module M. 

289. Lorsque le module M est un nombre composé , 
la résolution de la congruence 

(i) «jr-h^EEso (mod. M), 

où l'on suppose a premier avec M, peut être ramenée à 
celle d'autres congruences dans chacune desquelles le 
module est un facteur de M. 

S. — Alg. sup,, u. a 



i8 cocRS d'algèbre supérieurs. 

Soit, en effet, 

M = Mt M„ 

M| et M9 étant des nombres entiers. 

Il est évident que la racine de la congruence (i) doit 
satisfaire à la congruence 

(2) ax-^b^o (mod.'Mi); 

désignons par a la racine de cette congruence : les valeurs 
de X qui satisfont à la proposée seront de la forme 

jr==a -f- M| X,. 

X| étant une indéterminée, et en substituant cette valeur 
il viendra 

(fla-h ô) 4- Mt o.r, E=o (mod. M). 

Par hypothèse, aa -H i est divisible par M| ; si donc on 

pose 

/la -4- A , 

la précédente congruence, divisée par M|, deviendra 

axx -+- ^|Ei^o [raod. M,). 

Si Ton désigne par a^ la racine de cette nouvelle con- 
gruence, la formule 

donnera la racine de la proposée. 
On concbit de là que, si Ton a 

M = M, M, . . . Mjt, 

M|, M), •••, Mji étant des nombres entiers, la résolution 
de la congruence 

ax -^ b^i^o (mod. M) 



SECTiOlf III. — chapithe I. ig 

peut être ramenée à celle d'autres congruences de la forme 

ax-{-b ^o (mod. M|), 
«jT-f-è, =H0 (mod. Mt), 



j 

a jr -h 6jt_i ^ o (mod. Mjt]. 

En particulier^ on peut prendre pour les nombres M|, 
M2, ... les facteurs premiers dont le module est le pro- 
duit. 

Exemple. — Soit la congruence 

1237J? — 4^96^0 (mod. 675). 

Le module 675 est égal au produit 27 X ^5 ; on peut 
donc commencer par résoudre la congruence 

1237J7 — 4^96^0 (mod. 27), 

qui y en rabaissant les coefficients au-dessous du module, 

devient 

Sx — 8^0 (mod. 27), 

ou, si Ton veut, 

8 + 277 
j? — -• 

5 
La valeur^ = i donne x = 7 ; on fera, en conséquence, 

jf = 7 -f- 27 xj ; 
en substituant cette valeur, la proposée devient 

1287 >; 27x1 4- 4563 ==0 (mod. 27X^5), 
ou, en divisant par 27, 

1287x1 -h 169^1=0 (mod. 25); 

rabaissant les coefficients au-dessous du module 25, on 

obtient 

12x1 — 6^0 (mod. 25)9 

3. 



20 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE. 

OU, en divisant par 6, qui est premier avec le module, 

axi — iE==o (mod. a5). 

On tire de là 

I -h 2'îr 

et la valeur^ = i donne X| = i3. 
La racine demandée est donc 

j-=7 -h27X i3 = 358. 

290. On ramène au problème dont nous venons de 
nous occuper celui qui a pour objet de trouver un nom- 
bre N qui ait des résidus donnés a, a^, a^y . . . , suivant 
des modules donnés M, M|, Mj, .... 

Le nombre cherché N doit satisfaire aux congruences 

(f) N~=<2(mod.M), N==/7j(mod.M,), N^a2(mod.Mtj, ...: 
la première donne 



Nnrû4-M 



X. 



et, pour que le nombre N ainsi déterminé satisfasse aussi 
à la deuxième des congruences (i), il faut que Ton ait 

ii-4-Mjr=i3ii|(mod. M|) ou Mjr-\-[a — a^)=^o (mod. M|). 

Si le plus grand commun diviseur d des nombres M et 
M| ne divise pas a — ai , le problème proposé n*admettra 
pas de solution; dans le cas contraire, la précédente 
congruence peut s'écrire 



M a — a 

S' 



'-" H-^) 



et, si Ton désigne par a sa racine, cette congruence ne 
sera satisfaite que par les valeurs de x données par la 



SECTION m. CHAPIT&B T. II 

formule 



jr = a H — — ar|, 



M. 
d 



X\ étant oae indéterminée. En posant 

a + Ma = «<*), 

on obtient cette expression de N 

a 

Sî Ton veut que cette valeur de N satisfasse à la 
troisième des congruences (i), il faudra que Ton ait 

aC) H — î arj ^3«j (mod. M,), 

d 

ou 

— - XjH- (a(*) — ûj)^o (mod. Mj); 

si le plus grand commun diviseur d\ des nombres —^ 

et Mj ne divise pas a^*^ — a^j la précédente congruence 
sera impossible; dans le cas contraire, elle se ramènera 
à la forme 

et, en appelant «i sa racine, on devra poser 

M, 

^2 étant une indéterminée. Faisant alors 

,,. MMi ,,, 

^C») -^ ^' «j = aC'^, 



23 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE. 

l'expression de N sera 

^,. MM, M, 

aai 

On peut continuer de cette manière jusqu'à ce qu'on 
ait épuisé toutes les congruences proposées , et si Ton ne 
rencontre aucune congruence impossible , l'expression 
demandée aura la forme 

X étant une indéterminée, et fx désignant le plus petit 
commun multiple des modules M, M i, M2, .... 

291 . Le cas d'un nombre m de congruences du premier 
degré, à m indéterminées, peut être résolu au moyen de 
ce qui précède. Supposons qu'on demande les systèmes 
de solutions des congruences 

[a^x -f- b^X -+- Cq z -f . . . -h /'o " -H /o ^^O 

Les valeurs de l'une quelconque des inconnues, qui 
figurent dans les systèmes de solutions cherchées, dé- 
pendent d'une congruence linéaire qu'on peut facilement 
former. Effectivement on peut toujours trouver, par la 
théorie des équations du premier degré, m nombres en- 
tiers ^o> ^1 ) • • • 7 ^/ii.i qui n'aient aucun diviseur commun 
avec le module et qui satisfassent aux m — i équations 

*0 Ço -J- *1 Ç| -+-••• -*- ^m-l Çm-l = O, 

"' 

V ^f Ço -+- ^i 5i -^ • • • -+- ^ m-t Çm~i = o; 



SECTION m. — CHAPITRE I. 23 

alorsy sî l'on ajoute les congruences (i) après les avoir 
multipliées par Ço> $o • • m ?/ii-i respectivement, et que 
l'on fasse, pour abréger , 

«0 So -^ û| Si -^ • • • -^ ^m-l Çm-I = «1 



on aura 



ojr-h/Ezzo (mod. M). 



On peut opérer de la même manière à Tégard des incon- 
nues j^, ^, ..., et Ton formera ainsi m congruences, dont 
chacune ne contiendra qu'une seule inconnue et qui ad- 
mettront toutes les solutions du système proposé. Mais la 
réciproque de cette proposition n'a pas lieu, et il pourra 
arriver que diverses solutions du système obtenu par notre 
méthode ne conviennent point au système proposé. Dans 
la pratique, il sera en général plus simple de procéder 
par éliminations successives et de remplacer le système ( i) 
par un autre dans lequel chaque congruence renferme 
une inconnue de moins que la précédente. 

Exemple. — Soient les congruences 

I3j^ -\- 5y -i- z-i-4 1 
2jr-i- 3j 4- 2 3^= 7 / (mod. 12), 
5j- -h j -+- 3s E=^6 / 

que Gauss a choisies pour exemple dans ses Recherches 
arithmétiques. Si l'on tire de la première la valeur de z 
pour la porter dans les deux autres, on aura ce nouveau 
système : 

12=34 — 3jr — 5^ ] 
4-^^-7J^^ï / (mod. 12); 

^jn -I- 2je=h6 / 

éliminant ensuite x entre les deux dernières, on a ce 



a4 COURS d'algèbre SUPÉRIEtniS. 

troisième système : 

/ 3^4 — 3 j: — 5 j \ 

(3) J ^jc=:j2i — 'jx \ (mod, 12). 

(5^ =-5 \ 

La dernière congruence du système (3) n*a qu*uQe 
seule racine, qui est — i ou 1 1 . La deuxième des con- 
gruences (3) donne ensuite 

^x=^6 (mod. 12) 

ou 

j:ïi22 (mod. 3J. 

On a ainsi quatre valeurs de Xy savoir : 

:r = 2, 5, 8, II. 

La première congruence (3), qui se réduit à 

à cause de^ = — i , donne les quatre valeurs correspon- 
dantes de z, savoir 

z=3, 6, 9, 0. 

Sur le nombre des racines de la congruence 
x^ — 1^0 (mod. M). 

292. Pour que le produit (x -h i) {x — i) soit divi- 
sible par M, il faut et il suflit que x — i contienne tous 
ceux des facteurs premiers de M qui ne figurent pas 
dans x-\-i; d*ailleurs x — 1 et j: -f- 1 ne peuvent avoir 
que les diviseurs 1 et 2 communs, puisque leur différence 
est égale à 2. Donc, pour résoudre la congruence 

(i) jr*— 1 = (mod. M), 

il suiUra de poser de toutes les manières possibles 

M = AB, 



8ECT10M III. CHAPITRE I. ^5 

A et B étant premiers entre eux, ou ayant 2 pour plus 
grand commun diviseur, puis de déterminer les valeurs 
de X qui satisfont à la fois aux deux congruences 

(2) ar-hi==:0 (mod. A), x — iTzno (mod. B). 
On tire de la première 

(3) x=-n-Af, 

t étant une indéterminée, et, en substituant cette valeur 
dans la seconde congruence, il vient 

(4) Ar— 2-zEO (mod. B). 

Comme le plus grand commun diviseur de A et B est 
I ou 2, par hypothèse, la congruence (4) sera toujours 
possible. Si A et B sont premiers entre eux, cette con- 
gruence aura une racine unique et la formule (3) donnera 
également pour x une valeur unique. .Mais, si A et B ont 
le diviseur commun 2, la congruence (4), divisée par 2, 
deviendra 

(5) -t — i==o (mod. - 

Les valeurs de t qui satisfont à la congruence (5) sont 
données par la formule 

B 

to étant un nombre déterminé compris entre o et — > 

et u désignant une nouvelle variable. Alors la con- 
gruence (4) 81 les deux racines 

B 
2, 

et la formule (3 ) donne les valeurs correspondantes de x, 

— Î-4-A/0Ï — i-t-A^oH • 



^6 COURS d'algèbre supérieure. 

Il importe d'examiner maintenant si Tune des racines 
de la congruence proposée peut être donnée par deux 
décompositions distinctes du module M : 

M=AB, M=:A'B'. 

Désignons par - la fraction irréductible équivalente 

aux deux fractions 

A a; 
B' B ' 

lesquelles sont égales, en vertu de Thypothèse AB = A' B'; 

on aura 

A = y^Of A' = fiay 

B' = Xè, B =zfib, 
ety par suite, 

A'=:Ça, B'=:-B, 

1 et jx étant des entiers. Mais, si les décompositions con> 
sidérées fournissent une même racine x de la con- 
gruence (i), les nombres A et B' ou A' et B diviseront 
respectivement x -f- 1 et x — i : donc ils ont pour plus 
grand commun diviseur i ou 2 ; chacun des nombres % 
et [i est par suite égal à 1 ou à 2. Il résulte de là que les 
décompositions 

M=-AX2B, M = aAX-B 
a 2 

sont les seules qui puissent donner une racine x déjà 
fournie par la décomposition M = AB. 

Cela posé, il est facile de déterminer le nombre N des 
racines distinctes de la congruence (1). 

Supposons d*abord que le module M soit impair et dé- 
signons par 71 le nombre de ses facteurs premiers inégaux. 
Dans le cas dont il s^agit, les décompositions M = AB 



SECTION III. CHAPITRE I. 1^ 

donnent nécessairement des racines distinctes, et il suflit 
d'avoir le nombre de ces décompositions. Or, pour for- 
mer A, on peut n'employer aucun des facteurs premiers 
de M : on aura alors A = i ; on peut introduire dans A 
un seul des n facteurs premiers de M, et Ton obtiendra 
ainsi n décompositions distinctes ; pareillement, on aura 

— décompositions, en formant A avec deux des 

facteurs premiers de M, et ainsi de suite. D'après cela^ 

on aura 

n n[n — i ) n 

l l.a f 

ou 

Supposons en deuxième lieu que le module M soit 
double d'un nombre impair, et désignons par gy comme 
précédemment, le nombre des facteurs premiers impairs 

inégaux de M ou de — • Considérons la décomposition 

M = AB, 

A étant pair et B impair; parmi les autres décompo- 
sitions, la seule qui puisse fournir la même racine x que 
la première est 

M= i AX2B, 

2 

et je dis qu'elle la fournit effectivement. En effet, la ra- 
cine qui répond à la première décomposition est déter- 
minée par les formules 

x = — i-{-Ar, Ar— 2^0 (mod. B); 

or, A étant pair et B impair, on peut écrire 

A A 

jt= — iH — -2^, — .2^ — 2^0 (mod. 2B), 
2 2 



^8 C0T7RS d'algèbre SUPÉRIEURE. 

ce qui montre que cette valeur de x répond aussi à la se- 
conde décomposition. Il résulte de là que N est le nom- 
bre des décompositions de — en deux facteurs premiers 
entre eux, et Ton aura alors 

comme dans le premier cas. 

Supposons, enfin, que M soit divisible par la puis- 
sance 2^ de 2, p étant ]> i , et désignons encore par n le 
nombre des facteurs premiers impairs inégaux de M oa 

de — • Dans ce cas, on peut rejeter toute décomposition 

dans laquelle Tun des nombres A ou B serait impair. En 
eflet, supposons A pair et B impair; le raisonnement que 
nous venons de faire, à l'occasion du cas précédent, 
montre que la racine qui répond à la décomposition AB 

sera aussi donnée par la décomposition - x a B. Main- 
tenant une décomposition de M en deux facteurs pairs 
donne deux racines x qui sont nécessairement distinctes 
de celles fournies par une autre décomposition de la même 
espèce; car, dans chaque décomposition, les facteurs 
doivent avoirs pour plus grand commun diviseur; donc, 
pour obtenir toutes les décompositions utiles de M, il faut 

former celles de - et introduire ensuite a dans le premier 

facteur, a^* dans le second, puis inversement a^* dans 
le premier facteur et a dans le second. Si p = a, ces deux 
dernières opérations rentreront évidemment Tune dans 
l'autre. 

Il résulte de là que, si |0== a, c'est-à-dire si M est dîvi- 



SECTION III. — chapithe I. ag 

sîble par 4> mais non par 8, on aura 

Si p est ^ Hy c'est-à-dire si M est divisible par 8, on 
aura 

Cette conclusion n'est point en défaut, quand on a M r= 2^ ; 

dans ce cas, -- n'admet que la seule décomposition i >c i . 

Il faut remarquer que les racines de la congruence ( 2 ) 
sont conjuguées deux à deux, de manière que deux ra- 
cines conjuguées soient égales et de signes contraires, 
ou, si Ton veut, complémentaires au module. Il est évi- 
dent que deux racines conjuguées sont fournies par deux 
décompositions telles que AB, BA. 

Corollaire. — Z« congruence 

a:'— i==o (mod. M) 

admet un couple unique de racines conjuguées dans 
l'un des trois cas suis^ants ; i^ si M est une puissance 
d'un nombre premier impair; 2° si M est le double 
d'une telle puissance; 3° si M est égal à 4- Dans tout 
autre cas le nombre des couples de racines conjuguées 
de la congruence est un nombre pair. 

Ce corollaire résulte immédiatement des formules par 
lesquelles nous avons exprimé le nombre N dans les 
difTérents cas que nous avons examinés. 

Exemple. — Si Ton a M = 24, on a ces quatre décom- 
positions utiles 

A =: 2, 12, 4» 6, 

B — ii, 2, 6, 4; 

la congruence 

X* — iF^o (mod. 24) 



3o couns d'algêbee sttpériettre. 

a huit racines, savoir ; 

I, i3 fournies par la décomposition 2 X la, 

9.3, II » « 12 X 2, 

7, 19 > -> 4x 6, 

17, 5 j^ » 6x 4' 

Théorème de Fermât. 

293. Le théorème de Fermât est Tune des proposi- 
tions fondamentales de la théorie qui nous occupe ; aussi 
croyons-nous utile de présenter ici les démonstrations 
diverses qu'on en a données. Ce théorème célèbre est le 
suivant : 

Théorème. — Si le nombre entier a n^est pas rfiVi- 
sible par le nombre premier p, la différence aP"* — i 
est diifisible par p ; en d'autres termes j on a 

aP^^=i=i (mod. p). 

Première démonstratiou . — Comme aetp sont pre- 
miers entre eux, par hypothèse, les nombres 

(i) a, 2a, 3fl, ..., {p — i)a 

donneront, relativement à p (n^ 283), les résidus 

(2) I, 2, 3, {p — ^)f 

abstraction faite de Tordre. Le produit des nombres (i) 
est donc congru, suivant le module p, au produit des 
nombres (2), et Ton a, en conséquence, 

1.2.3. ..(/> — i) (fl'*"*— i) HHso (mod. />). 

On peut diviser cette congruence par le produit 

i.2.3...(^ — i) qui est premier avec le module, et 

Ton a 

n'^*— i=3o (mod. /?], 

ce qu'il fallait démontrer. 



SECTIOlf III. CHAPITRE I. 3l 

Deuxième démohsteatiok. — Si Ton élève à la puis- 
sance p le binôme 

(a — ij-hi, 

dont la valeur est a, on aura 

I « 2 « • «Al 

dans le second membre de cette formule, tous les termes 
sont divisibles par p, à Texception du premier et du dei^ 
nier, car le coefficient 

p( /^ — • ^ (^ — _^l±l) 

I « 2 • • » n' 

est un nombre entier, et cet entier est évidemment divi- 
sible par p si k est <!/?• On a donc 

aP=^[a — ij'^-f-i (mod./>), 
et, en retranchant a, de part et d^autre, 

aP — a=:=[a — i)P'- {a — i) (mod. /?). 

Cette formule montre que la différence aP — a n'est 
altérée que par un multiple de p^ quand on diminue a 
d'une unité ; il en est donc de même quand on diminue a 
de 2, 3, . . ., a unités; on a, en conséquence, 

aP — a^zio (mod. /?), 

et, en divisant par a, nombre premier au module, il vient 

aP-^ — lEi^o (mod. p). 

Troisième DÉMONSTRATion. — On a, quels que soient 
les entiers u et u, 

(« '^v)P = uP-^^ uP-^ v-\-, .. 

plp — i)'"{p — Z' + i) . . 

K «2 • • « AT 



3a covRS d'algèbre supérieure. 

nous avons vu que, dans le second membre de celle for- 
mule, lous les lermes sonl divisibles par p, à TexceptioD 
du premier et du dernier ; on a donc 

[u-{-v]Pei^uP-{'vP [moâ,p). 

Soient mainlenanl a nombres entiers «i, as, .. ., oTa^ on 
aura, d'après la formule précédente, 

(ai -^-a, -4-.. .-4-aa)''=^«f-h >, -i- . . . 4- a« j'' 

(aj -^«3 4-.. .-f- a^j'^z^af-f- -aj-:-.. .-ha^)/' ^ 

(«a-t + a»)" =<-.+ «2 

et, en ajoutant, 

(aj -f- a, -f-. . . -+- a^ l'*^ af -+- af -h . • • "f- «S (mod. />}. 

Supposons maintenant que les nombres ocf^ «s, ..., fle« se 
réduisent tous à Tunité, on aura 

aP^a (mod. /?}, 

ou, en divisant par a, 

û'*-'*ï=^i (mod./?). 

Théorème de Wilson. 

294. Théorème. — Si p est un nombre premier^ la 
somme i . 2 . 3 . . . (/> — i ) -H i est dwisible par p ; en 
d'autres termes, on a 

i.a.3...(/? — i)== — I (mod, p). 

Première démonstration. — Soit a l'un quelconque 
des nombres 

(i) ii a, 3, ..., [p — i), 



SECTION III. CHAPITRE I. 33 

et formons les multiples de a 

(2) «, 2/ï, 3a, ..., [p — i)«. 

Dans la suite (2), il y a un terme congru à i, et il n'y 
en a qu'un seul; supposons que ce soit a a, on aura 

aaEE=i (mod./j). 

Les nombres a eta sont inégaux, à moins que a ne soit égal 
àiouà/7 — I. Si, en effetj on a a=a,a^ — i=(a — i)(a-Hi) 
est divisible par^ ; or pesl premier, il divise donc a — i 
ou a-l-i, et, comme a est <^p, on a nécessairement 
a = i ou a=p — I. 

Il résulte de là que les nombres 

2, 3, 4» •• -î (/^ — 2) 

peuvent être associés deux à deux, de manière que le pro- 
duit des deux associés soit congru à l'unité, et, en multi- 
pliant entre elles les congruenccs ainsi obtenues, on aura 

a.3.4--.(i^ — 2)==! (mod./?); 
multipliant enfin par p — i , on a 

1 .2.3.4- ••(/? — 0-—/' ~ ' (mod./?), 

ou 

1.2.3.4. ..(/?— i) + I ^^o (mod,/?), 

ce qu'il fallait démontrer. 

Ce théorème est surtout remarquable en ce qu'il ex- 
prime une propriété qui appartient exclusivement aux 
nombres premiers ; car, si p est un nombre composé, et 
que soit un de ses diviseurs, 9 divisera le produit 
1.2.3... (p — x)> et, par conséquent, il ne pourra diviser 
ce même produit augmenté de l'unité. Il en sera donc 
de même du nombre p. 

Corollaire. — Tout nombre premier p de Informe 
4/1 -}- I est la somme de deux carrés, 

s. — j^iff. sup., i\. â 



w4 coms i^^Aixiinz Frrtximr. 

Eli t-fif t. par le iLéorèmt précédenU j* drrise la 

1.2-3... 2B a» -i- 1 ...4''_ — 'i 

2» — I, 2JI — 2.. .... ^a 

b'jDt respectivement congrus ii 

— 212. — 2ï: — I — I 

fruiviintle module />: donc leprc*dait des uns est conçra 
«u produit des autres. D'ailleurs le nombre des facteurs 
étaint pair, on peut changer leurs signes, et Ton a 

1 .2.3. . . aw *-r iE=o iDod. /) ; 

I? divise ainsi la somme de deux carrés, el, par consé- 
quent, il est lui-même la somme de deux, carrés n*15). 

Kcxie^uE. — Un nombre de la fiirme 4 *» -^ 3 ne peut 
être la somme de deux carrés. En effet, tout carré pair a 
la forme 4i« et tout carré impair est de la forme 4'> + <« 
par conséquent, la somme de deux carrés premiers entre 
eux a toujours l'une des deux formes 4" — > «l 4'*"*-^- 

DEtxiÊXE DÉM02fST%Âxio5. — On pcut cucore démon- 
trer le théorème de Wilson au moven de la formule 

. « /t jt If — I ■ •« 

A*i/*-tf. li^^^-^ «,-1— ...-»-,— 1 •«• 

I 1.2 

que nous avons établie au n** 152, et qui exprime la dif- 
férence n'*"* du terme iio de la suite 

"o* *l« *J« "•• • • • • 

Si Ton suppose généralement 



SECTION III. — CHAPITaE I. 35 

on aura 

A'*w^=: 1.2.3. . .71, 

et notre formule générale deviendra 

f .2. . ,/i = (jr + /i)'» — ■ - (ar-4- n — i)* 

n (n — i) , , , ^ 

-»--^ •' {ar-f-/i — a)'*— ...-f-( — ij^ar». 

Soit maintenant a:=i, n = p — i^ p étant un nombre 
premier, il viendra 

1.2 ^^ ' 

I 

on a d'ailleurs 

^ ' I 1.2 



d'où 



/? — I 



I.2.3...(/>~l)-f-I = /^*-<^ [(p-.,)p-l-l] 



I 



^P-')^P--^l[p-.)^^-r1+.., 



1.2 

/? — I 



(aP-i — i). 



Dans le second membre de cette formule, le premier 
terme est une puissance de p et tous les termes qui sui- 
vent sont divisibles par p, d'après le théorème de 
Fermât; on a donc 

I.2.3. •• (/? — i) H-i ^o (mod.p). 

3. 



36 COURS D*ÂLGÊBaE SCPÉftlECRE. 

Théorème de Fermât généralisé. 

295. Le théorème de Fermât est susceptible d'être 
étendu aux modules composés: il n'est eflectivement 
qu'un cas particulier de la proposition suivante : 

Théorème. — Si a et M sont des nombres premiers 
entre eux, et que ^ ■' il ■ exprime combien il y a de nom- 
bres premiers à M et non supérieurs à ce nombre, la 
différence 

sera divisible par M; en d'autres termes, on aura 

û?'«)_,so (mod. M. 

La première des démonstrations dont nous avons fait 
usage au n^ 293 s'applique au cas actuel, avec de lé- 
gères modifications. Soient 



(l) a, 6, y, <?, . . ., 



ai 



les '^(M) nombres premiers à M et non supérieurs à M. 
Si on les multiplie par le nombre a qui est également 
premier à M, on obtiendra la nouvelle suite 

(2j a«, a€, ay^ a$^ ..., </w; 

aucun terme de la suite (2), aoL par exemple, ne peut 
être divisible par M; car M est premier à a et il est supé- 
rieur à a; pour la même raison, la différence «^o — a) 
de deux termes de la suite (2) ne peut être divisible 
par M, d'où il résulte que, si l'on prend les résidus mi- 
nima, relativement à M, des termes de la suite {:>.\ on 
obtiendra cj» ( M j résultats différents. En outre, les nom- 
bres (2} sont premiers à M, et en conséquence leurs ré- 
sidus le sont aussi ; ces résidus sont donc précisément les 



SECTION III. CHAPITRE I. ^J 

nombres (i). Les nombres (2) étant respectivement con- 
nus aux nombres (i), le produit des uns est congru au 
produit des autres, et Ton a 

«67. . . w [rt'^"*— i]^o (mod.M); 

en divisant par le produit a6y...a> qui est premier avec 
le module, il vient enfin 

a?(M)— 1 = (mod.M). 

Théorème de Tf^ilson généralisé, 

296. Le théorème de Wilson est lui-même suscep- 
tible d'être généralisé ; on peut eflcctivcment Ténoncer 
comme il suit : 

TuÉoRÈME. — Si P désigne le produit des(f[^l) nom- 
bres premiers à M et non supérieurs ^ M, o/z a 

P = q=i (mod.M), 

sa\foir 

P-z:^— I (mod.M), 

il M est égal à une puissance d'un nombre premier 
impair, ou égal au double d'une telle puissance ou égal 

à 4 ; et 

P=4-i (mod.M), 

dans tous les autres cas. 

En effet, soient, comme précédemment, 

(l) a» S» 7, . . ., « 

les nombres premiers à M et non supérieurs à M. Si a 
désigne l'un de ces nombres, les produits 

(2; aoL, aê, ay, ..., «w 

donneront, comme on l'a vu, des résidus minîma difle- 



38 COURS d'algèbre supérieure. 

rcnts, relativement au module M. Parmi ces résidus, il 
y en aura donc un égal à i, et un autre égal à M — i. 
Supposons que aoc donne le résidu i; si a et a sont iné- 
gaux, je dirai que ces nombres sont associés du premier 
genre. Si a=a, le produit aXa donnant le résidu i, 
le produit a(M — a) donnera le résidu — i ou M — i; 
je dirai alors que a et M — a sont associés du second 
genre. Il résulte de cette définition que deux associés 
du second genre constituent un couple de racines con» 
juguées de la congruence 

(3) a:*— i^o (mod. M). 

Il est évident que le produit de tous ceux des nombres (i) 
qui composent les couples d'associés du premier genre 
est congru à i , suivant le module M, tandis que le pro- 
duit de tous ceux qui forment les couples du deuxième 
{^enre est congru à ( — i)**, fi désignant le nombre des 
couples de racines conjuguées de la congruence (3). Il 
résulte de là que Ton a 

P=( — 1)1* (mod. M). 

Or, si Ton a M = p% ou M = a//, ou M = 4, p étant 
un nombre premier impair, le nombre fi est égal à i, 
tandis que le même nombre est pair dans tous les autres 
cas (n^ 292); donc on a 

Ps=— I (mod.M), 

dans les trois cas de M = />% = 2/r, = 4, et 

P^-4-i (mod.M), 

quand le module M n'est pas de Tune de ces trois formes. 
Remarque. — Si Tonveutavoirrassociéd^un nombrea. 



SECTION m. — cnAPiTRB I. 3o 

il suffira de déterminer la racine de la congruence 

ax — lEzso (mod. Mj, 

ooy si Ton y&aXy de résoudre en nombres entiers Inéqua- 
tion indéterminée 

ax — M^ =: I. 

Au surplus y comme le théorème de Fermât généralisé 

donne 

at<">=i (mod. M), 

Tassocié demandé est évidemment le résidu de la puis- 
sance 

Des congruences dont le module est un nombre 

premier» 

297. Étant donnée la congruence 

A^x'^ -+- Ai^r"»-* -f- . . . + An^^x + A;„ == o (mod./?), 

dont le module p est supposé premier, et dans laquelle 
les cocffîcients Aq, Aj, ... sont des entiers compris entre 

zéro et p ou entre — - et W- -? on peut toujours la rem- 
placer par une autre dont le premier terme ait pour 
coefficient l'unité. Car soit A' le nombre associé de Aq, 
c'est-à-dire le nombre tel que l'on ait 

AoA'=Hi [mod. p], 

et désignons par 

p p I) 

les résidus des produits 

A' Al, A' A,, , , ., A'A,„; 

si Ton multiplie par Aq A' les termes de la congruence 
proposée, à partir du deuxième, cette congruence pren- 



4o COURS d'algèbre supérieure. 

dra la forme 

Ao(j:'"-4-Piar'"-*-^Prr^-*-4- . . . -4-P^_iar-f-P«) =0 (mod.p1, 

et, en divisant par Ao qui est premier avec le module, 
il viendra 

ar~ + Pia:'«-* + P,jr'"-«-4-...-^P;„_iJ?-f-P^=z=0 (mod.p). 

298. Les congruences dont le module est premier 
jouissentd'une propriété très-importante et quiestexpri- 
mée par la proposition suivante : 

Théorème. — Une congruence non identique suwant 
un module premier ne peut avoir plus de racines qu'il 
n'y a d'unités dans son degré. 

Soit 

(i) /(^) = o (mod./?) 

une congruence de degré m suivant le module pre- 
mier p, y (x) désignant, pour abréger, le polynôme 

dans lequel les coefficients sont des nombres entiers 

compris entre zéro et p ou entre — - et H — • 

Si Ton désigne par «i, a^, ..., «m des nombres en- 
tiers quelconques et que Ton pose, comme au n° 45, 

f[x) = [x-a,)f,{a:) + R», 
/j(x) = (.r-fl,)/,(x) 4-R,, 
(2J .'/,(^) =[^-a,^J,[x] -f-R3, 



Ri, R3, ..., R;„ étant indépendants de x, puis que Ton 
ajoute toutes ces égalités, après les avoir multipliées 
respectivement par les m facteurs 



SECTIOlf III. CnAPITUE 1. 4' 

il viendra, en remplaçant y*'"(x) par sa valeur A©, 

I/( jr) = Ao (^ — «1 ) ( J? —«,)... (a: — «m i 

Supposons maintenant que la congruence proposée ait 
une racine, et prenons ai égal à cette racine; on aura 
alors 

R, n^o (mod.p), 

et, d'après les égalités (a), la congruence (i) pourra se 
mettre sous la forme 

(ar — «,)/i(x)ei-o [mod.p). 

Le module p étant premier, le produit (x — ai) ft (x) 
ne peut être congru à zéro suivant ce module, à moins 
que l'un des facteurs ne soit divisible par p ; donc, si la 
précédente congruence admet des racines distinctes 
de ai, ces racines appartiendront à la congruence 

(4) /i(*)=o [mod.p]. 

Si la congruehce (4) n'a point de racines, la proposée 
n'aura que la seule racine a|. Sr, au contraire, cette con- 
gruence a des racines, et que l'on prenne pour a2 l'une 
de ces racines, on aura 

R^îi^o (mod./?), 

et, d'après les égalités ( a), la congruence (4) prendra la 
forme 

(JC — a,) /,(.r)=:z=o (mod.p). 

Le même raisonnement montre que, si cette congruence 
a des racines distinctes de a2, ces racines appartiennent 
à la congruence 

/,(«)==o (mod.p). 



4^ COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

On voit que, généralement, sî chacune des congruences 

/(«)=o, /i(x)=o, ...,/„_^_,(x) = o {mod.p) 

a une racine, et que la congruence 

/m-t»(^)^o [mod.p) 

n'en ait aucune, la proposée aura m — fi racines. Si Ton 
suppose que ai, a^, ..., am^^ soient ces racines, on aura 

Ri^:^o, R|^o, ..., R^-_|i=:^ o (mod./)], 

et la formule (3} donnera 

(5) /W = (x — ûj) (x — fl,)...(«— a;„_^)F(x) {mod,p), 

F (x) désignant une fonction entière du degré f<, telle 
que la congruence 

F(j:)==o (mod.p) 

n'ait aucune racine. 

Si le nombre /ui est égal à zéro, la fonction F (x) se 
réduit à la constante Ao, et la formule (3) donne 

(6) /(x)==Ao(a:— «j) (ar — il,). ..(x— û^) (mod.;?), 

d'où il suit que la congruence proposée ne peut avoir 
pour racines que les m nombres ai, a^y ...« a^* 

Corollaire. — Si la congruence y ( x ) == o ( mod. p ) 
du degré m est satisfaite par plus de m valeurs de x, 
elle est nécessairement identique, 

299. Nous présenterons ici une conséquence fort im- 
portante du théorème que nous venons d'établir. 

THÉORkME. — Si f{x) etY[x) sont des fonctions 
entières à coefficients entiers, dont les degrés soient infé- 
rieurs à p, et que f{x) soit un diviseur de la fonction 



SECTION III. CHAPITRE I. 43 

« — i-f-pF(j:),p étant un nombre premier, la con-- 

gruence 

/{x)^o [mod.p) 

aura précisément autant de racines quil y a JCunités 
dans le nombre qui exprime son degré. 

En effet, d'après le théorème dé Fermat^la congruence 
(i) x/»-* — lEzio (mod.p) 

a les p — I racines 

I, 2, 3, . . ., [p — i). 
D'ailleurs, si l'on a 

(2) xP-1- , -hpF(a:) =/(:c)/,(x), 

f{x) elf^[x) étant des polynômes à coefBcients entiers, 
la congruence (i) peut se mettre sous la forme 

et chacune de ses racines appartient à Tune ou à l'autre 
des deux 

(3) /(ar) = o, /i(x) = o (mod. />). 

Or, si l'une des congruences(3) avait moins de racines 
qu'il n'y a d'unités dans son degré, il faudrait que l'autre 
en eût plus qu'il n'y a d'unités dans le sien, ce qui est 
impossible ; le théorème énoncé est donc établi. 

300. On peut déduire du théorème précédent un pro- 
cédé très-simple pour déterminer le nombre des racines 
d'une congruence de module premier. Démontrons d'a- 
bord le lemme suivant : 

Lemme. — Sif^i^x) désigne le reste de la division des 
deux polynômes f[x) et /\[x), dont les premiers termes 



44 COURS d'algèbre SUPÉRIEL-RF. 

ont pour coefficient l * unité, les racines communes aiix 
deux congruences 

• /(.rJE^o (mod./?), /,(x)^o (mod./?) 

sont les mêmes que les racines communes à 

/,(j:)e:=o (mod./?), /,(jr)==o (mod./>\ 

SoîtQ le quotient de la division dey(a:) paryi(a:), 

on aura 

/(x)=/,(x).Q+/,(x), 

et cette égalité fait voir que, ûf^[x) est divisible par p 
en même temps que l'un des deux polynômes f[x) et 
/^(a:), Tautre le sera nécessairement aussi; d'où résulte 
la proposition énoncée. 

Corollaire. — Les racines communes à deux con* 

gruences 

/(x)-=o, /,(jc)^o (mod.p) 

appartiennent à la congrucnce 

y(ar)^=o (mod.p), 

9 (x) désignant le plus grand commun dixfiseur aux deux 
polynômes f [x) ctf [x). 

Remarque. — Pour trouver ce plus grand commun di- 
viseur ç(a:), on suivra la marche ordinaire; seulement 
on négligera tous les termes qui sont multipliés par p. Il 
faut, en outre, que toutes les divisions puissent se faire 
sans écrire de coeflicients fractionnaires. Pour cela, on 
peut faire en sorte, comme il a été indiqué plus haut, que 
chaque reste soit divisible par le coefficient de son pre- 
mier terme, et alors on fera abstraction de ce diviseur 
commun. On arrive aussi au môme but en multipliant 
chaque dividende par un facteur convenable, ou môme 
simplement en cijoutant au coefficient du premier terme 
de chaque dividende un multiple de p tel, qu'après cette 



SECTION III. CHAPITRE I. 45 

addition le premier terme du dividende en question soit 
divisible par le premier terme du diviseur correspondant. 

301. Supposons maintenant qu'on veuille connaître 
le nombre des racines de la congrucnce 

(i) f[x)^o (mod.p). 

Ces racines appartiennent toutes à la congruence 

(2) xP^^ — I Eis I (mod./?); 

il sufBt donc de chercher les racines communes aux con- 
gruences (i) et (a). Pour cela, on déterminera, comme il 
vient d'être dit, le plus grand commun diviseur à f{x) et 
à xP"^ — I. S'il n'existe pas de diviseur commun, la pro- 
posée n'aura aucune racine; si, au contraire, on trouve 
un plus grand commun diviseur ^{x) de degré fjt, la con- 
gruence proposée aura fx racines, qui seront celles de la 

congruence 

y(^)^o (tnod./?), 

laquelle a effectivement fx racines, puisque f(j:) est un 
diviseur de degré ^l. du binôme xP~^ — i. 

Exemple. — On demande le nombre des racines de la 
congruence 

f[x]=^x^ — 3ar* — ax* — ix'^-^x — 2^30 (mod. 7). 

Eln cherchant le plus grand commun diviseur des poly- 
nômes x^ — I aX. f[x)y comme on l'a indiqué au n** 300, 
on trouve les deux restes 

— 3(jr*-»-2X^H- 3x*— 2.x -^ 3), 
2(x'H- Zx^ — x — 3); 

le second reste étant diviseur du premier, la congruence 
proposée a trois racines qui appartiennent aussi à la con- 
gruence du troisième degré 

x'-t- 3a:* — X — Zïi^o (mod. 7). 



4t> COUES d'algèbre SUPÉEIEniE* 

Nouv^elle démonstration du théorème de TVilson. 

302. Si p est un nombre premier, la congruence 

(x— i) (x— 2)'x — 3)...(x— />-f-i) — (4P^*— i)^o (mxA.p) 

admet les p — i racines 

I, 2, 3, ..., (p — i'; 

cl, comme elle n'est que du degré p — a, elle doit être 
identique. Si donc on désigne par Sj la somme des nom- 
bres I, 2, ..., {p — i), par S] la somme de leurs produits 
deux à deux, etc., par S^.i le produit de tous ces nom- 
bres, on aura 

Sj^so, §2^=0, Sj^==o, •••, Sp^j^= — ly 

suivant le module p. La dernière de ces congruences 
constitue le théorème de Wilson. 

Remauque. — Les coefGcienls de Téquation 

[jr — \)[x — 2) [x — 3). . .[x — /? -4- i) =0, 

ordonnée par rapport à x, étant des multiples de p, à 
Texccption du dernier terme, si p est premier, la somme 
des puissances m**"" des p — i racines 

I, 2, 3, 4' .. ., [p — i] 

sera divisible parp, à moins que m ne soit un multiple 
de/; — I. Cela résulte immédiatement des formules de 
Newton. 



SECTION III. CHAPITHE II. 47 



CHAPITRE IL 

DES RÉSIDUS DES PUISSANCES ET DES GONGRUENGES BINOMES. 



Des nombres qui appartiennent à un exposant donné 
relativement à un module donné, 

303. Le nombre a étant premier avec le module M, 
considérons la suite indéfinie des puissances de a^ savoir 

(i) I, a, a', a', ...,€!'», .... 

Comme cette suite renferme un nombre illimité de termes, 
et qu'on ne peut trouver qu'un nombre limité 9 (M) de 
résidus distincts, il y aura nécessairement deux puis- 
sances, telles que a" et a"**^, qui seront congrues suivant 
le module M. On peut diviser la congruence 

(2] a'»+^ = a^ (mod. M) 

par a% qui est un nombre premier au module, et il vient 
alors 

(3) fl^si (mod. M). 

Réciproquement, si la congruence (3) a lieu, la con- 
gruence (2) aura lieu aussi, quel que soit l'exposant v. 

Il résulte de là que, si n est le plus petit nombre tel 
que la congruence (3) ait lieu, les résidus de la série (i) 
formeront une suite périodique dont la période com- 
prendra n termes incongrus suivant le module M, et 
qui seront les résidus des puissances 

I, rt, fl', . .., a'*-*. 



48 COURS D*ALGÈBRE SUPÉRIEURB. 

Ceux des termes de la série (i), autres que Funité, qui 
donnent le résidu (i), sont, d'après cela, 



^n gAn gj%n • 



or, d'après le théorème de Fermât généralisé, on a 

«»<")£==! (mod.M;: 

donc ç(M) est un multiple de /i. 

Lorsque n désigne le plus petit nombre positif, tel 
que a" ==1 (mod.M), on dit que le nombre a appartient 
à V exposant 71, relativement au modale M. On peut 
alors énoncer cette proposition : 

Théorème. — L'exposant auquel appartient, relatif 
uement au module M, un nombre quelconque premier 
avec ce module, est un diviseur de cp (M). 

304. On peut encore arriver à ce résultat par une autre 
méthode qui ne suppose pas le théorème de Fermât et 
qui conduit même à une démonstration nouvelle de ce 
théorème. 

Quel que soit l'entier a premier avec le module M, 
la suite des puissances 

(i) I, fl, «S «', ..., rt'», ... 

donne, comme nous venons de le dire, un certain nom- 
bre n de résidus distincts qui sont ceux des puissances 

(a) I, a, rt*, a', ..., ««-*, 

et n est le plus petit nombre tel que Ton ait 

(3) fl"--! (mod.M). 

Si la suite des résidus des nombres (2) embrasse tous 
les nombres premiers et non supérieurs à M, on aura 

?{M)=i.i 



SECTION III. CHAPITRE II. 49 

dans le cas contraire , soit b Tun des nombres premiers 
à My qui ne sont congrus , suivant ce module, à aucun 
des termes de la suite (2}. En multipliant par b les 
termes de cette suite, on en obtient une deuxième 

dont tons les termes sont distincts ; car, si Ton avait 

ha^^iz.ha^ (mod. M), 

il en résulterait 

a^=^à* (mod. M), 

ce qui est contre iKiypothèse. On voit aussi que les termes 
de la suite (4) sont incongrus, suivant le module M, 
aux termes de la suite (2) ; car, si Ton avait 

ha^^a^ [mod. M), 
il en résulterait 

h^^ar^ ou =^a«-»-^i* (mod. M), 

ce qui est encore contre Thypothèse. Ainsi l'on a 

y (M) =2/2 OU (pi'M) > 2/î. 

Si 9 (M) est > 271, soit c Tun des nombres premiers 
et non supérieurs à M, qui ne sont pas compris parmi 
les résidus des suites (2) et (4)* En multipliant la 
suite (2) par c, on obtient une nouvelle suite 

(5) ca, cà^y ca^^ ...', ca'*-', 

dont les termes sont incongrus à ceux de la suite (2), 
d'après ce qui précède, et j'ajoute qu'ils le sont aussi 
aux termes de la suite (4); car, si l'on avait 

cav-^bà* (mod. M), 
on en conclurait 

c ^ bà*-^ ou ^ ^a«+'-i* ( mod, M ) , 
s. — ^^* *up,f II* 4 



5o COURS d'algèbre supérieure. 

et le nombre c serait compris parmi les résidus de la 
suite (4), ce qui est contre Thypo thèse. D'après cela, 

on a 

^(M)==3/i ou y (M) > 3/1. 

On peut continuer ainsi jusqu'à l'épuisement complet 
des 9 (M) nombres premiers et non supérieurs à M, et 
Ton voit que l'on a nécessairement 

y ( M ) = /»/?, 

m étant un nombre entier ; ce qui est le théorème dé- 
montré au numéro précédent. * 

Mais la congruence (3) entraine nécessairement 



^mn^y (mod. M), 

ou 

iiT^") = i (mod. M), 

ce qui est précisément le théorème de Fermât généralisé. 



Des racines primitives. 

305. D'après le théorème de Fermât généralisé, la 

congruence 

A't'")=i (mod. M) 

admet pour racines les y (M) nombres premiers et non 
supérieurs à M. Ceux de ces nombres qui appartiennent, 
suivant le module M, à l'exposant ç (M) sont dits racines 
primitii^es de la précédente congruence, ou simplement 
racines primitives, relativement au module M. 

Ainsi le nombre a, premier à M, sera racine primi- 
tive si, pour toutes les valeurs de n inférieures à cp(M), 
a'' est incongrue à l'unité, suivant le module M. Dans 
ce cas, la série des résidus des puissances 

I, a, fl*, . . ., iiîî*'-* 



SECTIOn m. CHAPITRE II. 5l 

embrasse les 9 ( M ) nombres premiers à M et non supé- 
rieurs à M. 

On peut établir de suite qu'il n'existe de racines pri- 
mitives que dans des cas peu étendus. 

Le module M étant décomposé en facteurs premiers, 
soit 

Pf qy r, ... étant des nombres premiers inégaux. Tout 
nombre a, premier à M, sera premier avec chacun des 
facteurs p% q^j f^, .... et l'on aura, par le théorème de 
Fermât généralisé, 

a?(^*)==i (mod./7»), 
à^y^)^! (mod. 7«*;, 
af(''^)EZ=i (mod.r^). 

Si S désigne le plus petit des nombres divisibles par 
chacun des suivants : 



on aura aussi 

11*^1 (mod./?*), fl*^i (mod.^»*), a^^i (mod. /^), .... 

La différence o^ — i étant ainsi divisible par chacun des 
nombres p', 9"*, r^, • . . , elle le sera par le produit M 
des mêmes nombres, et l'on aura 

a^=^i (mod. M). 

Or, ^{p") est un nombre pair, sauf le seul cas où Fou 

4- 



52 COtIRS d'algèbre SUPÉaiEURB. 

a j9 = 2, V = I ; de même (f{g^) est pair, à moins que 
^ = 2, ^ = I, et ainsi de saite. Donc, si M renferme 
plus d'un facteur premier impair^ ou si, ne contenant 
qu'un seul facteur premier impair, il renferme le fac- 
teur 2 à une puissance supérieure à la première, deux 
au moins des nombres 

?{P')^ ?(r)^ f{'^)> ••• 

auront un diviseur commun, et, par conséquent, le plus 
petit commun multiple de ces nombres sera inférieur à 
leur produit. Ainsi Ton aura 

s<?;m), 

et le nombre ^i, pour lequel on a a®^i(mod. M),, ne 
sera pas racine primitive relativement au module M. 

II reste à examiner le cas où M ne renferme aucun 
facteur premier impair ; on a alors 

et je dis qu'il ny a point de racines primitives, si y est 

supérieur à 2. 

En effet, tout nombre impair a peut être représenté 

par la formule 

a =:ziii -h a'X, 

et, par des élévations au carré successives, on en déduit 

a«=i4- 2*/,, 

«** = ! 4- 2»/,, ..., 
fl*^' = I-h2*/V-i, 

Ati, A"a, . . . , /r,_ étant des nombres entiers. La dernière 
de CCS égalités peut s'écrire 

a*^ ^1 (mod.M), 



SECTTON III. — CHAPITKE II. 53 

si y est ]> a, et en conséquence a n'est pas racine pri- 
mitive. 

Il résulte de là qu*il ne peut exister de racines primi- 
tives que dans les trois cas suivants : 

1^ Si le module M est un nombre premier impair ou 
une puissance d'un nombre premier impair; 

2* Si le module M est égal au double d'une puis- 
sance d*un nombre premier impair; 

3^ Si le module M est égal à 4- 

Dans le cas de M := 4, on a cp(M) = 2, et le nombre 
— I ou 3 satisfait évidemment à la définition des racines 
primitives. Le cas où M est une puissance de 2 supé- 
rieure à 4 mérite une attention particulière , bien qu'il 
n'y ait point de racines primitives , dans le sens que nou^ 
attachons à ce terme* 

Des racines primitives, dans le cas oii le module 
est un nombre premier impair. 

306. Lorsque le module M se réduit à un nombre pre- 
mier impair p, on a cp(M) = p — i. Dans ce cas, il 
existe toujours des racines primitives et il est facile d'en 
déterminer le nombre par le théorème suivant, dont nous 
empruntons la démonstration à Gauss : 

Tbéouème. — Si le nombre p est premier, et que n 
désigne un dii^iseur quelconque de p — i , iljr a précisé- 
ment <^(n) nombres qui appartiennent à l'exposant n; 
le symbole <f{n) exprimant combien il y a de nombres 
premiers et non supérieurs à n. 

Supposons qu'il existe un nombre a appartenant à 
l'exposant n, suivant le module p ; les résidus des puis- 
sances 



(i) I, a, a», ..., a 



n— l 



54 COURS d'algèbre supérieure. 

seront distincts et chacun d'eux sera la racine de la con- 
gruence 

(a) 3c^ — i^o (mod./yj; 

car l'hypothèse 

a^^x (mod./?) 
entraîne 

(3) fl*»*^! (mod./?), ou («*)'* — isiso (mod./?)» 
e étant Tun quelconque des nombres 

o, 1,2, • . • , n — î ; 

donc, d'après le théorème du n^ 298, la congruence (2) 
n'a pas d'autres racines que les résidus des puissances 
contenues dans la suite (i). Par conséquent, s'il existe 
des nombres, autres que a, qui appartiennent à l'expo- 
sant /z, chacun d'eux doit être congru, suivant le mo- 
dule Pj à une puissance telle que a^. 

Désignons par m l'exposant auquel appartient a^\ 
d'après la congruence (3), /z sera un multiple de m; on 
a d'ailleurs 

(4) (fl*)'"^i (mod.p) ou a^^^x (mod./?), 

et comme a appartient à l'exposant /{, il en résulte que 
me est un multiple de n. Cela exige que m soit un mul- 
tiple de /{, quand e est premier à n ; les nombres m et n 
étant alors divisibles l'un par l'autre , ils sont égaux 
entre eux. Donc a^ appartient à l'exposant n, si e est 
premier avec n\ mais, si les nombres e et n ont un divi- 
seur commun supérieur à i , la congruence 



(.^)-=. 



(mod./?) 
peut s'écrire 

(a*)^^i (mod. /ij. 



SECTION III. CHAPITRE II. 55 

ce qui montre que a^ appartient à un exposant moindre 
que n. 

On peut conclure de là que, s*il existe un nombre ap- 
partenant à l'exposant n^ suivant le module p^ il y a pré- 
cisément ^(/i) nombres qui appartiennent à cet exposant. 

Cela posé y l'exposant auquel appartient l'un quel- 
conque des nombres 

(5) I, 2, 3, ..., (/? — i), 

relativement au module pj est, comme on sait, égal à l'un 
des diviseurs 

(6) d, d!, d", dT, ... 

du nombre p — i. Si l'on emploie le symbole ^K^) pour 
exprimer combien il y a^ dans la suite (5), de nombres 
qui appartiennent à l'exposant dy on aura, d'après ce 
qui précède, 

^[d) = f^[d) ou ^[d]z=zO. 

Pareillement, (p(rf'), (|i (ci''), ... exprimeront combien il 
y a, dans la suite (5), de nombres qui appartiennent aux 
exposants d\ d", . • • respectivement. L'unité fait partie 
de la suite des diviseurs (6), et comme i est évidemment 
le seul nombre qui appartient à l'exposant i , on a 

Enfin le nombre des termes de la suite (5) étant p — i , 
et chacun d'eux appartenant à l'un des exposants conte- 
nus dans la suite (6), on a Tidentité 

Mais on a aussi (n^ 286) 

ff[d) -+-y[c^) H-y(rf'')-h... = p — i: 
donc 



•••• 



Ô6* COURS d'algèbre SmPÉTlIEURE. 

Dans le premier membre de cette égalité, ceux des termes 
qui ne sont pas nuls sont respectivement égaux, d'après 
ce qui précède, aux termes qui occupent les mêmes 
rangs, dans le second membre ; on peut donc supprimer 
de part et d'autre ces termes égaux. Mais, après cette 
suppression, il reste zéro dans le premier membre de 
l'égalité ( 7 ) ; donc il ne doit rien rester dans le second 
membre. D'où il suit que la suppression a porté sur tous 
les termes, et que l'on a 

quel que soit le diviseur d. 

Corollaire. — Il y ^ ^{p — i) nombres qui appar- 
tiennent à l'exposant p — i , relati\fement au module 
premier p; en d'autres termes, il y a, relativement à ce 
module, cp (p — i ) racines primitives. 

Remarque. — Les nombres qui appartiennent, suivant 
le module premier /?, à un exposant n égal à un diviseur 
quelconque de p — i, sont dits quelquefois racines pri^ 
mitives pour la congruence x'^^=i (mod.p). Alors, 
d'après ce qui précède, cette congruence a n racines, 
parmi lesquelles il y en a ^(/i) qui sont primitives. 

307. Nous établirons encore ici une proposition fort 
importante qui trouvera plus loin son application, 

THéoEÈME. — «Si deux nombres aetb appartiennent, 
relativement au module premier p^ à deux exposants m 
et n premiers entre eux, le produit ab appartient à 
l'exposant mn. 

En effet, soit s un exposant tel que 

on aura, par l'élévation à la puissance m, 

a'"'ô'"*=l (mod.yj; 



SECTlOn III. — CHÀPITEE H. 5^ 

mais, a appartenant à l'exposant m, on a 

a'^'esi (mod.p): 
donc 

et, par conséquent, ms est un multiple de l'exposant n 
auquel b appartient. D'ailleurs mein sont premiers entre 
eux; donc s est un multiple de n. On ferait voir de même 
que 5 est un multiple de m, et il en résulte que 5 est di- 
visible par le produit mn. Or on a, par hypothèse, 

a'"^i, ô"e=i [mod.p), 
d'où 

donc le produit mn est bien l'exposant auquel ab appar- 
tient. 

CoROLLÂiUE I. — Si les nombres a^ b, c^ ... appar- 
tiennent respecti\fement, par rapport au module p, aux 
exposants mf n, r^ . , .^ premiers entre eux deux à 
deux, le produit abc. appartient à r exposant mnr..,. 

CoROLLÀiRB II. — Si le nombre p — i est égal au pro- 
duit 2^q^r^, . . . , ^, r, ... étant des nombres premiers 
impairs inégaux, et si a^ b, c, ... désignent des nom- 
bres qui appartiennent respectii^ement aux exposants 
a*, 9^, r**, . . . , le produit abc. . . ou son résidu appar- 
tient à l'exposant p — i , et il est en conséquence racine 
primitive, relativement au module p, 

jiutre manière de présenter les résultats qui précèdent. 

308. Les propriétés que nous venons d'établir, à l'é- 
gard des modules premiers, peuvent encore être démon- 
trées, comme nous allons le faire voir, par une méthode 
identique à celle dont nous avons fait usage dans le Cha- 



58 COURS d' ALGEBRE SUPÉRIEURE. 

pitre V de la Section I, en nous occupant des racines 
des équations binâmes ; il y a quelque avantage à faire 
ressortir le lien qui existe entre les deux théories. 

Théorème I. — Les racines communes à deux coti^ 
gruences binômes de module premier p^ 

x'^==i (mod./?), x^~Bi (mod. p), 

sont également racines de la congruence 

x^^mi (mod.p)y 

Q étant le plus grand commun diviseur de m et de n. 

x^ — I est, en effet, le plus grand commun diviseur de 
x^ — I et de x" — i. Ce théorème est, par suite, une 
conséquence du corollaire démontré au n^ 300. 

Il est évident que, réciproquement, chaque racine de 
la congruence x^ — i == i satisfait aux deux proposées. 

Corollaire. — Si désigne le plus grand commun 
diviseur des nombres metp — i , la congruence binôme 
du module premier , 

x^=^i (mod./?), 

aura 6 racines qui appartiendront à la congruence 

^•==1 (mod.p). 

En eflct, les racines de la congruence proposée ap« 
partiennent aussi à la congruence 

«!»-•— isso (mod.p)j 

D'ailleurs, la congruence 

x^ — i = o [mod.p] 

a racines (n^* 299), puisque son premier membre est 
un diviseur de x'*"^ — i ; la proposée a donc elle-même 
racines. 



SECTION III. CHAPITBE II. 5g 

Si m est premier avec p — i, onaô = i,et dans ce 
cas la congruence x^ ^ i n'a pas d'autre racine que 
l'unité. 

D'après ce qui précède, on peut borner l'étude des 
congruences binômes de la forme 

ar'^^i (mod. p) 

h celles dont le degré m est un diviseur de p — i . 

Théoreke n. — Si a désigne une racine quelconque 
de la congruence de module premier 

x'^E=\ (mod./?), 

dont le degré m est un diifiseur dep — i , toute puissance 
de a ou son résidu minimum est également racine, 

La congruence 

a'^^i (mod./?) 

entraine en eifet 

^mAr^l ou («*)'"== l, 

et si b désigne le résidu minimum de a^j par rapport kp^ 

on a 

aJ^'E^hy d'où h"^^\\ 

par conséquent, tous les termes de la série 

rt, a', «*, . . ., 

ou leurs résidus minima, sont racines de la même con- 
gruence. Or, à cause de a'^^ i , on a aussi 

La série précédente contient donc au plus m, termes 
ayant des résidus différents, et ces résidus se reprodui- 
sent périodiquement de m en /n. Si les m premiers termes 

-a, a*, a', ..., a"»—*, a^ ou i 



6o couBS d'algèbre srpéiicutE. 

sont incongrus suivant le module p, leurs résidus sont 
les m racines de la congruence proposée. Dans le cas 
contraire, si Ton a, par exemple, 

a étant premier avec p, il vient, en divisant par a"', 

a*»^! (mod./y); 

par conséquent, a est racine d'une congruence binAme 

dr*==i (mod./>^ 

de degré n inférieur à m. De là résulte cette proposi- 
tion : 

Théorème III. — «5* a est une racine de la congruence 
x'^^=3 1 (mod. p)^ qui n'appartienne à aucune congruence 
de degré moindre x"==i (mod. p), les m racines de ta 
proposée seront les résidus des m puissances de a 

L'analogie de la théorie que nous exposons avec celle 
des équations binômes conduit naturellement à appli- 
quer la dénomination de racines primitii^cs d'une con- 
gruence binôme 

x^^ni (mod./?), 

dont le degré m divise p — i , à celles des racines de cette 
congruence qui n'appartiennent à aucune congruence de 
même forme et de degré moindre. Comme dans le cas 
des équations binômes, chaque racine primitive jotiit de 
la propriété de donner toutes les autres racines par ses 
diverses puissances. 

Il faut remarquer que, chaque racine non primitive 
de la congruence jr^rr^i (mod. />) appartenant à une 
congruence de même forme et de degré moindre, eiieap- 



SECTION III. — GHÀPITHE II. 6l 

partient aussi à une troisième congruence de même 
forme, et dont le degré divise celui de la proposée. 

309. Voici maintenant comment on peut établir Texis- 
tence des racines primitives. 
Considérons la congruence 

(i) ar'^Eisi [mod./7J, 

et supposons d'abord que m ne contienne qu'un seul fac- 
teur premier 9, que Ton ait 

toute racine non primitive de 

(2) x^^^i (mod.p) 

appartient à une congruence 

x*^i [mod.p), 

dont le degré est un diviseur de q^ et même de q^^^ ; 
et, par conséquent, cette racine appartient aussi à la 
congruence 

(3) x^^^'~i [mod.p). 

D'ailleurs les racines de (3) sont aussi racines de (2); 
leur nombre est 7"^*, par conséquent celui des racines 
primitives de la proposée est 

7»*— 7»^* ou <7«* (i— -)• 
Supposons maintenant m quelconque, et soit 

q, r, . . . , J désignant des facteurs premiers inégaux. 
Considérons les congruences 

(4) x^^^i [mod.p), x''^^i (mod./?j,..., ar* ^i [mod.p]^ 



62 COURS d'algèbue supérievbe. 

et désignons par a une racine primitive de la première, 

par b une de la deuxième, etc., par /une de la dernière. 

11 résuite du théorème démontré au n^ 307 que le résidu 

du produit 

ab, . .1 

est une racine primitive de la proposée 
(5} a:^'*'-^...*^^, (mod./7). 

Mais on peut aussi établir ce point de la manière sui- 
vante : il est d^abord évident que ab. . ,1, ou son résidu, 
est racine ; car on a 

ai^=Bi, b'^*=i, /'^=i (mod./j), 

et, par suite, 

(ab. . .1)^^''"' • -'^=1 (mod./?). 

Maintenant, si ce produit n'est pas une racine primitive 
de la proposée, il sera racine d'une congruence 

a^^i (mod. />], 

dont le degré sera un diviseur de m, et il y aura au 
moins un facteur premier de m, qui entrera dans d moins 
de fois que dans m. Admettons que le facteur ^ soit dans 
ce cas; alors divisera r/**^* /•* . . .5^, et, par suite, ab.^A 
sera racine de la congruence 

x^'^"*'"** • •' ^i (mod.^); 
on aura donc 

[ab, . .Z)'/'^''^*- • •'"*=i (mud.77): 

fl 

mais on a aussi 



SECTIOlf III. CnAPITRB II. 63 

et, par la division. 

On voit par là que a est racine des deux congruences 

et, par suite, de 

x^^^^^i (mod./)), 

puisque q^^^ est le plus grand commun divîseur entre 
les degrés des précédentes ; a n'est donc pas, comme on l'a 

supposé, une racine primitive de x^^^zbi (mod. p). 

Il est ainsi démontré que, si a, i, . . . , c désignent des 
racines primitives respectivement de la première, de la 
deuxième, etc., de la dernière des congruences (4)> le 
produit ab. • ,c, ou son résidu, est une racine primitive 
de la congruence proposée (5). En outre, en répétant ici 
le raisonnement dont nous avons fait usage au n^ 104, à 
Toccasion de Téquation binôme, on prouvera que toutes 
les racines, tant primitives que non primitives, de la 
congruence (5), sont représentées par la formule 

€ib . . . /, 

où l'on doit prendre pour a, i, . . . , / toutes les racines 
respectivement de la première des congruences (4), de la 
deuxième, etc., de la dernière; et que la même formule 
donne toutes les racines primitives, en prenant pour 
a, b, . . . , / les diverses racines primitives des congruences 
auxquelles elles appartiennent. Comme le nombre des 

racines primitives a est ^'^ ( i j > que celui des racines 

A est rM I )»•••» celui des racines /, ^^ ( i U on 



64 COURS d'algèbre supérieure. 

en conclura que le nombre des racines primitives de la 
proposée est 



m 



('-0(— 7)---(»-7)=^('»'' 



ce qui est le résultat déjà obtenu. 

Théorème relatif aux résidus des puissances dont le 
degré est un div^iseur de p — i . 

310. Théorème. — Le module p étant supposé pre^ 
mier et étant un div^iseur de p — i , soient x% et Ç deux 
nombres compris entre zéro et p ; si l'on a 

^•=5 (mod./?), 
on a aussi 

Ç • ==i (mod./?); 
et, réciproquement, si Von a 

Ç • =21 (mod./?), 

la congruetïce 

«•eisÇ (mod./?) 

a racines. 

La première partie du théorème est évidente ; car, s! 

Ton a 

x*==5 (mod.p), 

en élevant les deux membres à la puissance ^—z — 9 on a 



6 



j:^-*=:Ç • (mod./>), 

et, à cause du théorème de Fermât, 

p-J 
Ç • =Li (mod./?). 



SECTION III. CHAPITRE II. 



65 



Réciproquement, supposons que Ton ait ^ ==^1, ou 

retranchant chaque membre de cette égalité de xP^* — i , 

il vient 

P-i p-i p^i 

x/»-»— i-pQ = a-P-»-Ç • ={x^) • — Ç • . 

Or le second membre admet pour diviseur x^ — Ç ; il en 
est donc de même du premier membre xP"* — i — pQy 
et par conséquent , en vertu du théorème démontré 
au n^ 299, la congruence 

«• — Ç E= o ( mod. p ) 

a racines. Ce qull fallait démontrer. 

Corollaire. — Si p est un nombre premier, et qu'en 
décomposant p — i en facteurs premiers on ait trouvé 

les racines non primitives de la congruence 

xP—^ — iE=:o (mod./?), 

racines qui appartiennent toutes à l'une au moins des 
congruences 

Ri± Pzl Pzl P.-1 

X =11:1, j?'z=:i, X -iHzsi, ,.,, x iisi, 

sont des résidus de carrés, ou de puissances q y ou de puis- 
sances r , etc. , ou de puissances s ; et, réciproquement, 
tout nombre résidu d'un carré, ou d'une puissance q, 
ou etc., est racine de l'une des congruences précédentes 
et n'est pas racine primitiv^e du nombre premier p. 

Ce corollaire résulte immédiatement du théorème qui 

s. — Alg, sup,, u. . S 



66 COURS d'algèbre supériburb. 

précède; on peut ajouter que, parmi les nombres 

I, 2| ô, , , ,^ p I, 

il y en a la moitié qui sont des carrés (résidus de carrés ), 
la ^**"* partie qui sont des puissances y, la r'*"* partie 
des puissances r,..., la 5**"* partie des puissances s\ et, 
plus généralement, si Ton ne considère parmi ces nom- 
bres que ceux qui sont à la fois des puissances 2, ^ , r, ..., 
la 5**™* partie de ces derniers sera en même temps des 
puissances s. En efTet, les nombres qui sont à la fois des 
résidus de carrés, de puissances ^, de puissances r, ..., 
satisfont aux congruences 

p—i p-l ;>— 1 

X £131, x^=^i, x'^si^i, ... (mod. /?j 
et, par conséquent, sont racines de 

x*^'"e£zi (mod. pj: 

leur nombre est donc -^ ; pareillement, le nombre 

de ceux qui sont en même temps des puissances s 
— : il est donc la 5**"* partie du nremicr. 

311. La congruence 

(i) jrP-^^ ïL—o (mod./?) 


peut se mettre sous la forme 

\x * —i) \x * -4-iy=no (mod.j[>), 
et chacune des deux congruences 

(2) * — I :=:: o (mod. />), 

(3j j:*-f-iL:_:0 (mod./?), 



\ 



SECTION III. CHAPITRE II. 6'J 

dans lesquelles elle se décompose, a racines. En 

ontre, d'après le théorème du n^'SlO, chaque racine de 
la congruence (a) est un résidu de carré, ou un résidu 
quadratique ;diU contraire f aucune des racines de Téqua- 
lion (3) ne peut être le résidu d'un carré, et ces racines 
sont dites non-résidus quadratiques^ ou simplement non- 
résidus. 

Le nombre a sera donc résidu ou non-résidu quadra- 
tique, relativement au module premier p, suivant qu'il 
satisfera à la congruence (a) ou à la congruence (3), 

c'est-à-dire suivant que la division de a ' par p don- 
nera le reste -f- 1 ou le reste — i . Legendre a proposé 

de représenter ce reste par le symbole ( - j > en sorte que 
l'on a 



■fâ= 



-hi 



quand a est résidu quadratique, et 



( 



a\ __ 



-p) 

quand a est non-résidu. 

Il est évident que, si p est de la forme 4* -H i , les deux 
nombres a et — a sont en même temps résidus ou non- 
résidus. Au contraire, si p est de la forme 4* -H 3, l'un 
des deux nombres a, — a est résidu, tandis que l'autre 
est non-résidu. 

Si les nombres a et b sont tous deux résidus ou tous 
deux non-résidus, on a 

a^=±\, b^=±i, d'où (fl^)'=-hi (mod./?); 

par conséquent, le produit ab est résidu. Si, au contraire, 

5. 



68 COURS d'algèbre SUPëEICUEB. 

TuD des nombres aetb est résidu, et que l'autre soit non- 
résidu, on a 

p-i p—i jp-t 

<i'-r:z=i, 6*iz=z=i, d'où (a6)"i=— X (mod ^) : 

le produit ab est donc non-résidu. 
On exprime ce résultat par la formule 

et il est évident qu'on aura généralement 

On trouvera plus loin un beau théorème de Legendre 
qui permet de déterminer très-facilement le signe des 

expressions 1-1* 

Recherche des racines primitives d'un nombre premier . 

312. Le théorème du n" 310 fournit un moyen de 
trouver les racines primitives d'un nombre premier. 

Soient ^ un nombre premier ; a, //, r, ..., 5 les facteurs 
premiers inégaux de p — i, et écrivons les p — i nombres 

I, 2, j, j^, , . . ^ p I ; 

si Ton enlève de celle suite tous les résidus de carrés, de 
puissances q, de puissances r, etc., il ne restera plus que 
les racines primitives de p. 

Au moyen des carrés, on exclut d'abord la moitié des 
nombres; au moyen des puissances//, on exclura la y**** 
partie de ceux qui restent, et ainsi de suite. 

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver les 
racines primitives de 3i. 



SECTION III. CHAPITRE II. 69 

Écrivons les trente nombres 

11, 2, 3, 4i ^j ^' 7» S' 9» *^' 
II, 12, i3, i4» i5, 16, 17, 18, 19, 20, 
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 3o ; 

comme les facteurs premiers de 3o sont 2, 3 ejr 5, il suf- 
fira d'enlever de la suite (1) les résidus des carrés, des 
cubes et des cinquièmes puissances. 

Pour exclure les carrés, nous élèverons les nombres (i) 
au carré ; les carrés des quinze premiers sont 

i, 4i 9« >6« 2^1 36, 49i 64, 81, looy 121, i44t i^t >9^t ^^Sf 
et ils ont pour résidus 

(2) I, 4, 9, 16, 25, 5, 18, 2, 19, 7, 28, 20, 14, 10, 8; 

les carrés des quinze derniers nombres de la suite (i) don- 
neraient les mêmes racines, car on a 

(3i-A)«=A« (mod. 3i). 

Otant ces quinze nombres (2) de la suite (i), il restera 
les quinze que voici : 

(3) 3,6, II, 12, i3, i5, 17, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 3o, 

dont il faut maintenant supprimer les cubes et les cin- 
quièmes puissances. Chaque nombre déjà supprimé (2) 
satisfait à la congruence 

x^'^n^i (mod. 3i); 

donc sa puissance troisième et sa puissance cinquième y 
satisfont aussi, et, par conséquent, font partie des nom- 
bres déjà supprimés. D'après cela, les nombres de la 
suite (3) qu'il reste à rejeter sont des résidus de puis- 
sances troisième et cinquième de ces mômes nombres (3). 
Pour avoir les résidus des cubes de la suite (3), il suffît 
de multiplier les premières puissances par les résidus 



70 couas d'algèbre supériecbe. 

quadratiques que la suite (a) fait connaître et qui sont 

9, 5, 18, 20, 14, 8, 10, 7, 19, 2, 18, 25, 16, 4» n 
on aura ainsi les résidus cubiques suivants : 
27, 3o, 3o8, 240, 182, 120, 170, 147, 4*8, 46, 4^2, 65o, 432, ï 16, 3o, 

dont les résidus minima sont 
(4) 27» 3o, 29, 23, 27, 27, i5, 23, i5, i5, 29, 3o, 29, 23, 3o 

Il n*y en a que cinq de différents, comme nous le savions 
d'avance ; ce sont 

(5) i5, 23, 27, 29, 3o, 

et en ôtant ces nombres de la suite (3), il ne restera plus 
que les dix suivants : 

(6) 3, 6, II, 12, i3, 17, 21 1 22| 24» 26, 

dont il n'y a plus à rejeter que ceux qui sont des cin- 
quièmes puissances. Chacun des nombres déjà exclus 
satisfait à Tune des congrucnces 

jr^îz^i (mod. 3i , x*°:.3i (mod. 3i). 

Il en est donc de môme de sa cinquième puissance, qui, 
par conséquent, fait partie des nombres exclus : un 
nombre de la suite (6) ne peut donc être la cinquième 
puissance que d'un nombre de la môme suite. Pour avoir 
les résidus des cinquièmes puissances des nombres (6), 
il suffit de multiplier les résidus cubiques déjà formés par 
les résidus quadratiques correspondants, et de prendre les 
résidus minima des produits. Les résidus cubiques sont 

27, 3o, 29, 23, 27, i5, 23, i5, 29, 3o, 

les quadratiques 

9, 5, 28, 20, i4, 10, 7, 19, 18, 25; 



SBCTIOir III. — CHÂPITltB II. 7I 

les produits sont 

243, i5o, 812, 460, 378, i5o, 161, 285, 522, 750, 

et l'on trouve pour résidus des cinquièmes puissances 

269 26, 6, 26, 6y 26, 6, 6y 269 6. 

II n'y a ainsi, dans la suite (6), que deux cinquièmes 
puissances, comme nous le savions déjà, savoir : 

6, 26; 

en supprimant ces deux nombres, il ne restera plus que 
les huit racines primitives de 3i, savoir: 

3, II, 12, i3, 17, 21, 22, 24. 

313. La recherche des racines primitives ne peut guère 
s'eflectuer que par tâtonnements ; le procédé que nous 
venonsd'indiquer est presque impraticable dès que le mo- 
dule est un peu considérable ; aussi croyons-nous utile de 
faire connaître une autre méthode due à Gauss, et par 
laquelle on peut obtenir assez facilement une racine pri- 
mitive ; les autres racines primitives pourront être déter- 
minées ensuite, comme nous l'avons indiqué précédem- 
ment (n*> 306). 

On prendra arbitrairement un nombre a dans la suite 

2,3, "-f{p — i), 2 par exemple, et Ton déterminera sa 

période, c'est-à-dire la période des restes fournis par les 

puissances 

iiy a^y û', .... 

Si cette période a p — i termes, a sera une racine primi- 
tive; mais, si la période a moins de p — i termes, on 
prendra un autre point b qui ne soit pas compris parmi 
les restes de la suite (i), et Ton cherchera de même la pé- 
riode deb. Si cette période de b a.p — i termes, b sera 
racine primitive ; mais supposons qu'il n'en soit pas 



7^ COURS d'alGEBBE SUPéniEURB. 

ainsi. Désignons par/2 Texposant auquel a appartient^ et 
par m celui auquel appartient b\ comme les restes de la 
suite ( I ) comprennent tous les nombres qui appartiennent 
à Texposant/Zy et, pour la même raison, ceux qui appai^ 
tiennent à un exposant sous-multiple de/i, le nombre m 
ne sera pas un diviseur de n. Mais il peut être un mul- 
tiple de Jiy et, quand ce cas se présente, la connaissance 
de & aura avancé la solution de la question, car ce nombre 
appartient à un exposant plus élevé que celui auquel a se 
rapporte. Supposons que m ne soit égal ni k p — i ni à 
un multiple den; désignons par 5 le plus petit commun 
multiple de n et m, et décomposons ce nombre s en deux 
facteurs premiers entre eux rij m', qui divisent respec- 
tivement les nombres n et m. Voici comment cette dé- 
composition peut être eficctuée : on décomposera les nom- 
bres 72 et m en leurs facteurs premiers ; soit c Tun de ces 
facteurs premiers destiné à entrer dans j avec l'exposant y. 
Si c^ est diviseur de n seul, on fera figurer c^ dans //; si 
cT est diviseur de m seul, on introduira au contraire c^ 
dans m'; enfin, si c^ est diviseur commun de m et de n, 
on introduira c^ à volonté, soit dans m', soit dans nt\ on 
agira de même à Tégarddes autres facteurs premiers dei. 
On aura ainsi s = n'nîj avec n-=vl e^ Tn=z rrlfy e et / 
étant des entiers. Cela posé, je dis que le nombre à* appar- 
tient à l'exposant /i', relativement au diviseur^; en effet, 
la puissance /i'»*™« de a^ est a", et elle donne en consé- 
quence le reste i; il n'y a pas d'ailleurs d'exposant v in- 
férieur à w' tel que (rt^)* ou a'*^ donne le reste i, puisque 
ve est inférieur à n et que a appartient à l'exposant n. 
On ferait voir de même que &/ appartient à l'exposant m\ 
et il en résulte (n**307) que le produit a^, bf ou le résidu 
de ce produit appartient à l'exposant nJn'=.s. 

La méthode que nous venons d'exposer conduit, dans 
tous les cas, à un nombre qui appartient à un exposant 



SECTION III. — CHAPITRE II. ^3 

plus élevé que celui auquel appartient le nombre a duquel 
on est parti. En poursuivant la même marche, on arri- 
vera donc certainement à un nombre appartenant à l'ex- 
posant p — I ; ce nombre sera une racine primitive de p. 
Mais, dans la plupart des cas, il se présente des circon- 
stances particulières qui permettent de simplifier Tappli- 
cation de la méthode. 

314. Premier exemple. — On demande une racine 
primitive du nombre premier y i . 

Prenons le nombre 2 et cherchons sa. période. A cet 
effet, on formera la série des puissances de a ; chacune 
d'elles s'obtient en multipliant la puissance précédente 
par a; mais, avant de faire cette multiplication, il faut 
avoir soin de retrancher 71 de la puissance qui sert de 
multiplicande, lorsque celle-ci est supérieure à 71. On 
trouve que la période de a a 35 termes qui sont 

2, 4, 8, 16, 3?., 64, 57, 

43, i5, 3o, 60, 49, 27, 54, 

• (i) { 37, 3, 6, 12, 24, 48, 25, 

5o, 2g, 58, 45, 19, 38, 5, 

10, 20, 4^> 9> 18, 3G, I, 

Le nombre 2 n'est donc pas racine primitive de 7 1 , et il 
appartient à l'exposant 35 ; mais il est facile de voir que 
le complément de 2 à 71, c'est-à-dire 69^ est racine pri- 
mitive. En effet, de l'identité 

on tire 



69^^ 



2 



3 



(mod. 71], 



d'où il résulte que la suite des restes fournis par les puis- 
sances de 69 pourra se déduire de la suite des restes des 



y 4 COURS d'algèbre supérieure. 

puissances de a; il suffira effectivement de remplacer, 
dans cette dernière suite, les restes de rang impair par 
leurs compléments à 71, sans rien changer aux restes de 
rang pair. Dans la suite des restes fournis par les puis- 
sances de (2) et dont la première période est Tensemble 
des nombres (i), le reste i occupe les rangs 35,7©, ...; ce 
reste 1 n'apparaîtra donc qu'au 70* rang, dans la pé- 
riode de (ip, et en conséquence 69 est racine primitive. 
Formons la période de 69 en suivant la marche que nous 
venons d'indiquer, c'est-à-dire en prenant deux fois la 
période (1) du nombre 2 et en remplaçant les termes de 
rang impair par leurs compléments à 71, on trouvera: 

69, 4, 63, 16, 39, 64, i4» 

43, 56, 3o, II, 49. 44» 54, 

34, 3, 65, 12, 4?» 48» 46» 

5o, 4^» 58, 26, 19, 33, 5, 

61, 20, 3i, 9, 53, 36, 70, 

2, 67, 8, 55, 32, 7, 57, 

28, i5, 4^» 60, 22, 27, 17, 

37, 68, 6, 59, 24, 23, 25, 

21, 99, i3, 45, 52, 38, 66, 

10, 5i, 4o, 6:>., 18, 35, I, 

et ceux des nombres du tableau (2) dont les rangs sont 
marqués par des nombres premiers à 70 seront les racines 
primitives de 71. Les 24 racines primitives de 71, dans 
l'ordre où elles se présentent comme restes de puissances 
de 6i), sont ainsi 

69, 63, 56, II, 44» 65, 47» 4^*» 
33, 61, 3i, 53, 67, 55, 7, 28, 
22, 68, 59, 21, i3, 52, 62, 35; 

la plus petite de ces racines primitives est 7. 



SECTION m. — CHAPITRE II. y S 

315. Second exemple. — On demanda une racine 
primitiife du nombre premier 78 . 

On formera, comme précédemment, la période da 
nombre a; on trouve ici que cette période n'a que 9 ter- 
mes et qu'elle se compose des nombres 

2, 4» 8, 16, 32, 64, 55, 37, I; 

le nombre 2 appartient donc àTexposant 9, relativement 
à 73. Comme 3 ne fait pas partie de la suite précédente, 
nous formerons de même la période de 3; celle-ci se 
compose des 1 2 termes suivants : 

3, 9, 27, 8, 24, 72, 
70, 64, 46, 65, 49, i; 

en sorte que 3 appartient à l'exposant 12. Le plus petit 
multiple commun des nombres 9 et 1 2 étant 36, la mé- 
thode du n^ 307 fera connaître un nombre appartenant à 
Texposant 36. Cet exposant 36 est le produit des facteurs 
9 et 4 qui sont premiers entre eux et qui divisent respec- 
tivement 9 et 1 2 ; les quotients de ces divisions sont i 
et 3; par conséquent le nombre 2X3' ou 54 appartient 
à l'exposant 36. Formons la période de 54, on trouve les 
36 termes suivants : 



54, 69, 


3, 16, 61, 


9' 


48, 


37, 27, 


7», 38, 


8, G7, 41, 


24, 


55, 


5o, 72, 


»9i 4» 


70, 57, 12, 


64, 


25, 


36, 46, 


2, 35, 


65, 6, 32, 


49. 


18, 


23, I, 



qu'on obtient très- facilement en remarquant qu'un terme 
quelconque se forme en multipliant par 3 celui qui le 
précède de 3 rangs et en prenant le résidu du produit 
obtenu, relativement à 73 ; cela résulte de ce que 3 est le 
cube de 54 diminué d'un multiple de 73. Maintenant le 
nombre 5 ne fait pas partie du tableau précédent, mais 



y6 corRS d'ilcèbre svpëkielih. 

son carré 5* ou aS s'y trouve el il y occupe un rang mar- 
qué par le nombre 23 qui est premier à 73. Il résulte de 
à que 3* appartient àlVxposant 36; l'exposant auquel 5 
Lppartienl est donc égal à 36 x 3 ou à 7a; eu d'autres 
rmcs, 5 est une racine primitive de 73. 

3lti. Nous donnons ici une Table dans laquelle on 
trouve b plus petite racine primitive pour chacun des 
nombres premiers inférieurs à 100. 



Nombres prfmiprbJ .1 i - 

1 1 1 


J,. 

1 


_ 


il 


^ 


3i Î7 


1' 


H«ii.n. prinilÎTC 7 > 3 


_ 


3 ï 5 




3 ï 


6 


Kombreiiircmicn. ilU: ôJ 


is 6. 


5, ^, ,3 


79 «âlfla 


« 


RicinoprimiliYM. 3 .U i 






5 


3 ,13 


5 



Et à cette occasion nous présenterons les remarques 
suivantes : 

i" Si /'est de la forme 4'''^t et que a soit racine pri- 
mitive, — a est aussi racine primitive. 

a*" Si p est de la forme 4^-1-3, a cl — a ne peuvent 
étro en même temps racines primitives. 

En effet, tout nombre qui n'est pas racine primitive, par 
rapport à p, satisfait à une congnionce telle que 



X ^=1 {moû.p), 

6 étant un diviseur premier de p — t. Lorsque 

p =^4^ + 1, — ■- est un nombre pair, et les racines de 

la précédente congrucncc sont, deuxà deux, égales et de 
signes contraires, ou complémentaires au module. En 



SECTION III. — CHAPITRE II, 77 

second lieu» lorsque ^ = 4^ + 3, si a satisfait à la con- 

gruence x * =^=±i (mod. p), le nombre — a satisfait 

àx * = =P I (mod. p) ; donc Tun au moins des nombres 
a et — a n'est pas racine primitive. 

Des racines primitives dans le cas où le module est égal 
à une puissance d'un nombre premier impair, ou 
égal au double d'une telle puissance. 

317. Théorème I. — Si p est un nombre premier im- 
pair, et que g soit une racine primitii^e pour le module p*, 
g ou son résidu minimum, relatii^ement à p, sera égale- 
ment racine primitiv^e pour le module p. 

En effet, désignons par n l'exposant auquel appar- 
tient gy relativement à p^ on aura 

g^^ni (mod./?), 
ou 

h étant un entier. En élevant cette égalité à la puis- 
sance py il vient 

P , pi P — ,. , 

dansle second membre de cette formule, tous les termes, 
à l'exception du premier, sont divisibles par /?^; on a donc 

X"! étant un nombre entier. On trouvera de môme, par 
des élévations successives à la puissance /?, 

> 



yS couns d'algèbie supÉaiEuas. 

k2, .... Ar,.i étant des entiers. La deroière de ces éga- 
lités peut être mise sous la forme 

et elle montre que g ne peut être racine primitive, pour 
le module /?•, que si nr=p — i, et, dans ce cas, g est 
racine primitive de p. 

318. Théorème II. — Une racine primitive g du mo- 
dule premier impair p est racine primitii^e pour le mo- 

dule p", V étant ]>i, lorsque n'est pas divinble 

par p. Au contraire, gnest pas racine primitii^e pour le 

gp—^ I 

module p% quand est divisible par p. 

En clTet, désignons par t l'exposant auquel g appar- 
tient relativement au module p"; on aura 

g^EEZHi (mod./?*), 

et par conséquent 

g^~~t (mod./?). 

Comme g est, par hypothèse, racine primitive de p, la 
congruencc précédente exige que t soit un multiple de 
/; — I ; d'ailleurs t est un diviseur de 

donc on a 

X étant un nombre inférieur ou égal à v — i. 

Cela posé, désignons par i Texposant de la plus haute 
puissance de p qui divise gP^^ — i , on aura 

A étant un entier non divisible par ^; on a ensuite, 
eoniuieau numéro précédent, par des élévations succès- 



SECTION III. — CHAPITRE II. 79 

sîves à la puissance p, et en remarquant que z ne peut 
être nul. 



jt|, k%, ..., X*x étant des entiers non divisibles par/?. 

On voit, par ces formules, que la plus petite des va- 
leurs de X telles, que Ton ait 

^p\i»-i)Ei-i (mod.p*), 
est 

X ziz V — /. 

Donc on a 

X = v~l 

si * = I , et 

> -<v — I 

si i est > I . 

Dans le premier cas, g appartient à l'exposant f (p"), 
relativement k p*; en d'autres termes, g est une racine 
primitive. Dans le second cas, g appartient à un expo- 
sant inférieuràç(p''),etiln'estpasen conséquence racine 
primitive. 

319. Théorème III. — ^ chaque racine primitwe 
pour le nombre premier p correspondent /?*"' [p — i) 
racines primitii^es pour le module p*. 

Soit a une racine primitive de p, prise entre zéro et 

p — i; l'expression des racines primitives congrues à a 

sera 

g~-a-h Ap, 

k étant un entier quelconque ; on tire de là 
^ i ^ i.a 



8o COXnS UlLGttWE SrPÉRIEiniB. 

SappOîOns d'abord que aP^' — i ne soil pas divisible 
par p^ : gP^* — i sera diWsible ou non divisible par p*, 

suivant que 

P 



OU 



"l-^-k 



sera divisible ou non divisible par /y. Si donc ou désigne 

par 2 le résidu minimum de — — par rapport à p^ 
el que Ton fasse 

h étant un nombre non di\isible par /^ tons les nombres 
g compris dans la formule 

seront, d'après le théorème II, des racines primitives 
pour le module p". 

Supposons en second lieu que a^~' — i soit divisible 
par /^* ; dans ce cas, gP^} — i ne sera divisible par p* que 
si  est divisible par p : d'où il résulte que la formule 

>) g-a-^-hp, 

où // désire un nombre non divisible par p^ ne donnera 
que des racines primitives de //. 

Si Ton ne veut avoir que les valeurs de g distinctes 
suivant le module //, on ne devra donner à h dans les 
formules (i) et (a) q"c ?(/>*"* )=/>'~^(/> — i) valeurs dif- 
férentes, et il en résultera un pareil nombre de racines 
primitives pour le module p^. 

FIrmarql'e. — Comme a est racine primitive dep, le 
nombre aP'^ — 1= \a * — ij \a " -f-i j ne peut étr« 



SECTION m. CHAPITRE II. 8l 

divisible parp^ que si l'on a 

a* -»-iEi30 (moâ. p^). 

Corollaire. — Le nombre des racines primitwes, pour 
le module p*^ est égal à 9[/>*~* {p — i)] ou à cpcp(/>*). 

En effet, d'après le théorème I, chaque racine primi- 
tive de p" est racine primitive de p; d'ailleurs, d'après le 
précédent théorème, chacune des (p(p — i) racines pri- 
mitives dep donne 9(p*~*) racines primitives de p*. Le 
nombre total de ces dernières est donc 

320. Théorème IV. — Le nombre premier p étant 
impair, toute racine primitive impaire dep"* est en même 
temps racine primitiv^e pour le module iip*\ et récipro- 
quement, toute racine primitii^e de ap' est racine pri- 
mitis/e pour le module p'*. 

Soit g un nombre impair non divisible par p, et dési- 
gnons par 71, n' les exposants auxquels g appartient rela- 
tivement aux modules respectifs /?% ^p* ; on aura 

(i) g^^=^\ (raod.^*), g^' ^^i (mod. 2/?*). 

La seconde de ces congruences donne 

(a) g^'^i (mod. /?*) 

et, par conséquent, n' est un multiple de n. En outre, 
g étant impair, on a g^"^ i (mod. 2) ; par conséquent, la 
première des congruences (i) donne aussi 

^"^zEi (mod. 2/?*), 
d'où il suit que n est un multiple de nf. On a donc n = n', 

S. — jéig^' sujf., H. 6 



83 COCIS d'àLGÈBEE StPélIEUftE. 

et le nombre g appartient an même exposant suivant les 
modules />\ ap*, 
Elnfin, comme on a 

si le nombre g est racine primitive pour Fun des mo- 
duleSy il Test aussi pour Fautre. 

CoK'iLLAiRE. — Il J o autant de racines primi titres 
pour le module o.p' que pour le module p". 

En eflety si Ton prend les racines primitives impaires 
de i)' cl qu'on leur adjoigne les racines primitives paires 
augmentées chacune de p^y on obtiendra f <^(/'*) racines 
primitives de ip'. 

321 . Exemple. — Considérons le cas de /? = 7. Les 

racines primitives de 7 sont 3 et 5 : on a 

3* -i-i 27, 5* -- i?.5 -- 27 rood. 49 ; 

donc 3 et 5 sont racines primitives pour les modules 7* 
et 2 ^' : 7', quel que soit Texposant v. 

Supposons V = 2y et considérons d^abord le cas du 
module 49- Comme on a 

y -..'\ 5' - 5 

- ^ — --:3l2:^4» .-r^IllGo— .2 mod. 7', 

7 7 

le nombre désigné par a au n'' 319 a respectivement les 
valeurs 4 et 2. Les racines primitives de 49 seront dono 
données par les formules 

^ -- 3 -f- 7 ^A H- 4 \ gr ^ 5 H_ ^ .A _^ a)^ 

où h est premier avec 7 ; en donnant à cette indéter- 
minée les valeurs 

— 4, —3, — a, — I, -M, 4-a 



SECTIOW III. CHAPITRB II. 83 

dans la première formule, et les valeurs 

— 2, — 1, H-l, -1-2, -+-3, -1-4 

dans la seconde, on obtient les deux séries suivantes, 
composées chacune de six racines : 

3, lo, 17, 24, 38, 4^1 

5, 12, 26, 33, 4^» 4?» 
ou 

3 91S 92S 937 !)19 Q31 

!^f9 Qll 917 '^Kl Q23 ^t 

Quant au module 2 X 49 ou 98, ses douze racines pri- 
mitives seront 

3, 17, 45, 59, 73, 87, 

5, 33, 47, 6ï, 75, 89. 

De la congruence x^ — 1^0 (mod. M), daiis le cas 
oh M est égal à une puissance d'un nombre premier 
impair ou égal au double d'une telle puissance, 

322. Le nombre p étant premier et impair, soit a une 
racine de la congruence 

(i) x^ — i=i?o [moà.p* ou 2/?'), 

on aura, à la fois, 

a* == I , aP*^^ (P-^ ) -13 I ( mod. />* ou 2/?* ) . 

Si donc 6 désigne Fexposant auquel appartient a, relati- 
vement au module M = p"* ou = ap", le nombre sera 
un diviseur commun des nombres 

par suite il divisera le plus grand commun diviseur n de 
ces mêmes nombres. D'après cela, comme on a 

a^Œi^i ( mod. p'* ou 2/>*' ) ; 

6. 



84 COURS d'algèbre supérieure. 

on aura aussi 

a^^zi ( mod. p" ou 2/?* ), 

ce qui montre que toutes les racines de la congraenee 
proposée appartiennent aussi à la suivante : 

(2) jp^ — 1^=0 (mod./?* ou 2/?"), 

dont le degré n est un diviseur de ;?*"* {p — i). 

Lorsque n est égal kp*^^[p — i), la congruence (a) 
devient 

( 3) x/»*"' (i^O — 1 = ( mod. p* ou ip% 

et nous savons qu'elle a pour racines les p^*{p — i) 
nombres premiers au module et non supérieurs à ce mo- 
dule; en outrc^ parmi ces racines^ il y en a ^ [/>*"* (p — i)] 
de primitives, et nous avons fait connaître un procédé 
pour les obtenir. Si a désigne une de ces racines primi- 
tives, les résidus minima des puissances 



(4) I, «. «', «'1 .... «'''"' f'^») 

seront précisément les racines de la congruence (3). 

Supposons que n soit un diviseur quelconque de 
p*~^ [p — 1 ) ; posons 

et considérons un terme quelconque a'^ de la suite (4)- 
Pour que Ton ait 

(a'")"s2i ou a'"'*E:=i (mod. p" ou 2/?*), 

il faut et il suffit que mn soit divisible par /10, c*cst-à- 
dire que m soit un multiple de 0, Donc la congruence ( 2 ) 
a précisément n racines qui sont les résidus des puis- 



8ECTIOV TII. GHAPITRIS IT. 85 

sances 

(5) a\ a^\ . . . , an\ 

suivant le module p* ou !^p*. On a ainsi ce théorème : 

Théorème I. — La congruence x^ — 1=30 [raoà.p* 
ou ip*) a autant de racines qu'il y a d'unités dans le 
plus grand commun diviseur des nombres t etp^^ [p — i) . 

Ensuite soil a'^ un quelconque des termes de la suite (5). 
Pour que Ton ait 

( «'• ; '■ uz: I ou û*'^ z— ; i ( mod. p* ou 1/?" ) , 

il faut et il suffit que Aid soit divisible parnd, ou Ai par /i. 
Si i est premier à /i, cette condition équivaut à celle de 
la divisibilité de k par n ; dans ce cas, a^ appartient évi- 
demment à l'exposant 71. Mais, si i et n ont un plus grand 
commun diviseur d supérieur à i , on aura 

( a'^ Y = ^a*' j £= I ( mod. p" ou 2p* ) , 

et a** appartiendra à l'exposant -• On conclut de là cette 
autre proposition : 

Théobème II. — La congruence x^e^hi (mod. p* ou 
2p')j dont le degré n est un diuiseur de p"^^ [p — 1), 
a autant de racines primitives, c'est-à-dire de racines 
qui appartiennent à l'exposant /z, qu'il j a d'unités 
dans le nombre y («) des nombres premiers et non supé- 
rieurs à 71. 

Du module a'. 

323. On a vu, au n° 305, que si v est > 2, la puis- 
sance de degré 2""* d'un nombre impair quelconque est 
congrue à l'unité, suivant le module 2\ Le seul cas de 



86 COURS d'algèbre supértbtjre. 

V = 2 fait exception; il y a efFcctivemenl, pour le mo- 
dule 4 9 une racine primitive égale à 3, ainsi que nous 
Tavons déjà dit. 

Supposons donc v ^ 2 ; alors Texposant auquel appar- 
tient, relativement au module a% un nombre impair 
quelconque, est une puissance de a dont le degré est égal 
ou inférieur à v — 2. 

Le nombre i est le seul qui appartienne à l'exposant i; 
occupons-nous des nombres impairs supérieurs à i« Cha- 
cun d'eux peut être représenté par la formule 

où A désigne un nombre impair etiun exposant qui peut 
être nul. Par des élévations successives au carré, on dé- 
duit de cette formule 

(2) { * ' ' 

^o Ara, . . . , Ar^ étant des nombres impairs. 

Supposons que 2^ soit Texposant auquel appartient le 
nombre a ; on aura 

/ -h 2 H- ^ ::^ OU ^ > v ; 

rinégalité ne peut avoir lieu si â est ^- 1, car autrement 

a^ "' — I serait divisible par 2% d'après les formules (2), 
et l'exposant auquel a appartient serait inférieur à 2^. On 
a donc 

I -I- 2 r_.:v--(î, 

et la formule (i) devient 

(3) û=:2-«/lhl. 



SECTION m. CHAPITRE TI. 87 

On peut donner à k les 2*~^ valeurs 

ety à cause du signe ambigu zh, il en résultera, pour a, 
deux séries composées chacune de 2*"^ valeurs ; on con- 
clut de là cette proposition : 

Théorème. — Si S désigne l'un des nombres 2, 3, 
4f . . .j (v — a), ilj- a 2* nombres qui appartiennent à 
l'exposant 2* suiv^ant le module 2'. 

Si le nombre a déjà considéré appartient à l'exposant 2, 
la première des formules ( 2 ) nous donne 

/ -i- 3 — - ou 7^- V, / -h 2 rrr OU ^ V — I ; 

mais, si Ton prend 1 -f- 2 ==3 v, comme a est supposé 
moindre que le module 2*, il faut faire A" :^ i dans la for^ 
mule (i) et remplacer le signe ambigu di par — : il y a 
donc trois nombres qui appartiennent à l'exposant 2, 
savoir : 

(4) 2'- *- - 1, 2*-^ -h I, 2^-- I. 

Les nombres qui appartiennent à Texposant v — 2, le 
plus élevé dans le cas qui nous occupe, s'obtiennent en 
faisant J = v — 2 dans la formule (3), et si Ton rem- 
place, en même temps, k par 2/r -f- i , on obtient les deux 

formules 

a^=^k -■- 3, a—.^h "h 5, 

qui donnent tous les nombres appartenant à l'expo- 
sant 2*~"*' Cela suppose cependant que v soit supérieur 
à 3; car, dans le cas de v--3, les nombres qui appar- 
tiennent à l'exposant 2 sont, d'après les formules (4)» 

3, 5, 7. 
Laissant ce cas de côté et supposant v]>3, désignons 



88 COURS d'algèbre supérieure. 

pari un nombre quelconque de la forme 8 /r 4- 3 et parc 
un nombre quelconque de la forme SA -f- 5. Chacune des 
deux suites 

b, b\ . . . , b^^\ 

donnera 2*~* résidus dislincts, puisque i et c appaJ!^ 
tiennent à l'exposant 2*~*; en outre, les puissances 
impaires de i et de c sont respectivement des formes 
8Â -h 3, 8 A -H- 5, tandis que les puissances paires de l'un 
et de l'autre nombre sont de la forme 8A-4-i; il*y a 
d'ailleurs 2*~* nombres de chacune des formes 

8k -4- I, 8X- -h 3, 8k -f- 5, 8>t -f 7 

entre les limites i et 2'' — i . Donc la série des puissances 
de b donnera tous les nombres 8A -f-3 avec les nombres 
8A -f- I ; pareillement, on retrouvera les nombres 8A 4- 1 
dans la série des puissances de c, avec les nombres 8 Ar + 5. 
Maintenant, si l'on change les signes des nombres 
8A -H- I et 8 A -t- 5 ou qu'on prenne leurs compléments au 
module 2*, il est évident qu'on obtiendra tous les nombres 
8A-t-7 et 8A4-3; on a donc la proposition suivante : 

Théorème. — Si l'on choisit un nombre quelconque 
de la /orme 8A H- 3 ou 8 A H- 5, qu'on prenne les résidus 
de ses 2*~* premières puissances par rapport au mo- 
dule 2*, et qu'on Joigne à ces résidus leurs compléments 
au module, on obtiendra la suite de tous les nombres 
impairs inférieurs au module. 

De la congruence x^ — i — - o ( mod. 2'). 

321. Considérons la congruence 
(i) -c' — I. -G (mod. 2*), 



SECTION m. CHAPITRE II. 89 

V étant ]> 2. Chacune de ses racines a est telle que Ton a 

a'zi=i/ «"""'ee:;! (mod. 2*) : 



l'exposant auquel a appartient divise donc les nombres t 
et 2*~~*y ainsi que leur plus grand commun diviseur; nous 
désignerons par 2' ce plus grand commun diviseur, et 
alors a sera racine de la congruence 

(2) j:* — 1^0 (mod. 2*); 

réciproquement la proposée admettra toutes les racines 
de la congruence (2). Il est évident que celles-ci ne sont 
autre chose que les nombres qui appartiennent à Tun des 
exposants 

Si t est un nombre impair, on a J = o et les con- 
gruences (i) et (2) n'admettent pas d'autre racine que 1. 
Supposons 0^0; nous avons vu que, si fx est ^ i, il y 
a 2** nombres qui appartiennent à l'exposant 2*% et qu'il 
j a 3 nombres appartenant à l'exposant 2 ; le nombre des 
racines de la congruence (2) est donc 

1 H- 3 -f- 2* -^ 2» -h . . . -i- 2*, 

ou 2^*. On a ainsi cette proposition : 

Théouème. — Si t est un nombre pair, le nombre des 
racines de la congruence x^ — i ^i;o (mod. 2*) est égal 
au double du plus grand commun dii^iseur des nombres t 
et qT-^. 

Ces racines formeront deux périodes; car désignons 
par c un nombre appartenant à l'exposant 2*~*, et posons 

a £z^c''~' (mod. 2*), 
il est évident, d'après les développements qui précèdent, 



90 COURS d'algebue supérieure. 

que les racines des congruences (i) et (2) pourront être 
représentées par 



— <2, — a*, - a^y .... — tf* . 



De la congruence x'e^i, dans le cas d'un module 

quelconque. 

325. La congruence 

(i) x'— i==r!o (mod. M), 

dans le cas d*un module composé quelconque, se ramène 
facilement aux cas que nous venons de considérer. 
Soit, en effet, 

p, q, Ty , * , étant des nombres premiers inégaux. Il est 
évident que toute racine de la congruence proposée doit 
satisfaire à la même congruence 

(2) j:'— izn-o, 

suivant chacun des modules p^y q^y r^, .... Réciproque- 
ment, si Hj h y c. . . . désignent des racines de la précédente 
congruence suivant les modules respectifs^*, q^y z'^, ..., 
et que Ton détermine le nombre x de manière que Ton 

ait 

j-ETTfl (mod./?''\ 

x-..b (mod.^i*;, 
a-r^ c (mod. /^., 



ce nombre x satisfera à la congruence (2) sui\ant chacun 
des modules />*, q^y r^ el, par conséquent, il satis- 
fera aussi à la même congruence prise suivant le mo- 
dule M. 



SECTKKN m. CHAPITRE II. 9I 

D'après cela, la recherche des racines de la congnience 
proposée est ramenée à la résolution de congruences dont 
le module est une puissance d'un nombre premier et au 
problème dont nous avons donné la solution au n^ 290. 

Des indices. 

326. L'existence des racines primitives, pour un mo- 
dule M égal à une puissance d'un nombre premier im- 
pair ou égal au double d'une telle puissance, entraîne 
des conséquences très-importantes que nous devons pré- 
senter ici. 

Soit a l'une quelconque des racines primitives ; les 
puissances de a donneront tous les nombres premiers au 
module. Si donc N désigne l'un quelconque de ces nom- 
bres, on aura, pour certaines valeurs de /2, 

û»==N (mod. M). 

Chacun des nombres n ainsi déterminés prend le nom 
d'indice du nombre N, et la racine primitive a est dite 
la base des indices. 

Un nombre a une infinité d'indices, mais tous ces in- 
dices sont congrus suivant le module cf (M) ; on peut donc 
se borner à considérer V indice minimum qui est l'un des 

nombres 

o, I, 2, . . ., 9>(M) — I. 

Il est évident que l'indice minimum de l'unité est zéro. 
Si l'on a calculé les indices des nombres N premiers 
à M, au moyen de la base a, et que Ton veuille prendre 
pour base une autre racine primitive a!, on pourra 
obtenir facilement les indices qui se rapportent à cette 
base. Car soit e l'indice de la nouvelle base a', dans le 
premier système ; on aura 

a'^^-.a^ (mod. M}, 



9^ corRs D'ÂLcÈBmB supésiEcmE. 

et si ;i et n' sont les indices d^un même nombre relatifs 
aux bases respectives a et afj on aura 

fl'»'stf- ;iDod. M\ 



ou 



fl'''=irtf» (mod. M ; 
ce qui exige que Ton ait 

n ezzzn ou n zzz - [mod. o(M)], 

puisque e est premier avec 9 (M). 

Par conséquent, les nouveaux indices s'obtiendront en 
divisant les anciens par l'indice de la nouveUebase relatif 
au premier système. 

327. Les propriétés des indices sont analogues à celles 
des logarithmes; elles découlent toutes de la proposition 
suivante : 

Théorème. — U indice d'un produit de plusieurs fac^ 
ieuis, pris suis^ant le module M, est congru^ suivant le 
module 7 (M), à la somme des indices des /acteurs. 

En eflet, soient a, 6, y, . . . les indices des nombres A, 
B, C>, . . . , dans le svstème dont la base est a. On aura 

a«.j2A, tf*:_:B, a^ — C, ... ,mod. M}, 

et, en multipliant toutes ces congruences, il vient 

fl*-*-*^* -ABC. . . >od. M), 

ce qui montre que Tindice minimum du produit ABC... 
est le résidu de a -r- 6 -i- y -î- . . . relativement à cj> (M}. 
On a donc 

ind. (ABC. . . =T3ind. A-l-ind. B-f-ind. C-h. . . [mod. f (M)]. 

Corollaire I. — L'indice d'une puissance d'un nom- 
bre, suiv^ant le module M, est congru, suivant le module 



SECTION m. — CHAPITRE II. qS 

cp(M), au produit du nombre par l'exposant de la 
puissance. 

CoKOLLAinE II. — L'indice du quotient de deux nom- 
bres, suii^ant le module M, est congru, suis^ant le mo- 
dule o^ [TA), à l'excès de (indice du premier nombre 
sur l'indice du second. 

En eflety régalité 



entraîne 



|XB=1 



ind. - -4- ind. Bï^ind. A [mod. y (M)], 



B 
ou 

ind. - 5^ ind. A — ind.B [mod. y (M)]. 

On voit, d'après cela, que si l'on a deux Tables dont 
Tune donne les indices des nombres pour chaque module, 
et dont l'autre fasse connaître les nombres qui répondent 
à des indices donnés, on pourra résoudre facilement les 
congruences du premier degré, puisqu'on peut les ra- 
mener à d'autres dont les modules soient des nombres 
premiers ou des puissances de nombres premiers. 

Usage des indices dans la résolution des congruences 

binômes. 

328. Les racines de la congruence binôme 
(i) x'e-A (mod. M) 

peuvent, si l'on veut, être représentées par la formule 

(2) x^z^yX (mod. M]; 

le module M est, comme précédemment, une puissance 



94 coL'RS d'algèbre supériecrb. 

d'un nombre premier impair ou le double d'une telle 
puissance. Il s'agit de déterminer les nombres compris 

ainsi dans le symbole \ A (mod. M). 

La congruence (i) équivaut, d'après ce qui précède, à 
la suivante: 

(3) /. ind. xz^ind. A [mod. î>(BÎ)]; 

on est donc ramené y si Ton possède une Table des indices, 
à la résolution d'une congruence du premier degré. 

Lorsque t est premier avec ç(M), la congruence (3) 
donne pour ind. x une valeur unique, et par suite la 
proposée (i) n'a qu'une seule racine. Mais, lorsque t et 
({«(M) ont un plus grand commun diviseur i supérieur 
à I, la congruence (3) n'est possible que si ind. A est 
divisible par 3, et, dans ce cas, la congruence (i) a (} ra- 
cines. 

Supposons, par exemple, A = i; la proposée devient 

ae'^l (mod./?* ou 2/?*), 

et l'on en tire 

i, ind. X ==2 o [mod. p"^^ (z' — i )]• 

Si donc d est le plus grand commun diviseur des 
nombres t et/>*~'(yj? — i), on aura ces valeurs de ind. x: 

md.JTtn 9 2 ^ 9 ..., O 9 

desquelles on conclura ensuite les d valeurs de x. 

Démonstration d'un théorème de Lagrange. 

329. Nous ne pourrions, sans sortir des limites que 
nous nous sommes fixées, développer ici toutes les con- 
séquences de la tlicorie qui vient d'être exposée. Mais 



SECTION m. CHAPITRE II. gS 

nous en ferons cependant deux applications dont la pre- 
mière a pour objet la démonstration d'un théorème im- 
portant de Lagrange. Cette démonstration est fondée sur 
le lemme suivant : 

Lemme. — Si le nombre premier p est supérieur à 5, 
on trousse dans la suite 

1, 2, 3, ...,(/?— i) : 

I® un résidu R suiv^i d'un résidu; 2® un résidu R' suii^i 
d'un non-résidu; 3® un non-résidu N suivi d'un non- 
résidu; 4" ^n non-résidu ^' sui\fi d'un résidu, 

Elnefiet, soient P un non-résidu ou de la forme 1,2, ..., 
(p — 2), et 7 l'associé de j3, c'est-à-dire un non-résidu. 
Je dis que les successions 

(P, p + i) et (7,7-4-1). 

qui ont leur premier terme (3 et 7 non-résidu, sont con- 
juguées. En effet, à cause de 

p7 = i [mod.p], 

si jS-f-i est non-résidu, 7 -f- i ^7 -h j37-^(P -f-i)7, 
(mod. p), 7 -f- 1 sera le produit de deux non-résidus : il 
est donc résidu. Si 3 -h i est résidu, la précédente con- 
gruence exprime que 7 + 1 est non-résidu. On a donc 

[l) N'rr:N. 

11 y a lieu de distinguer le cas de p =. ^g -hi, et celui 
de^ = 4^ H- 3. 

Supposons /? = 4^ "*- 1 et désignons par a, c^, . . . les 
résidus et par i, i', ... les non-résidus. Dans le cas 
que nous examinons et dont la somme égale /?, deux 
nombres sont résidus ou non-résidus; on peut donc poser 

p^a -i- a' = b -^ b'. 



q6 cours d*àlgèbre supérieure. 

Cela étant, chacune des successions entraîne l'autre 

[a,b) et {b',a'). 

SI Ton fait i = a -:- i, la précédente égalité se réduit à 
a'= b' -\- i; donc 

(2) R' = N'. 

En second lieu, comme il y a résidus et autant 

de non-résidus et que le dernier terme p — i de la suite 
est résidu y on a 

j, + v' = LzlL, 



o 



Ces dernières équations, jointes aux équations (i) 
et (2), donnent ainsi 

(4) { ' 

4 

Supposons p = 4y -h 3. Alors deux nombres complé- 
mentaires à p sont Tun résidu, Tautre non-résidu. On 
peut donc poser 

p z= a -I- b — . il' -;- b'; 

alors chacune' des successions 

[b,b'] et (a\a) 
entraîne l'autre et Ton a, par conséquent, 

(5) R-.N. 

Ensuite le dernier terme de la suite étant non-résidu, 



SECTION III. CnAPITRE TI. 97 



on a 



(6) 



'=- =- hl, 



R4-R 



^^^^=PlZl_,= P^zl 



Ces dernières équations donnent avec (i) et (5) 

N = N' = R = ^-^, 

R'='— 7 hl. 

4 

Remarque. — Ce lemme subsiste dans le cas de p= 3 : 
on a N = N' = R = o et R'= I ; il a lieu encore si ;? = 5 : 
on a N = N'= R'=: i et R = o. 

Corollaire. — Si C désigne un nombre quelconque 
non divisible par p, la proposition précédente subsiste 
qu€ind, à la suite 

(i) I, 2, 3, ..., (p — i), 

on substitue la suis^ante : 

(2) C, 2C, 3C, . ., i> — i)C. 

En effet, si C est résidu, deux termes correspondants 
des suites (i) et (2) sont à la fois résidus ou non-rési- 
dus. Au contraire, si C est non-résidu, les résidus de la 
suite (2) correspondent aux non-résidus de la suite (1), 
et inversement. 

330. Théorème. — Si p est un nombre premier sapé-- 
rieur à 5, A, B, C trois entiers positifs ou négatifs non 
divisibles par p^ on peut toujours trouver deux entiers t 

et u inférieurs à-^ tels que 

Af2H-Bw»4-G 

ioit divisible par p, 

s, — Alg. sup», [1. 1 



9^ COURS D'ALGtBBE SUPÉRIEURE. 

I** Si B et — C sont tous deux résidus, ou tous deux 
non-résidus quadratiques par rapport à p^ on peut 
prendre f = o ; en effet, il ne restera plus alors qu'à sa- 
tisfaire à la congruence 

Bii*-f-C==o (mod./?), ou B i/' -f- (C -t- Xy?) == o (mod./?), 

X étant un entier quelconque. Si Ton détermine cet entier 
de manière que Ton ait 



B 

ft étant un entier, notre congruence deviendra 

u^=i=li (mod./^), 

et il sera possible d'y satisfaire, car, B et — C étant l'un 
et l'autre résidus ou non résidus, fi est nécessairement 
résidu. 

Pareillement, si A et — C sont tous deux résidus ou 
tous deux non-résidus, on pourra satisfaire à la condi- 
tion énoncée, en prenant u = o, quel que soit le nombre 
premier p. 

a® Si p est ^ 5, on peut toujours satisfaire à la con- 
gruence 

Ar' ■+- Bii' -f- Clizfo (mod.y?), 

en prenant pour t et u des valeurs positives inférieures à 

-• En effet, soient « et 6 deux nombres qui soient res- 

2 

peclivcment de même espèce que -h A et — B ; je dis 
que deux nombres sont de même espèce quand ils sont 
l'un et Taulre résidus ou non-résidus. D'après le lemme 
qui précède, je puis choisir les nombres a et 6 de ma- 
nière que Ton ail 

C — K^:C (iiu)(l./>), 



SECTION III. CHAPITRE II. 99 

et si l'on désigne par X et /Jt des nombres entiers tels que 

a -+- py. € -h pu 

soient des entiers , ces entiers seront nécessairement ré- 
sidus; on aura donc 

a -^- p\ , 6 -^ ptx . , _ , 

— ^=^, -^^u^ (mod./.), 

ou 

a = A^, e==E— Bi/» (inod.p); 

et comme S — a ^ C, on aura aussi 

A/* -f- Btt* -h C ^ o (mod./? ), 

ce qu*il fallait démontrer. 

Remarque. — D'après ce théorème, la formule 
£* -h a^ 4- 1 comprend des nombres divisibles par /?, 
quand p est ^ 5. Mais la même chose a lieu encore dans 
le cas de y? = 5, pour t = o, u = 2 ; dans le cas de p = 3, 
pour 1= u = i, et dans le cas de p = 2, pour i = o, 
ii=i. D'ailleurs la formule t^~\-u^-hi est comprise 
dans cette autre plus générale, P^ -t-Q'^ 4- K.^ +- S^; d'où 
il résulte que tout nombre premier divise une somme 
de quatre carrés premiers entre eux, 

331. Cette conclusion va nous conduire à une consé- 
quence importante qui se présentera comme corollaire 
de la proposition suivante : 

Théorème. — Tout nombre qui divnse la somme de 
quatre carrés premiers entre eux est lui-même la somme 
de quatre carrés. 

Supposons que p divise 

A* -h B'^ -f- C« -f- D', 

7. 



9 oa 



lOO COmS D^ILGÊBRE SUPÉlIEUmE* 

et désignons par lii a, =h i, dzc^ dz d les résidus mî- 
uima des nombres A, B, C, D, de manière que a, by c, d 

soient compris entre zéro et -; alors p divisera 
Posons 

( l) a- -r- ^* -.- c* -4- éP ^^ pf/; 

a, i,c',rf étant moindres que -» on aura /y/ <^ 4 ( ) 

P'<P' 

Si l'on avait p^= i, p serait la somme de quatre carrés, 
et le théorème serait démontré; supposons donc/>'^;- 1. 
Comme // divise a^-î- b^-r- c^+d^y il divisera aussi la 
somme des quatre carrés 

(« - «/;*-i- (^ ~ e;;'/ + (c - 7;;';«-+- ./- (î/;';^ 

et si Ton détermine a, ^^y, c) de manière que chacun 
de ces carrés soit moindre que -> » on pourra écrire 

avec 

P <.P' 

Multipliant ensemble les équations (i) et (2), et fetisant 
usage de la formule établie au n" 2io, il vient 

ia^— hy -4-cÇ — ^/a;V''-4- /'7 -i- b^ -^ col — d€)^p'' 
-{- [aC — Ou — ro-h fl'/Yp^ 
-+- [a* 4- 6»-+-c«H- ^Z*— «a -f- bC-hcy -hdê)p'yz=:pp'^p''; 

divisant par//^, et ayant égard à Téquation (1), on a 

aâ — hy -; cÇ — ^a)*-4- ay -\ bo — col — d^Y 
4- ^a 6 — ^ a — cS-'r- dyY-\- \p — aoL— ÙC— cy — (ioj^=zpp*f 



8BGTION III. CnAPITRlS iC. 101 

on, pour abréger, 

(3) /l'» -4- 6'« -f- C'« H- €f » rrr pp\ 

Cette équation (3) a la même forme que (i), seule- 
ment jf' est <^jfn Si l'on a ;?''= i , Téquation (3 ) montre 
que p est la somme de quatre carrés, et le théorème est 
démontré. Sinon, en opérant sur Téquation (3) comme 
nous avons fait sur Téquation (i), on obtiendra une 
nouvelle équation de la forme 

OÙ Ton aura 

P'"<P"\ 

et l'on peut continuer de cette manière jusqu'à ce qu'on 
obtienne une équation de la forme 

ce qui arrivera nécessairement, puisque les nombres 

P y P 1 P » • •• 

sont des entiers qui vont en décroissant; d'où il suit 
enfin que le nombre p est la somme de quatre carrés. 

Corollaire. — Tout nombre entier est la somme de 
quatre ou d^un moindre nombre de carrés. 

En effet, tout nombre premier (n° 330) divise la somme 
de quatre carrés premiers entre eux ; il est donc lui-même 
la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés. 

En second lieu, un nombre entier quelconque est le 
produit de plusieurs facteurs premiers ; chacun de ces 
facteurs est la somme de quatre carrés ; donc leur pro- 
duit (n** 245) est lui-même la somme de quatre carrés. 



UM COURS d'algèbre SUPÊRIEUr.E. 

/ hior^me de Legendre sur la loi de réciprocité qui 
existe entre dciuc nombres premiers. 

332. La loi de réciprocité découverte par Legendre 
l'uuîiiiïto dans le théorème suivant : 

TiiéoRKME. — Si p et q sont deux nombres premiers 
impairs quelconques, on a 

Ci/1 sorte que 

à moins que p et q ne soient tous deux de la forme 
4 A -H 3 ; on a dans ce dernier cas 

\a\ dt^monstration que nous allons présenter est due 
à 1 lauss» ol elle a été reproduite par Legendre dans le 
tonu» Il do sa Théorie des nombres. Nous établirons 
«raluird le lenime suivant : 

Soient p un nombre premier positif' autre que ik^etq 
un entier quelconque non di^'isible fh:r p ; les produits 

>' 9^ 3V» 3y —^^^ 

donner\mt^ sui^imt le modul.' i\ — — rentes différents 

, /. . r • \ p — I . „ 

c\Wêpns entf^ tes limites ^ et -^ >ei si i on 

déui^ne f**tr y, le 'tomhre de ceiuc de ces restes qui s^tni 



SECTION III. — CHiPITUB II. I03 

En efiety soient 
(2) flj, Of, •.., a\ 

les X = ^ (i restes positifs, et 

(3j — *i, — ^t . .., — ^p 

les [x restes négatifs. 

Il est évident que l'un des restes ne peut être zéro ; de 
plus, deux résidus pris dans Tune des suites (2) ou (3) ne 
peuvent être égaux entre eux ; mais je dis, en outre, qu'on 
ne peut avoir a^ = i«. Effectivement, soient a ^, 6^ les 
multiples de </ qui ont fourni les restes a^ et — i^ ; Tégar 
lité a„t = bn entraînerait 

«y=i=— €y ou (a-h^j^Ei^o [mod*p)j 

ce qui est impossible, puisque q n'est pas divisible par p 
et que la somme a -h S est inférieure à p. Il résulte de 
là que la suite formée des nombres a cl b comprend les 
mêmes nombres que la suite 

I) 2, o, . . ., • 

2 

Les nombres de la suite (i) étant respectivement con- 
grus aux nombres compris dans les suites (2) et (3), le 
produit des uns est congru au produit des autres, et 
i*on a 

(1.2.3...^ )^* =-^ — i)-*«iûr,... flx ^i/>>2--* ^1* (mod. ^), 

et en divisant les deux membres respectivement par les 
produits 

1.2.3... 7 â^i <72 . . . ^X ^1 ^^t • • • ^jif 

qui sont égaux entre eux, comme on vient de le dire^ on 



I04 COUKS D^ILGÈBILE SITP^UECBC. 

aura 

q * ^ — I ^ 'iiiod./7\ 

ou 

.4. lj)=-.>. 

ce qui est le résultat annoDcé. 

Maintenant il est aisé de trouver une expression ans* 
1 ytîque du nombre fi. Dans ce qui va suivre, nous dési- 
gnerons par E'x'- le plus grand entier contenu dans une 
quantité quelconque Xy de manière que la différence 
X — E (x ) soit une quantité positive inférieure à i . Cela 
posé, soient aq et Sq les produits qui fournissent les 
restes a et — A, on aura 

p \ p : p p \p : 

ou, en multipliant par a, 

p \p ! P P \p ! p 

Comme 2 a et 26 sont inférieurs à p^ on voit que 

•^ (") " '^ (7) - 

sont respectivement les plus grands entiers contenus 

dans — - et — -\ on a donc 
P P 



» 






Donnons à or cl à o toutes les valeurs dont ces nombres 
sont susceptibles; les formules précédentes fourniront 



SECTION III. CHAPITRE II. lOD 

X + fx équations distinctes^ et, en ajoutant toutes ces 
équations, il viendra 

--a)--(^)---(^?> 

Mais, comme on n'a besoin de la valeur de yi que pour 
savoir si elle est paire ou impaire, on peut, dans cette 
formule, supprimer tous les termes de la seconde ligne, 
lesquels sont des nombres pairs, et nous écrirons sim- 
plement 

Si l'on pose 

nn / 77/7 \ 

0, 



p \p . 

on aura, en retranchant de ff chaque membre de cette 
formule, 

d'où il résulte que l'on a, quel que soit n, 

4^]=;'-'--('?)> 

en ajoutant au second membre le nombre pair aE ( — )» 
on obtient cette congrucncc 

(6) ^[■^^]-^'^-''^-^{j) ('"•^•"^- 



I06 COURS D^LGEBRE SUPÉRIEURE. 

Posons j) = ii± ly et donnons à n les valeurs i, 3, 
5, . . ,21 — I ), la congruence ( 5 ) deviendra, en faisant 
usage des résultats ainsi obtenus, 

,,™,;,-„*E(|).E^Î2).E{îi)....j 

Cette formule (7)3 lieu, quel que soit le nombre q, 
pourvu qu'il ne soit pas divisible par py et cette remarque 
nous sera utile plus loin; si (/ est impair, (/ — 1 est un 
nombre pair et la formule (7) se réduit à 



--a)-(7')-(^: 



;8) " \ "/ '-^ ' (mod.a); 



cette valeur de ^ peut être mise, comme on va le voir, 
sous une autre forme. Nous supposerons, dans ce qui va 
suivre, q <^ p\ alors le premier terme du second membre 

de la formule (8) est zéro, et le dernier terme est -^ , 

car on a 

P_— 1 ? __ 7— ' . Ps^±^ 
1 p 2 ' '} p 

Cela posé, soit n un entier donné égal ou inférieur à 

? et désignons par ui le nombre des termes de la 

précédente valeur de|U qui sont inférieurs à/i. I^e nombre 

m -I- I étant inférieur a /?, 1 expression ne 

pourra jamais se réduire à un entier, et Ton aura, en 
conséquence, 



SECTION m, — cnAPiTiiE II. 107 

d'où 

mq {m -\-\)q ^ 

p ^ p ' 

ou 



mq 


< n. 


1 


m 


-M 


)7. 












p 








P 








np 


„** 








m <., 


7 


'-.^ 


m -! 


-i; 



ces inégalités expriment que m est le plus grand entier 
contenu dans — ; on a donc 

Pareillement le second membre de la formule (8) con- 
tiendra E I - — ~ — ~ termes inférieurs à zi -j- i , si /i -h 1 

n'est pas supérieur à ? c'est-à-dire si l'on a 

/î<-î 

Dans cette hypothèse, notre expression de fx contiendra 
d'après cela 

'" ^ [--1^] - M?: 

termes égaux à n. En outre, le nombre total des termes 
de l'expression de a est -> et, comme le nombre de 

ceux qui sont intérieurs a est 11 I — ) • il y 

aura, dans fx, 



2 q 



termes égaux à 



Si l'on multiplie l'expression (9) par n, qu'on rem- 



io8 coms d'algîîbiie sirp^.RrFrn*. 

place ensuite n par chacune des valeurs 



2 3 (EZll- 

\ 2 



I b 



qu^on ajoute enfin tous les résultats avec le produit de 

l'expression (lo) par 9 il est évident qu'on repro- 

duira la valeur de fx. On a donc 



-[^{^)-(f)] 



( mod. 2], 



7-3 



2 
7 — 



[M;^f)-(^f)] 



ou y en réduisant 



„„ .='-i^'î=i -[E(£).E(^)^....E(î=iî)],«d. 

La formule (8) s'applique à un nombre premier im- 
pair p et à un nombre impair quelconque q\ si donc on 
suppose q premier et que Ton fasse 

(-) (?)=':-)• 

le nombre v sera donné par la formule (8) en permutant, 
dans celle-ci, les lettres /^ et q\ on aura ainsi 

(,3) .=.E(^)-.E(^)^...^E(i^£) («od..). 



SECTIOIV III. CHAPITRE II. IO9 

La comparaison des formules (i i) et (i3) donne 

u-hv^- (mod. 21; 

^ 22^' 

d^ailleurs on a, par les formules (4) el (12), 
donc 



/ 



ce qui est la formule que nous voulions établir. 

Remarque. — Il faut remarquer que le nombre — i 
est résidu de tous les nombres premiers 4* -h 1 , et qu'il 
est non-rcsidu des nombres premiers 4* -H ^• 

On a effectivement, par la défiaition-du n*' 311, 



— I 



cette égalité est d'ailleurs comprise dans notre for- 
mule (8); car, siy = — 1, chacun des termes du second 
membre de cette formule se réduit à — i, et l'on a 

iLzEn— =£. [mod. 2 . 

^ 1 2 ' 

On conclut de là que la congruence 

.r' -I- I E:=z o (mod./?) 

estpossible ou impossible suivant que/? a la forme 4*-+- i 
ou la forme 4* ^" 3. Si le premier cas a lieu, le nombre/^ 
divise la somme de deux carrés, et il est, par suite, la 
somme de deux carrés, résultat auquel nous a déjà con- 
duit le théorème de Wilson. 



IfO COURS D ALGÈBRE SUPéRIEURE. 

333. La formule (7) du ouméro précédent exige seu- 
lement, comme nous Tavons déjà dit, que q ne soit pas 
divisible par p. Si Ton y suppose 7 = a, les expressions 

E ( - ' • • • • qui y figurent se réduiront toutes à zéro ; on 
aura donc 

^ =H / EZE —y^— (mod. 2 ); 



d'ailleurs, — '- — est un nombre impair, et Ton peut écrire 

^ 8 (mod. a). 

Si, en second lieu, on pose ^ = — 2, les expressions 
E f - I -» E ( — Jî • . • de la formule (7) se réduiront toutes 
à — I , et Ton aura 

p — i [p-i^\]{p —\\ p^i 



ou 



{p — ^^(p — y f , . 

lizzi— ^ (mod. 2), 



D'après cela on a, pour tout nombre premier impair^, 

(/ -t-i. 7>- 1 / V Ip—itp—" 






pj 



/ — 2 \ ^ 



formules qui expriment le théorème suivant : 

Théorème. — Le nombre 4- a est résida quadratique 
de tout notnhre premier de l'une des formes 8/ -h 1, 
8A -f- 7 ; il est non-rcsidu de tout nombre premier de 
l'une des formes SA" -f- 3, SA -f- 5. 

Le nombre — 2 est résidu quadratique de tout 
nombre premier de l'une des formes SA -f- i, SA 4- 3; 



SECTION III. CHAPITRE II. III 

il est non-résidu de tout nombre premier de l'une des 
formes 8A -H 5, 8Â -f- 7. 

334. Il ne sera pas inutile de présenter ici quelques- 
unes des applications du théorème de Legendre. 
Ona, relative ment aux nombres premiers 3 et)5=3wd: i , 

(i)=,-.r-(i)=(-..'-(^), 

d'ailleurs, relativement au module 3, -l-i est résidu et — i 
non-résidu ; si donc on distingue les nombres premiers 
en quatre classes, savoir : 

12X--+-1, 12/ H- 5, 12/- -{-7, 12/+ II, 

on aura cette proposition : 

Le nombre -4-3 est résidu quadratique de tous les 
nombres premiers 1 2/r -f- 1 , ei^ 1 2Âr -f- 1 1 , et il est non- 
résidu de tous les nombres premiers i2Â'-h5, i2A'-f-7. 

Et, d'après ce qui a été dit au n°3H, on peut ajouter : 

Le nombre — 3 est résidu quadratique de tous les 
nombres premiers 12/r -h i, iilî -\- 'j, et il est nori-ré- 
sidu de tous les nombres premiers ia/r-|-5, i2Â-f-ii. 

Ces deux propositions ont été démontrées pour la 
première fois, par Euler, dans le tome VIII des Nouveaux 
Commentaires de Saint-Pétersbourg , 

Relativement aux nombres premiers 5 et/^, on a 

mais on a 

suivant que p est de la forme 5/2 dz i ou de la forme 



112 COURS d'âlgêbue SUPéEIErVZ. 

j/i ±: 2 ; si donc on distingue les nombres premiers dans 
les huit classes 

20X'— I, 20i^-^3, 20it-J-7, 20if-i-f>, 

2oX-r-II, 2oX-r-l3, 20i-t-l7, 20/- -h It), 

suivant le reste que donne leur division par 20, on aura 
cette proposition : 

Le nombre ^- 5 est résidu qumlratique de tous les 
nombres premiers de l'une des formes 20k —i , 20Â- -r- 9, 
2oA--î-ii, 2oA*-:-i9, et il est non-résidu de tous les 
nombres premiers de l'une des formes 2oAr4- 3, 20 A -f- 7, 
20Â -+- 13, 20A-Î-17. 

Et, conséquemment : 

Le nombre — 5 est résidu quadratique de tous les 
nombres premiers de l'une des formes 20A-Î- 1 , 20 A -^-3, 
20A -î- 7, 20A -i- 9, et il est non-résidu des nombres 
premiers de l'une des formes 2oAr-f-ii, 2oA-+-i3, 
2oA-f-i7, 2oA'-f-i9. 

De la congruence x' — N = o {mod. p), pétant 

un nombre premier. 

335. Le théorème de Legendre fournit le moyen de 
reconnaître, par un calcul facile, si la congruence 

.r- — N ==:i o ; mod.p ) 

est solublc ou non ; car la condition de résolubilité est 
exprimée par Tégalité 

Tout revient donc à déterminer le signe du symbole ( -j» 
Le nombre N peut toujours être rabaissé au-dessous de;;; 



SECTION III. CHAPITRE lî, Il3 

en outre, si ron a 

a^byCy ... étant des facteurs premiers inégaux, on aura 



{?) = (?) (F)e)--' 



mais on a évidemment 



si a est pair, et 






si a est impair; la détermination de ( - ] est donc ra- 
menée à celle des symboles plus simples 



î)' (7;" "■' 



a et b étant ceux des facteurs premiers de N qui figurent 
dans ce nombre avec des exposants impairs. 

Considérons Tun de ces symboles, ( — | par exemple. 

Sa valeur sera immédiatement connue (n°333), si (1 = 9., 

Dans le cas contraire, la recherche de I — j est ramenée, 

par le théorème de Legendre, à celle de ( — j • On opérera 

alors, à l'égard de ( — )> comme nous venons de le faire 

relativement à ( — J? et, en continuant ainsi, on tombera 

nécessairement sur des symboles dont la valeur sera 
connue. 

s. — yff^' f"P'f n. c 



Il4 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURS. 

Exemple. — Soit la congruence 

j:* -h 14591=0 (mod. 22366891 )• 

qui est l*une de celles que Legendre a considérées dans 
sa Tliéorie des nombres. 

Le module est ici un nombre premier 4 A* -h 3, et 14^9 
est lui-même un nombre premier de cette forme ; on a 
donc 

N\ _ / - 1459 \ _ _ I '4^9 \ _ / 22366891 \ 

^p) " 1 22366891 / "" \22366891 / "* v 1459 / * 

Le reste de la division de 22366891 par 14^9 est ^ii\\ 
donc 

\p) (t45^)' 

421 est un nombre premier 4A-I-1; par conséquent, 

puisque 4 X 49 est un carre. 

La congruence proposée admet donc deux racines. 

336. La congruence 

.r* — N=ii=o (mod.y?) 

ayant été reconnue possible, supposons qu'on veuille la 
résoudre. Nous distinguerons deux cas suivant que le 
module p est de la forme 4 A" -h 3 ou de la forme 4 A" 4- 1. 
Supposons d'abord 

p=^k-\- 3, 
la congruence proposée étant possible, on a 

N*— ir^o ou N'*-^* — I r:=o (mod./i], 



SECTION III. CHAPITRE II. Il5 

Cl, en multipliant par N, 

jf u+j __ j,î =^ o (mod./>), 

d*où il suit que les racines de notre congruence sont 

Soit actuellement le cas où p est de la forme 4Ar + 1 ; 
les nombres 4^^-+- 1 comprennent les deux formes 8 A-t- 1 , 
8A:+5, que nous allons considérer Tune après Tautre. 

Supposons 

la congruence proposée étant possible, on a 

N**+*--iE=o (mod./?), 

ou 

(N**-*->-hi)(N**+>— i)e^o (mod./?); 

on a donc 

N**-*-»— i=o (mod./>), 

ou 

N*^+*-M=i-o (mod./?). 

Si c'est le premier cas qui a lieu, on aura 

N*^-^«— N=HO (mod.77), 

et les racines de la proposée seront en conséquence 

x — dzN^-*-» (mod./>). 

Si au contraire le deuxième cas se présente, posons 
ÔET-N*"^» [moà.p), d'où Ô*=N*^-+-«s— N (mod./>], 

la congruence proposée deviendra 

X* -h 0*^0 (mod./?). 

Or le nombre pj qui est de la forme 4 A -H i , est la somme 
de deux carrés premiers entre eux. On peut donc poser 

8. 



Il6 COURS D*ALGkBIlE SUPÉRIEURE, 

d'où, t et u étant des indéterminées. 

On peut déterminer t ci u par la condition 

att~€ri=ô, 

et il est évident que la congruence proposée sera vérifiée 
en posant 

x:=zi= (a/ -f- €«) (mod.p). 

Il nous reste à examiner le cas où/? a la forme 8A:4-i. 
Alors il n*est pas possible, en général, de résoudre la 
congruence proposée sans tâtonnements, et Ton est obligé 
de calculer les termes de la suite 

p-hN, 2/7-+-N, 3/^-hN ,..., 

jusqu'à ce qu'on en trouve un qui soit un carré parfait. 
Cela ne peut manquer d'arriver lorsque la congruence 
proposée est possible, et, comme le carré que Ton cherche 

est moindre que 7 p^y le nombre des termes à calculer, 

dans la suite précédente, ne pourra jamais excéder jy?- 

Il peut arriver cependant, dans le cas qui nous occupe, 
que Ton puisse trouver directement les racines deman- 
dées. Soit, en effet, :>/ la plus haute puissance de 2 con- 
tenue dans/? — I et posons 

p = ?/a 4- 1, 

a étant un nombre impair et |u étant au moins égal à 3. 
La congruence proposée étant possible, on a 

K»'^"*«--i (mod. /?), 

et il se peut que Ton ait aussi 

N'_:lLi (niod./>). 



SECTION m. — cbapithe ii. 117 

Admettant cette hypothèse, on aura 

N«+«--d=N (mod.p), 

et, comme a est impair, on pourra procéder exactement 
comme nous l'avons fait dans le cas de /? = 8/r -h 5. 

Exemple. — Reprenons, avec Lcgendre, la con- 

gruence 

x' -h 1459=1=0 (mod. 22366891). 

Nous avons vu que cette congruence a deux racines. Ici 

Ton a 

p = i -r- 3 

et 

A -\- ï = 5591723. 

On trouve que 

c'est ce que montre l'égalité 

(7529774)*+ 1459 := 223G6891 X 2534885. 

De la congruence x^ — N :=h o, dans le cas d ^un module 

quelconque. 

337. Supposons d'abord que le module soit une puis- 
sance p'* d'un nombre premier impair />; la congruence 
proposée sera 

(i) x^ — N = o (mod./?*). 

Commençons par résoudre cette congruence, suivant 
le module /?, d'après la méthode du n° 336; si l'on dé- 
signe par ± \ les racines, on aura 

(2) Ç«— Nei-o (mod. /^) 

et, par suite, 

(?*— N)^=o (mod./?'). 



ii8 couBS d'algèbre supérieure. 

Or, en développant la puissance (Ç -r v^) > ^^ trouve un 
résultat de la forme 

(3) (Ç-4-v'Ny = «-h€VN, 
a et 6 étant des entiers, et il en résulte 

(4) (ç-v'N)*-«-6s/N, 
par suite 

(5) a«__Ne=:-(Ç> — N)*i=o (mod.y^*). 

La formule (3) ou (4) donne aussi 

a == ?" H Ç*^' N H- . . . , 

I .2 

I I .1.3 

ou, à cause de la formule (2), 

€=.ç- [■l4-'^^'^^^-4-...]^V-Ç>-t (mod./,), 

ce qui montre que p ne peut diviser aucun dos nombres 
a et o. Alors on pourra trouver deux entiers t et u, tels 
que Ton ait 

et en substituant cette valeur de a dans la formule (5), 

il viendra 

€'(/' — N -.0 [nvu\. p", 

ou 

(7) /* — >' (niod./;^ , 

d*oii il suit qu*on aura les deux racines de la congruence 



SECTION m. CHAPTTRF II. 1 I9 

proposée en prenant 

Remarque. — Lorsque le nombre N est un multiple 
de^ycas que nous avons exclu, la congruence proposée 
exige que x soit divisible par/?. Soit N=/7^'»IÏ', n étant 
le degré de la plus haute puissance de p^ qui divise N ; la 
congruence proposée ne pourra être satisfaite que si x est 
divisible parp". Posant donc x=p^z, elle se réduit à 

a« — N' = ( mod. /?^-"» ) . 

et celle-ci sera impossible ou n'aura que la racine z = o, 
si N' contient encore le facteur p, 

338. Considérons maintenant la congruence 

a:' — N^Ei^o (mod. 2*;. 

Soit 2*" la plus haute puissance de 2^ qui divise N, il est 
évident que x doit avoir le diviseur 2" ; posant donc 

notre congruence deviendra 

z»— N': :o (mod. 2^-2'»). 

D'après cela on peutsupposer queN soitimpaîr ou double 
d'un impair. Si N est double d'un impair, il est évident 
que la proposée n'est résoluble que dans le seul cas de 
V =:^ I, et l'on peut faire abstraction de ce cas. 

Soit donc N impair; si v =: 2, la congruence proposée 
se réduit à 

.r* — 1 = ou à X* -f • I -— o ( mod. 4 î 

la première est seule possible et n'a que les racines — i. 
Lorsque v est^> 2, la congruence proposée n'est possible 
que siN est de la forme 8Â -f- 1 , et l'on obtient facilement 



120 covRS d'algebue supérieuhe. 

une solution par des substitutions successives. Il faut 
remarquer qu'une solution particulière conduit à la so- 
lution générale. Car soit Xo une racine de la proposée, 
celle-ci pourra se mettre sous la forme 

(x — ^o) ( ^ -H •''o ) ^=^ o (mod. 2*); 
d'où 

l et u étant deux indéterminées. On tire de là 

t= 2^-'ttzJ:jroî 

u est arbitraire et les racines demandées sont données 
par la formule 

.r^dt-r^-f- 2*~*w (mod. 2."], 

Exemple. — Soit la congrucncc 

x*H-i5 = -o (mod. 2*'), 

la valeur j: = i satisfait à la congruence prise suivant 
le module 2* ; on posera donc 

cty en substituant, il viendra 

I H- r, -+- .{r; - o (mod. 2*). 

On voit que i4- Xj doit cire divisible par 4> et Ton fera 
en conséquence 

ce (jui donnera 

I — yj*, H- iG.rJ _ o (motl. 2*J, 

ou 

I — ^j-, rzo mod. 2*); 

celte dcrnicre congruence est du premier degré et elle 



SECTION III. — CHAPITRE II. 121 

a la racine 7 ; on fera donc 

et Ton en conclura X| = 27, a: = 217. Les racines de la 
proposée seront ensuite données par la formule 

jr z:^ zt. 2 1 7 H- 5 1 2 w, 

qui comprend les quatre nombres 

217, 295, 729, 807. 

339. Le cas général de la congrue n ce 

x' — N=^o (mod. M), 

suivant un module composé quelconque, se ramène aux 
cas précédents par un raisonnement déjà employé; car il 
est évident que tout nombre qui satisfait à la précé- 
dente congruence suivant le module 

Pt^fT, ... étant des nombres premiers inégaux, satisfera 
à la même congruence suivant les modules /?", (/^y r^, — 
Ensuite si a, i, c, ... désignent des racines de ces con- 
gruences respectives, on aura Tune des solutions deman- 
dées, comme nous l'avons dit au n° 323, à Toccasion 
d'un cas semblable, en déterminant le nombre jc de 
manière que Ton ait 

TZLia (mod./?*), .r-znh (mod.^»'], xLzc (mod./^^, ..., 
problème que nous savons résoudre. 



12^ COURS D*ALGi;Bniî SUPÉlllEUKE. " 



CHAPITRE IIL 

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ENTIÈRES D'UNE VARIADLE, 
RELATIVEMENT A UN MODULE PREMIER. 



Des fondions entières irréductibles, suivant un module 

premier. 

340. Je me propose de présenter ici avec des dcvelop- * 
pcments entièrement nouveaux une théorie importante 
que j'ai déjà exposée dans la précédente édition de cet 
Ouvrage, en me plaçant à un point de vue un peu diflTé- 
rcnt. Cette théorie se rapporte exclusivement aux modules 
premiers ; elle a été Tobjet d'un Mémoire présenté par 
moi à l'Académie des Sciences, le 4 décembre i865. 

Soient p un nombre premier, ^{x) et F(x) deux fonc- 
tions entières de x à coefficients entiers ; si Ton peut trou- 
ver deux fonctions entières ip(j:), x{^) ^ coefficients en- 
tiers et qui soient telles que l'on ait identiquement 

et, par suite, 

y[x) '^[x — "-F(-»*) (mod./>), 

nous dirons que la fonction F(j') est divisible par ff^x) 
suivant le module p, ou qu'elle est éj;ale, suivant le mo- 
dule p, au produit des fonctions '^(.r), 'if{jr). 

Supposons qu'une fonction entière 9(»r) soit ordonnée 
par rapport aux puissances décroissantes dej? ; si tous les 
coefficients sont divisibles par />, la fonction sera nulle 
suivant le module/;; dans le cas contraire, soita le pre- 
mier des coefficients qui ne sont pas nuls suivant le mo- 



SECTI017 III. CnAPITRE III. 1 13 

dule Pj on pourra trouver un entier a, tel que 

aai==ii (mod./?), 

et par conséquent le produit a(f[x) pourra se mettre 
sous la forme 

«?(') = F(-^)-+-/^xi-^). 

F(a:) désignant une fonction entière dans laquelle le 
coefBcient delà plus haute puissance de x est Tunité; on 
peut évidemment supposer que tous les autres coefR- 
cients soient rabaissés au-dessous de p. 

Une fonction entière F (x) à coefficients entiers sera 
dite irréductible suwant le module premier pj si elle n'est 
divisible, suivant ce module, par aucune fonction entière 
d'un degré inférieur au sien et si, en outre, le coeffi- 
cient de la plus haute puissance de x est égal à Tunité. 

341. TnéoBÈME I. — Si les deux fonctions <f{x) et 
^(x) n'admettent aucun dix^iseur commun, suwant le 
module premier p^ on pourra trouver deux fonctions 
entières U ef V, telles que l'on ait identiquement 

En effet, désignons para et i les coefficients de la plus 
haute puissance de x dans ç(x) et dans ^{x), on 
pourra poser 

A et B étant des fonctions entières dans lesquelles la 
plus haute puissance de x a pour coefficient l'unité. 

Cela posé, exécutons sur les polynômes A et B l'opéra- 
tion par laquelle on détermine le plus grand commun 
diviseur, en négligeant les termes multiplies par p et en 
ayant soin d'ajouter à chaque reste un polynôme de la 
forme /?^(x), choisi de manière qu'après celte addition 
le resie en question soit divisible par le coefficient du 



126 COURS dVlgebre supérieure. 

et Ton a 

OU 

f{x] 1- F(x)/i(j:) (mod. y?), 

/i{x) étant une fonction entière. 

Corollaire. — Si lafonclion entière F(x% irréduo 
tible suivant le module premier /?, ne dii^ise suivant ce 
module aucune des fonctions Çi (x), ^^(x), ..., Çm(jp). 
elle ne peut diviser la fonction 

congrue par rappor^t à p au produit des fonctions ^^f 

Cette proposition se déduit immédiatement du théo- 
rème qu'on vient d'établir. 

Remarques sur la décomposition d' une fonction entière 

en facteurs irréductibles. 

343. Si une fonction entière ^{x)y non congrue à zéro 
suivant le module p, n'est pas irréductible, elle sera dé- 
composable en facteurs irréductibles; en d'autres termes, 
on aura 

r(x), F|(x), ... étant des polynômes à coefficients en- 
tiers, irréductibles suivant le module pf x W ""^ fonc- 
tion entière et a le nombre par lequel il faut multiplier 
9(jr) pour réduire à l'unité le coefficient de la plus haute 
puissance de x, 

11 résulte du corollaire du théorème précédent que la 
fonction a (^(x) n'est décomposablc suivant le module p 



SECTION III. — chapithe III. 127 

qu'en un seul système de facteurs irréductibles ; car sup- 
posons que l*on ait 

les facteurs F ety étant supposés irréductibles. Le facteur 
irréductible F divise suivant le module p Tun des facteurs 
du premier membre, y par exemple, d'après le corollaire 
cité, et en conséquence il est congru à ce facteur, puisque 
celui-ci est lui-même irréductible. Remplaçant donc y 
parF-+-/?;t(j:), notre égalité prendra la forme 

la fonction x{^) ^^^^ être nécessairement divisible par F, 
et, en faisant la division, il vient 

/i/î-.. = FiF,...-f-/?x('^)- 

En poursuivant ce raisonnement, on voit que les fac- 
teurs F, F|, Fa, ... sont respectivement égaux k fj 
f\^f^i • • • suivant le module /?. 

344. Il peut arriver que plusieurs des facteurs irré- 
ductibles de la fonction a cj^ (x) = 4> (a:) soient égaux 
entre eux; dans ce cas, la fonction 4>{j:) a un diviseur 
commun avec sa dérivée. Supposons que l'on ait 

x;"x;«...x;ï'=*(^)+/7x(^), 

X|, Xa, ..., X;„ désignant des polynômes irréductibles 
suivant le module p et différents entre eux suivant ce 
module. Si Ton prend les dérivées des deux membres de 
cette égalité et qu'on représente par XJ la dérivée de X,, 
on aura 

\ ^\^ '"^rn~ (''lX| XjX8...X;„ -f-...-h/l;nX^XiXj...X;„_j) 



128 COtmS d'algèbre SUPÉniEURE. 

SI aucun des exposants n^ n^, ..., rim n^est un multiple 
de p, le facteur entre parenthèses n'est divisible, suivant 
le module p, par aucun des facteurs irréductibles Xj, 
Xo, ...,X,;i; car, pour qu'il fût divisible par X|, par exem- 
ple, il faudrait que X| divisât Tun des facteurs du pro- 
duit 

A , Xj X3 . . . Xj 



"•m * 



or cela est impossible, puisque XjjXj, ..., Xn, sont irré- 
ductibles et différents de Xi, et que le degré de X', est 
inférieur à celui de X|. Le produit des facteurs irréduc- 
tibles communs à <t(x) et à sa dérivée est donc 

-^1 -^i • • • ^m ' 

c'est le plus grand commun div^iseur de ces fonctions, 
suivant le module /;, et pour l'obtenir on suivra la règle 
ordinaire en négligeant dans chaque division les multiples 
de p qui se présenteront, et en ayant soin de ramener à 
l'unité le coefficient du terme le plus élevé de chaque 
reste, avant de prendre celui-ci pour diviseur. 

Si l'un des exposants, n^ par exemple, est multiple 
de /', le facteur X| entrera à la puissance n^ dans le plus 
grand commun diviseur. 

Désignons par V| le produit de ceux des facteurs X|. 
X2, ... qui figurent dans <t(a:) avec un même expo- 
sant /Z| , par Va le produit de ceux qui ont Texposant /ii, 
et ainsi de suite; on aura 

et, par un raisonnement identique à celui dont nous 
avons fait usage au n" 50, on prouvera que les facteurs 
V|, Vj, V3, ... peuvent être obtenus au moyen de sin»- 
pies divisions algébriques. 



SECTION III. CHAPITRE III. 1 29 

Des fonctions entières d'une variable, réduites suivant 
un module premier et suivant une fonction entière 
irréductible, 

3iS. Si Ton divise une fonction entière ^{oc) par un 
polynôme irréductible F(j?) d'un degré quelconque v, 
on obtiendra un quotient ^^{jc) et un reste qui pourra 
être représenté par y(j:) -\-p x W> f{^) étant une fonc- 
tion entière du degré v — i au plus dans laquelle les coef- 
ficients peuvent être pris, à volonté, entre les limites 

zéro et u ou entre — et -t- ^^ • Un aura ainsi 

'^ 22 



oa 



^(:r) ^f[x] -\- F(x) y(^) ( mod./?). 

La fonction/ (or) sera dite la valeur réduite de${pc)y 
suivant le module p et suivant la fonction irréduc- 
tible F(x). 

L'expression générale des fonctions réduites est 

chacun des coefficients ^o, «i, ... étant susceptible de 
recevoir/^ valeurs différentes, par exemple 

o, I, 2, 3,. . ., [p — i), 

!a fonction/(a') peut avoir ;7'' valeurs distinctes. Parmi 
ces valeurs il y en a p qui sont indépendantes de la va- 
riable x^ ce sont les p nombres 

o, I, 2, 3, . . ., [p ~ i). 

Théorème. — Soient X|, Xo, ..., X;;, m fonctions 
de X réduites, suivant le module p et suivant la fono- 

S. — A!g, sup,t H. 9 



i3o COURS d'algèbre supérieube. 

tion entière irréductible F(x). Soit aussi 

rf (X : = AoX'« -4- AiX"»-» 4- . . . -hA;„_t X H- A« 

une fonction entière du degré m delà variablelLy dans 
laquelle les coefficients sont des fonctions entières de x. 
Si les résultats de la substitution rfe Xj , X2, . . . , X^ à X 
dans ^(X) sont tous divisibles par ¥{x)y suivant le 
module p , on aura identiquement 

^(X) ^ Ao (X - Xi) (X - X,) ... (X - X,„) 

^ et y^ étant des fonctions entières, à coefficients entiers, 
des deux variables x et X. 

En effet, regardant X|, X2, . . ., X,„ comme des in- 
déterminées, désignons par ^1 (X) et R| le quotient et Je 
reste de la division de?(X) par X — Xi; soient de même 
^2 (X) et II2 1^ quotient et le reste de la division de ^1 (X) 
par X — X2, et ainsi de suite; en sorte que J';„(X) et R« 
exprimeront le quotient et le reste de la dernière division, 
savoir celle de ^m-\ (X) par X — X;„. Les égalités 

. c'f(x = X -X, )cf,(x;i -+-R„ 
( ^,;x. ^x -X0'î,(x.. -+-R,, 



I) 



* 



donneront, à cause dr 'f/«(X ) i^ Ao, 

. ;^^X;rz.iii-+-R,(x- x,;-4-R.v:x -x,^(x-x,;+... 

(2) ' -'-Rm.X X, . .(X - X,„_,) 

\ -T- \^^ '^A ■ - A| ...^A A,|; 'j 

et, si Ton remplace X successivement par X|, Xj, ..-i 



SECTION ni. — chApithe th. i3i 

Xm, il viendra 

,f(X,)=:R, + R,(X,-X,:, 
, ) ^(X,)=R,+R,(X,-X,; + R,(X,-X,)(X,-X,), 



(3) 



^{"^m = Ri -^' Rj [^m — Xi -h . . . 

Supposons maintenant que X| , X2, . . . , X^ désignent 
des fonctions entières de jc réduites, suivantle module/; 
et suivant la fonction irréductible F (or). Si ces fonctions 
sont distinctes, aucune de leurs différences deux à deux 
ne pourra être divisible par F(j:), suivaYit le module /?, 
et comme les premiers membres des formules (3) le 
sont, par hypothèse, les polynômes R|, R2? ...» Rm 
seront eux-mêmes divisibles par F (a:), suivant le mo- 
dule p. Alors la formule (2) prendra la forme 

l 5^(X; = Ao;X — Xi '. . .;X — X,;,) 
^^^ 1 +F(x)y(X,.r;^/>X{X,^), 

conformément à Ténoncé du ihéorcmc. 

ConoLLAiRE . — Soit ^(X) une Jonction entière des deux 
variables IL et x y du degré m par rapport à X, et dans 
Uu/uelle le coefficient de X"' n*est pas di\^isible, suivant 
le module Pj par la fonction irrc(hictibleV[x)\ si Von 
substitue successiy^ement à X les p" fondions de x ré- 
duites suii^ant le module p, et suiv^ant la fonction ^{x), 
parmi les p* résultats obtenus il y en aura m au plus 
qui seront div^isibles par F [x) suivant le module p. 

En effet, supposons les m fonctions de x, 

•^1» ^2^ . • • 1 "«*-m 

réduites, suivant le module p et suivant la fonction F(a:), 
telles que 

g- 



l33 COURS d'algèbre SUPÉ11IEUBC. 

soient di\'isibles par F(x) suivant le module/?. Alors la 
formule (4; aura lieu identiquement, et, si Ton y rem- 
place X par une fonction réduite Xi^^i distincte de X|y 
X29 • • • 9 Xmy on aura 

^ '\^m-^\ i = ^0 X^^i — Xi ; . . . (X,„+i — Xj„) 

OrF(x) .ne peut diviser suivant le module p le pro- 
duit des difl'érences X^.;-! — X| , X,„^i — Xj, ... ; donc 
^(X/n^i) n*est pas divisible, suivant le module, par le 
polynôme F(x ). 

Propriétés fondamentales des polynômes irréductibles 

sui\^ant un module premier. 

346. Théorème I. — Tout polynôme ¥[x) à coejfi* 
cients entiers et du degré v, irréductible suii^nt le 
module premier p, divise, suivant ce module, la fonc- 
tion xP* — X. 

L'expression générale des fonctions entières de x ré- 
duites, suivant le module p et suivant la fonction irré- 
ductible F^j:*)» est 



f^ .r \ = Oq H-tij jr -h «^ J-* H- . . . -4- a. 



1^^*. 



^0, rti, ..., a^^ étant des entiers compris entre zéro 

dp — I , ou entre — et H L une de ces 

' 22 

fonctions est nulle : nous en ferons abstraction et nous 

désignerons par 

(') Xj, Xj, Xj, •••) XpV_i 

les p" — I fonctions réduites différentes de zéro. 

Cela posé, désignons pary'(x) une fonction entière 



SECTION III. CHAPITBB III. l33 

de X non divisible par F(a:), suivant le module /7, et 
considérons les produits des fonctions (i) par y(j:), 
savoir 

(2) X,/(x), X,/(.r), .. ., Xp.«|/(x). 

Aucun de ces produits n'est divisible, suivant le mo- 
dule Pj par le polynôme irréductible F (a?), puisque les 
facteurs qui le composent n'admettent pas ce diviseur : 
la différence de deux termes de la suite (2) ne peut elle- 
même être divisible par F(a:), suivant le module;?, car 
cette différence est évidemment un terme de la suite (2). 
Si donc on prend les valeurs réduites des produits (2), 
suivant le module p et suivant le polynôme irréductible 
F(x), ces valeurs seront distinctes et aucune d'elles ne 
sera zéro; en conséquence, elles coïncideront, abstrac- 
tion faite de Tordre, avec les termes de la suite (1). 11 
résulte de là qu'il existe entre les fonctions de la suite (2) 
et leurs correspondantes de la suite (i) p* — i con- 
gruences de la forme 

X;;,/(.r;-=X;,-;-F(jr)y(jr) (mod.p), 

et si l'on multiplie entre elles toutes ces congruences, 
il viendra 

X, X,. . .Xpv_, [/(.r)'' -» - i] -= F (.r) y(^) (niod./?), 

o(x) étant une fonction entière. Le produit XjX2...Xpv_| 
n'est pas divisible par F (a:), suivant le module p\ donc 
on a 

(3) /(:r)P^-»~l^F(^)y(.r) (m()d./>), 

OU, en multipliant par/(j:), 

(4) /(.r)/>^-/(.r;=.F(.r)y(.r) (mod./.). 

Nous avons supposé la fonction ^(a:) non divisible par 



i3( corvs d'algèbre srptmicrmB. 

F<x) snîvanl le mcniule /», mais il est évident que la 
formule 4 subsiste quand f'jr) est un multiple de F(x). 
La formule 4 avant lieu, quelle que soit la fonction 
entière y" jc , prenons y .r = x, il Rendra 

ce qui démontre le théorème énoncé. 

347. Lexme. — Soieni/(jr) une fonction entière de 
la variable x.p un nombre premier etn un nombre 
entier quelconque ; on a 

)r(x) désignant une fonction entière. 
Soit 

la puissance ^>»«"»« de f{x renfermera d*abord les puis- 
sances p**"'^ des difierents lermes; elle renfermera 
en outre d'autres termes contenant certaines puissances 
de plusieurs termes dey« x : le coefficienlde l'un quel- 
conque de ces derniers termes aura la forme 



I .2. . .</| ■ . . I .2. . .^jt) 

qt^ qi9 ••., 7a étant des nombres inférieurs k p; ce 
coefficient est donc divisible par/' et Ton a 

[/ X ]P-i-p /^ jr =,7/'-f-«/.r/'-+-r/f.r»/»4-...-i-aj;^jH«^; 

maisy par le théorème de Format, on a 

aP Œi:- a ixuxl, p); 

donc 



SECTION III. — CHAPITRE III. l35 

t 
OU 

Xi^) étant une fonction entière. 

Si Ton écrit xp"' au lieu de Xy il vient 

Xi^) désignant ici une nouvelle fonction entière. Cela 
posé, admettons que Ton ait 

en élevant cette égalité à la puissance p, et ayant égard 
à la précédente, il vient 

Donc, si cette dernière égalité a lieu pour une valeur 
de l'exposant tî, elle a lieu pour la valeur immédiate- 
ment supérieure ; d'ailleurs elle a été démontrée pour 
/!= I, donc elle est générale. 

348. Théorème IL — Une fonction entière F(x) du 
degré v, irréductible suii^ant le module premier p^ ne 
div^ise la fonction xP^ — x, suiv^ant ce même module, 
que dans le cas oii fi est un multiple de v. 

Je dis en premier lieu que, si Ton a iJi<C''^7 ^^ fonc- 
tion xP^ — X n'est pas divisible par F(x) suivant le 
module /?, c'est-à-dire qu'on ne peut avoir 

(f{x) et xW étant des polynômes à coefficients entiers. 
Admettons, en effet, que cette égalité (i) ait lieu, et 
posons 

«0) «o • • • étant des entiers quelconques compris entre 



i36 couns d'algèbre supérieure. 

zéro et^ — i. On aura, d'après le lemme qui précède, 

y^i {x) étant une fonction entière, et si, dans le second 

membre de cette idcnlilé, on remplace xP^ par la va- 
leur X -\-F{x)cj{x) -h py^{x) tirée de la formule (i), 
il est évident que ce second membre prendra la forme 

4> et ^ étant des polynômes à coefQcients entiers; on 
aura donc 

(2) [/(x]f''-/{x)=--¥(a-)*{:r]^-pW(^). 

Il résulte de celte formule (a) que si, dans la fonction 

qui est du degré p^y on remplace X par chacune des p'' 

fonctions réduites suivant le module p, et la fonction 

F(x), on obtient // résultats qui sont tous divisibles par 

F(x), suivant le module p. Or cela est impossible 

(n** 345) si ^<C.^''> donc la formule (1) ne peut avoir 

lieu dans ce cas. 

Je dis, en second lieu, que la formule (i) ne peut 

avoir lieu que si [x est divisible par v. En clTct, soit </ le 

quotient et r le reste de la division de fi par v, en sorte 

qu'on ait 

p r- v«7 -f- r. 

D'après le théorème I (n° 31G), V {x) divise, suivant le 
module /?, la fonction 

cl celle-ci divise alf^chriquement 



SECTTOir III. CHAPITRE III. lij 

car Texposant p*^ — i est un multiple de p* — i. Donc 
xP^ — X est divisible, suivant le module p, par F(x). 
Mais, par hypothèàe, la fonction xP"^ — x est elle-même 
divisible par F(j:), suivant le module p; donc il en sera 
de même de la diiTérence 

d*après le lemme du n° 347, cette différence est congrue, 
suivant le modale p, à la puissance 

et cette puissance ne peut être divisible par F(j:) sui- 
vant le module p^ à moins que 

ne le soit elle-même. Or cela ne peut être, comme on 
Ta vu plus haut, que si r=o, puisque r est inférieur à v. 

Détermination du nombre des Jonctions entières de 
degré V irréductibles suiv^ant un module premier p. 

349. Nous sommes actuellement en mesure d'établir 
qu'il existe, dans chaque degré v, des fonctions entières 
irréductibles suivant un module premier p; il est même 
facile, comme on va le voir, de déterminer le nombre 
de ces fonctions. 

Considérons la fonction xP* — x, et supposons-la dé- 
composée en facteurs irréductibles suivant le module 
premier p, de manière qu'on ait 

F(.r), F|(j:), F2(.r), . .. étant des fonctions entières 
irréductibles suivant le module^, et;^(x) une fonction 
entière quelconque. 



l38 COURS D*ALGÈB11E SUPÉRIEURE. 

Deux des facteurs F, F|, Fjy ... ne sauraient être 
égaux entre eux, puisque la fonction xP* — xn'a aucun 
facteur commun avec sa dérivée. En outre, les dévelop- 
pements que nous avons présentés plus haut conduisent 
aux conséquences suivantes : 

1° Toute fonction entière de degré v, irréductible sui- 
vant le module premier p^ fait partie de la suite F(x), 
F|(x),F2(x), 

2° Le degré de Tune quelconque des fonctions de cette 
suite est égal à v ou un diviseur de v. 

3** Celles des fonctions F(x), Ff (x), Y^{pc)y . . . , dont 
le degré est un diviseur /z de v inférieur à v, sont divi- 
seurs, suivant le module p, de la fonction xP^ — x. 

Il résulte de là que si l'on divise la fonction xP* — x, 
suivant le module p^ par le produit de toutes les fonctions 
irréductibles qui divisent Tune des fonctions xt^ — x, 
où \x est un diviseur de v, on obtiendra un quotient V 
qui sera le produit de toutes les fonctions entières de 
degré v, irréductibles suivant le module p. 

Par exemple, si v est un nombre premier, les facteurs 
irréductibles de xP* — x sont tous du degré v ou du 
degré i ; le produit des facteurs du premier degré est 
x(x — i) (x — 2)...(x — p -\- \) ou xP — X. On aura 
donc, dans ce cas, 



V = 



xi' — .r ' 



le degré de V est ici // — p ; par conséquent, le /lomAreN 
des fonctions entières d'un degré premier v, irréduo- 
tibles suivant un module prefnier p, est 



îi = lL:z£ 



Passons maintenant au cas général : soit 



V-. 7;.7j« ...q"^. 



SEcnoir III. — CHAPITRE III. 189 

7f 9 79y '"f Cm étant des nombres premiers inégaux, et 
/2iy ^29 '"} Tim des entiers positifs quelconques. Pour 
abréger l'écriture, je poserai, quel que soit l'entier X, 

et je ferai en outre 

X = [v], 

x,=f^]r-jL_|...r_jL_i 



Xi 



la fonction X^ sera ainsi le produit de 

m [m — i). , , m — A'-hi) 

I • 2 • . . A* 

symboles [ ], et les dénominateurs des arguments de ces 
symboles seront les produits kk k des m nombres ^1, 
9j> •••> 7m- Cela posé, je dis que l'on aura 

Y XXj X; Xfi . . . 



Xj X3 Xj . . . 

Concevons que le numérateur et le dénominateur de 
cette expression aient été décomposés en facteurs irré- 
ductibles, et désignons par F(x) l'un de ces facteurs. 
Si F(x) est du degré v, il ne figurera que dans X; par 
suite il aura l'exposant i dans le numérateur de l'expres- 
sion précédente, et le degré zéro dans le dénominateur. 

Supposons que le degré fji de F(j:) soit inférieur à v; 
quelques-uns des facteurs premiers q entreront dans v au 
moins une fois de plus que dans ^\ si l'on désigne par 



l4o COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

f/iy f/2t •••» ^s ces facteurs, dont le nombre 5 peut se ré- 
duire à I , le deerré a divisera 1 mais il ne divisera 

pas le quotient de v par un nouveau facteur g, tel que Çsj^î • 
Le facteur irréductible F{x) figure dans X à la pre- 
mière puissance; cherchons généralement avec quel ex- 
posant il se trouve dans X)^. Si Ton a A* >- ^, la fonction 
Xa ne contient pas le facteur F (x ) ; mais, si l'on a Ar <^ 5 
ou k = 5, il est évident que X^ contiendra autant 
de facteurs égaux à F(j:) qu'il y a d'unités dans le 
nombre des combinaisons de s lettres prises k à A', nombre 

, s{s — i\..f.ç — X'-f-i) , 

qui a pour valeur — 7 ^;parconséquenty 

le numérateur et le dénominateur de l'expression précé- 
dente contiendront le facteur F(x) avec des exposants 
qui seront respectivement égaux à 

1.2' 1 .2.3.4 

et 

s s{s — i)(.v — 2) ^ sis — i^...f.ç— 41 

h 



I 1.2.3 I.?. .3.4.^ 

Mais CCS deux nombres sont égaux, car leur diflerence est 
évidemment égale à (i — 1)' ou à zéro. Donc le numéra- 
teur de noire expression esl divisible, suivant le mo- 
dule y?, par le dénominateur, et le quotient de la division 
esl bien égal au produit V de loules les fonctions entières 
de degré V, irréductibles suivant le module/;. 

. Il convient au resle de remarquer que le numérateur 
de Texpression de V est algébriquement divisible par le 
dénominaleur; et, pour démontrer ce fait, il suffit de 
reproduire le raisonnement dont nous venons de faire 
usage, en représenlant toujours par fx un diviseur de v et 
en substituant au polynôme F(x) de degré fx l'un des 



8ECTIOIC m. CHAPITRE III. l4l 

facteurs linéaires qui divisent algébriquement xP^ — x, 
mais qui ne divisent pas xP^^ — «2^7/^1 étant <C Z^- 
Le degré du polynôme V peut être représenté par 

et, puisque ce polynôme est le produit de toutes les N 
fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le 
module p^ on aura 

350. On peut conclure de la formule précédente deux 
limites très-simples du nombre N des congruences irré- 
ductibles de degré v, suivant le module premier^. Effec- 
tivement, en partant de la formule 

p' — iA --^ ^-^ -:-..., 

-^ I 1.2 



on aura 






■^^'-^Jl'-.-iJ-l-à)'^ 



T\)['-k 



• 






• • ...., 

la caractéristique log exprimant des logarithmes népé- 
riens. 

On conclut d'abord de cette formule 



/ i\locp / iXvlogV / l\v*Io^ 



\o^ p 

~^.. If 



3 



14^ COURS d'algèbre SUPÉRIEtJRK. 

OU 

y 
puis 

/ ,_L i_i 

\ 

ou 



I I I .2 II .2.3 
I I 

y V 



N>M^:^, 



V — I V 



(p(v) désignant la totalité des nombres premiers et infé- 
rieurs à V. Chacune des limites que nous venons de 
trouver exprime la valeur de N quand v est un nombre 
premier. 

Sur la décomposition d'une fonction entière donnée, en 
facteurs irréductibles suiv^ant un module premier, 

331. S'il s'agit de décomposer une fonction donnée 
i{x) en facteurs irrcduclihlcs suivant le module pre- 
mier /?, on devra d'abord chercher si cette fonction a des 
diviseurs multiples ; car, si elle en admet, elle sera de la 

forme 

^{.r)-i:V;'V;«v;-... (mod.^), 

V|, Va, ... étant des fonctions entières qui n'admettent 
que des facteurs simples et que l'on peut obtenir (n®344) 
par de simples divisions algébriques. 

La question est donc ramenée au cas où ^(x) n'a que 
des facteurs simples ; alors cette fonction et sa dérivée 
n'ont aucun diviseur commun, suivant le module p. 

Cela posé, on aura le produit des facteurs irréductibles 
du premier degré de ^[x) en cherchant le plus grand 



SECTION HT. CHAPITRE IIl. l43 

commun diviseur des polynômes #(x) et xP — x\ dési- 
gnons par P| ce plus grand commun diviseur qui peut 
se réduire à l'unité et posons 

i%{x) étant une fonction entière. 

On aura de même le produit des facteurs irréductibles 
du deuxième degré de ^(x) ou de ^i (x), en cherchant 
le plus grand commun diviseur des polynômes ^i (x) et 

xP — X, et si Pa désigne ce plus grand commun divi- 
seur, lequel peut encore être égal à i , on aura 

^j(x)^P, ^t(jr) (mod./?), 

izi^) étant une fonction entière. 

Pareillement, le plus grand commun diviseur Ps des 

fonctions ^2 («3:) elxP — x donnera, s'il ne se réduit pas 
à ly le produit des diviseurs du troisième degré; on aura 

^,(xl--=P3.^5(x) (raod./?), 

et ainsi de suite. Il est évident qu'en continuant ainsi 
on trouvera nécessairement une fonction êm{x) qui se 
réduira à Tunité, et Ton aura 

J(^;=z=P, ?,?,...?;„ (mod./y). 

Il reste, pour achever la solution, à décomposer cha- 
cun des polynômes Py en facteurs irréductibles du de- 
gré V. Pour cela, la méthode la plus générale consiste à 
effectuer la division du polynôme P^ par la fonction 

F(x) = x^-hAia:^*-f-A, x^-' -T- . . . H- Av-i ^ -h Av, 

dans laquelle les coefficients sont indéterminés, et à ex- 
primer que les v termes du reste sont congrus à zéro sui- 
vant le module p. On obtiendra ainsi un système de v 
congruences au moyen desquelles on pourra déterminer 



l44 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

les V coefficients A, , Aj, . . . , A,. Si fxv désigne le degré 
de la fonction P^, il est évident que le système de con- 
gruences dont il vient d'êti:e question admettra fx sys- 
tèmes de solutions qui répondront respectivement aux fi 
polynômes irréductibles de degré v dont le produit est 
égal à P^. 

Le problème dont nous venons de nous occuper com- 
prend comme cas particulier celui qui a pour objet la 
recherche de toutes les fonctions entières de degré v, irré- 
ductibles suivant le module p. On tombe effectivement 
sur ce dernier problème y en supposant dans ce qui précède 

ê [x] = œP^ -^ X. 

Classification des fonctions entières de degré v irré- 
ductibles suii^ant le module premier p. 

332. Soit/ï un diviseur de p* — i, la fonction x* — i 

divisera x/'*"* — i et xP* — x; si donc on la décompose 
en facteurs irréductibles, suivant le module p, en sorte 
qu'on ait 

^(x) étant une fonction entière, les fonctions F(x), 
F< (x), ... feront partie de la suite des facteurs irréduc- 
tibles de xP^ — X, et en conséquence leur degré sera égal 
à V ou à un diviseur de v. 

Si F(x) est une fonction entière du degré v, irréduc- 
tible suivant le module ;;, et que n représente le plus petit 
nombre tel que x" — i soit divisible par F(x) suivant le 
module /^jc dirai que la /onction F {x) appartient à 
l'exposant n. Il est évident que n est un diviseur de 
p" — I, car F(x) divisant, suivant le module />, les deux 
fonctions x^"'* — i et x** — i , elle divisera aussi x* — i^ 



8SCTIOIC III. — CHAPITRE III. 1^5 

si Ton désigne par le plus grand commun diviseur des 
nombres p* — i et/i, et puisque F(x) appartient à l'ex- 
posant Tty il est nécessaire que Ton ait = n, On voit 
aussi que n doit être un dwiseur propre kp* — i , c'est- 
à-dire que n ne peut diviser p^ — i si i^ est <^ v ; car s'il 
en était autrement x" — i serait un diviseur de xP^"^ — i 
et cette dernière fonction serait par suite divisible par 
F(x) suivant le module pj ce qui est impossible dans 
l'hypothèse de fx <:^ v. 

Cela poséy nous nous proposons de déterminer le 
nombre des fonctions entières de degré v, irréductibles 
suivant le module premier p, et qui appartiennent à l'ex- 
posant n diviseur propre de ^* — i . 

Le nombre n étant décomposé en facteurs premiers» 
soit 

7o ?27 ""> ^m étant des nombres premiers inégaux; 
posons aussi 

X, r- (.rv". —i) (.r7« — :j. . .(.r7^ — ij, 



1L^= (xV"/*- •'/«— ij, 



la fonction X^ sera, comme on voit, le produit de 

m{m — \\ . , , [m — X-H-il« . 1,1. 1 
7 tacteurs qui se déduiront de 

1 • 2 • • «A* 
n 

X** — I en prenant pour 6^ les produits h kk des facteurs 
9o ?2> •••> ^m- Si Ton désigne enfin par V le produit de 
toutes les fonctions entières de degré v, irréductibles 

S. — Alg, sup., II. 10 



i46 COURS d'algèbre supérieure. 

suivant le module p, et qui appartiennent à l'expo- 
sant Uf je dis que l'on aura 

-. A. A.J A.^ X.( • • . 

^L| A] ^Vg . • . 

Pour justifier cette assertion nous emploierons un rai- 
sonnement semblable à celui dont nous avons fait usage 
a'u n** 349. Les deux termes de l'expression de V étant 
décomposés en facteurs irréductibles, soit F{x) Tun de 
ces facteurs; si la fonction F[x) appartient à l'expo- 
sant n, elle ne figurera que dans X ; en conséquence, elle 
aura l'exposant i au numérateur de Vet l'exposant zéro 
au dénominateur. Si la fonction F(x) appartient à un 
exposant m inférieur à n, m divisera les quotients obtenus 
en divisant n par quelques-uns des facteurs </, 9 1 , y 2 ? • • ^ ?# 
par exemple; le facteur F[x) figure dans X à la pre- 
mière puissance; il ne figure point dans X^ si l'on 
aA^5; mais si Ton a /r<^,ç, F{x) entrera dans X^avec 

l'exposant '-^^ — 5 qui est égal au nombre 

1.2. • ' n 

des combinaisons de s lettres prises /r à Ar. Il résulte de 
là que, quand on aura simplifié l'expression de V, le fac- 
teur F(x) aura l'exposant 

s s(s — i' , 

I i ... — I — I * := o, 

I 1.2 

et, en conséquence, la fonction V est égale au produit 
de toutes les fonctions irréductibles de degré v, qui ap- 
partiennent à l'exposant //; nous désignerons par N le 
nombre de ces fonctions. 

Le degré de la fonction V est 



[ n n 
H— - H r. . 


« \ 




.-h — 


qml 


• '^ 






Îl7l- • Y/n 







7 



71^3 / 



SECTION III. CHAPITRE III. l47 

OU 

K'-f.)('-à)-('-i)' 

on aura donc 



on 



N=^'., 



V 



en désignant par <^{n) le nombre des entiers inférieurs 
à /2 et premiers à n. 

Si n est un nombre premier, la formule précédente 
se réduit à 

V 

et l'on en tire 

d'où il résulte que tout nombre premier, diviseur propre 
à p" — I, est de la forme Av -h i, ce qui rentre dans un 
théorème dû à Euler. 

333. On voit, par ce qui précède, que les fonctions 
entières de degré v, irréductibles suivant le module y?, se 
partagentnaturellement en plusieurs classes, d'après l'ex- 
posant auquel elles appartiennent. L'une de ces classes 
comprend les fonctions qui appartiennent à ^exposant 
p* — I et qui jouent un rôle important dans la théorie 
que nous exposons ; on a, par exemple, la propriété re- 
marquable comprise dans le théorème suivant : 

Théorème. — Si F(x) désigne une /onction de 
degré V y irréductible suivant le module p, et appartenant 
à l'exposant p'* — i, on obtiendra les p'' — i fonctions 
entières de degré v — i distinctes suivant le module p, 

lo. 



148 COURS D*ALGEBRE SUPÉRIEURE. 

en prenant les restes de la division par F(x) des puis- 
sances 

En effet, deux de ces puissances, x^ et x""*''*, divisées 
par F(x), ne peuvent donner des restes de degrés v — i 
congrus suivant le module p ; car autrement Texpression 

^fî-4-m — j.m Q^ j:'" (x" — I ) 

serait divisible par F(x) suivant le module p^ et il en 
serait de même de x" — 1 : or cela estimpossible, puisque 
n est moindre que l'exposant p"* — i auquel appartient 

F(x). 

354. J'indiquerai ici une conséquence assez remar- 
quable de la théorie que nous venons d'exposer et qui 
consiste dans la proposition suivante : 

Théorème. — Hi n est un nombre premier, que a 
soit une racine primitive de n, et que le module p soit de 
la forme a H- kn, la Jonction 

X — I 

sera irréductible suivant le module p. 

En effet, n est un nombre premier ; il est d'ailleurs di- 
viseur propre ap"^* — I, puisque /; — kn est une racine 
primitive de n ; donc le nombre des facteurs irréducli- 

blcsde V, suivant le module p, est ici é^alà — — -ou à i. 

' ° n — I 



Corollaire. — Si n est premier, la Jonction 



.r" — I 



X — I 

est ALGÉBRK^UEMEMT irréductible. 

En effet, soit rx une racine primitive de /i. L'illustre 
Lejeunc-Dirichlet a prouvé que la progression arithmé- 
tique 



SECTION III. — CHAPITRE III. l49 

renferme une infinité de nombres premiers. Soit 

/? = û -h //i 

x^ —— I 

l'un de ces nombres premiers; la fonction est 

irréductible suivant le module p ; donc, à plus forte 
raison y elle est irréductible algébriquement. 

Comparaison des fonctions entières irréductibles sui- 
vant le module p, qui appartiennent à des exposants 
formés des mêmes facteurs premiers. 

3oo. Lorsque n est divisible par le module p^ si Ton 
fait n = pn'y on aura 

en sorte que la fonction x" — i est ramenée à x^' — i . 

Nous supposerons que n n'est pas divisible par p ; alors, 
si l'on désigne par v le plus petit nombre tel, que p* — i 
soit divisible par/i, la fonction x" — i divisera xP'' — x 
suivant le module p et chacun de ses facteurs irréduc- 
tibles sera, comme on l'a vu, d'un degré égal à v ou à un 
diviseur de v. Mais ceux de ces facteurs qui appartien- 
nent à l'exposant n sont tous du degré v, et nous avons 

f \ 

vu que leur nombre est égal à ? cp ayant la signifi- 

cation habituelle. 

Gela posé, désignons par y. le plus petit nombre, tel 
que p^ — i soil divisible par chacun des facteurs pre- 
miers qui divisent tî, il est évident que v sera un multiple 
de ik\ car soit v=iiJ.q-\-r\ les facteurs premiers de n 
divisent par hypothèse p^^'^'' — i cl p^*i — i, qui est un 
multiple de p^ — i; ils divisent, par suite, la différence 
p^'' — p^^ ou p^^[p'' — i). Mais cela est impossible, à 



i5o GOUHS d'algèbre supérieurb. 

moins que r ne soit nul, puisque r est <C/*> donc on a 

(l) V — ^p. 

Soit — - le plus ^and commun diviseur des nom- 
bres n et p^ — i; si Ton fait 

X et d seront premiers entre eux ; on aura ensuite 

et, comme le premier membre de cette formule est un 

nombre entier, i sera un diviseur de • En élevant 

à la puissance q Tidentité 

il vient 

+ ^'—7:^.% — Hp^- •)*-« + . . ., 

expression qui doit être divisible par \, 

Dc'sij;nons par un facteur premier deX, et soit 0* la 
plus liautp puissance de d contenue dans X. Comme 
est un diviseur de n et, par suite, de />** — i, on voit, par 
la formule (4), qu'il est aussi un diviseur de q\ mais je 
dis en outre que, sidn^est pas égal à 2, chacun des termes 
de rexprcssion (4) 21 partir du deuxième renferme une 
puissance plus élevée de 9 que le premier terme. En effet, 
le rapport du terme général au premier terme peut être 



SECTION III. CHAPITRE III. l5l 

mis sous la forme d'un produit de trois facteurs , savoir 

^ 1 .2. . . (i— i) \ J A 

les deux premiers facteurs sont des nombres entiers ; 
quant au troisième facteur, il est supérieur à 

: -— L ou à 1-4- y ' 5 

A A 

par suite, supérieur à i, quand est >2, puisque k est 

au moins égal à 2 ; la fraction irréductible égale à — 7— 

renferme donc le facteur à son numérateur. Le premier 
membre de la formule ( 4 ) étant divisible par 6*, par 
hypothèse, il faut, d'après ce qui précède, que g soit 
divisible par 0*. 

Si donc X est un nombre impair, {/ sera divisible par X. 
Réciproquement, si ^ est divisible par X, l'expression (4) 
l'est évidemment elle-même, et en conséquence le pre- 
mier membre de la formule ( 3 ) est un nombre entier. On 
voit alors que v étant le plus petit nombre tel, que p" — i 
soit divisible par /i, on doit avoir ^ = X et, par suite, 

(6) v = >p. 

Examinons s'il y a lieu de modifier cette conclusion 
quand X est pair. D'abord si X est double d'un impair, 
l'expression (4) doit être divisible par 2, ce qui exige 
que y le soit aussi; donc, pour que Texpression (3) soit 
un nombre entier, il est encore nécessaire et suffisant 
que if soit un multiple de X, et la formule (6) subsiste. 

Supposonsdonc que X soit divisible par une puissance 

de 2 supérieure à la première. Quand on fait0= 2, dans 

2/.— 1 
l'expression (5), le troisième facteur devient — j— î il n'est 

jamais inférieur à i, car A est au moins égal à 2, mais il 



l5a COURS D^ALGÈBBE SUPÉBIEUIIE. 

se réduit à i pour A' = 2, et alors il peut arriver que les 
deux premiers termes de Texprcssioa (4) renferment le 
facteur a à la même puissance. Toutefois ce cas ne se 
présentera pas si p^ — i est divisible par 4> c'estrà-dire 
si p est de la forme 4^^+ i, ou si, /? étant de la forme 
^m — I, fil est un nombre pair. Dans ces deux cas, la 
présence du facteur 2 dans X n'exige aucune modifica- 
tion, et la formule (6) subsiste. 

Mais il n^en est plus ainsi, dans le cas qu'il nous reste 
à examiner, savoir celui où p est de la forme 4 'w — i et où 
fx est un nombre impair, X étant divisible par une puis- 
sance de 2 supérieure à la première ; il importe d*exa« 
miner ce cas avec attention. Dans Thypothèse où nous 
nous plaçons, on a 

p=:2^.t — I, X= a-'.*, 

f et 5 étant des nombres impairs et les exposants i , 
/ étant égaux ou supérieurs à 2. Comme fi est impair, 
la première de ces formules donnera 

6 étant un nombre impair ; en outre, Texposant g devant 
être pair, comme on Ta vu plus haut, on aura, en élevant 
la précédente formule à la puissance ^, 



7"' 



'-' _ a'-'9 r 1 . 7f'7-' )./« 
.- —I a'-'e— 1 1 I 1.2 

(7) 1 

1.2.../ ^^ J^ 

le rapport du terme général entre parenthèses au premier 
terme est 

I .?.... / — I ) ' /• ' 

l'étant au moins 2, si Ton prend A'^i, le dernier facteur 



SECTION TH. CHAPITRE III. l53 

de cette expression sera supérieur à i , etla fraction irré- 
ductible qui lui est égale aura un numérateur pair; d'ail- 
leurs les autres facteurs sont en tiers , donc le premier des 
termes entre crochets, dans la formule (7), renferme le 
facteur n à une puissance moins élevée que les termes sui- 
vants. Alors si Ton désigne par w le plus petit nombre de 
facteurs 2 qu'il faille introduire dans ^ pour que l'expres- 
sion (3) soit entière, on aura 

W = 1 ou û) =j — « -h I, 

savoir « = i , si Ton a 

y < ou = /, 
car il suffit alors que^ soit pair ; et «= 7 — i-i-i, sil'ona 

D'ailleurs, dans l'un et l'autre cas, q ne doît contenir 
que les seuls facteurs premiers impairs de X; donc on a 



a =. — — - ou q=z — 



5 



et par suite 



hj. 



(8) ^- :^^^ 



ou 



(9) 






La formule (8) a lieu dans le cas de /<[i, et la for- 
mule (9) dans le cas de 7 ^ i; les deux formules coïn- 
cident quand j = i. 

336. Nous allons développer actuellement les consé- 
quences de l'analyse précédente. Considérons d'abord 
le cas où la formule (6) a lieu, et désignons par N le 
nombre des fonctions entières irréductibles du degré v 



i54 COURS d'algèbre supérieure. 

qui appartiennent à Texposant n^ on aura (n^ 332) 

V Au 

OU, à cause de la formule (a), 

I p'^ — i o'n] 
l»- d n 

Soit n! un nombre contenant tous les facteurs prenuers 
de n avec des exposants quelconques, mais n'en conte- 
nant pas d'autres, on aura 



n n 



et puisque ^—- — est le plus grand commun diviseur de n 
et de ^ — I , on peut prendre 

__;??» — I 



n' 



Remplaçant donc n par cette valeur /i', l'expression de N 
devient 



„o, ^-'-,{f---^ 



d'où il résulte que N représente aussi le nombre des fonc- 
tions irréductibles de degré fji qui appartiennent à Texpo- 
p^ — i 



sant 

({ 

Posons, pour abréger, 

^-^-^^9, d'où wznKn, 
a 

et décomposons x^ — i en facteurs irréductibles suivant 
le module/?; soit 

(n) ^-i=F(.r)F,(x)F,(^j...-f-pxW. 



SECTION III. CHAPITRE III. l55 

fi est le plus petit nombre tel, que or/'*' — i soit divisible 
parx* — I suivant le module p; car, s'il en était autre- 
ment et que â divisât p^' — i, [x' étant <^fii, le nombre 
p^' — I renfermerait tous les facteurs premiers de w, ce 
qui est contre l'hypothèse. Cette remarque nous confirme 
ce fait qui résulte d'ailleurs de notre analyse, savoir, que 
le degré de chaque facteur irréductible de la formule (i i) 
est égal à |x ou à un diviseur de (x. 

Remplaçons maintenant x par x^ dans la formule ( ii )> 
il viendra 

(12) X» — i = F(x^)F,(^^)F,(:r\^H -+-PX(*^)- 

Soient 

(13) F(.r), F,(.r;, ..., Fk_,(x) 

lesN facteurs du degré fx de la formule (11), il est évi- 
dent que, dans la formule {12)9 les facteurs du degré 
Xfjt == V seront 

{i4) F(^), F.(x»), ..., F„_,(V). 

Or il y a N fonctions irréductibles du degré v, lesquelles 
divisent x" — i suivant le module p; donc ces fonctions 
ne sont autre chose que les polynômes (i4)> ce qui donne 
le théorème suivant : 

Théorème I. — Si l'on a formé les N /onctions en- 
tières irréductibles de degré yL suivant le module p, qui 

appartiennent à l'exposant 9 puis que l'on y rem- 
place x par x^j 1 étant un nombre premier avec d et qui 
ne renferme aucun facteur premier différent de ceux 
par lesquels p^ — i est divisible, on obtiendra les N 
fonctions irréductibles du degré X|!jt, qui appartiennent à 

l'exposant i ^—w— • H faut cependant excepter le cas 



i56 COURS d'algèbre supérieure. 

où, p étant de la forme 4 î — ï > (^ est un nombre impair 
et X un nombre divisible par 4- 

357. Considérons maintenant ce cas d^exception, dans 
lequel p est de la forme 4^ — i , jtx un nombre impair et / 
un nombre divisible par 4* Alors Tune des formules (8) 
et (9) a lieu, et si l'on désigne encore par N le nombre 
des fonctions entières irrédtictibles du degré v qui ap- 
partiennent à Texposant n, on aura 

en nommant A: le plus petit des deux nombres i et y; on 
peut écrire aussi, à cause delà formule (2), 

Il d n 

Comme tous les facteurs premiers de l*un des nombres 
n et - — j — appartiennent aussi à 1 autre, on peut encore 
remplacer ici 

d n 



par (p ( ——r— }> et 1 on a 






') 



N 
—. — est donc le nombre des fonctions irréductibles de 

degré fi qui appartient à l'exposant ^-—z — = d. 

Nous conservons la formule (11), qui donne la décom- 
position du binôme x* — i en facteurs irréductibles, ainsi 
que la formule (12) qu'on en déduit en remplaçante 



SECTION III. CHAPITHB III. ïS'J 

par x^. Ceux des facteurs F (x),F| (x), ... quî appartien- 
nent à un exposant inférieur à $ donneront, dans la for- 
mule {î^)y des facteurs correspondants dont les diviseurs 
irréductibles appartiendront à un exposant moindre 
que n. Donc les factei\rs irréductibles de x" — i qui 

appartiennent à Texposant v = -^ sont nécessairement 

N 
des diviseurs de l'un des -j—^ polynômes 

N 
qui répondent aux —j^ facteurs 

F(*), F,{x), F,(j:), ..., 

relatifs à l'exposant d. Les polynômes dont il s'agit 

N 
sont du degré Au, leur nombre est -73^» et le nombre 

des fonctions irréductibles du degré —^ est N; donc 

chacun de nos polynômes est le produit de 2*~* facteurs 

irréductibles du degré -^* De là résulte la proposition 
suivante : 



Théorème IL — Soient p un nombre premier de la 
forme 2't — i, où i n est pas inférieur à 2 et où t est 

un nombre impair; fx un nombre impair; — — un divi- 
seur dep^ — \\\un nombre de la forme iJs, oà j n'est 
pas inférieur à 1 et où, s est un nombre impair; enfin 
k le plus petit des nombres i et j. 

Si l'on a formé les -j^^ fonctions entières irréducti- 

mi 

bles de degré (i suivant le module q qui appartiennent à 



l58 COURS D*ÀLGÎ3RE SUPémBURB. 

l'exposant — , ~ ' P^^s qu'on y remplace x par a:^, le 

nombre X, delà forme indiquée j étant premier avec d 
et ne renfermant que les seuls facteurs premiers quifigu- 

N 
rent dansp^ — i , on obtiendra -^^^ fonctions du degré 

i/i, et chacune d'elles sera décomposable en 2*^* fac- 
teurs irréductibles, ce qui donnera en tout N polynômes 

irréductibles du degré ~—i' 

mm 

358. Désignons par ^ une racine primitive du nombre 
premier />; les fonctions du premier degré qui appar- 
tiennent à l'exposant ■ seront évidemment x — gf^, 

ff étant un nombre premier avec • Si donc on re- 

présente ces fonctions par x — g^, d sera le plus grand 
commun diviseur des nombres e et p — i. D'après cela, 
si l'on suppose fx =:: 1 , dans les énoncés des théorèmes I 
et II, on obtient cette proposition nouvelle, qui a une 
assez grande importance, savoir : 

Théorème III. — Soient g une racine primitive du 
nombre premier p\ 1 un nombre entier qui ne renferme 
aucun facteur premier différent de ceux qui divisent 
p — i; e un nombre entier premier avec\'^ d le plus 
grand commun diviseur des nombres e et p — i . 

I ** Si p est de la forme 4 y -i- i , ou si, p étant de la 
forme 47 — i> le nombre X est impair ou double d'un 
impair, la fonction binôme x^ — g^ est irréductible sui' 

vant le module p et elle appartient à l* exposant ^ ^ v"' 

î>.° Si p et y. sont respectivement des formes 
p zL^'xH — I , X = i^s^ i et j étant au moins égaux à 2% 



SECTION III. — CHAPITRE III. iSg 

etty S étant des nombres impairs; si, en outre, on désigne 
par k le plus petit des nombres i, y, la /onction binôme 
x^ — g" est réductible suivant le module p, et elle se dé- 
compose en 2*~* facteurs irréductibles du degré— ^^^ 

qui, tous, appartiennent à l'exposant X 



p-i 



Ce théorème nous fait connaître, sans aucune excep- 
tion, toutes les fonctions binômes irréductibles suivant le 
module premier/;. En effet, la fonction x^ — g^ [laoA.p) 
ne saurait être irréductible si A et e ont un diviseur 
commun. En outre, si X contient un facteur premier^ qui 
ne divise pas p — i, la congruence x* — g^'z^.o (mod. p) 
aura une racine et par suite x^ — g^ admettra suivant le 
module p un diviseur de la forme x — a; il s'ensuit 

que x^ — a sera pareillement un diviseur de x^ — g^. 

359. Lorsque p est un nombre de la forme 2' t — i où i 
est au moins égal à 2 et où t est un nombre impair, il 
n'existe de fonctions binômes irréductibles de degré X, 
ainsi qu'on vient de le voir, que dans le cas oùX est im- 
pair ou double d'un impair. Mais, quel que soit le nombre 
pair X, pourvu qu'il ne renferme que les facteurs pre- 
miers par lesquels p — i est divisible, on peut former 
facilement des fonctions trinômes de degré X irréduc- 
tibles suivant le module p. 

En effet, le nombre p étant, par hypothèse, de la forme 

p — i^t— I, 
et t étant impair, posons 

le nombre v sera divisible par 2', carX est pair. Ensuite, 
si g désigne une racine primitive de p et que e soit un 



i6o cor ES d'algèbue supÊniEimE» 

nombre premier avec X, la fonction 

x^ — g' 

sera^ d'après le théorème III (n^ 358), décomposable en 
a'~* facteurs irréductibles du degré X. Pour obtenir ces 
facteurs, remarquons d'abord que a' el p — i ont 2 pour 

plus grand commun diviseur et que e et sont im- 
pairs; il en résulte que Ton pourra toujours trouver 
deux entiers d et (^ tels, que Ton ait 



2'0— (/? — i)Ç = e4- 



2 ' 



alors, g étant racine primitive de p, on aura 

é^''*=— ^ (mod./?), 
et la fonction que nous considérons sera 

j;v__^*--^^i -x_l_^î'« (mod. /?). 

Cela posé, désignons par u el v deux variables; les 
deux fonctions 

/»-»-i jp-f-j p—\ p—\ 

seront divisibles algébriquement, la première par 

u^'^H-t'^"*, la seconde par m -h v^, car t et ^~" sont 

2 

des nombres impairs ; le produit de ces fonctions peut 

donc être mis sous la forme 

f étant un polynôme à coefficients entiers Maïs si Ton 
cflcctue la multiplication des deux mêmes fonctions; on 
trouve le résultat 



SECTION III. — CHAPITRB III. l6l 

nous savons d'ailleurs que 

et il est évident que xi^f ^) ^^^ divisible par u+^> en 
sorte qu'on peut écrire 

y*! étant un polynôme à coeiBcients entiers. En égalant 
entre elles les deux expressions du produit que nous 
considérons, après avoir supprimé le facteur u+i^y on 
obtient l'identité suivante: 

OÙ y et y*! sont évidemment des polynômes à coefficients 

entiers, fonctions symétriques des variables u et if. 

Remplaçons maintenant u et (^ par les deux racines 

de l'équation 

X*— ÇX — i = o, 

où Ç désigne une nouvelle variable ; toutes les fonctions 
symétriques entières de u et u, à coefficients entiers, 
deviendront des fonctions entières de Ç, dans lesquelles 
les coefficients seront encore entiers; la formule (i) 
donnera donc 

(a) çP-i^, = E(Ç)7(5)-+-/>x(5). 

en posant 



»i-« . .1-» 



E(Ç) ==..>-+.«-, 
ou 

et en désignant par f (Ç), xil) ^^^ polynômes à coeffi- 
cients entiers. 

S. — jélg* sup,, II, II 



l6a COUnS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

Maintenant, comme le polynôme E(Ç) est un divi- 
seur (le 

la congruence 

(4) E(Ç)--o (mod./i), 

qui est du degré 2'~% aura 2'~* racines, et en désignant 
ces racines par 

on aura 

(5) E(ç) = (ç~ç,)(Ç-ïi)---(5-Çt'-0^-/"^(5> 

cj(^) étant un polynôme à coefficients entiers. 

Les formules (3) et (5) donnent pour E(Ç) des valeurs 
qui doivent être identiques ; si on les égale entre elles, et 
qu'on pose 



5=75-^» VÏ*+ 4 =-!-*---. 



« 



1 ^ î 



il viendra, après avoir chassé les dénominateurs, 

4>(x) désigne un polynôme à coefficients entiers, et le 
signe TT exprime le produit des facteurs que représente 
l'expression 



:'- ,V-^— i?'', 



quand on prend pour Ç chacune des racines de la con- 
gruence (4)* L^s facteurs dont il s'agit sont précisément 
les fonctions irréductibles que nous voulions trouver. 



SECTION m. CHAPITRE III. |63 

Sur une Jonction irréductible du degré p, suivant le 

module p. 

360. La méthode que nous avons exposée au n^ 351 pour 
former les fonctions irréductibles n'est guère susceptible 
d*étre appliquée ; aussi doit-on attacher quelque impor- 
tance aux théorèmes qui précèdent et qui permettent de 
former directement une fonction irréductible de degré i, 
lorsque le nombre X ne renferme que les facteurs pre- 
miers du module diminué de l'unité; on verra effective- 
ment plus loin que la connaissance d'une fonction irré- 
ductible d'un degré quelconque, suivant un module 
premier, sufBt pour qu'on puisse former directement 
toutes les autres fonctions irréductibles du même degré. 

Je présenterai encore ici une proposition qui lait con- 
naître une fonction irréductible du degré premier p^ 
suivant le module p. 

Théorème. — Si le nombre g n'est pas divisible par 
le nombre premier p, la fonction xP — x — g est irré^ 
ductible suivant le module p. 

En effet, soit F[x) un facteur irréductible, suivant le 
module p, de la fonction dont il s'agit. On aura 

^(x) étant un polynôme à coefficients entiers. On tire 

delà 

xP^x-hg -f- F(jr)y(.r) (mod.p), 

et, en élevant les deux membres à la puissance/?'""*, 

^(x) désignant encore ici un polynôme à coefficients 
entiers* 

II. 



1(54 COURS d'algèbiie supérieure. 

Faisons successivement m = i, a, 3, . . . , il viendra 

.rP'E^xP^-h g -i-F{a:)<f(x]^x -h 3g H-F{x)f(x) ^ 

ff 

et Ton aura, quel que soit m, 

xP^^^x -^ mg-h F{x)f[x) (mod. p). 

Supposons maintenant que m désigne le degré de F(x); 
alors, F(x) divisant xP^ — x, la formule précédente 
exige que Ton ait 

mg==o ou nizi^o (mod. />]; 

m étant ainsi un multiple de p, on a m = ;? ; par suite 
F(j:) ne peut être que la fonction xP — x — g elle-même. 

Classification des /onctions réduites suivant un module 
premier et suivant une fonction irréductible. 

361. Soit F(x) une fonction entière irréductible sui- 
vant le module premier/:;; si Ton pose 

m 

aoy aty . . ., Ay.i étant des entiers compris entre o et 
/; — I , ou entre — et -H ^/{^) ^^^^ Tcxprcs- 

sion générale des fonctions réduites suivant le module /i 
et suivant la fonction irréductible F(x). Le nombre total 
de ces fonctions réduites est p" et nous avons vu que cha- 
cune d'elles satisfait à la condition 

I/(*)]'''-/('; = F(.r)|(x) {mod.p). 



SECTIOIf III. CHAPITRE III. l65 

qui exprime que la fonction 

est divisible par F(x) suivant le module p. 

Nous nous proposons d^établir ici à Tégard des fonc- 
tions y(j:) une classification de tout point semblable à 
celle que nous avons faite pour les nombres entiers dans 
le Chapitre précédent. L^analyse que nous allons déve- 
lopper ne suppose pas le théorème que nous venons de 
rappeler; celui-ci, au contraire, se présentera comme 
une conséquence de celte analyse. 

Dans ce qui va suivre je ferai usage d'une notation 
particulière qu'il convient, je crois, d'introduire dans 
la théorie qui nous occupe. Puisque nous écrivons 
A^B(mod. p) pour exprimer que la différence des 
nombres A et B est divisible par p, il semble naturel 
d'admettre la notation 

rf(x)-==/(j:) [mod./;, F(.r)] 

pour exprimer que la différence des deux fonctions en- 
tières S[x)y f{oc) est divisible, suivant le module p^ par 
la fonction irréductible F{x). Celle-ci prendra alors le 
nom de Jonction modulaire, et je dirai que^(x) elfix) 
sont congrues suii^ant le module p et suivant la fonction 
modulaire F(a:). Enfin, pour abréger le langage, je don- 
nerai le nom de résidus minima aux fonctions réduites 
suivant le module et suivant la fonction modulaire. 

362. Cela posé, soit X l'une quelconque des p* — i va- 
leurs dej^x) autres que zéro ; nous ferons, dans ce qui va 
suivre, abstraction de la valeur zéro. Les résidus minima 
des termes de la suite 



• • • 



I, X, X , X , 

seront aussi des valeurs de/{x). Mais, parce quey(a^ 



l66 COURS D*ÀLG£BRC SUPÉRIEURE. 

n'a que p* — i valeurs distinctes, il faut que quelques- 
unes de ces valeurs se trouvent reproduites une infinité 
de fois dans la série des puissances de X. Supposons que 

Ton ait 

Xn-f-n'^X»' [moà.p, F(ar)], 

OU 

X^'^X"— i;=o [moà.p, F(x)]. 

Comme X ne peut être divisible par F(x), suivant le 
module p, il faut que Ton ait 

X"£=i [mod. /?, F(x)], 

et, par suite, 

X^^E-i, X»«=i, ... [moà.p, F(x)]. 

Il y a donc une infinité de puissances de X congrues à 
l'unité. Soit n le plus petit nombre tel, que Ton ait 

X" = i [mod. /?, F(x)], 

on aura ces n valeurs de/(x) dont les résidus minima 
seront distincts, savoir 

(il I » A., A., A., •••« A. • 

Si Ton a// — i = /i,Ia suite (i), ou celle de ses résidus 
minima, comprendra toutes les valeurs dey(j:). 

Si l'on a p^ — i > /i, soitXi Tune des valeurs àef[x) 
qui ne sont pas comprises parmi les résidus minima de 
la suite (i •; en multipliant les fonctions (i) parXi, on 
'obtient les nouvelles fonctions 

|2j A|, AA|f A Ajf . • •* A A|f 

dont les résidus minima sont distincts; car soient //et /i" 
deux nombres inférieurs à /i; si Ton avait 

X"'X,— X""X,-3 [mod./?, F(jr)], 

comme X| ne peut être divisible par F(a.), suivant le 



SBCTIOIf m. CHAPITRE III. iSj 

module p, on aurait 

X«'-X«"£-=o [mod.p, F(x)], 

ce quî est contre l*hypothèse. En outre, les quantités (a) 
sont distinctes de (i); car si Ton avait, par exemple, 

X^'XjE^X»" [mod.p, F(x)], 

on aurait, en multipliant par X" " , 

X»Xi = X»-«'-^'»'' ou Xi = X'»-»'^'»'' [mod.p, F(.r)], 

ce qui est encore contraire à Thypothèse. 

Il résulte de là que p" — i est égal ou supérieur à an. 
Si p" — i est ^ 2/1, soit X2 une valeur de /{x) non 
comprise parmi les résidus minima des suites (i) et (a). 
Eln multipliant les fonctions (i) par X2, on obtient les 
nouvelles fonctions 

Le raisonnement que nous venons de faire prouve que 
les résidus minima de ces fonctions (3). sont différents 
entre eux et distincts des résidus fournis par la suite (i); 
il est aisé de voir qu'ils sont aussi distincts des résidus 
de la suite (2); car si Ton avait, par exemple, 

X'^'X^e^eX^'^X, [mod.77, F(ar)], 

en multipliant par X""'' , il viendrait 

X«X2=-=X"-'»'-^""Xi ou X^-^X^-^'-^^^Xi [mod. /?, FM], 

ce qui est contre Thypothèse. 

Il résulte de là que // — i est égal ou supérieur à 3 /i. Et, 
en poursuivant ce raisonnement, on voit que p" — i est 
nécessairement un multiple de n. 

Si n est le plus petit nombre tel, que Ton ait 

X^i-Hi [mod./?, F(x)], 



l68 COtinS D'ALCkBRE SCFÉRIEVRE. 

je dirai que la fonction X appartient à l'exposant n, 
suivant te module p et Ut fonction modulaire F(x). Ce 
nombre n étant un diviseur de^' — i , la précédente con- 
grueace entraine 

X"'"' — 1 = [niod.;>, V[x)], 

ce qui fournit une nouvelle démonstration dn tliénrème 
démontré au n" 346. 

363. TséoBÈME I. — La Jonction F [x), irréductible 
suivant le module p, étant du degré v et n désignant un 
diviseur quelconque de p' — i, il j a autant de Jonc- 
tions réduites qui appartiennent à l'exposant n, suivant 
le double module [p, V{x)\,i}uil j a d'unités dans le 
nombre ç ( n ) qui exprime la totalité des nombres pre- 
miers et non supérieurs à n. 

La démonstration de ce théorème est identique à celle 
dont Dous avons fait usage au n° 306, en nous occupant 
de la classiHcation des nombres entiers relativementà un 
modnlcprcmicr. Nous la reproduirons cependant, a cause 
de l'importance du sujet. 

Supposons qu'il existe une fonction X( appartenantà 
l'exposant n; les résidus minima des fonctions 

{i} I, X„ X; Xï"' 

seront distincts; d'ailleurs, si c désigne Tuu quelconque 
des nombres 

«. a. 3 [n-,]. 

la congruence 

X: = i [mfxl.p. F(J-]] 



(a) X7=si ou (X:)''^! [mod./>, F(j:)]. 



SECTION III. CHAPlTKÎî ÏII. 169 

d*où il résulte que, si l'on substitue chacune des n fonc- 
tions (i) à X dans la fonction 

on obtiendra n résultats qui seront divisibles par F(x) 
suivant le module p\ donc, d'après la proposition du 
n^ 345, il n'existe aucune fonction réduite autre que les 
résidus des fonctions (i) dont la puissance /i**"* soit divi- 
sible par F(x) suivant le module p. 

Désignons maintenant par m l'exposant auquel appar- 
tient X' , c'estrà-dire le plus petit nombre tel, que l'on ait 

(3) (Xî)'~=Xr=-i [mod.^, F(:i:)]. 

La congruence (2) exige que n soit un multiple de m; 
inversement, comme X{ appartient à l'exposant n, la con- 
gruence (3) exige que me soit un multiple de /z, et, par 
suite, que m soit divisible par n, lorsque e est premier k'n. 
Donc on a m = 71, dans cette hypothèse ; ainsi X', ap- 
partient à l'exposant n lorsque e est premier à n* M ais> 
si n et e ont un diviseur commun ^ i , on aura 

(X^)^=(xO"=t [mod.p, F(.r)]; 

et, par conséquent, X* n'appartient pas à l'exposant n. 
Si donc il existe des fonctions réduites appartenant à 
lexposant /z, le nombre de ces fonctions est égal àf (/i), 
^[n) indiquant, comme à l'ordinaire, combien il y a de 
nombres premiers et non supérieurs à n. 

Cela posé, toute fonction réduite appartient à un expo- 
sant qui est l'un des diviseurs 

d, d\ d\ ... 
de p" — i.Si donc on nomme ^(1) le nombre des fonc- 



lyo COURS d'algèbue supérieure. 

lions réduites qui appartiennent à l'exposant n, on aura 

et, par suite, 

Mais, d'après ce qu^on a vu plus haut, on a 

le dernier cas ne saurait jamais avoir lieu, à cause de 
Tégalité qui précède ; donc on a 

Corollaire. — // ^ a <f{p'' — i) /onctions réduites 
qui appartiennent à l'exposant p" — i, suivant le nio^ 
dule p et la fonction modulaire F(x). 

364. Théorème II. — Si deux fonctions réduites Xf, 
Xa appartiennent, relativement au module p et à la 
fonction modulaire ¥ [x), à des exposants n^j n^ pre- 
miers entre eux, le résidu minimum du produit X| Xa 
appartiendra à l'exposant n^ni* 

En effet, soit s un exposant tel, que 

(i) (XjX,)' = X^X;r-M [mod./7, F(;r)l, 

on aura, par l'élévation à la puissance 7t|, 

cl, puîsqueXf appartient à Texposant/ii, cette congrucncc 
se réduit à 

(2) Xf' — I [mod./?, F(x)]. 

La congruence (2) montre que sn^ est un multiple 



SECTION III. CHAPITRE III. I7I 

de /ij ; mais /ï| et /ij sont premiers entre eux, donc s est 
divisible par 712. D'ailleurs /la est l'un quelconque des 
nombres /Z| , 712, par suite s est divisible par 7Z| et par /ta ; 
il l'est donc également par le produit 7t| /I2. 

Enfin la congruence (i) étant satisfaite quand on prend 
5 = 7i| /î2, on voit que n^ n^ est effectivement l'exposant 
auquel appartient le produit X| X2. 

CoBOLLÀiRE I. — Si les fonctions réduites X| , X2, ..., 
X/ appartiennent, relativement au module p et à la 
fonction modulaire F(jr), à des exposants n^y n^, ''",ni 
qui soient premiers entre eux, deux à deux, le résidu 
minimum de la fonction X| X2 . . . X/ appartiendra à 
l'exposant n,n^... n^ 

Corollaire II. — Si le nombre p" — i est égal à 
2'^^r** . . . , y, r, . . . étant des nombres premiers impairs 
inégaux, et si X.o, X|, X2, ... désignent des fonctions 
réduites appartenant respectivement aux exposants 2', 
g^f r^f . . . , /e produit Xq X| X2 . . . , ou son résidu mini- 
mum, appartiendra à l'exposant p* — i . 

Des congruences suivant un module premier et suivant 

une fonction modulaire, 

365. Soit ^(X) une fonction entière de la variable X, 
clans laquelle les coefficients des puissances de X soient 
des nombres entiers ou des fonctions entières de la va- 
riable Xy prises suivant le module p et suivant la fonction 
irréductible F(x) d'un degré quelconque v. Je dirai que 
la valeur 

Xr=/(x) 

est une racine de la congruence 

S?(X) = o [mod.py F(x)], 



[^3 CODnS D ALGÈBRE SCPÉRtECBE. 

si, après la substitution def(x) à X, la fonction ^{X) 
est divisible par F(.ï^), suivant le module /v. 

Le corollaire du théorème dcmontré an n° 345 peut 
alors être énancé comme il suit: 

U^ne congruence du degré m, suivant un module pre- 
mier et suivant une /onction irréductible, a au plus au- 
tant de racines qu'il j' a d'unités dans son degré. 

366. TnÉonÈME I. — Soient F[x) et ^(x) deux Jonc- 
tions irréductibles suivant le module p, la première du 
degré v, la deuxième d'un degré égal à v ou à un divi- 
seur de V. La congruence 

3(\]—o [raod. ^, F{x)] 

a précisément autant de racines qu'il j a d'unités dans 
son degré. 

En effet, le degré de ^(X) étant un diviseur de v, 
on a 

XP'-X = ^[X)^.(X)+PZ(X>. 

Sf (X ) et ;({X) élant des polynômes à coefficients entiers. 
D'un autre côté, la con^ucnce 

Xp'—Xeso [moA.p, Y{x)\ 



a pour racines les p" fonctions réduites de X, zéro com- 
pris; d'ailleurs chacune des racines de cette congruence 
appartient à l'une ou à Taulrc des deux 

?(X]=o, rf,(X) = o [mod.f, P{x)]. 

et si l'une d'elles avait moins de racioes qu'il n'y q 
d'unités dans son degré, il faudrait que l'autre en cât 
plus qu'il n'y a d'unités dans le sien, ce qui est impos- 
tible. Le théorème énoncé est donc éubli. 



J 



SECTION III. CHAPITRE lit. IJ^ 

367. Théorèhe II. — Si ^(X.) est un polynôme du 
degré m dont les coefficients soient des nombres entiers, 
et dans lequel le coefficient de X** ne se réduise pas à 
zéro, suivant le module p^ on pourra trouver une fonc- 
tion irréductible F (x) suivant le module p telle, que la 

congruence 

♦ (X)==o [mod. /?, F(x)] 

ait m racines» 

En efiet, décomposons le polynôme 4>(X) en facteurs 
irréductibles suivant le module p ; soit 

♦ (X) = *ax)*,{X)*,(X)... (mod.p), 

et désignons par /ii, n2y n^, • • • les nombres inégaux 
par lesquels on peut exprimer les degrés des polynômes 
irréductibles 4>i, 4>2, .... Chacun de ces facteurs divi- 
sera, suivant le module p, l'une des fonctions 

X^"« — X, X'»"'— X, X'^'^'-X, ...; 

si donc V désigne le plus petit nombre divisible à la fois 
par /ify ^29 • • -9 les mêmes polynômes diviseront aussi 

X'''— X. 

Par conséquent, si Ton prend une fonction irréduc- 
tible F(j:) de degré y, chacune des congruences 

♦i(X)so 

*a(X) = o ( [mod.D, Flx)] 
♦,(X) = o 



aura {n? 366) autant de racines qu'il y a d'unités dans 
son degréy et il s'ensuit que la proposée aura elle-même 
autant de racines égales ou inégales qu'il y a d'unités 
dans son degré. 



174 corRs D*ALGÈBmE srpémiEumB. 

Propriétés des racines d'une congruence dont le premier 
membre est une fonction irréductible de degré égal 
au degré de la fonction modulaire ou égal à un sous- 
multiple de ce degré. 

368. Théorème. — Si Y\x) et S{x) sont deux fonc- 
tions entières irréductibles suivant le module p^ la pre^ 
mière du degré v, la seconde d'un degré p égal àif ou 
à un sous-multiple de v ; si en outre X| désigne l'une 
quelconque des racines de la congruence 

[t] ^{X =13 [mod. /?, F X'], 

les racines de cette congruence seront les résidus minima 
des puissances 

(a) x„ X?, x':', ..., x^' 

En effet, on a(n«347) 

gXP- ^[^{^i']"" (mod.p), 

et puisque X{ satisfait à la congruence (i), on aura 

^(Xr;=o [mod,/?, F(x)], 

donc chacune des puissances (a) ou son résidu minimum 
est racine de la proposée. Il reste à prouver que les résidus 
de ces puissances sont distincts. Si Ton avait 

Xr" = Xr [mod.,., F(x)], 
il s'ensuivrait 

X';''[Xfw--.:-i]-3 [mod./?, F(x)], 

puis 

X/y.(;^-. _,_o [niod./7, F(x)]. 

L'exposant auquel appartient X| est donc un diviseur 



SECTION ni. CHAPITRE 111. I75 

dep'»'(p» — ï)et, par suite, un diviseur dcp" — i, car cet 
exposant ne renferme pas le facteur ;> ; on a en consé- 
quence 

X''"— 1 = [mod,p, F {a:)]. 

Mais cela est impossible, puisque n est <^a; donc les 
résidus des puissances (a) sont distincts. 

CoROLXAiRE. — SiF[x) désigne une Jonction irré- 
ductible du degré y sui\fant le module premier p, la 

congruence 

F(X)=o [moà.p, F(jr)] 

a pour racines les résidus minima des v puissances 

Des racines primitives de la congruence 
X'»-»— 1 = [mod./7, F(ar)]. 

369. Quelle que soit la fonction entière F(a:) de de- 
gré V, irréductible suivant le module premier p, parmi 
les p* — I racines de la congruence 

(,) Xi»-* — i==o [mod./>, F(:r)], 

il y en a (^ (/?" — i) qui appartiennent (n** 363) à l'expo- 
sant p" — I ; nous les nommerons racines primitives. 

Si X désigne Tune quelconque des racines primitives, 
les racines de la précédente congruence seront les résidus 
minima des puissances 

Le nombre p" — i étant décomposé en un produit 
T^q^r^ ... de facteurs premiers, pour avoir une racine 
primitive de la congruence (i), il suffira, d'après le co- 



fjfi cocns d'ilcèbre supérieure. 

rollaire II du n° 3Qà, de former les cODgruences 



[») X"- 



. x^- 



=o... [taoà.p.r[r)]. 



et de chercher des racines de ces congruences qui appar^ 
tiennent respectivement aus exposants a', (/'', i^, .... 
Ces dernières racines peuvent être aommées primitives It 
l'égard de celles des congruences (a) auxquelles elles se 
rapportent. 

Si la fonction modulaire F(x) est choisie parmi les 
fonctions irréductibles du degré v qui appartiennent à 
l'exposant p' — i, il est évident que les p" — t racines 
de la coDgmence (i) seront les résidus des puissances 



, une racine primitive de la 



car X est, dans ce ( 
gruence. 

370, Lorsque l'on connaît une fonction irréductible 
F{x) de degré v, relativement au module p, cl qu'on a 
obtenu, au moyen de cette fonction, une racine primi- 
tive de la congruence 



(") 



x*--- 



I^o [mot], p, F(.i 



on peut trouver facilement toutes les fonctions irréduc- 
tibles dont le degré est égal à v ou à un diviseur de v. En 
d'autres termes, on peut effectuer la décomposition de la 
fonction 

xf'—^ ou X''"~X 

en facteurs irréductibles suivant le module p. 

En effet, soit \, une racine primitive de la con- 
gruence (i); toute puissance X' sera racine d'une con- 
gruence t«ile que 

la) H^]^ 



= o [mod.p, F(x)], 




J 



SECTION IIK CHAPITRE lîl. I77 

^(X) étant une fonction irréductible suivant le module p^ 
dont le degré fx est égal à v ou à un diviseur de v. Alors 
les racines de la congruence (2) seront (n^ 368) 

(3) X% Xr, X^A'', ..., IL'f". 
ety comme on doit avoir 

(4) X7''=X*; ou X'O^'^-Ozzsi [mod./7, Y[x)\ 
l'exposant e(/?** — i) sera un multiple A^p* — i. Posons 

et supposons que m soit le plus grand commun diviseur 
des nombres e dp" — i ; Ja condition pour que la con- 
gruence (4) ait lieu se réduira à celle de la divisibilité 
de p^ — I par n. Mais, pour que les fonctions (3) soient 
effectivement distinctes, il faut en outre que {x soit le plus 
petit nombre tel, quey^^ — i soit divisible par n. 

Le degré fx de la congruence (2) étant ainsi déterminé, 
on aura identiquement (n** 34S) 

;/[X:, = (X~X^)(X-X7)...(X-X7*'"') [moâ.p, F(^)], 

et, après avoir effectué le produit des binômes contenus 

dans le second membre de celte formule, on aura une 

expression de ^(X) de laquelle la variable x aura disparu. 

On pourra former de cette manière toutes les fonctions 

irréductibles dans lesquelles la fonction X^ — X peut 
être décomposée. 

Si Ton désigne par k Texposant auquel appartient Xf , 

on aura 

X^^=i [niod.77, F(x)], 

d'où il résulte que ke est divisible parp' — i = m/i, et 
que, par suite, k est un multiple de n; mais comme la 

S. — J^lg* t"P't II. 12 



178 C0UB8 d'algèdue supérieure. 

congruence précédente est satisfaite par Ar = n, on voit 
que Xj appartient à l'exposant /i. 

Je dis en outre que la fonction irréductible ^(X) ap- 
partient à Texposant n. En effet, désignons par ^1 (X) 
et ^(X) le quotient et le reste de la division de X* — i 
par ^(X ) suivant le module />, on aura 

X"- . = .f ;x)^,,x; -4- *[\) +pz(x), 

;^ étant une fonction entière. Cela posé, les congruences 

X"— i-=o, ^;x; = o [mod./7, F(ar)] 

admettent les p racines qui forment la suite (3); donc ces 
racines appartiendront aussi à la congruence 

4>(X;:-^o [mod./?, F(.r)], 

et comme celle-ci ne peut être d'un degré supérieur à|i — i, 
elle est nécessairement identique et Ton a 

4>(X^=so ;mod. /7\ 

d'où 

X"-i=:.f[X;.T".tX:.-/>z;X), 

ce qui exprime la proposition énoncée. 

371. D'après ce que nous venons de voir, si Ton veut 
former toutes les fonctions irréductibles du degré y qui 
appartiennent à l'exposant n, diviseur propre àe p* — i, 
on posera 

et l'on prendra ensuite pour e l'un quelconque des mul- 
tiples (le m premiers à //. L'expression générale des fonc- 
tions demandées sera 

^IX;= X-X^. ^X-X7;..ÂX-X7^*) [mod./i, F(jrj]. 



SECTION III. CHAPITRE III. I79 

Si l'on veut avoir les fonctions irréductibles qui appar- 
tiennent à l'exposant p* — i et auxquelles répondent les 
racines primitives, on fera m = i , n = p' — i, en sorte 
qu'il suflira de prendre pour e, dans la formule précé- 
dente, tous les nombres premiers kp* — i et à p. 

Du point de "vue sous lequel Galois a envisagé les 
congruences suivant un module premier et une fonc^ 
tion modulaire. 

372. Dans la théorie des congruences ordinaires, on 
traite comme s'ils étaient nuls tous les nombres divisibles 
par le module. Et de même, dans Tanalyse qui se rap- 
porte aux congruences de la forme 

^(X, jr)^o [mod./?, F(x)], 

on opère comme si les multiples de F(j:) s'évanouissaient. 
Or il y a ici une indéterminée x qu'on peut faire servir 
naturellement à Févanouissement des multiples de F( j:) ; 
il suffit efTectivemcnt de convenir que cette indétermi- 
née X est une racine imaginaire de la congruence irré^ 

ductible 

Y[x) ^o (mod. p). 

Ainsi peuvent s'introduire dans Fanalyse de nouvelles 
imaginaires dont l'emploi offre certains avantages, bien 
qu'il ne soit pas indispensable. Cette conception est 
entièrement due à Galois, qui Ta exposée succinctement, 
dans le Bulletin des Sciences mathématiques de Fé- 
russac ( t. XIII, p. 398) ( * ). 



(*) L'article publié par Galois en i83o dans le Bulletin de Férussac a 
été réimprimé ensuite arec ses autres Mémoires jdans le tomo XI du 
Journal de 3Iathématiques pures et appliquées. 



13. 



l8o COURS D*ALGEBRE SUPÉRIEURB. 

La théorie que nous avons développée nous donne, an 
point de vue de Galois, les propositions suivantes : 

Théorème I. — Si i désigne une racine imaginaire de 
la congruence irréductible de degré v, 

F(x)^o (mod. p) 
une congruence non identique de degré m, 

y(x)==^o (mod./?) 
ne peut avoir plus de m racines distinctes de la /orme 

OÙ ^0 y Al y ... , a^i désignent des entiers inférieurs à p» 
Théorème II. — La congruence 

^t*" — .r^o (mod./?) 
admet toutes les />' racines de la forme 

«0 H- /Il / -4- ^j/* -4- ... -4- «v_, /*-*, 

I désignant une racine de la congruence irréductible 

F(j:)e3 (mod./?), 
de degré y. 

Théorème III. — La congruence irréductible 

F(x)^o (mod./?) 

de degré v admet v racines qui peuvent être représen- 
tées par 

/, /^ iP' iP"'\ 

Théorème IV. — Une congruence quelconque non 
identique a autant de racines égales ou inégales qu'il 
y a d'unités dans son degré; toutes ces racines sont des 
fonctions entières d'une même racine imaginaire d'une 
congruence irréductible* 



SECTION m. — CHAPITRE ITI. l8l 

Thégaèice V. — La congruence 

xP""* — I ^o (mod. p) 

m 

admet des racines primitives; chacune de celles-ci est 
racine d'une congruence irréductible de degré v, et ses 
puissances fournissent toutes les racines de la con- 
gruence proposée. 

Tbéoeève VI. — Si ton a p* — ï = 9Î*9Î*« • -^î?» 
q%y ^2, ..., Çm étant des nombres premiers inégaux 
et aiy «2, • ••, et m des entiers quelconques, et qufi r^j 
^2y • • • > f'm désignent des racines primitives pour les 
congruences respectives, 

x'* — i^o, j?^« — i==o, ..., x'»'" — i^o (mod./>), 

le produit ri r2 . . . r^ sera une racine primitive de la 
congruence 

xP*"^ — I ^ o (mod. p). 

application de la théorie précédente au cas du 

module 7. 

373. Il ne sera pas inutile d'examiner quelques-uns 
des cas d'un module particulier. Je choisirai à cet effet le 
module 7, qui a 3 pour racine primitive, et je prendrai 
les résidus suivant ce module, entre les limites — Set 
H- 3. 

De la congruence x' "" * — i == o ( mod. 7 ). — Le théo- 
rème du n^ 358 nous donne immédiatement les trois 
fonctions irréductibles du deuxième degré 

Nous plaçant ici au point de vue de Galois, cherchons 



l8a COURS D^ALGEBRE SUPÉBIEVBE. 

une racine primitive de la congruence 

(i) x"*-* — iE=^o ou X*' — li=0, 

en partant de la racine i de la congruence irréductible 

(a) x*H-i£i30 (mod. 7). 

A cet effet, comme 48 = 2* X 3, il nous faut connattre 
une racine primitive des deux 

(3) jr^—l^^o, ar"— IEZ30 (iDod. 7]. 

La première de ces congruences a 2 pour racine primi- 
tive, et les racines primitives de la deuxième appar- 
tiennent à 

(4) jr'-4-i=HO (mod. 7^., 

laquelle, à cause de Phzb — i, se décompose en deux 
autres, savoir : 

^ — /s=o, a:*-4-/!Z3 (mod. 7). 

Considérons la première 

X* — in^o (mod. 7), 

et posons 

x = Oq -:- a^ i, 

il viendra 

al — Zala^i — ala]^ — Za^a\i^ -4- flji*=^/ (mod. 7), 

et, en réduisant à l'aide de 1* == — i , 

[al-^- a\a\->r a\)'^y—Za\a^->rZa^a\ — i)/^i3 (mod. 7), 

a ou 

ti\ -h a\a\'^a\~=iOj —Za\a^-\'Za^a\ — i=z20 (mod. 7). 

On satisfait à ces congruences en posant 

tfo — 2, fl, m — 3; 
donc la deuxième des congruences (3) a la racine primi- 



SECTION III. — CHAPITRE III. l83 

tive a — 3i; par suite la proposée a la racine primitive 

(5) x = 2X(a — 3/) = — 3-+-/ (mod. 7). 
En élevant au carré, il viendra 

(6) j:5=-2 -f- / -4- /«su- /. 

et, en éliminant i entre (5) et (6), 

x' — a:-+-3E^o (mod. 7). 

Telle est la congruence irréductible dont dépend la 
racine primitive demandée. Si Ton représente par i cette 
racine, les 4 H racines de la congruence (i) seront les va- 
leurs des puissances 






réduites par le moyen de la congruence 

/* — / 4- 3 ^:=E o (mod. 7). 

374. De la congruence x"^ ~* — iï=3 (mod. 7). — 

Le théorème du n° 358 indique, pour le module 7, Texis- 

tence des quatre fonctions irréductibles du troisième 

degré 

x' — 2, jr* — 3, :r' -h 3, x"*' -f- 2. 

Nous désignerons par i une racine de la congruence 

i^TmOL (mod. 7). 
et alors les racines de la proposée seront de la forme 

Cherchons une racine primitive de la congruence pro- 
posée qui est 

(i) x'** — 1=0 ou X**'** — I =20 (mod. 7). 

Il suffit pour cela d*avoir une racine primitive de chacune 
des trois suivantes : 

(a) ^' — 1^0, or*'— i££zo, x'^— -izz^o (mod. 7). 



i84 COURS d\lgèbre supériedre* 

La racine primitive de la première des congruences (a) 
est — i; la deuxième de ces congruences (a) peut se 
mettre sous la forme 

(x»— i)(x»— 2)(«>-+-3)e=o (mod. 7), 

et ses racines primitives sont les racines des deux con- 
gruences 

x*^=2, j:*==:= — 3 (mod. 7); 

donc I est racine primitive de la deuxième des con- 
gruences ( 2 ). Il reste à trouver une racine de x* • — i ^o, 
ou plutôt de 

^o (mod. 7). 



jr — I 



Examinons si Ton peut satisfaire à cette congroence 
en posant simplement x := an-i-a^î au lieu de 
«0 H- ûi ' H- ^2** î nous devrons avoir 

(«o-i-«i')**-=^i (mod. 7), 

ce qui, en développant par la formule du binôme, et ré- 
duisant les puissances de ao, a^ et i par les formules 

«;"*=-: I, «;'«=!, i»e:3 2 (mod. 7), 
se réduit à 

3 [a, -a\a\-^ [a\ a] -h a] a\] /«] = i, 
d^où, en séparant. 

Ces deux dernières conditions sont satisfaites en posant 

«0 - — ' » rt, = -h I . 

Donc — i-!-i est une racine primitive de la troisième 
des congruences (2). Le produit des trois quantités 

— I, /\ - I -; /, 
qui est 



SECTION III. — CHAPITRE III. l85 

sera donc une racine primitive de la congruence proposée 

J.7* — i^o (mod. 7); 

par conséquent, cette expression jouit de la propriété 
qu'en Télevant à toutes les puissances on obtiendra 7' — i 
expressions différentes et de la forme 

Si Ton veut connaître la congruence irréductible dont 
dépend la racine que nous venons de trouver, il faudra 
éliminer î entre 

a:=i — /* et /'r^a (mod. 7). 

En élevant la valeur de x au cube, puis réduisant les 
exposants de 1, il vient 

x' Ei= — 2 H- / — /* (mod. 7 ), 

d'où 

jc* — arH-2^o (mod. 7). 

Il sera convenable de prendre pour base des imagi- 
naires et de représenter par i la racine de cette con- 
gi'ueuce, en sorte que Ton aura 

/* — / H- 2 e:= o ( mod. 7 ), 

et l'on obtiendra toutes les imaginaires de la forme 

en élevant i à toutes les puissances et réduisant par la 
précédente congruence. 

375. De la congruence x'^ ~* — ie=o (mod. 7). — 
Le théorème du n° 354 nous fait connaître une fonction 
irréductible du quatrième degré, suivant le module 7, 
savoir : 

OU ar* -f- .r^ -f- a;* -H or + I ; 



X — I 



i86 COURS d'algèbre supérieure. 

effectivement le module 7 est racine primitive pour le 
nombre premier 5. En outre, d'après le théorème dé- 
montré au n"" 358, chacune des trois fonctions binômes 

est décomposable suivant le module 7 en quatre facteurs 
irréductibles du quatrième degré. On trouve par Tanalyse 
du n" 359 que ces facteurs sont respectivement 

or* H- x»— I, jr*-f- 2jr«— 2, x* -i- :r- -f- 3, 

x^ — jr* — I, jr^ — nx^ — 2, X* — J**-T-3, 

x^-f-3x»— 1, x*-h3x*— 2, ar^-4~2J:--f-3, 

x'* — 3.r^ — I , x^ — 3ar* — 2, J:* — 2X- -î- 3. 

Nous désignerons par i une racine de la congruence 

(i) /*4-3/* — 2=2o (mod. 7), 

et nous chercherons une racine primitive de la con* 
gruence 

(a ) a:^*"-* — I îrs o ou x'*°® — i E=r o (mod. 7). 

Comme 2400 = 2*.3.52 = 32 x3 X a5, il nous faut 
connaître une racine primitive de chacune des trois cod- 
gruences 

(3) ;r"— im-o, .r^ — l==o, x^'^ — 1=2 (mod. 7), 
Or la congruence (i) donne 

(4) ) /» ir: I -1-3/' [ (mod. 7) 

( /«•= — 2 

et, par suite, 

(/»•)»== (/•>)»«— --I (mod. 7). 

Il résulte de là que i' est une racine primitive de la pre- 
mière des congruenccs (3y ; la deuxième congruence (3) 



SECTION m. CHAPITRE III. 187 

admet a comme racine primitive ; il reste donc à con- 
naître une racine primitive de la troisième 

jr'*^i (mod. 7); 
essayons d*y satisfaire en posant 

X = a/ -f- bi^ ; 

en substituant cette valeur, réduisant an moyen des for- 
mules (4) €t égalant ensuite à zéro les coefficients des 
puissances de i, il vient 

--T-a^h -4- 3a* 6» — ^» =13 

2a*-l-3a'ô* — 2rtô^E=20 

> (mod. 7]» 

congruences auxquelles on satisfait en posant a = 3, 
6=2. Ainsi Sz-ha/^ est une racine primitive de 
X*' — 1=30, car il est facile de s'assurer qu'elle ne sa- 
tisfait pas à a:" — I ^ o. La congruence proposée admet 
donc la racine primitive 

X = 2/3 (3/ -h 2/'j = — I* — Zi\ 

ou, en réduisant, 

(5) x== — 2 4-/-f- 3/* 4- 21*. 
On tire de là 

(6) I x'= — i-i-/— 3/«-f-2z», 

( x^=3 — 3/4-/», 

et, en éliminant i, on trouve 

(7) x^ — ix^ — 2.r — 2==0 (mod. 7). 

Si Ton désigne maintenant par 1 une racine de cette 



i88 COURS d'algèbre supérieure. 

congTucnce (7), les st4oo premières puissances de i don- 
neront toutes les racines de la congruence 

jpikoê — i===o (mod. 7). 

376. A regard des fonctions irréductibles de degré 
supérieur à 4 pour le module 7, je me bornerai, en termi- 
nant, à des indications que le lecteur pourra développer 
sans difliculté. Nous n'avons aucun théorème qui nous 
permette de former directement une fonction irréductible 
du cinquième degré relativement au module 7. Mais il 
est aisé d*en obtenir une par tâtonnements. Ainsi on 
reconnaît que la fonction 

est irréductible suivant le module 7, parce que, si le 

contraire avait lieu, cette fonction aurait un diviseur du 

premier ou du deuxième degré, lequel appartiendrait, en 

même temps, à la fonction x*' — i; or il est facile de 

s'assurer que cette fonction et la proposée n'ont aucun 

diviseur commun suivant le module 7. Il y a plus, la 

fonction x' -+- x — 3 appartient à l'exposant 7* — i , en 

sorte que, si l'on désigne pari une racine de la conginience 

irréductible 

I» _f. / _ 3 r^ o ( mod. 7 ), 

les 7' — I premières puissances de i donneront les ra- 
cines de la congruence 

x"*-* — i==3 (mod. 7). 

Dans le sixième degré, il y a deux fonctions binômes 
irréductibles, savoir : j:* -+- a et x* — 3, et il est facile 
de conclure de Tune ou de l'autre une racine primitive 
de la congruence 

r"*-* — i==:-o (mod, 7). 



SECTioif III. — chàpithb III. 189 

Par exemple, si Ton pose 

/•?=: — 2 (mod. 7), 

il sufBra de déterminer une racine primitive de chacune 
des quatre continences 

jpU — 1^0, jr' — 1==0, x'* — 1^0, ar** — 1==0 (mod. 7), 

en procédant comme nous Tavons fait dans les cas que 
nous avons examinés précédemment. On reconnaît faci- 
lement que i-f-i est une racine primitive de la con- 
gruence proposée; cette racine appartient à la con- 
gruence irréductible 

[x — i)*-4-2^o (mod. 7). 

Enfîn, dans le septième degré, nous connaissons une 
fonction irréductible, parle théorème du n**360, savoir : 
x' — X — g, g étant différent de zéro. Si l'on désigne 
par î une racine de la congruence irréductible 

/7 — / — 3==o (mod. 7), 

on reconnaîtra facilement que /est racine primitive pour 
la congruence 

;r'''-*- iE=iO (mod. 7^ 



i<)o COURS d'algI:bbe supérieure. 



CHAPITRE IV. 

DÉTERMINATION DES FONCTIONS ENTIÈRES IRRÉDUCTIBLES. 
SUIVANT UN MODULE PREMIER, DANS LE CAS OU LE DEGRÉ 
EST UNE PUISSANCE DU MODULE. 



Sur les fondions entières irréductibles, suivant un 
module premier f dans le cas où le degré est égal au 
module, 

377. Dans un travail qui fait partie du tome XXXV 
des Mémoires de l'Académie des Sciences j et doDt mon 
Algèbre supérieure reproduit les résultats, j'ai montré 
qu'on peut obtenir immédiatement une fonction entière 
du degré v irréductible suivant le module premier p, 
lorsque le nombre y ne renferme aucun facteur premier 
différent de ceux qui divisent p — i , et aussi lorsque 
ce deg;ré est précisément égal au module. 

Je me propose ici de revenir sur le dernier de ces 
deux cas et d'exécuter la décomposition de la fonction 
xP^ — X en facteurs irréductibles suivant le module/;. 
Posons 

i X,.^.r/'--^xP''-4-..+ (-.)^- ''^'""'--'''~^-^'') :r^'H-. 
\ ^ I ^ ' I . 2 . . . /• 

il est évident que Ton aura 

(2) X^i^XJ— X^ (mod./?). 

Multiplions entre elles les p — 1 congruences comprises 



SECTION III. CnAPITRE IV. I9I 

dans la formule (2) quand on attribue à jx les valeurs 
i, ûy 3^ .,,{p — i),et divisons ensuite la congruence ré- 
sultante par Xa Xs . . . Xy,_ 1 , il viendra 

(3) X^=X,(xr*~iXxr*-0...(Xpî-i) (mod./i); 

mais la formule (i) donne 

Xi=j:'' — X, et l^pz^xP^ — X [moà.p], 

en sorte que le quotient V de X^ par X| est égal au 
produit de toutes les fonctions entières irréductibles de 
àeçcé p\ on a, par la formule (3), 

(4) v=s:xr'-i)(xr'-i)...(xp;-i) (mod./,;. 

et l'on sait d'ailleurs que 

(5) X^* — i2.---;x,4 — i) (Xj^— 2)...(x,^— /?—i) (mod./?). 

Ainsi chacun des facteurs Xj~* — i de V est, d'après 
la formule (5), le produit de/? — i facteurs X^ — gy où 
g a les valeurs i, 2, ... ( p — 1), et chacun de ces fac- 
teurs X^ — g est lui-même le produit de /?**"* facteurs 
irréductibles du degré p. En particulier, le facteur 
XÇ"* — I est le produit des p — i polynômes irréduc- 
tibles 

(6) joP^X-g, 

que j'ai considérés précédemment. 

378. Les fonctions entières irréductibles du degré p 
peuvent être distinguées en p — i genres, en compre- 
nant dans le fji**"* genre toutes celles dont X^* — i est 
le produit. Le premier genre comprend les /? — i fonc- 
tions (6). 

Soit i une racine de la congruence irréductible 

(7) iP — i — i~=o (mod. />), 



19^ COURS d'algèbre supérieure. 

les racines de cette congruence seront 

/, ï -h I, / -4- 2, . . . , / -H /î — f , 

et il est évident que les p racines de la congruence 

xP — X — g^^o [moà. p) 
seront 

en sorte que les fonctions irréductibles du premier 
genre sont caractérisées par cette circonstance que leurs 
racines sont des fonctions linéaires de i. 

Je dis que généralement les fonctions du /x**"** genre 
ont pour racines des fonctions entières de i du degré fi. 

En effet, considérons une telle fonction, et dési- 
gnons par 

(8) /(/ ) = tfo H- «1 ' + ^i'"* + . . . 4- a^JP-^ 

Tune des racines de la congruence obtenue en Tégalant 
à zéro, suivant le module p. D'après ce qui a été dit plus 
haul,y(i) seraracinede la congruence X^^Hg^ (mod.^), 
dans laquelle g a une valeur convenable. Exécutant la 
substitution et observant que 

[/(/•)]"" =:/(/'^') -=3/(/ + m) (mod.p), 

il viendra 

/(/+H-J/(/4-^-.)+{i^/(,--i-^-2:.-... 

+ (->)"-' 7/('+') + (-«)"/(')=? (in.Kl.^). 

Cette congruence est nécessairement identique, car 
son premier membre est un polynôme en t de degré h 



SECTION m. CHAPITRE IV. iy3 

férieuT kp; d'ailleurs ce premier membre est la diffé- 
rence fx**"* de y(i) relative à la différence constante i 
attribuée à i; donc, puisqu'il se réduit à la constante g 
différente de zéro, le deg;ré dey^(i) est précisément égal 
k fx; on a, en conséquence, 

I • Ji « • « tA 
I 

379. Il est aisé d'obtenir les fonctions irréductibles 
des différents genres. Supposons que les p coefficients 
Oq, ai y ..., ap_i de la formule (8) restent indéterminés, 
en excluant le cas oik/[i) se réduirait ù la constante ao, 
et considérons la congruence 

(9) '^[/[i) — ^] = o [mod.p], 

dans laquelle X prendra les p valeurs o, i, 2, ...,/> — i. 
Si Ton rabaisse au-dessous de p les exposants de /, en 
faisant usage de la congruence (7), la formule (y) 
donnera p congruences, dont les premiers membres 
seront des fonctions homogènes et linéaires des puis- 
sances i®, i*, i^y ..., iP'^*. En égalant à zéro, suivant le 
module;?, le déterminant F[x) formé avec les coeffi- 
cients de ces puissances de i, on obtiendra la congruence 
irréductible dont les racines sont 

F(x) sera donc une fonction entière irréductible du 

degré p. 

Si Ton fait, pour abréger Técriture, 

et qu'on regarde ap comme équivalent à ao, en sorte 
5. -^jiig. sup.. II. i3 



194 COURS d'algèbre supéricers. 

que a, représente Oq •+• Up^i, on trouve immédiatement 



«n — -r /?, 






n. 



X Ci 



a 



/-i 



Jr . 



«p_, 



«P-* 









(ii)F(x;-- 



I ^1 



a, 



a, 



a, 



a 



«.— * «I 



>-t 



A 



/»-! 



«.- 



V-1 






«.-* 



Telle est l'expression générale des fonctions irréduc- 
tibles du degré p suivant le module p. 

Si l'on veut avoir les fonctions du fi""* genre, on 
fera 



• • • » 



^p-X = «f 



a^^x = o. 



(12) /7^^. = o, 0^^.5 = 0, 

et Ton peut supposer aussi 
(.3) 

En effet, la congruence F(j:)==o (mod. />) est celle 
dont dépendent les racines (10) ; or, parmi ces expres- 
sions (10), il y en a une, /(»-l-i), dans laquelle le 
coefficient de i^"^ est congru à zéro, et rien n'empêche 
de substituer dans noire analysey(i -+- 1) kfii). 

Ayant donc égard aux équations (12) et (i3), si Ton 
attribue aux coefficients a^, «i, ..., r?^_a les valeurs 
o, 1,2, ...,p — 1 et à a^ les mêmes valeurs, zéro excepté, 
la formule (11) fera connaître les [p — i)/>^~* fonctions 
irréductibles du fji'*"* genre. 

Si on fait Tapplication au cas de /x = i et à celui de 
fz = 2, on trouvera : 

1* Pour f*- :i, F(.r)=rjr/* — x — fl, ; 



< 



SECTION m. — CHAPITRE IV. igS 

380. Parmi les fonctions du {p — i)»*"« genre, il faut 
remarquer celles qui répondent au cas où les coefficients 
de la formule (8) sont nuls, à Texception de Uq et a^.i ; 
ces fonctions ont pour expression 

et elles ont cette propriété que les racines de la con- 
gruence F(a:)=Ho (mod. p) sont des fonctions ration- 
nelles et linéaires de Tune d'entre elles. Effectivement, 
la congruence dont il s'agit peut, si Ton y introduit la 
racine a\y se mettre sous la forme 

xP^^—^ j—^ (mod. /?), 

et l'on sait d'ailleurs que ses racines peuvent être repré- 
sentées parx, xPf xP\ ..., x^"'. 

Sur les Jonctions entières irréductibles suivant un 
module premier, dans le cas oà le degré est une 
puissance du module. 

381. Je me propose d'examiner ici le cas plus gé- 
néral des fonctions entières irréductibles, dont le degré 
est égal à une puissance quelconque du module pre- 
mier p. 

Posons, comme dans le précédent arlicle, 

^ \ ^ ^ I . 2 ... X 

-h(— i)»*-* ^j'P-\'[—\Yx (mod./7), 

formule de laquelle résulte la congruence 

(a) Xj^n^Xf— Xji (mod./?;. 

x3. 



(3) 



) 



ig6 COURS d\lg£Bre supérieure. 

La formule (i) peut s^écrire symboliquement de la 
manière suivante : 

Xp= ^ — i]^ [mod.p], 

en convenant que, après avoir eflectué l'opération indi- 
quée dans le second membre, on remplacera chaque 
puissance ^''"^ de H par x^*^~*. Alors, si Findice fA est 
divisible par une puissance de p^ et que Ton fasse 

on aura symboliquement 

X,^-= ï-./'^=[(Ç-i)p-l'^(ç^-,r {mod.p], 
c'est-à-dire 



I • 2 • • ■ A 

-f- —1/-* -xf^'^'^ .— 'T* (mod. /?;; 



-•-t 



dans le cas de v = i , on a 

4) \pm=i.vP^ — * mod. y?). 

La formule (a) exprime que X^ se change en X^ 
quand on change x en xP — x; d'ailleurs la même for- 
mule se réduit, pour yLz= Oy k 

J^l =:: X^ — Xq» 

ce qui montre qu'on doit regarder Xo comme étant égal 
à X. Il résulte de là que, pour exécuter p fois de suite, 
dans les formules (i) et (3), le changement de x en 
xP — X, il suffit d*ajouter p unités aux indices des fonc- 



SECTIOIf III. CHAPITIIE IV. I97 

tîons X qui y figurent. La formule (3) devient ainsi 

I I»2«»>^ 

H-(— i)-'-Xf^-f-;— i)'Xp (mod./?). 

382. Je désignerai généralement par V;, le produit 
de toutes les fonctions entières de degré p", irréduc- 
tibles suivant le module p. D'après la formule (4)> ce 
produit est égal au quotient des deux fonctions X^,», 
X;,»-» ; ainsi Ton a 

(6) Xpi^X^it-iV^ (mod./?). 

Ensuite la formule (2) donne 

X,H.: = Xf,, -X^+,. , (^od^). 

multipliant ces congruences entre elles et divisant la 
formule résultante par le produit X^^^., Xj^^2 . . . X^^^j, 
il vient 

(7) x^=x,.(xr*-i)(x{;;}~i)...(xf;:J..,-i) (mod./?). 

Faisons 
il viendra, à cause de la formule (6), 

v.-=(xp-J. - 1) (x^-J.^,- 1) (x^r-V,- i)...(xjrii- 1) (mod. p). 

Chacun des facteurs X^P7-t^i_i — ï du second membre 
de la formule (8) se décompose en p — i facteurs 



••• 



igS COURS d'algèbre supérieure. 

X^"-'^.v_i — gy où g dL les valeurs i , a, . . . , p — i , et 
cette dernière fonction est elle-même le produit de 
pP»-t^i-n-i facteurs irréductibles du degré p". 

Il y a lieu de distinguer en plusieurs genres les fonc- 
tions entières irréductibles de degré p^, ainsi que je 1 ai 
fait déjà dans le cas particulier de /i = i. Je nommerai 
fonctions du X»^*"* genre celles dont Xp;i*..»4-t — ' eslle 
produit, X ayant les valeurs 

I, 2, 3, ..., (/> — i)/?'*"', 

et le dernier genre, celui qui répond à X=. [p — i)/?""*, 
sera dit le genre principal. 

Si Ton exécute le changement de x en xP — x, dans 
le second membre de la formule (8), chacun des 
pfi — pft-i — , premiers facteurs entre parenthèses se 
changera dans le facteur suivant, d'après ce qui a été 
dit plus haut. Quant au dernier facteur X^».!, — i, qui 
est le produit des fonctions irréductibles du genre prin- 
cipal, il se changera en X^r* — i, ce qui est le premier 
facteur de V,/^,, c'est-à-dire le produit des fonctions 
entières irréductibles du degré //'"*"' et du premier genre. 
De cette considération résulte immédiatement le théo- 
rème suivant ; 

Théorkme. — Soit F(x) une Jonction entière du 
degré p"y irréductible suii^ant le module premier p. Si 
cette fonction appartient au X"^'"* genre supposé non 
principal, la fonction ¥{xP — x) ou F(X| ) sera réduc- 
tible y et elle se décomposera en p facteurs du degré p^ y 
irréductibles suivant le module p et appartenant au 
(X -+- I )'>/»<? genre. Mais, si (a fonction F(x) de degré j)^ 
appartient au genre principal, la fonction V[xP — x) 
sera clle-mcme irréductible suivant le module p^ et 
elle appartiendra au premier genre des fonctions de 
degré p""^^ . 



5ECTIOI« III. CHAPITRE tV. I99 

383. Considérons d'abord les fonctions entières irré- 
ductibles de degré ^^ et du premier genre. Le produit 
de ces fonctions est 



X{Îm-i — i=:^n(Xp«-i — g) (mod. /?), 

le signe de produit II s'é tendant aux valeurs i, 2 y . . ., 
[p — i) de g. Le facteur X^,»-i — g est ce que devient 

X;,»-» — I quand on y remplace x par - et qu'on mul- 

tiplie le résultat par g; il s'ensuit que la recherche des 
fonctions entières irréductibles du premier genre est 
ramenée à la décomposition en facteurs de la seule ex- 
pression 

(9) Xp«-« — i^.vP^ — or — I (mod. /?). 

Soient F (x) l'un des facteurs irréductibles de la fonc- 
tion (9) et in une racine de la congruence 

(10) F(x)^o (mod./?). 

La racine in appartiendra aussi à la congruence 

(i i] Xy,«-' — 1^0 (mod. p], 

et l'on aura en conséquence 

(12) /J''""'— /„=i (mo(l./7). 

En tenant compte de la formule ( 1 2) , la congruence (11) 
peut s'écrire de la manière suivante : 

(^— '/»)''''' — (^— '■/») = o (mod./?), 

et, par conséquent, les p^'*^* racines de cetle con- 
gruence seront données par la formule 

(i3) x--/;,-f-/(/„_i) (mod.p), 

dans laquelle i/,_i désigne une racine d*une congruence 



200 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE. 

irréductible quelconque de degré p""*, et y une fonc- 
tion entière du degré p""* — i, dont les coefBcienls 
peuvent avoir les valeurs o, i, 2, ...,(p — i). 

Parmi les valeurs de x comprises dans la formule (i3), 
figurent les p" racines de la congruence (10), et comme , 
d'après la théorie des congruences. Tune de ces racines 
est ij, on aura 

(i4) fj- /«=/(/„_,) [mod.p), 

la fonction y devant être ici convenablement choisie. 
La formule (14) permet d'éliminer des expressions 
qui contiennent les puissances de in au delà de la 
{p — i )•*"*, en introduisant les diverses puissances 
de «„.|. 

De là on peut conclure que, si l'on désigne par 

• • • • 

ht '1» 's» •••»'/» 

des racines de congruences irréductibles suivant le mo- 
dule p, dont les premiers membres soient des diviseurs 
des fonctions respectives 

Aj — I p jLp — I , Xp« — I ) • • • f Xi,"-» — I y 
on aura 



i", 




'i- 


-^1. 




'1 




'j 


—p.. 




9 


• a 


'3 

• • 


-p.. 

• • • • • 




'S 




'rt 


-p„- 


-1 



(i5) {/^— /3 = P„ }(mod.p), 



P^ étant une fonction entière des racines i|, 1*2, • . •« «V? 
qui ne renferme aucune puissance de ces racines supé- 
rieure à la(/; — 1 )**"•. 

Il reste à connaître la condition que doivent remplir 
les fonctions Pj^pour que les valeurs de l'i, i^, . . ., i^, 



SECTION m. CHAPITRE IV. lOI 

défînîes parles formules (i5), satisfassent effectîvement 

aux congruences respectives 

X,— i==o, Xp--i=^o, Xp«— 1^0, ..., X;,— » — 1^0 [mod.p], 

Pour remplir cet objet, nous aurons à nous appuyer sur 
un lemme que nous allons d*abord établir. 

384. Lemme. — Soit 

une Jonction entière du degré v<Ip» d^une quantité!^ 
racine de la congruence 

Ç'^" — Ç = i (mod. p), 

et dont les coejjîcients a, réels ou imaginaires, satisfont 
tous à la congruence 

aP^ — azrno (mod. ^); 
5* Von attribue à X^ la valeur f{JQ y ^'ï aura 

Xvpw-i-j^^ 1 .2. . . v.flr^ (mod. p), 

La démonstration de ce lemme se déduit très-facile- 
ment de la formule (5), qui donne l'expression de 
Xvp«^^ en fonction de Xp. Pour élever f{t^) à la puis- 
sance p('^^^P"'^ il faut répéter V — k fois l'opération de 
Télévation à la puissance pP"*] or, d'après Ténoncé 
du lemme, cette opération change ^ en ^ -f- i et elle 
laisse invariables les coefficients a; donc l'hypothèse 
Xp = y(^) entraîne 

et, à cause de la formule (5), 

} (mod. p). 



201 COURS D^ÀLGEBRE SUPÉBIEUftE. 

Le second membre de cette congnience est la diffé- 
rence v**"* de la fonction f[ X^ ) relative à la différence 
constante i attribuée à ^ ; il a donc pour valeur 

I . 2 • . . V . Ay, 

ce qui démontre la propositiom énoncée. 

Comme le produit i .2.3. . . (p — i) est congru à — i, 
suivant le module p, on déduit de ce qui précède le 
corollaire suivant, relatif au cas de y=p — i. 

Corollaire. — Si Von attribue à X^ une valeur re- 
présentée par une fonction entière f{^) du degré p — ly 

d'une racine ^ delà congruence Xj*'* — ^ ^ * (mod. p)^ 
dont les coefficients a satisfassent à la congruence 

aP^ — a^^o[ mod. p ) , la fonction X^-h-i^;,'»^ prendra 
une valeur congrue au coefficient changé de signe de 
la puissance ^^~ * dans f{^)' 

385. Revenons maintenant aux formules (i5). Sup- 
posons les fonctions 

telles que i^ 's^ • • • > in^t soient respectivement racines 
des n — I premières congruences (i6), et cherchons 
dans quel cas la valeur de i„j définie par la dernière 
des formules (i5), est racine de la dernière des con- 
gruences (i6). Il est évident que cela revient à chercher 
dans quel cas la congruence 

Xi---P„«i [mod.p) 

enlraîne 

Xp«-« £=:= I (mod. p]. 

Désignons par P„'lj le coefficient de «Jl} dans Pji.i, 
par P„*:.i le coefficient de ijl} dans PJl-n par P'^Lt '« 
coefficient de ijij dans P„'!_i, et ainsi de suite; le coef- 
ficient PiTlV' de i^ dans P^I*^ sera un nombre entier. 



SECTIOIf III. CHAPITRE IV. 203 

Cela posé, le corollaire du lemme du n** 384 est appli- 
cable successivement dans les n — i hypothèses sui- 
vantes : 

r-./l-3, p^pn-t^pn~,_^,^ Ç - /„-2, /(?)=-- P^ip 



Effectivement les conditions de ce corollaire, savoir : 
Ç^''"— Ç = i, ai^"*—a = o (mod.p), 

sont remplies dans chacune de nos n — i hypothèses; 
donc la congruence 

X, = P„_, (mod.y?) 
entraînera successivement les suivantes : 

et, par conséquent, pour avoir Xp«-«^i (mod. /:;), il 
faut et il suffit que 

c'est-à-dire que P;,_| contienne le terme if~* if~*. . .ijl} 
avec le coefficient ( — i)"-*. 



2o8 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

et nous ferons en outre 



d'où 



1 



zP-^^^^-L- [mod.p]. 



On tire de ces formules 



II II 

(mod. /?), 



d'où 






1-^2 .p X, -f- I 



y /f=- ; (mod. />), 



*-X,-z' '«-X,- 
et l'élimination de l'i donne 

X,(X,-*-i),'Xf-+-Xr'-i)-X,«-f-5» , ^ , 

^"("x7 -T) = ° f"»*^- '')• 

OU, en désignant par Zt, Z2 les valeurs de z qui annulent 
le numérateur, 

^ 3| — Z ; (3j z] 

Multiplions entre elles la précédente congruence el 
celles qu'on déduit de celle-ci par le changement de z 
en iZj izy ...,(/; — i)z] remplaçons ensuite zP'* par 

- - — : il viendra 

X, -*-i 

(x,-v »]M3tz,)A--«- :x,-hi)(zr'-^xr' -xr') , 

5^{>H..M^-I "="" ^"^'^'^ 



SEcnoR m. — cHAPiTitc IV. ao9 

Faisons, pour abréger l'écriture, 

p=x,(x, -hi)(xf-*-xr'-i). 

xf-*-^ ^xrPH-...+ (.(i±lI(^-±iiii^xr''-*P^'+... 

* a * 2.3. . .fx * 

-i-^ '—^ P"T-, 

a 
on aura 

s, z, E- P zf-* -^ zf-* =Xf^* H- PQ (mod. p ) , 

et notre congruence deviendra 

(X, -+-i)»X,P''-«— (Xi-f-i)«XiQ — i = o (mod./?). 

Le premier membre de cette congruence est une 
fonction entière irréductible du degré p^ et du premier 
genre. 

388. Les formules (i5) du n** 383 peuvent être regar- 
dées comme définissant un premier groupe de fonctions 
entières irréductibles du premier genre et des degrés 
respectifs /;, />^, . . . , p". Nous allons montrer de quelle 
manière les fonctions irréductibles du degré p" des di- 
vers genres se rattachent à ce groupe fondamental. 

Revenons donc à la formule (8) et considérons l'un 
quelconque des facteurs de son second membre. Posons 

(20) Z^ = Xj-^-i [mod.p]; 

rindice fi a Tune quelconque des valeurs 

nous le supposerons mis sous la forme 

S. — Jiif* t»p*f n. 1^ 



aïo couKS d'algèbre supérieure. 

oco, âff, . . . , «/,.! étant des entiers positifs ou nuls et in- 
férieurs à p. 

Désignons par ^o un entier arbitraire, el faisons gé- 
néralement 

(2.) ç...=«i*'+«f 'w.+";*''î.,, -H...-i-<i,/:-»+c*, (mod.H 

a^y af y . . . étant des fonctions entières de i|, is, . . ., i* 
qui se réduisent à des entiers dans le cas de Ar=o; la 
quantité ^j^^i se réduira elle-même à Tunité dans le cas 
de aff=o. Quant aux racines i|, ij, . . ., i„, elles sont, 
je le répète, définies par les formules (i5). 

Cela posé, je dis que les [p — i)/^^ racines de la con- 
gruence 

(22) Z^==o [mod.p] 
sont données par la formule 

(23) xsÇoSiSî. . .5« (mod. />), 

dont le second membre est eflectivement susceptible de 
(p — i)p^ valeurs différentes. Deux de ces valeurs de x 
sont nécessairement distinctes, car leur différence est 
une fonction de degré inférieur à /> par rapport aux quan- 
tités I qui y figurent, et notamment par rapport à celle i« 
de ces quantités qui a le plus grand indice. Si donc la 
différence dont nous parlons était congrue à zéro, !«, se- 
rait racine d'une congruence de degré inférieur à ^, ce 
qui n'a pas lieu. 

D'après cela, il nous suffit de prou ver que la valeur (aS) 
de X satisfait à la congruence (22), et nous y parvenons 
sans difficulté au moyen du Icmme du n** 384. 

Faisons, pour abréger. 



SECTION III « — CHAPITRE IV. III 

et 

Aji- =r I . 2 . . . «„_i X I . 2 . . . ««_ j X . • . X I . 2 . . . «y^. ; 

si Ton applique le lemmc du n^ 38 i dans les n hypothèses 
suivantes : 

m — n—i, v = a„_i, p — o, ? ='n» /(?) ~?o5i .••S/i-iÇ/t> 

'» = /'— 3, v=ra„_3, p=a — f*„_„ ? = '«-«, /(?) =A„»,Ço5i • • ?/i-î, 

» » I » > 

/7l = 0, v=r«o, pi=^ — po, Ç = 'l, /(?)=Ai5oÇm 

on reconnaîtra que la formule (23) entraîne successive- 
ment les suivantes : 

Xu-,ijj_j ^ A„_i çoïi • • 'Ç/i— 1> 

(mod. />], 

X,i ^ Aq Çq 

et, puisque X^ se réduit ainsi à une constante, il est évi- 
dent que la congruence (22) est satisfaite. 

La formule (aS) définit, avec les formules (i5), les 
congruences irréductibles des divers genres de degré p". 
Celles-ci s'obtiennent effectivement en éliminant i|, 
«2, • • ., in de la formule (23). Par les motifs indiqués 
au n** 386, on peut, en vue de cette élimination, supposer 
nulle la partie constante du coelficieut de T avant-dernier 
terme des fonctions ^. 



rî. 



21 a COURS d'algèdre supérieurs* 



ŒAPITRË V- 

SUR LA TOTALITÉ DES NOMBRES PREMIERS COMPRIS 
ENTRE DES LIMITES DONNÉES. 



Sur l'é\faluation approchée du produit i.2.3...Xy 

quand x est un grand nombre, 

389. La théorie que j^ai surtout en vue dans ce Cha- 
pître exige que Ton connaisse les premiers termes de la 
série par laquelle on exprime le logarithme du produit 
des X premiers nombres entiers. Cette série célèbre est 
celle de Stirling, et elle a fait l'objet des recherches d'un 
grand nombre de géomètres, parmi lesquels je dois spé- 
cialement mentionner Cauchy, Binet, M. Malmsten et 
M. Liouville. Mais, parmi les démonstrations diverses 
qu'on possède de cette formule, je ne crois pas qu'il y en 
ail de plus simple que celle que j'ai présentée à l'Aca- 
démie des Sciences, dans la séance du a avril 1 860, cl que 
j'ai reproduite dans une Note qui fait partie de la sixième 
édition du Traité élémentaire de Calcul différentiel et 
intégral de Lacroix. J'ai montré dans cette Note que la 
formule connue de Wallis sufiil pour établir complète- 
ment celle de Stirling, et la déduction est si facile, que 
la deuxième formule peut en quelque sorte être regardée 
comme une transformée de la première. Je ne reproduirai 
pas ici tous les développements que j'ai donnés ailleurs 
sur ce sujet, et je me bornerai à établir les seuls ré- 
sultats qui sont indispensables pour Tobjet spécial que 
j'ai en vue. 



SECTiow irr. — ch4pitiie v. ai3 

Rappelons d^abord que la formule de Wallis, qui sera 
notre point de départ, se déduit de la formule 



cosz 



=(-^*)(-^)(-£) 



par laquelle on obtient la fonction cos z décomposée en 
un produit d^une infinité de facteurs linéaires ( * ). Cette 
dernière formule peut s'écrire ainsi : 



^sin(^-z) ^ ^^, 



2 

= 1 I-f- 



Z 

2 



et en faisant z = -9 il vient 



ou 

ÎT 2244 2X — 2 0.x — 2 IX , _. 

- — --53... pourx = co), 

2 I 3 3 5 2X — 3 2.r — I IX — 1 

ce qui est la formule de Wallis. 

390. Cette formule prend la forme très-simple 
[jk^Y = ' (po«r.r = a.), 
ou, en extrayant la racine carrée, 

(,) [y(-^)? ^, (nourx = a:>), 

^ ^ f[ix} ^' '* 

si Ton désigne par cf (a:), soit Texpression 



(*) Foir mon Traité de Trigonométrie, 5* cdilion, p. q41- 



ai4 COURS d'algèbre supérieurb. 

soit le produit de cette même expression par une expo- 
nentielle de la forme a^, a étant une constante quel- 
conque. La formule (i) aura donc lieu si, désignant parc 
la base des logarithmes népériens, on pose 

On tire de là la formule ( 2) 



ou 



la caractéristique /og: exprimant ici des logarithmes né- 
périens. Or on a, x étant ^ i , 

, / i\ I I I (-il"-» 



d'où 



(.,+ l)l„g (i-f-i)- 



I I 

^ I -4-- - - — 






t • • • 



2 W ( /î -h I I X" 



donc on a 

y r 1 I 3 



log — 

(5) ' 



j y(x-i-l) I2.r* 12.'.'* i\Ox* 



■'n-i] (— il'» 



• > M 1 • . • . 

2 « ^ /l -i- I ) J-'* 

Dans relie série les termes sont alternativement positifs 
cl né^^alifs; en oulre, la valeur absolue du rapport du 
terme de rang n au précédent est 



//- I 

-— ; 

/.-+-// — a X 



8ECT10» m CHAPITRE V. ai5 

ce rapport est égal à - pour n = 2, mais il est inférieur 

à - pour toutes les valeurs de n supérieures à 2 ; donc, 

lors même que x se réduirait à i, les valeurs absolues des 
termes de la série (5) décroissent à partir du deuxième 
terme. Il résulte évidemment de là que Ton a 



ou 



?» (5L ^ -1ÎX.. 



Mais on peut assigner une limite de ^^"^ > plus petite 

que la précédente, et, comme elle nous sera utile plus 
loin, il convient de l'indiquer ici. 

Si Ton multiplie la formule ( 5 ) par x -H i , il vient 

(*H-l)log ^^ ' — 



"^ 2^/1 — l)/i(/ï-i-l) J*"~* 

dans cette série, le terme en — manque ; les autres termes 
sont alternativement positifs et négatifs, et le rapport du 
terme en — • au terme en a pour valeur absolue 

(;,_,)(^_0,) , 



(// — I ) ( w — 2 j -^ 2 ( /^ — 4 ) -^ ' 

ce rapport est égal à - pour n'=> i^^ mais il est inférieur 
à- pour 72^4' Donc les termes diminuent à partir du 



2l6 COCKS D*ALGEBRE SUPÊHÎEURB* 

deuxième^ lors même que x serait égal à i y et Ton a 



ou 

(7) 



(,-4.,)log.^lM_<JL, 



,og^?M^< 



y(jr-hi) i2j:(x-t-i) 



391. La formule (6) montre que Ton a 



(8) 



«. 



— - r e f 



9o étant un nombre positif inférieur à — ; on aura aussi, 

en changeant X en x -t- I , x 4- 2, ..., 2X — i, et en 
désignant par 0|, ds, ..., O^-i des nombres compris entre 



zéro et — ? 



0, 



(9) 



=1?"-^*'% 



0. 



y(x-+-3) 

y(2x) 



• • 



Multiplions entre elles les égalités (8) et (9); comme la 
somme des x fractions 



9r 



«1 



-h 



«t 



* (xH-i)* (.r-1-2)* 



-+- 



Or-, 



• ■ • ^— 



(2.r — I ,« 



• 1 I ï ï 

est moindre que jXxouque — 9 on aura 

* 12 j:' ^ I2j: 



(10) 



ç>(2.r) 



SECTION HT. CHAPITRE V. 21'J 

6 étant un nombre compris entre zéro et — 9 et par suite 



12 



(11) V \ =^ pourarr=oo . 

Si maintenant on divise laformule(i) par la formule (11), 
il viendra 

(12)- tf[x)=i (pourx = oo), 

c'est-à-dire, à cause de la formule (2), 

(13) I .2.3. . .x= ^/27rtf-*:i:'"*'»(H-f-c), 

tx désignant une quantité positive qui s'annule pour 
X = 00 , et dont nous allons faire connaître une limite 
supérieure. 

392. Posons, comme nous Pavons déjà fait dans la 
Section II de cet Ouvrage, 

(14) r(jr4- l) = 1.2.3. . .x; 

on peut obtenir facilement, par ce qui précède, une 
expression complète du produit F (x 4- 1), ou, ce qui re- 
vient au même, une expression du logarithme népérien 
log T{x 4- 1). On a d'abord, par la formule (2), 

(i5) Iogr(.r-f-i)= -Iog27r — X-+- ix-^- -\ logx-f-logy(ar), 
et Ton a ensuite identiquement 

logo X — log ^^ ' ■ -h log^-] . H. .. 

mix-^m) . i 

-^log -P ^ -l-logo jr-h/w-T-ij; 

^ y(jrH-/?l-+- l) ^^^ ' 

mais si l'entier m croît indéfiniment, ç(a:-h/n-hi) 
tend vers l'unité, d'après la formule (12), et son loga- 



ai 8 COURS d'algèbre supêribuas* 

rithme tend vers zéro ; on a donc 



m=:< 



(l6) l0gy(x)=:y log 



if{x-hm) 



m=0 



f[x-\-ni-hi 



ou, d'après la formule (4), 



m=« 



(•7) 'og?W=5i[("^'"'*"a)'**('"^i^)"'] 

m=0 

et Ton aura en conséquence 

l logr(jr-hi)= -Iog27r — jr-f- f xH — jlogjr 

(l8) \ m = « 



Cette formule (i8), qui a été reQcontrée par Gadcr- 
mann, se déduit bien facilement, comme on le voit, de 
la simple formule de Wallis. 

393. On peut tirer la formule de Stirling de la for- 
mule (ï8), mais je n'entreprendrai point ici celte trans- 
formation et je me bornerai à déterminer les limites de 
logr(x -H i) qui nous sont nécessaires. 

Comme la quantité log 9 (jr) est positive, la formule (i5} 
nous donne d'abord 

(19) Iogr;a- -f- i) >-log27r — XH- (x-+- - jlog*. 

Ensuite nous aurons, par la formule (16), à cause de 
l'inégalité (7), 



m— « 



logo(x) < \ ; : r; 

^ I2;.r H-/w^ ^.r-f- m -h ij' 
msO 



SECTION TII. — CHAPITRE V. aip 

or la fraction 7 r-, ; se décompose en 

[a: -\- m) (x -\~ m -h i) * 



donc on peut écrire 



12 



«ogW*)<(î-:r^) 



a- -4- I X -{- 2 






La série contenue dans le second membre de cette for- 
mule a pour somme -9 et Ton a en conséquence 



puis 



log9(^) 


< 


I 

I2J7 










-x-h Ix-h 


2, 


j log^ H- 


I 

• 

I2j; 



Les formules ( 1 9) et (20) nous donnent les deux limites 
que nous voulions trouver. En revenant des logarithmes 
aux nombres, on obtient 



(21) 



I . 2 . 3 . . . ar ^ ^2 TT 



e~^x *. 



. 1 1 

i .2,.3. , .X <^^2ne ^*'x 2. 



Extension des formules précédentes au cas oà x VLCSt 

pas un nombre entier positif, 

394. On désignehabitueliementparle symbole V(x-^i) 
une certaine fonction de x qui a une valeur déterminée 
pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de x, qui 
De devient infinie que pour les valeurs de x égales à un 



220 COUnS D^ALGÈBUE SUPÉRIEURE. 

nombre entier négatif et qui seréduitau produit I.2.3...X 
quand x est un entier positif; elle coïncide, dans ce der- 
nier cas, avec la fonction dont nous venons de nous 
occuper. 

On arrive très-facilement à la notion des fonctions gé- 
nérales r quand on cherche à interpoler la fonction nu- 
mérique I.2.3...X, c'est-à-dire quand on cherche à 
représenter le produit i . a . 3 . . .x par une fonction de x 
qui conserve une signification bien définie lorsque x 
cesse de représenter un nombre entier positif. 

En eO'et, soient x eim deux nombres entiers positifs. 
Les X fractions 

mm m 



> • • • > 



m-hi /w-f-2 m-hx 

tendront vers Tunité si, x restant constant, on fait 
croître m indéfiniment; il en sera donc ds même du 
produit de ces x fractions, et Ton aura 



m* 



(14- ««) = !, 



(m-+-i)(m-+-2)...(m-hJF) 

€„t désignant une quantité qui s'annule pour m = 00 • On 
peut écrire aussi 

(1.2.3. . . m] m' , . 

1.2.3. . . (m-j- x) ^ '"' 

ou, en multipliant les deux membres par i .2.3. • • x, 

- (1.2.3... m]m'^ , . 

(x-h i) (0:4-2). . .(X-+- //i) ^ ' 

Faisant tendre Tentier m vers l'infini, on aura 

, X o 1. (i .2.3. . . m^w^ , \ 

I) i.2.3...3: = lim , — i— ^ .__ _ ^» (pour/M=:0]. 

Le second membre de cette formule devient infini 



SECTION III. — CHAPITRE V. 331 

quand x est un entier négatif, mais par toutes les autres 
valeur réelles ou imaginaires de j: il a une valeur finie 
et déterminée, comme on le démontre très-aisément. Si 
donc on pose 

I \ ^f . \ r (i .2.3. . . m]m' - . 

on aura, dans le cas de x entier positif, 

r(x-hi)=i.2.3...x. 

Cherchons la valeur de F (- 1 • Si l'on fait .r == 

dans la formule (2), il vient 

1 

r I - = (pour m =co \ 

\2/ 1.2.3. ..2m ^'^ 

et en posant, comme au n° 390, 



m} = -, 



on peut écrire 



m-»-- 

V 2 77 e~'" m * 



r - == v^^ ^ T- pour m=co . 

\2/ ?(2/w) ' 

Enfin, comme ^{fn) et (j>(2//i) se réduisent à l'unité, 
pour m = 00 , on a 

395. D'après ce qui précède, on peut écrire 
C;;, étant une quantité qui s'annule pour m = oo . On tire 



222 COUAS d'algèbre SUPÉaiEUEB» 

de cette formule 

xlog- — log — — ... 



4- 



ou, en écrivant m+ 2 au lieu de m et faisant tendre m 
vers l'infini. 

Celte formule (2) est équivalente à la formule (1) et 
elle exprime, comme celle-ci, la définition générale des 
fonctions F. 

Il est facile maintenant d'établir la généralité de la for- 
mule (18) du n"" 392. En effet, cette formule (18) et la 
formule qui précède s'accordent adonner, par une double 
(lifi^érentiation, 



m = 



les premiers membres de ces deux formules ayant ainsi 
la même dérivée du deuxième ordre, ils ne peuvent dif- 
férer que par une fonction linéaire de x ; mais, comme ils 
sont égaux pour toutes les valeurs de x entières et posi- 
tives, on en conclut qu'ils sont égaux, quel que soit j:. 

306. Nous ne pouvons nous dispenser de rappeler ici 
que, si x est une quantité positive, la fonction T[x) ncsl 
autre chose que celle qui a reçu de Lcgendre la dénomi- 
nation d'intégrale eulérienne de seconde espèce. Effec- 
tivement, en écrivant x — i au lieu de x, la formule (i) 
du numéro précédent devient 

, , f 1 . 9. . 3 . . . m ■ /w *■"* , 

r{jî = ■ ^ : ; ; r pOUr m = 00 ). 



SECTION III. — CHAPITEE Y. 223 

Intégrons par parties la différentielle a^~*(i — a)^doi, il 
viendra 



dcc; 



et comme x est positive, si Ton prend les intégrales entre 
les limites zéro et i , on aura 

On conclut de là, quel que soit l'entier /i, 

pour /i = m, Tintégrale du second membre se réduit à 

J[ jr^-^'"-*rfa=: : donc on a 

Jo *(ar-|-i)...(x. 



et, en écrivant — > — au lieu de a et rfa, 

mm ' 

*H-m /*'" ^ . / a\'". (i.2.3. . .m)/7i*-> 



Jo * \ ^/ * x(x-M)...(" 



^ Jo \ ^/ J^[J:-hi). . .[x -\- m — i) 

On a, d'après cela 

^(')==(''^S)X '^'"'('""m)"^* (pour;7a=(»)5 
on peut écrire aussi 

-t- / «"^"Mi—-! ^a (pour /?»=»). 



224 COURS D*ALGÈBKE SUPER lECRB. 

La quantité ( i ] a pour logarithme 

/ «* «• \ 

el, a étant regardée comme constante, elle atteint son 
maiEimum pour m = co ; ce maximum est er*. On a donc 

et Ton pourra poser 

étant une quantité comprise entre zéro et i. L'expres- 
sion de r(x) devient alors 

'«=('+^)[X""'-'('-^)"*- 



(l — ô) / a'-* e-«£/a (pourill=00 •; 



regardant maintenant M comme une constante, faisons 

tendre m vers rinfîni, on aura à la limite ( i ) =: r-«, 

et par suite 

o Jyi 

mais il est évident que la quantité d est ici rigoureusement 
nulle, car la formule précédente a lieu, quel que soitM, 
et la dernière partie disparaît pour M = oo . On a donc 






pour toutes les valeurs positives de x. 



SECTION III. CRAPTTItC V- a^S 

Détermination de deux limites entre lesquelles reste 
comprise la somme des logarithmes népériens de tous 
les entiers qui ne surpassent pas un nombre donné. 

397. Soit a an nombre entier positif; faisons x = a -h i 
dans la formule (19) du n^ 393 et retranchons ensuite 
log(a + i) de chaque membre; faisons en même temps 
x=a dans la formule (20) du même numéro, on aura 

logi.2.3...û>-log^27r-4-(a-f-i)log(a-f-i)— (a-hi) log(a4-i), 

log i.2.3...û<;iog^27r-+-aloga — a -4- - loga H • 

Cela posé, désignons par x une quantité positive 
quelconque au moins égale à i, et soit a le plus grand 
entier contenu dans x. On a, par hypothèse, 

a^x<aH-i et flr^i, 

et Ton en déduit 

(^H-i)(log«-i)+-I-=(x + l)(logx-i)-i--l, 



ou 

• f 

(ûH-i)Iog(a-l-i) — (a-f-l) log(fl -{-i) 

>xlogJr — X logX, 

2 

(^) • , . 

a loea — o H loga -f- -» — 

° 2 ° 12a 

^x\oex — xH — logx H 

^ 2 12 

Des inégalités (i) et (2) on conclut, en appelant T [x) le 

S. — jé^. sup,, II. i5 



936 COL'KS D*ALGÈ«ftC SUrtmiECMB. 

logarithme du produit de tons les nombres entiers qui 
ne surpassent pas Xj 

I T r >log^7^-hxlogx — *— -ÏOK*. 

/t r <logV2n^— rîogx — x^ -|ngx-#- -i- 

Ces inégalités ''3) sont celles que nous voulions obtenir. 

Sur la totalité des nombres premiers compris entre deux 

limites données. 

398. Le problème qui consiste à déterminer combien 
il y a de nombres premiers compris entre deux nombres 
donnés n*a pas encore été résolu et semble présenter les 
plus grandes difficultés. M. Tchébichef est le premier qui 
se soit occupé avec succès de celte question; dans on 
Mémoire présenté en i85o à l'Académie impériale des 
Sciences de Saint-Pétersbourg, cet habile géomètre a 
donné le moyen d'assigner deux limites entre lesquelles 
est nécessairement compris le nombre qui exprime 
combien il y a de nombres premiers entre deux nom- 
bres donnés. M. Tchébichef a déduit de son analyse la 
démonstration d'un postulatum sur lequel M. Bertrand 
avait fondé la démonstration d'un théorème important 
dont il sera question dans la Section suivante. Ce postu- 
latum consiste en ce que : 

Il y a toujours au moins un nombre premier compris 
entre a et 2 a — 2 si a est supérieur à -• 

Bien que je sois parvenu à démontrer le théorème dont 
il s*agit sans recourir à aucun postulatum, ainsi qu'on le 
verra dans la Section IV, je ne crois pas inutile de pré- 



SECTIOn III. CHAPITRE V. 397 

senter îciTanalyse ingénieuse de M. Tchébichef, analyse 
qui repose sur des considérations entièrement neuves. 

Nous désignerons par T{z), comme au numéro précé- 
denty la somme des logarithmes népériens de tous les nom- 
bres entiers qui ne surpassent pas z ; nous désignerons en 
outre par 9(2) la somme des logarithmes népériens de 
tous les nombres premiers qui ne surpassent pas z. Les 
fonctions T(z) eiO[z) se réduisent à zéro lorsque z est 
inférieur à a. Quand z sera une quantité composée. 



comme 



( -1 par exemple, nous écrirons, pour abréger, 



e(j)\ulieudeô[(f)']. 



Propriété fondamentale de la fonction 9[z). 

399. La propriété fondamentale sur laquelle reposent 
les recherches de M. Tchébichef consiste dans Tégalité 
suivante : 

T(x)=: ô(x)4- ô(ar)^ -f. B[x)^-^ $[xf ^... 

-(f)-(î)'-(ir-(î)*- 



où les séries doivent élre prolongées jusqu^aux termes 
qui deviennent zéro. 

Pour démontrer cette égalité, remarquons que chaque 
membre est égal à une somme de termes tels que h loga, 

i5. 



aa8 COURS d'algèbre supêriburb. 

k désignant un entier et 0e un nombre premier. Supposons 
que, dans la suite des nombres 1,3,3,49 •-•» <iui ne sur^ 
passent pas x, il y en ait A| qui soient divisibles par a ; 
nommons aussi Aa le nombre de ceux qui sont divisibles 
para^, et généralement A/ le nombre de ceux qui sont 
divisibles par a'; il est clair que le coefiicient de loga 
dans T{x) sera A|-hA2-+-Aj-|-. . . . Considérons main- 
tenant les termes qui composent une ligne verticale du 
second membre de notre égalité, par exemple, 



U .(;)'. .(!)'■ .(j)^ 



••'5 



on trouvera, dans cette suite, autant de termes contenant 
loga avec le coefficient i qu^il y a de quantités qui ne 
sont pas inférieures à a dans la suite 

111 



-'■ (;)■■ ©'• (i)' 



Or le nombre de ces quantités est évidemment le même 
que le nombre des quantités 

a*f 2 a', 3 a', 4 ^'» • • • t 

qui ne surpassent pas x ; ce nombre est précisément 
celui que nous avons désigné par A/. Donc le coefBcient 
de loga dans le deuxième membre de notre égalité est 
A|+A2 + As+« • •> ce qui démontre l'exactitude de 
cette égalité. 

Nous ferons, pour abréger, 

et alors Tégalité que nous venons d'établir pourra s'écrire 
ainsi : 

(a) T(x) = ;(.r)-f-|(^^ + ^Q++^f^-H..., 



SECTION m. — CHAPITRE V. ^QQ 

Démonstration de deux inégalités auxquelles satisfait 

la Jonction ^{z)* 

400. Les deux inégalités que nous proposons d^éta- 
blir sont les suivantes : 

♦W>TW+l(i)-T(î)-l(f)-T(i). 

,W-,(î)<TW.T(il)-T(î)-T(|)-T(|). 
L'équation ( 2 ) du n^ 399 donne 

= *W+ +(f)+ *(3)+ t(î) + .. 



!•) 



-*(î)-*fe)-*te)-*te)- 



-H-n-*(^)-*(ô)-Hr3)- 



3 



r*(i)-*(5^5)-*(o)-*fe)- 

Le second membre de cette équation est de la forme 

A|, A,2f As, ... étant des coefficients entiers. Or je dis 
qu'on a en général : 

Ajs trr I, si /i n'est divisible par aucun des facteurs 2, 3, 5; 

A^ :— o, si n est divisible par un seul des facteurs 2,3,5; 
l An~- — '» si /i estdivisiblepardeuxaumoinsdes facteurs 2, 3,5; 
. A« -^ — I , si /i est divisible par chacun des facteurs 2, 3, 5. 



d3o COURS D ALGEBRE SUPÉRIEURS. 

En effet, dans le premier cas, où n n'est divisible par 

aucun des nombres 2, 3, 5, on ne trouve le terme <{» (- | 

que dans la première ligne horizontale du second membre 
de Téquation (i). Dans le deuxième cas, où n est divi- 
sible par un seul des nombres 2, 3, 5, on trouvera le 

terme ^ ( - ) stvec le signe — dans une quelconque des trois 

dernières lignes horizontales du second membre de Té- 
quation (1), et comme ce terme existe dans la première 
ligne avec le signe -f-, on trouvera zéro, après la réduc- 
tion, pour coefficient de (f/l-j. Dans le troisième cas, 
où /lest divisible par deux des nombres a, 3, 5, le terme 
m-] se trouve avec le signe -f- dans la première ligne 

horizontale du second membre de Téquation (i), et avec 
le signe — dans deux des trois dernières lignes ; donc il 

ne restera après la réduction que — ^ ( "*)' Enfin, dans 
le quatrième cas, où n est divisible par chacun des nom- 
bres a, 3, 5, le terme <];( - j se trouve avec le signe -♦- 

dans les deux premières lignes du second membre de Té- 
quation (1), et avec le signe — dans les trois dernières 

lignes ; il restera donc encore — ^ ( ~ ) après la réduc- 
tion. Donc, pour 

/î — 3o/?M-i, 2, 3, 4» ^» 6, 7, 8, 9, 10, 

II, 12, i3, i4» i5, 16, 17, 18, 19, 20, 

21, 22, 23, 24, 25, 2G, 27, 28, 29, 3o, 

on a 

A„ :i, o, o, o, o, —I, I, o, 0, — I, 
I, —I, I, o, —1. o, I, —I, I, — I, 
o, o, I, —I, o, o, o, o, I, — I, 



SECTION III. CHAPITRE Y. q3i 

et, par conséquent, Féquation (i) se réduit à 

^w+Kf«)-K;)-^(f)-^(5) 
=*(';-*(i)+*(5)-+(^)+<n)-*(S)-- 

OÙ tous les termes du second membre ont pour coefficient 
-4-1 et — I alternativement. Or la fonction i|; (z) ne peut 
croître quand z décroît; donc la série 

qui forme le second membre de Téquation précédente, 
est comprise entre 



on a donc 



+ (^) et ^{.T]^^f^^y, 



+ (.)>IW-HT(i)-T(î)-T(|)-T(î) 

' '*(';-+(i)itW-.r(£)-T(f)-T(î)-T(î)., 

ce qu'il fallait démontrer. 

Détermination de deux limites entre lesquelles sont 
comprises les fonctions ^{z) et Q[z). 

401. On a vu, au n° 397, que la fonction T (x) satis- 
fait aux deux inégalités 

1 T(jr;<][log^/x7r -î- .rlogJ^ — x -\ log.r H -• 

1 — ^ I 

/ T(-rj>'log^2 7r-h Jrlogx — a: logar. 



a32 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEUHS. 

On déduil de là 

3i -L 3i I 

-f- ;;- a: logx — X log3o' * — — jr -f- logjr logBo, 

-\- ^arlog.r — xlogSo** — — x— logx-+- - logSo, 

el 

Si - - - 3i 3 1 

-î- 5-xlogjr — xloga* 3*5* — T- *-* — 1<^* logBo, 

oo " 00 a 2 

-+- ^- JrlogX — J?l0ff2' 3' 5* — .;— X loffJ? H lOffSo. 

3o ° ° 3o 2 ^ 2 ^ 

Retranchant la quatrième de ces inégalités de la pre- 
mière, et la troisième de la deuxième, il vient 



To3 /rV 



- 1 2^' 5* ^1 «. O ^ 

3o" " " " * ■> 

T(.H-T(il)-T(f)-T(î)-T(f) 

^ . 2^3*^5^ 5, î , 4')o 3 

^ > ^ log —, - - - l(,g.r + - log -— - -- . 

3o^* 2 ÏT I-l 



sscTioir III. — châpithe v. 
Noos ferons, pour abréger, 

J. i. X 

A = Iog — =0,92129202...; 

3o^ 

alors les inégalités précédentes deviendront 

5 t ^. 

<^ Ax H — logx log 1800 n -i — —' 

^ 2 ° 2 ** TT 12 

et Ton voit que Ton a, à plus forte raison, 



a33 



5 



(3)1 ,_v ,„x ,„x ,_s g 



-w*-fâ--(D-®-<i; 



>Ax logj:— I . 



Les formules (i) n^ont lieu que dans Thypothèse de 
j:]>i; d*ailleurs, pour former les inégalités (2), on a 

remplacé x par -» 0» r' t"? donc les formules (2) ne 

2 o cj 00 

sont établies que dans Thypothèse de a:^3o. Mais il 

est facile de vérifier que les formules (3) ont lieu pour 

toutes les valeurs de x comprises entre i et 3o, et, par 

suite, qu'elles ne présentent aucune exception. 

Des inégalités (3), combinées avec les inégalités (2) du 

&<* 400, on déduit 

5 
-^[x] > Ajt logx — I, 

+ (*) — * ( g ) < Ax 4- - logx. 



a34 COURS d'algèbre supémiEURB. 

La première de ces formules donne immédiatement une 
limite inférieure de ^{jc) ; la seconde peut servir, comme 
on va le voir, à obtenir une limite supérieure. Pour cela, 
posons 

/(x) = I Ax - --f^-^ kg»* + I logx. 



on aura 



et, par suite, . 
on a donc 

M')-^(g)</(-) -/{l) 

ou bien 

T X X ' •! 

en changeant successivement j: en tt > rr^ » ttj ♦ • • • ? ,.^^, 1 11 
vient 

Supposons maintenant que m soit le plus grand entier qui 

r 1 

vérifie la condition 6"*'^x; g^ tombera entre > <?l g' 

cl, par suite, 4'(g^) ^^^^ ^^^^'^ i^ ^^^ ^" outre que 
— y / .^irî ) sera moindre que 1 . En effet, la valeur de 



SECTIOH III. CHàPITHS V. *35 

— f{t) peut s'écrire ainsi : 

-, . 5log6 5 /, ', c\' 6 . 

-/(.) = -^g p-^ ^log. + - loge) - 5 A*, 



d'où Ton conclut 






et, à plus forte raison, 

puisque, 6 étant moindre que c^, log6 est inférieur à 3. 
D'après cela, la formule (5) donne 

,Kx)-/(x)<i, 

elj par suite, 

6 5 5 

(6) +(^) < 5 A^ + pp l«g'^ -^ 4 ^^g^ -^ '• 

Les deux limites que nous venons de trouver pour la 
fonction if>(x) vont nous permettre de trouver également 
deux limites de la fonction B[x), 

Pour cela remarquons que la formule 

donne 

1 L 1. 

',[x\ — 4»(v^) =ô(ar)-h0(jr)'-f-0(x)*+(^(-r)'+..., 
;(x)-2^p(^ij = 0(x)-[ô(:r)^--0{xr]-.[0(^)^-ô(x)^] • 

Or la fonction 6(z) est positive ou nulle, et d'ailleurs 
elle ne peut croître quand z décroît ; donc on a 



a36 COURS D^ALGÈBRB SUPéRIEDRB. 

IVfais on vient de trouver 

(8) { 5 

4»(^) > Ax — - log.r — I, 

et Ton en tire 

(9) j j. 5 

donc on a, par li^s inégalités (7), 

9{x)<|Ax-Ax'H-^Iog«x+|iog*+a, 

(10) j i 5 i5 
(e.(x)>Ax-^Ax«-yjj^log»x-l-»og'-3- 

Ainsi la somme des logarithmes de tous les nombres 
premiers qui ne surpassent pas x est comprise entre les 
limites 

p Aj? — Aj: -t 7-5 — TT log'x -h - logx -4- a, 
Ax- ^ Ax^- yA_log«x- ^log*-3. 



Détermination de deux limites du nombre qui indique 
combien il y a de nombres premiers compris entre 
deux nombres donnés. 

402. Soit m le nombre qui indique combien il y a de 
nombres premiers plus grands qu^un nombre donné / et 
qui ne surpassent pas un autre nombre donné L. La 
somme des logarithmes népériens de ces m nombres pre- 



SECTION III. CHAPITRE V. aS^ 

miers sera évidemment comprise entre m log/ et m logL ; 
on aura donc 

e(L)-0(/)>/wiog/, 
e(L)-e(/)</wiogL, 

cty par conséquent, 

log/ logL 

mais, diaprés les inégalités (lo) du n® 401, on a 

«(L)-9(/)<a(|l-/)-a(l'-^/^) 

■*■ Fï^ (îIog'L-MogV) -t- ^ (alogL + 31og/) -f-5, 

~ «1^ ''°^*^ ^ ' '"^''^ - I (3 iogL + a log/) - 5: 
donc 

'< ûifl • 

K*""?')" *(T''*-'^)~8i46^'°e'I'+»'°eV)- |(3logL-*-,loe/)-5 
>- TS^L • 

Ces formules donnent ainsi deux limites entre lesquelles 
tombe la quantité m qui désigne combien il y a de nom- 
bres premiers plus grands que / et qui ne surpassent 
pas L. La deuxième de ces formules montre qu'on trou- 
vera plus de k nombres premiers entre les limites / et L, 
si la condition suivante est satisfaite, savoir : 

a(l- I /) - a(^ L' - /*)- ^ (loca-i- » logV) - î(3 loeL-*- ï loj/) - 5 



a38 COURS d'algèbre SUPéBIEURB. 

et, comme / est ]> o et <; L, on vérifie celte inégalité en 
faisant 



/• = 



A(L-|/)-yAL^-g^log«L- -^logL - 5^ 

logL 
d'où Ton tire 

Ainsi, en prenant pour /cette valeur, on est sûr de trou- 
ver plus de h nombres premiers entre / et L. Il est bien 
entendu que / et L sont supposés plus grands que i . 

En faisant Ar = o, on conclut de ce qui précède qu'il y 
a au moins un nombre premier entre / et L, si Ton prend 

(3) /--gL-2L --g^-j_^- _^^„___. 

Application des résultats qui précèdent. 

403. Des résultats que nous venons d'obtenir il est 
aisé de déduire la démonstration de la proposition dont 
nous avons parlé au n^ 398. Eflectivement, nous venons 
de voir qu^il y a au moins un nombre premier entre les 
limites 

5, wT 251off*L 125 loi» L 25 

b loAlo^o 24 A bA 

donc il sera établi qu'il y a au moins un nombre premier 
entre les limites a et 2a — 2, si Ton prouve qu'on peut, 
par une valeur convenable de L, satisfaire aux deux iné- 
galités 

7.a — 2 > L, 

^^5 \ ?51og«L i25IogL 25 

a<gL-2L ~ i6AlogG~~Ï4Â~" 6i 



— • 



SECTION III. CHAPITRE V. ^ig 

Or on vérifie évidemment la première de ces inégalités 

en prenant 

L= 2fl — 3. 

Quant à la seconde, elle devient, pour L = 2a — 3, 



i6Alog6 



i7.51og(9.<z — 3) 25 
24Â GÂ' 



ce qui est exact pour toutes les valeurs de a qui sur- 
passent la plus grande racine de Téquation 

5 251og«(2x-- 3) 

125 log(2X— 3) 25 ^ • 

or on trouve que cette plus grande racine est comprise 
entre iSp et 160; donc, si a est> 160, il y a nécessaire- 
ment un nombre premier compris entre a et 2a — 2. A 
l'égard des valeurs de a inférieures à 160, la proposition 
peut se vérifier immédiatement au moyen des Tables de 
nombres premiers. 



SECTION IV. 



LES SIBSTITUTIONS. 



S. — Mfi. sap'f n. 



l6 



SECTION IV. CHAPITRE X. %i'i y 



SECTION IV. 

LBS SUBSTITUTIONS. 



CHAPITRE PREMIER. 

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SUBSTITUTIONS. 



Des permutations formées avec des lettres données, et 
des substitutions par lesquelles on passe d'une per- 
mutation à une autre. 

404. Les permutations de n lettres 

a, b, c, fi, . . ., A\ l 

sont les résultats que Ton obtient en écrivant ces lettres 
à la suite les unes des autres de toutes les manières pos- 
sibles, et Ton démontre dans les éléments d'Algèbre 
que le nombre total N de ces permutations est 

Représentons par de simples lettres 

Aq, Aj, Aj, • • • » A^\_i 

les N permutations dont il s'agit. L'opération par la- 
quelle on passe d'une permutation à une autre est dite 
une substitution (n°233). Nous représenterons une sub- 
stitution en écrivant entre parenthèses la permutation de 
laquelle on part, et, au-dessus de celle-ci, la permutation 

iC. 



244 COURS D*ALGÈimE SUPÉRIEURE. 

nouvelle qui doit la remplacer. Ainsi le sjmbole 



C:) 



désignera la substitution qui a pour eflet de remplacer 
les lettres de la permutation Aq par celles qui occupent 
respectivement les mêmes rangs dans la permutation A| ; 
les permutations Aq et A| seront dites les termes de la 
substitution y Aq sera le dénominateur et A| le numéra- 
teur. Il est évident que Ton peut choisir pour dénomi- 
nateur d'une substitution donnée Tune quelconque des 
N permutations. 

D'après cela, si Ton adopte Ao pour dénominateur, on 
obtiendra toutes les substitutions en prenant successi- 
vement pour numérateurs les N permutations; ces sub- 
stitutions seront donc 

Ao/ \Ao/ \Ao; \Ao J 

Le symbole ( \ ° ) représente ce qu'on appelle une sub- 

sfitittion identif/ue, il indique la conservation de Tordre 
des lettres; il y a avantage à le comprendre parmi les 
substitutions, et le nombre de celles-ci sera dès lors 
égal à N. 

Nous représenterons souvent par de simples lellresS, 
T, ... les diverses substitutions que nous aurons à con- 
sidérer. 

Lorsqu'une lettre occupe la même place dans le nu- 
mérateur et dans le dénominateur d'une substitution, 
on peut la supprimer sans inconvénient. Ainsi la sub- 
stitution 

ffhcd . . . \ 



SECTION IV CHAPITBE l. ^4^ 

peut s'écrire plus simplement 

s ^. (''"■■• 

\aa. . . 

On dit qu'une substitution est réduite à sa plus simple 
expression quand on a supprimé dans ses deux termes 
toutes les lettres qui y occupaient les mêmes places. 

Des produits de substitutions, 

405. On nomme produit d'une permutation donnée 
par une substitution la permutation nouvelle que Ton 
obtient en appliquant la substitution à la permutation 
donnée. Ce produit se représente en écrivant la substi- 
tution à gauche de la permutation donnée. Considérons, 
par exemple, la substitution 



-(î:)' 



si on rapplique à la permutation Aq, on produira la per- 
mutation A|, et nous écrirons en conséquence 



SA< 



(aJ^--^'- 



On nomme produit de deux substitutions données le 
substitution nouvelle qui produit le même effet que les 
substitutions données appliquées Tune après l'autre à une 
permutation quelconque. Ce produit se représente en 
écrivant la substitution qui doit être eflTecluée la première 
à droite de Taulre substitution. Ainsi le produit de la 

substitution S= ( ^ *) par la substitution T =: ( .* ) 

\Ao/ \Ao/ 

s'écrira 

TS ou 



(aJ U)' 



^46 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEtllE. 

pareillement le produit de la substitution T par la sub- 



stitution S s'écrira 



ST ou 






Si les deux produits ST et TS sont égaux, les substi- 
tutions S et T sont dites échangeables entre elles. Il est 
évident que deux substitutions qui, réduites à leur plus 
simple expression, n*ont aucune lettre commune, sont 
échangeables entre elles. 

Le produit d'un nombre quelconque de substitutions 
S, T, U, V, ... est le résultat que l'on obtient en multi- 
pliant la première substitution par la deuxième, puis le 
produit obtenu parla troisième substitution, et ainsi de 
suite; il sera représenté par . . . VUTS. 

Si les substitutions qu'il s'agit de multiplier entre 
elles sont toutes égales à S, et que leur nombre soit égal 
à V, le produit est dit la puissance v**"* de S; celle-ci se 
représente par S*. 

Lorsqu'une substitution identique, telle que ( *)i 

figure dans un produit, elle peut être supprimée, et en 
conséquence il est naturel de la regarder comme égale à 
Tunilé; ainsi nous écrirons 



{ 



Ao 
Ao 



---- I . 



En outre, si l'on convient de regarder comme égal à 
Tunité le symbole S*, quand v se réduit à zéro, quelle 
que soit la subslilulion S, il en résultera que la puis- 
sance zéro d\ine substitution quelconque désignera une 
biibblitution idei)tl(|ue. 



SECTION IV. — CHAPITRE I. 24? 

Ordre d'une substitution. 

406. Soit S une substitution quelconque, la série des 
puissances de S, en partant de S^ ou i , sera 

et, comme le nombre total des substitutions est limité, 
si Ton prolonge suflisamment la précédente suite, on 
verra nécessairement se reproduire des substitutions 
déjà obtenues. Supposons que Ton ait 

comme le premier membre de cette égalité est égal à 
S'. S**, on peut écrire 

s•s»'=s^ 

d'où il suit que la substitution S% appliquée à une per- 
mutation quelconque, ne produira aucun déplacement 
des lettres; en d'autres termes, cette substitution est 

identique et Ton a 

S^=i. 

On conclut de cette égalité, quel que soit l'entier y, 

(S*)'^ ou S*^— I, 

et, en multipliant par la puissance /**"*• de S, 

Il résulte de là que la série des puissances de S est pé- 
riodique, et que la période se compose des substitutions 

I f II), *^ f • . • f |9 . 

Si Ton suppose que v soit le plus petit nombre tel que 



243 couas d'algèbre supêriediie. 

S'= I, les termes de la suite précédente seront effecti- 
vement distincts; car Tégalité S^*'"^*' = S""' entraînerait 
S '= I, ce qui n*a pas lieu, puisque 1/ est inférieur à v. 
On nomme ordre d'une substitution S le plus petit des 
exposants v tels que Ton ait S* =.1, En d'autres termes, 
Tordre d'une substitution est le nombre de fois qu'il faut 
appliquer successivement la substitution à une permu- 
tation pour reproduire cette permutation. On voit que 
les seules puissances de S qui se réduisent à l'unité sont 

Sv Cfv C3v 

Nous conviendrons d'étendre l'égalité S^^''^^S'' aux 
valeurs négatives de /•; changeons donc r en — r, on 
aura 

et cette formule définit ce que nous appelons puissances 
négatives d'une substitution S, le nombre q étant choisi 
de manière que vq — r soit positif. Si, en particulier, on 
pose r = I , on pourra prendre y = i , et l'on aura 

Les substitutions S et S"* ont pour produit l'unitr; 
elles sont dites inverses l'une de l'autre. Si Ton a 

on aura évidemment 

Si une substitution S est d'ordre v, la puissance /i*"" 
de S sera de l'ordre -1 fl désignant le plus grand commun 
diviseur des nombres juiet v. En effet, pour que Ton ail 



SECTION IV. CUAPITRR I. 2^Ç) 

(S^y= I ou S^=- 1, il faut que fxx soit divisible par v, 
ou j: par -^ d'ailleurs, cette égalité a lieu en prenant 

X = -• Donc le quotient - représente Tordre de S^. 

On voit en particulier que si ju est premier à v, S** sera 
de Tordre v. Dans ce cas, si Ton pose 

Si*=T, 

la substitution S fera partie de la suite des puissances 
de T. En effet, si Ton élève à la puissance x l'égalité 
précédente, on aura 

S^r -^ jx ou ^^ ^y _- x;r^ 

^'désignant un entier quelconque. Mais v et (x étant pre- 
miers entre eux, on peut faire en sorte que les entiers a: 
et y satisfassent à l'équation ^^.x — vy = i, et l'on aura 
alors 

Des substitutions circulaires. 
407. Soit 

Aq :^= abc . . ./■/ 

Tune des permutations des n lettres a, b, c, , , . /', /; si 
l'on eflace la lettre a qui occupe la première place, et 
qu'on l'écrive à droite de la dernière lettre /, on formera 
la nouvelle permutation 

Aj == ^c. . ./7^?, 

et la substitution par laquelle on passe de la permutation 
Ao à la permutation A| sera 

(Ai'v _ f bc. . . Kla 
AqJ ~ \ahc, . .// 



3ÛO COURS DAIGLBRE SUPF.niKUHe. 

Pour effectuer cette substitution, il sufTit évidemment 
de diviser la circonrérence d'un cercle eo n parités égales, 
décrire au\ points de division successifs les lettres de U 
permutalioD Ag et de remplacer chaque lettre par celle 
qui vient prendre sa place quand on fait tourner le cercle 
autour de son centre, dans un sens convenable, d'un 
angle égal à la n'*"»' partie de quatre angles droit». C'est 
pour cette raison que la substitution dont nous nous oc- 
cupons est dite circulaire. 

Il est évident que l'ordre d'une substitution circulaire 
est ("gai au nombre n des lettres qu'elle dê/ilace. En 
elTet, cbaque fois que le cercle dont il vient d'être ques- 
tion tourne d'une quantité angulaire égale à la n"** par- 
tie lie quatre angles droits, ta substitution s'elTectue une 
lois. Or, pour ramener les choses à ce qu'elles étaient 
à l'origine, il faut que le cercle tourne, toujours dans le 
même sens, de n fois la n'""' partie de quatre anglei 
droits,et à ce moment la substitution a été eflecluéen Tois; 
donc l'ordre de la substitution est égal à n. 

On représente habiluellemenl une substitution circu- 
laire en écrivant entre parenthèses l'une quelconque des 
permutations dont les lettres rangées en cercle sont lellft- 
ment disposées que chacune d'elles remplace U précé- 
dente par l'eflel de la substitution. Ainsi l'on a 



ila\ 



..,^,0 = 



.. A, /. a].. 



IJéconiffatition d' une substitution fjuelcontfua an cyclf-s. 



40S. Théorème 1. — Toute substitution, si ette a'eri 
pas circulnire, est te produit de plusieurs substitutions 
circulaires effectuées sur des lettres différentes. 

En effet, soit S une substitution quelconque; cxécu- 



SECTION IV. CHAPITRE I. sSl 

tons cette substitution. Soit a Tune des lettres qu'elle dé- 
place et qu'elle remplace par une a^utre lettre b ; b elle- 
même se trouvera remplacée par une troisième lettre c, 
et, en continuant de cette manière, on tombera nécessai- 
rement sur une lettre/* qui se trouvera remplacée par a. 
Or il est évident que les lettres que l'on a ainsi rencon- 
trées ont subi la substitution circulaire (a, bj c, . . . y/). 
En prenant une des lettres restantes, et opérant de la 
même manière, on formera un nouveau groupe de lettres 
qui auront subi une substitution circulaire, et l'on pourra 
continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les 
lettres que déplace la substitution S. 

Si l'on désigne par Co> C|, C29 • . • les diverses substi- 
tutions circulaires que nous venons d'obtenir, on aura 

d — ViQ Vi| Vi| ■ • • f 

formule qui exprime la valeur de S décomposée en feu:- 
leurs circulaires. Ces facteurs sont dits les cycles de la 
substitution S. Les cycles qui ne contiennent que deux 
lettres prennent le nom de transpositions (n° 235). 
Considérons, par exemple, la substitution 



g_ fhkdfbjageci\ 
\a bcdefgh i jk)'^ 



en opérant comme nous Tavons indiqué, on trouvera 

S=(a, A, g) [h. A, i, e) (r, d, f, j). 

Lorsqu'une substitution S ne déplace pas quelques-unes 
des lettres du système que l'on considère, ces lettres ne 
figurent pas dans la valeur de S réduite à sa plus simple 
expression, ni dans les facteurs circulaires dont S est le 
produit. Si cependant on veut mettre ces lettres en évi- 
dence, on le pourra eu introduisant dans S des cycles 
formés chacun avec une seule des lettres dont il s'agit. 



232 COURS d'alGÈBRR SCP^RlRUaR. 

Cl qui représentent évidemment des substitutions iden- 
tiques; ainsi y dans le cas d'un système de six lettre* 
n, by r, r/, /?,y, la substitution 



S v. ( " : ■' — -^ \ 



tl c h a e/^^ 
ah C€l ej 

pourra s'écrire 

409. Théorème II. — JJ ordre d* une substitution quel- 
conque est égal au plus petit multiple commun des nom- 
bres qui expriment les ordres des cycles de la substi- 
tution. 

Soit 

3 — - C»o \~t\ v<2 • • • 

la substitution S décomposée en cycles. Si v désigne 
Tordre de S, on aura 

S* — î 
ou 

car il est évidemment permis d'intervertir Tordre des 
facteurs circulaires de S**. Pour que la précédente égalité 
subsiste, il faut et il suffit que Ton ait 

or, si «0 désigne Tordre du cycle Co, les seules puis- 
sances de Co qui se réduiront à i ont pour exposants 
«0» îi^o» 3«o» ••• • donc V est un multiple de sr^. On voit de 
même que Tégalité S* = i exige que v soit divisible par 
les ordres «i, ûto» ••• des cycles C|, Ca, Cj, ..., et 
comme cette condition est d'ailleurs suffisante, Tordre 
de S est précisément égal au plus petit multiple commun 
des nombres «o» ^n ^2 



SECTIOn IV. CHAPITRE I. a53 

410. Une substitution est dite régulière, lorsqu'elle 
est circulaire ou composée de facteurs circulaires d'un 
même ordre. Toute substitution qui n'est pas dans ce 
cas est dite irrégulière. 

Théorème III. — La puissance fi'^'^^ d'une substitution 
circulaire S d'ordre v est elle-même circulaire si [x est 
premier à v. 3 fais, si les nombres [letv ont un plus grand 
commun div^iseur supérieur à i , S** sera une substitu- 
tion régulière composée de 6 cj des d'ordre -• 

En effet, disposons, comme nous l'avons déjà fait plus 
haut, les v lettres de la substitution circulaire S aux 
points de division d'une circonférence partagée en v par- 
lies égales. La substitution S^ aura pour effet de rem- 
placer chaque lettre par celle qui en est éloignée d'une 
quantité égale à fx fois la v**™* partie de la circonférence. 
Si donc, partant de l'un quelconque des points de divi- 
sion et marchant dans le même sens jusqu'à ce qu'on soit 
revenu au point de départ, on considère les points de 
division de [à en p, les lettres placées à ces différents 
points devront subir par l'effet de S** une substitution cir- 
culaire. Or le nombre x de ces lettres doit être tel, que le 

produit de |ui — ^ para* soit le plus petit multiple possible 

de 27r, ou, en d'autres termes, tel que [xx soit le plus petit 
des nombres divisibles par v; si donc 6 désigne le plus 

grand commun diviseur des nombrespet v, on aurax::^ - • 

11 résulte évidemment de là que la substitution S"* est le 
produit de 6 substitutions circulaires renfermant chacune 

- lettres. Si fx et v sont premiers entre eux, on a =z i 

et la substitution S** est circulaire. 



ft54 cons d'algcbee srpéinErmE. 

ExcKPU. — Considérons la siibstîtuli<Hi cncolaire éa 

sixième ordre 

S= tf. 6, e, d,e,f^ 

les puissances de cette substitution seront 

S — a, A, c, d^e^f ^ 

S* = a, /, ^, d,c,b, 
S«=i. 

41 1 . Théoeèmb IV. — Réciproquement, touie jv&str- 
tution régulière est une puissance d'une subsiUuiiam eu- 
culaire. 

En eflct, soit la substitution régulière 

composée de B cycles d*ordre - ; il est éWdent que, si Too 
fait 

C— «l'jflj. • . ., <ii, ^1, ^t, • . ., ^:. ' tgx^gt .^i), 

on aura 

S - C». 

Décomposition d'une substitution donnée en facteurs 

primitifs, 

il 2. Les propriétés qu'il nous reste à établir dans ce 
Chapitre sont dues pour la plupart à Cauchy, qui les a 
fait connaître dans le tome 111 de ses Exercices d'Ana- 
lyse et de Pin si(/i4e mathématique. 

Soit S Tune quelcon(|ue des substitutions que lou 



SECTCOM IV. CHAPITRE I. a55 

peut former avec n lettres. Décomposons l'ordre v de S 
en facteurs premiers, de manière que Ton ait 

a, ô.ff ... représentant des puissances de nombres pre- 
miers inégaux. Désignons par )/ le quotient de v par a, 
c'esl-à-dire le produit 6y . . . , et par |tx un entier quel- 
conque positif ou négatif. Les nombres a et v' étant pre- 
miers entre eux, on pourra trouver deux entiers positifs 
ou négatifs x et jx' tels, que Ton ait 

/ f y- -'^ F-' 

a =z vx -h Ku' ou - = \- -r\ 

V a V 

pareillement, si Ton désigne par i/'le quotient de v' par o, 
on pourra trouver deux entiers j^ et [i!' tels, que 



'..vV + ep- ou ^ = r+^_. 



on aura par suite 



= h - -I- —9 



g • -7/ 



et il est évident que, si le nombre v" est égal à i, on 
pourra faire (a^'=o. En continuant ainsi, on mettra la 



! 



fraction *- sous la forme 
y 



a jr Y Z 

£_ l_ •! I i_ 

— T ^ ^^ ^ • • • » 

V a o y 



X, j> , S, . . . étant des entiers. Uégalité précédente a lieu, 
quel que soit |i; et en faisant |u( = i, on aura 



V V V 

a 6 y 



D'après cela, la substitution donnée S pourra s'écrire 

V V V V > V 



256 COURS d'algèbre supérieure. 

cl si Ton fait, pour abréger, 

V y V 

s*zi^p, s'i^j, ST=n, ..., 

on aura 

La substitution S étant d'ordre v, on voit que P est de 
l'ordre a, Q de Tordre o, R de Tordre y, et ain^i de suite, 
D'ailleurs x, r, z, , . . sont premiers respectivement à 
cf, c, y y ... ; donc P', Q^, R*, . . . sont respectivement 
des ordres «, 6, y, . . . . 

La formule précédente donne ainsi la valeur de S dé- 
composée en facteurs qui ont respectivement pour ordres 
les puissances de nombres premiers dont Tordre de S est 
le produit, et il est évident qu'on peut écrire ces fac- 
teurs dans un ordre quelconque, puisqu'ils sont tous des 
puissances de la substitution S. 

Une substitution est dite primitiife, lorsqu'elle a pour 
ordre un nombre premier ou une puissance d'un nombre 
premier. Si une substitution primitive est de Tordre 
oL-^^p^^p étant un nombre premier, Tordre de l'un quel- 
conque de ses cycles qui est un diviseur de // ne pcul 
cire que Tun des nombres i, /?, /;', . . ., />^~*. On voil 
par ce qui précède que toute substitution est décompo- 
sable en un produit de substitutions primitives écban- 
{^eables entre elles. 

Exemple. — Considérons la substitution circulaire de 

six lettres 

S ^ . ./, b, c, d, e, /) ; 

l'ordre de S est ici égal à 2X3. On a 

eu sorte que S' et S* sont les substitutions primitives 



SECTION IV, CHAPITRE t. iSj 

dont S est le produit. On a 

S' = [a, e. c) {b, /, d].' 

Des substitutions semblables, 

413. Deux substitutions sont dites semblables entre 
elles quand elles offrent le même nombre de facteurs 
circulaires et le même nombre de lettres dans les cycles 
correspondants. 

Il résulte de là que deux substitutions circulaires de 
même ordre sont semblables; pareillement, deux substi- 
tutions régulières de même ordre sont semblables lors- 
qu'elles offrent le même nombre de facteurs circulaires. 

Théouèmb. — Si S et S' désignent deux substitutions 
semblables, il existe une substitution P telle, que 

S'P — PS ou S'— PSP-*; 

et réciproquement, s'il existe une substitution P telle, 
que la précédente égalité ait lieu, les substitutions S 
et S' sont semblables. 

Soit 

A et B désignant deux des permutations des n lettres a, 
bj c, . , . y k, l. Supposons que a\ b\ c', . . . , fi\ /'repré- 
sentent ces mêmes lettres écrites dans un autre ordre 
quelconque, et soient A' et B' ce que deviennent A et B 
quand ony accentue les lettres. 11 est clair que toute sub- 
stitution S' semblable à S pourra être représentée par 

Si, en outre, on désigne par P la substitution dont 
S. — j^lg' sup,, H. 17 



258 COURS d'algèbre supérieurs. 

Teffet est V accentuation des lettres, on aura éxîdemmenl 

11 résulte dp là que 

--=a')(v)a')> 

la substitution y , \ doit être eifectuée la première; elle 

remplace les lettres de A^ par celles de A, puis la deuxième 
substitution remplace A par B et la troisième B par If; 
on a donc 

PSP-*=^^i] ou S'— PSP-S 
et; en multipliant à droite, de part et d^autre, par P, 

S'Pr^PS. 

Réciproquement, si la précédente égalité a lieu, la sub- 
stitution S'est semblable à S. En effet, la substitutions 

étant toujours représentée par ( j et la substitution P 

par ( ) o^ ( o ) ' on a, par bypothcsc, 

S'=PSP-» 



ou 

S': : 



SI a) (::■)-(;:;> 



d'où il suit que S' est semblable à S. 

Corollaire 1. — Tai substitution PSI^', semblable 
à S, s'obtient en exécutant la substitution P dans les 
c) des fie S . 

. En cflTel, il est évident que celte opération équivaut à 
racconlualion des lettres, dont nous avons fait usage 
dans la démonstration qui précède. 



SECTION IV. CHAPITRE I. aSp 

CoROLLAmE II. — Les produits ST et TS, que l'on 
obtient en multipliant entre elles deux substitutions quel- 
conques S et T, sont des substitutions semblables* 

En eflcty soient 

ST = P, TSt=Q;. 

si Ton multiplie à droite par T~* la première de ces 

égalités, il vient 

S = PT-», 

et, en substituant dans la deuxième égalité, il vient 

Q = TPT-*, 

d'où il suit que les substitutions P et Q sont semblables. 

ExEMPi^E. — Supposons que, le nombre des lettres étant 
six, on fasse 

on aura les deux substitutions semblables du cinquième 
ordre 

ST^Ia, c, b, d,f) [c], TS = (a, c, e, d, b) (/). 

Du nombre des substitutions semblables à une 

substitution donnée. 

414. Le nombre des lettres que Ton considère étant 
représenté par /i, soit S une substitution contenant m^ 
cycles de Tordre 7i|, m^ cycles de Tordre n^, . . ., enfin 
niu cycles de Tordre /i« ; on aura 

/î ;z= /Wj /ij -h //ij //, 4- . . . -h ni^ /?„, 

chacun des nombres /2|, n^, . . ., w*. pouvant se réduire 
à Tunité. 

Nous commencerons par chercher le nombre des formes 
distinctes que Ton peut attribuer à la substitution S, 
décomposée en cycles, sans déplacer les parenthèses qui 



renferment chaque cjcle el sans altérer, en conséquence, 
le nombre des lettres contenues dans on facteur circulaire 
de nnz déterminé. Il est clair que les seuls changements 
que l'on pourra faire ainsi sans altérer S consisteront à 
échanger entre eux les facteurs circulaires d*un même 
ordre, ou à faire passer successivement à la première placCi 
dans chaque facteur circulaire, une quelconque des let- 
tres contenues dans ce facteur. On voit, d*après cela, 
que le nombre M des formes diverses que Ton peut at- 
tribuer à S est 

31= 1.2... m, 1 .2. . .m,' . . . 1 . 2 . . . m. i»*« ifj^« ii^». 

Soit maintenant X le nombre des substitutions dis- 
tinctes Sf S', S'y ... semblables à S. Si Ton écrit succes- 
sivement chacune de ces substitutions sous les M formes 
distinctes qn^on peut lui attribuer sans déplacer les pa- 
renthèses, puis qu*on supprime ces parenthèses, on for- 
mera MX permutations. Mais il est é\ident que, parce 
procédé, aucune permutation des n lettres n*a été omise, 
el Ton a, en conséquence, 

d'où 

Des substitutions échaiigeahles entre elles. 

415. Deux substitutions qui se réduisent à des puis- 
sancrs (rurio même substitution sont échangeables entre 
elles; la même chose a lieu évidemment pour deux sub- 
stitutions qui n*()nt aucune lettre commune. Mais il im- 
[)()rtc de connaître la condition générale à laquelle doivent 
.satisfaire deux substitutions échangeables; c'est ce douL 
nous allons nous occuper. 



SECTI03Ï IV. CHAPITRE I. ûÔl 

Soient s et T deux substitutions que nous supposons 
échangeables entre elles; on aura 

ST==TS ou S = TST-*. 

Nous avons vu que la substitution TST~' se déduit de 
la substitution S en exécutant dans les cycles de celle-ci 
la substitution T; donc, pour que les substitutions S etT 
soient échangeables entre elles, il faut et il suffît que la 
substitution S reste la même quand on exécute sur les 
lettres de ses cycles la substitution T. En conséquence, la 
substitution T ne peut produire sur S que des échanges 
entre -des cycles d'un même ordre, et, dans un même 
cycle, le simple déplacement qui permet d'amener une 
lettre quelconque à la première place, sans altérer Y ordre 
circulaire des lettres du cycle. Chacun de ces échanges 
dont nous venons de parler, entre des cycles d'un même 
ordre, équivaut, s'il n'est pas circulaire, à plusieurs 
échanges circulaires effectués simultanément sur des 
cycles différents. Soient (Cq), (C|), ..., (Cj^_i) des 
cycles de même ordre qui doivent être ainsi échangés 
circulairement. La substitution T peut avoir, en oulre, 
pour eflet, comme nous venons de le dire, le déplace- 
ment qui permet d'amener une lettre quelconque à la 
première place dans chacun de ces cycles; mais Tarran- 
gemcnt Cq par lequel se forme le cycle (Co) ayant été 
choisi à volonté, on peut toujours prendre, pour former 
le cycle (C| ), Tarrangement C« que la substitution T doit 
mettre à la place de Co ; pareillement, pour former les 
cycles suivants (C2), . . ., (Cj^^, ), on peut choisir les 
arrangements C2, .. ., C^~i qui se substituent respec- 
tivement à Cl, C2, . • • , C^_2. Quant au dernier arran- 
gement Cji_p il ne sera pas en général remplacé par Co, 
mais par un autre arrangement C^ tel, que les cycles (Co) 
ct((/^) soient identiques. 



2^3 cor as d'algèiee suFÉEicums. 

Il résulte de là que. si Ton pose 

p= c. c ... c^. . Q=(c c, .'.c,l!(V-:)' 

et que l'on désigne par Pel Q', P* el Q^. — des sobsti- 
tulions analogues à P el Q, mais relalives à des lettres 
diflerentesy on aura nécessairement 



S_pp'p^ ..., T=rQQ'Q' 



• "f 



P el Q, Fel Q', P' el Q', . . . élanl des couples de sub- 
stitutions échangeables entre elles, dont le nombre peut 
se réduire à l'unité. 

416. Nous sommes ainsi ramenés à étudier les deux 
substitutions P el Q; la première est une substitution 
régulière, et on va voir que la deuxième l'est aussi. 

Soit I Tordre des cycles de P; pour plus de clarté, 
nous représenterons les lettres qui figurent dans un 
même cycle par un même caractère affecté des indices 
o, 1 , 2, . . . , (i — 1 ) ; posons donc 

Cl --^ hff />! b^b^. . . b._iy 



'•;*-; - — ^0 ^1 ^5 ^*3 • • •^/— !♦ 

et convenons, en outre, que Tun des caractères^, i, ..., 
e, f afTccltî de Tindice iV/ -f- a désignera la même lettre 
que si rimliceétaitri'duit au reste 5£ delà division de «^ 4- 3t 
par I. D'après cette convention, nous pouvons poser 

lorsque le nombre p est zéro, on a C, =Co et alors, si Ton 
pose 

(G-; — 1//:, bi, r:, . . ., l\, fl\ 



SECTION IV. — CHAPITRE I. 263 

on aura évidemment 

Q = (Go)(Gt)(G,)...(G,^0. 

Mais supposons que p ne soit pas nul. Comme dans le 
cas que nous venons d^examiner, la substitution Q rem- 
placera chacune des u — i premières lettres de l'arran- 
gement 

par celle qui la suit ; quant à la dernière lettre J^y elle 
sera remplacée par Or^^, et chacune des (x — i premières 
lettres de Tarrangement 

sera remplacée par la suivante, tandis que la lettre Jl^ 
le sera par «ç+j^, et ainsi de suite. Le cercle se fermera 
nécessairement, mais cela ne pourra arriver que quand 
on aura rencontré la lettre y|^.(x-i)p« dont Tindice est tel 
que ijO soit divisible par i. On voit, d'après cela, que Ton 
obtiendra un cycle de Q en écrivant à la suite les uns 
des autres les X arrangements 

^ih /;> 



Désignons ce cycle par Gç ; il reste à trouver le nombre 
des cycles Gç. 

Or X est, par définition, le plus petit nombre entier 
tel que Ip soit divisible par i; "ko est donc le plus pelit 
commun multiple de p et de i, et par suite, si Ton ap- 
pelle 6 le plus grand commun diviseur de p et de i, on 
aura 



264 COURS d'algèbre SI^PÉRlRUnB. 

chacun des cycles G^ conlenant - lettres a, leur nombre 
total est égal à Oy et Ton aura évidemment 

Q— .^o) '.^i; iG,;. . . 'Go-i). 

De ce qui précède on peut conclure une règle très- 
simple pour obtenir les expressions des deux substi- 
tutions échangeables P et Q. Le nombre p étant pris 
arbitrairement et B désignant toujours le plus grand 
commun diviseur de p et de i, formons le tableau 






composé de /i lignes horizontales et de colonnes ver- 
ticales; désignons par 

les arrangcinenls formés par les lignes horizontales cl 
par 

les arrangements formés par les lignes verticales, on aura 
les expressions suivantes des cycles de P et de Q : 

Cl ilî>o ^'i'i i'î»2»« • «ilî^x— ly.i 



(■. !• !• !• !• 

'; i ». „<. 0*- .'^- • -^ V' -»."" 



SECTION IV. CHAPITIVE I. îitij 

et 

Go = oiL„ oïip «m jp ,011 (^_i )p, 

Gi =r on.1 ^rcp^.! 011.5^1 . . .OR(x-i)p-i.i, 

• » 

Go— 2 ^^ •*^i^«-î«)rL»_j^.p. . .onj_j_^(\_i^p. 

Le nombre total 7 des lettres de chaque cycle G est 

j — >;^. 

Si jC =r I, on a ). = I et y = fx ; ce cas de f = t équivaut 
à celui de p = o que nous avons examiné à part; il est, 
comme on le voit, compris dans le cas général. 

Si p est un diviseur de i, on a = 0. 

Si p et i sont premiers entre eux, on a = i , X = i. 

La substitution Q est formée des B cycles (G) con- 
tenant chacun Xa lettres; elle est par conséquent de 

Tordre Xji ou -• On peut former sa puissance ju'^'*"* qui 

sera de Tordre X. On déduit des expressions des 
cycles (G^) 



Les cycles contenant les lettres a qui figurent dans le 
produit 

•instituent évidemment une substitution régulière qui 
^^ la puissance p du cycle (Go)- En étendant les mêmes 



^66 COURS d'àlgebke supérieurs. 

conclusions aux cycles formés des lettres A, c, . . ., on 
obtient la formule 

(Go)«*(G,)^..(Gi-,)^=(Co)?(Ci)r..(C^i> 
ou 

417. Comme application prenons 

Co = «0 ^1 «î «3 ^% ^19 

Cl " IfQ è, b^ b^ b^ />5, 

C^j = ^Tq Cl Cj Cj C4 Cj, 

C3 = r/ç r/j ^, </, ^4 f/,. 
On a ici 

/ = 6, f* = 4« 

Prenons p = 4> et par suite 

= 2, > = 3, 

on aura 

Xi = wç /y^^i , on : = l'/ï /-»$ q r/ç, 

Go = («0, ^0, <^ot ^^0» «4» /^» '*> fhy ^'1» ^«» ^t* ^f )f 

^1 = (''il ^1» <^1> 'A» ''S' '^5' ^5' '^»» ^J» ^J» ^3* ^»)- 

Les deux substitutions P cl Q ont pour expressions 

1 ^~~^ Cq Cj C| Cj, 

Q = GoG„ 
et il est aisé de vérifier que Ton a 

< (''o, ^1 Cl] l^l» ^3' ^;i^ //u» ^A» ^A^ W' ^»^ ^A 

On a (Tailleurs 

PQ r QP =r (<7y, /-»!, c,, r/j, rt,, />„ rv , U.^, a^, b^, Co, ^/, j 

X {«1, ^11 <^3» '^A' ^3' ''V' ^5» ^A» ^l^ ^0» ^1» ^J • 

Remarquons d'ailleurs que la substitution P étao^ 



SECTION IV. CHAPITBE I. nSj 

du sixième ordre, de Tégalité évidente 

P» = QS 
on déduit 

Une remarque semblable s'applique au cas général. 

On a 

P? = Q>*, 

et par conséquent, x étant un entier quelconque, 

Déterminons cet entier x par la congruence 

xp^B (mod. /), 

toujours possible puisque 9 est le plus grand commun 
diviseur de p et de i. On aura, la substitution P étant 
d'ordre i, 

et par suite 

P« = Q^J*. 



que Q est de Tordre -^î 



De cette équation on déduit encore, en se rappelant 

B 

n étant entier. 

D'ailleurs, Tentier x étant défini par la congruence, 

a:p^^B [mod. /■) 
ou 



H. ( 



mod. - 




sera premier avec -• 



B 



s68 COURS d'algèbre scpérieiirb. 

Les deux nombres x, - étanl premiers entre eux, on 
pourra toujours déterminer un entier n de telle manière 
que j: -H /î T soit premier avec 0. Nous pourrons donc 
toujours supposer que dans l'équation 

pi _ QXJ^ 

6 et j: sont premiers entre eux. 

418. L'analyse précédente, qui nous donne la compo- 
sition de deux substitutions échangeables S et T, doit 
nous présenter les deux cas dont nous avons fait mention 
au n" 415, savoir le cas où les substitutions S et T ne 
déplacent pas les mêmes lettres, et celui où S et Tsont 
des puissances d'une même substitution. Le premier de 
ces deux cas se présente quand l'une des deux substi- 
tutions Pet Q, F et Q', F et Q", . . . se réduit à 
l'unité. Or, pour qu'il en soit ainsi à Tégard de P et Q, 
il faut et il suffit évidemment que Tun des nombres icty 
soit égal à l'unité. Quant au deuxième cas, il est facile 
d'établir cette proposition : 

Pour que les substitutions VetQ^ soient des pnissanc<*$ 
(lune nir'me substitution, il faut et il suffit que IfS 
nombres [k et B ri aient aucun diviseur commun autre 
que l'unité. 

Supposons que Ton ait 

(0 P=R«, Q :RS 

la siibslilulion R sora circulaire, car les lettres ût, 
r/^^p . . ., Ur^^^ , doivent figurer dans un mémo cule 
de K, puiscju'cllos conslilucnt un cycle de H* on P: 

pareillement les Icllrcs <7ç, l?i Ji figurent dans un 

même cycle de R^ ou Q; donc elles apparlienneni, 



SECTION IV. CHAPITRE I. 269 

dans la substitution R; au même cycle que les lettres 
précédentes. Ce cycle renferme donc toutes les |ui let- 
tres ; en conséquence, la substitution R est circulaire et 
d'ordre /x«. D'ailleurs R* est de Tordre i, R* de Fordro 

Ç ; par suite a et (3 sont respectivement divisibles par |ùt 

et par 6 (n° 40(5). Si donc p et ont un diviseur com- 
mun d supérieur à i, a et 3 admettront ce diviseur, et 
si l'on pose 

a = ou y 6 = 66 , 



»UIS 



on aura 



R' = R*, 



P = R'« , Q = R'**, 



ce qui est impossible, puisque la substitution R' n'est 
pas circulaire. Les équations (i) exigent donc que p et 9 
soient premiers entre eux. 

Supposons cette condition remplie. Nous avons vu 
que, dans l'égalité 

pO _ Qjr^^ 

on peut supposer x premier k 0; 9 sera donc premier 
à xu et Ton pourra trouver deux nombres entiers u, t, 
tels que 

et si Ton pose 
on aura 

Exemple. — Considérons les deux substitutions 
On a ici f; rrr 3, i = (>, p = 4> ^ =^ ^- 



270 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE. 

Le nombre x défini par la congruence 

.ro^zzi 5 (inod. /] 

a pour valeur x = — i ; on a donc 
et en posant 
on trouve 

Q = RS Pr=R\ 

419. Supposons maintenant que Ton demande \à 
nombre des substitutions échangeables avec une substi- 
tution donnée S. Soit T une telle substitution, on aura 

S — TST-», 

et nous avons vu que la substitution TST"* s*obtientf 
quel que soit T, en exécutant la substitution T dans 
les cycles de S ; donc il y a autant de substitutions T 
satisfaisant à Tcquation précédente qu41 y a de manières 
diflférentes dVxprimer S sans déplacer les parenthèses 
qui entourent les cycles, c'est-à-dire sans altérer le 
nombre des lettres contenues dans chaque cycle. Ce 
nombre est précisément celui qui a été représenté par M 
au n° 414, et qui a pour valeur 

Mr: 1.2... m,, I .2.../W, ).., I .2...m«)/ï^'/iJ"" • • '/i^"; 

m/ désigne le nombre des cycles d'ordre /i| dansla substi- 
tution S, et n étant le nombre total des lettres, on a 

n -1 m^n^ -t- /Wj//» -f- . . . -f- tn^n^, 

4!20. Nous terminerons Tétude des substitutions échan- 
fj^eables entre elles, en démontrant deux proposilioBS 
importantes qui nous seront utiles dans la suite. 

Théorème 1. — *SV T, V, V, . . . , W sont des substi* 



SECTION IV. CHAPITRE I. 2-1 

tutions échangeables auec une substitution donnée S, 
.ie produit TU, . . . , obtenu en multipliant entre elles 
plusieurs des substitutions T y U, . . ., sera également une 
substitution échangeable avec S. 

En effet, on a, par hypothèse, 

T=:STS-S U = SUS-S 

et, en multipliant, 

TUt=STS-»SUS-»; 

les deux facteurs consécutifs S et S""* peuvent être 
remplacés par leur produit i dans le second membre; 
on a donc 

TU = STUS-» ou TU = S X TU X S-», 

ce qui montre que la substitution TU est échangeable 
avec S. On en conclut immédiatement que toutes les 
substitutions de la forme TUV. . . sont pareillement 
échangeables avec S. 

421. Théorème II. — Si m désigne un nombre pre- 
mier avec l'ordre d'une substitution donnée S, il existe 
des substitutions qui satisfont à V égalité 

et leur nombre est précisément égal au nombre des 
substitutions qui sont échangeables a^ec S. 

Remarquons d'abord que Tégalité S'" = TST""* ne 
peut avoir lieu que si m est premier avec Tordre de S, 
car les substitutions TST~* et S sont semblables et, 
en conséquence, du môme ordre; d'ailleurs S et S*" ne 
peuvent êlre du même ordre que si m est premier avec 
Tordre de S. 

Cela posé, soient (C) Tun quelconque des cycles de S 
et (F) = (G)'" la puissance m*^*"® de ce cycle; il est 



3ja COIRS D ALGEIEE SCFÈBIBrEC. 

évident que l'égalité i • sera satisfaite si Ton prend 

T.e=(-,.. 

I ) désignant, pour abréger, la substitution qui rem- 

place tous les arrangements C parles correspondants F: 
en eflTet. la substitution 6S0~' s'obtient en remplaçant 
les arrangements C contenus dans les cvcles de S par 
les corresp »ndants F; on a donc 

D'après cela l'égalité (i) peut s'écrire 

et si l'on multiplie à gauche par @~~i et à droite par 6, 
elle prend la forme 

(3 e-»TST-»e = S: 

eniin, si l'on pose 

T -^ eu, d'où T-» =r U-«G-», 

réîîalilé ! 3 se réduit à 

USI-» S, 

d'où il suit que U est une substitution échangeable avec S. 
Il résulte de là qu'on obtiendra toutes les solutions dt* 
l'équation (1), en multipliant par Tune d'elles toutes 
les subsliliilions échangeables avec S; le nombre de 
celles-ci est donc égal au nombre des substitutions T. 

ExKMPLE. — Pour donner un exemple de ce théort'nie. 
reprenons les deux substitutions 

V— a,,, r/,, r/.., //3* ^„, ^,, />i, /»,î ;>y, r,, r„ r,\ 

Q - v'/u> f'^^^ <'u> "1» ''î» '-*; v^'t» ''1, <:i> «'i. t^i, ^». *'4i 



SECTIOir IV. — CHAPITRE I. ^73 

que nous avons déjà considérées et qui sont des puis- 
sances d'une même substitution. Si Ton veut déduire 
de Q une substitution Q' telle, que 

P» = Q'PQ'-», 

il suflira de multiplier Q par la substitution dont les 
deux termes sont respectivement les arrangements qui 
constituent P' et P; on voit de suite que cette substitu- 
tion est 

0= >i, «3) (bi, h^) (cj, C3), 

et Ton a 

Q'.-.-eQ— [iiQ, h^, Co, «2, ^2,^2) («1, b^y c,) (^3, ^^1,^3). 



Réduction d'une substitution quelconque à un produit 

de transpositions, 

422. Toute substitution est équivalente à plusieurs 
transpositions. En effet, comme nous l'avons déjà dit 
au n° 235, si, par l'effet de la substitution S, la lettre a 
doit prendre la place qui est occupée actuellement par b, 
il est évident que la substitution S équivaut à la trans- 
position (a, &), jointe à une substitution S' qui ne 
déplace que les lettres i . . . ; en d'autres termes, on a 

on peut raisonner sur S' comme on vient de le faire 
sur S, et, en continuant de la même manière, on décom- 
posera S en un produit de transpositions. 

On peut réaliser une substitution S de plusieurs 

manières différentes, par le moyen de transpositions 

successives; mais, quelle que soit la marche que l'on 

aura suivie, le nombre des transpositions employées 

S. — jiltç. Slip,, II. 18 



274 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

sera toujours le même à un multiple de a près. Cela va 
résulter du théorème suivant : 

Théorème. — Si <7 désigne le nombre des cycles 
d'une substitution S, relative an lettres, le produit TS 
ou ST, obtenu en multipliant entre elles la substitution S 
et la transposition T, sera une substitution dans laquelle 
le nombre des cycles sera a =h i , savfoir : a -I- i si les 
lettres de T appartiennent à des cycles différents de S, 
et G — I dans le cas contraire. 

Soit 

et supposons que les lettres a^^ 6| appartiennent à 
deux cycles différents de S, savoir : 

C = (<7|, nj, . . ., ai), C = (^i, ^1, . . ., bj). 
Si Ton exécute la substitution S sur rarrangement 

■ 

on obtiendra le nouvel arrangement 

et, si Ton applique à celui-ci la transposition T, on 

obtient 

a^ a^ . . . a, bi h^ b^, . , bj a^ ; 

en comparant cet arrangement à celui d'où Ton est parti, 
on trouve 

TCC'= («1, flj, ... «/, ^1, ^t, . . ,, bj)\ 

la substitution TS renferme donc un cycle de moins q«c 
la substitution S, et la même chose peut se dire de ST 
qui est semblable à TS. 



SECTION IV. CHAPITRE I. 3^5 

Supposons maintenant que les lettres ^i, &i fassent 
partie d'un même cycle C de S, et soit 

C = (ai, «t, . . ., «^, ^i, ^j. . . ., bj). 

Si l'on applique la substitution S à Tarrangement 

on obtient 

A] a» . . . a^ b^ b^b^, , , bja^ 

eif en faisant la transposition T, il vient 

a^ a^. » . Ht a^b^b^, , » bj b^ , 

d'où il suit que Ton a 

TC-= («I» «2, . . ., o,) (^1,^1, . . ., bj)\ 

donc la substitution TS renferme un cycle de plus que 
la substitution S, et la même chose a lieu, en consé- 
quence, à l'égard de la substitution ST. 

Remarque. — Il est évident qu'il faut tenir compte, 
pour l'exactitude du théorème, des cycles qui se réduisent 
à une seule lettre. 

Corollaire. — Si o désigne le nombre des cycles 
d'une substitution S formée avec n lettres, et que cette 
substitution puisse être obtenue en multipliant entre 
elles et daiu un certain ordre v transpositions égales ou 
inégales, on aura 

v= [n — 0") -h 2^, 
k étant un nombre entier. 

En effet, la première transposition peut être regardée 
comme une substitution formée de ti — i cycles, l'un 
du deuxième ordre et les ti — 2 autres du premier ordre ; 
donc, en la multipliant par la deuxième transposition, on 

18. 



2y6 COURS D*ALGÈBEE SOPÉRIECRB. 

obtiendra une substitution qui sera formée de n — i =!r i 
cyclesr; ce premier produit, multiplié par la troisième 
transposition, donnera un nouveau produit dans lequel 
le nombre des cycles sera n — iztidzi, et ainsi de 
suite; en sorte que, après avoir exécuté la multiplication 
des V transpositions, on se verra conduit à Tégalité 

(Tzz^n — i±:iii:i=h...z!ii, 

dans laquelle le nombre des unités positives ou négatives 
ajoutées à n sera égal à v. Or, si Ton donne le signe — à 
l'une des unités qui doit avoir le signe -f-, on diminue 
de a unités le second membre de notre égalité. II s'ensuit 
donc que Ton a 

(T^^n — v-\-iA ou v=z[n — ff)-f-ait, 

et, en conséquence, le nombre des transpositions suc- 
cessives par lesquelles on peut eflcctuer une substitu- 
tion donnée S est toujours de même parité, quelle que soit 
la marche que Ton suive pour former les transpositions. 

423. On peut, d'après cela, distinguer en deux genres 
les Nr= I .a. . . /i substitutions formées avec n lettres. 
Le premier genre comprendra les substitutions qui 
équivalent à un nombre pair de transpositions, tandis 
(|ue celles qui équivalent à un nombre impair de trans- 
positions constitueront le second genre. 

Soient 

les substitutions du premier genre, parmi lesquelles 
figure l'unité, et 

1^0» ^1» Tj, T3, ... 

celles (lu deuxième genre. Il est évident que ces dcax 
suites se changeront l'une dans l'autre, si on les multiplie 



SECTION IV. CHAPITRE I. ' 2^7 

par une transposition (a, b) ; par conséquent, il y a - 

substitutions de l'un et de l'autre genre. 

On peut aussi énoncer les résultats suivants : 

Une substitution circulaire est du premier ou du 
deuxième genre, suivant que son ordre ou le nombre 
de ses lettres est impair ou pair. 

Le produit de plusieurs substitutions est du premier 
ou du deuxième genre, suivant que le nombre desfaC" 
teurs du deuxième genre est pair ou impair. 

Les puissances paires d'une substitution quelconque 
appartiennent au premier genre* 



278 COURS D^IGÈBEE SDPÉKIEURB. 



CHAPITRE IL 

PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES DE SUBSTITUTIONS COlIJUGUiES. 



Des systèmes conjugués, 

424. Étant données plusieurs substitutions formées 
avec n lettres , si, en les multipliant une ou plusieurs 
fois les unes par les autres ou par elles-mêmes, dans un 
ordre quelconque, on n'obtient jamais que des substitu- 
tions comprises dans la suite des substitutions données, 
celles-ci constituent ce que Cauchy a nommé un système 
de substitutions conjuguées, ou simplement un système 
conjugué. Il est évident que tout système conjugué com- 
prend la substitution égale à Tunité. 

h^ordre d'un système conjugué est le nombre des 
substitutions qu'il renferme. 

Il résulte de ces définitions que les Nrr^i.a.../i 
substitutions que l'on peut former avec n lettres consti- 
tuent un système conjugué d'ordre N, et que les puis- 
sances d'une substitution quelconque d'ordre vconslituenl 
un système de substitutions conjuguées d'ordre v. 

425. TnÉouÈME. — Si toutes les substitutions d'un 
sjsfcme conjugué F d'ordre u sont comprises panni les 
substitutions d'un autre système conjugué G d'ordre m, 
le nombre (x sera un di\nscur de m. 

En elfel, désignons par 

\l] I, Sj, Sj, S3, ..., Sji_i 



SECTION IV. CHAPITRE II. 2^9 

les fx substitutions du système F ; ces substitutions appar- 
tiennent à G, par hypothèse, et l'on a m]>a. Soit T| 
Tune des substitutions de G qui n^appartiennent pas au 
système F, c'est-à-dire à la suite (i); si l'on multiplie, 
à droite, par T| les termes de cette suite, les produits 

(2; Ti, SiTj, SjTi, . . ., Sn_jTi, 

que Ton obtiendra, seront compris parmi les substitu- 
tionsfdu système G; d'ailleurs, deux quelconques de ces 
substitutions (2) sont évidemment distinctes et aucune 
d'elles ne saurait appartenir à la suite (1). Pour établir 
ce dernier point, il suffît de remarquer que Tégalité 
S/T| = Sy entraînerait T| = S^*Sy, ce qui est impossible, 
car le produit S~*Sy appartient nécessairement au sys- 
tème r, tandis que, par hypothèse, T, ne fait pas partie 
de ce système : il résulte de là que Ton a m = 2/x, ou 
rn^' 2[x . Si m est égal à 2/!Ji, le théorème est démontré; 
soit doncm^ 2//, et désignons par T2 l'une des substi- 
tutions de G qui n'appartiennent à aucune des suites (i) 
et (2). En multipliant à droite par T2 les substitu- 
tions (i), on obtiendra ^ substitutions nouvelles, 

(3J Tj, SjTj, S2T2, ..., 8,4^1 Tj, 

qui appartiendront au système G; elles seront distinctes 
entre elles et distinctes des substitutions (i); en outre, 
elles sont distinctes des substitutions (2), car l'égalité 
S/T2 = SyT| entraînerait Ta =^ S7"^SyT<, ce qui est contre 
l'hypothèse, car le produit Sf*Syï< fait évidemment 
partie des substitutions (2). Il résulte de là que m = iiJL 
ou /n}> 3^. Il est clair que Ton peut poursuivre de cette 
manière jusqu'à ce que l'on ait épuisé toutes les substi- 
tutions du système G, et que Ton aura en conséquence 

q désignant un nombre entier. 



280 COURS d'algkbre supérieure. 

Remarque. — Le système conjugué G a 6té ainsi par- 
tagé en q suites de substîtulions, 

I, S>i, Sj, • • • 1 ^1—1» 

1;, Oj F;, Oj igt • • •» ^ji— I ^2» 



» 



dont la première seule constitue un système conjugué. 
Pour former ce tableau, sur lequel repose notre raison- 
nement, nous avons successivement multiplié, à droite, 
parles substitutions T|, To, . . . , T^«i les substitutions 
du système F; mais il faut remarquer que Ton aurait 
pu procéder d'une autre manière, et que la démonstra- 
tion aurait pu être faite en employant des substitu- 
tions U|, U2, , U^^i du système G, comme multi- 
plicateurs, à gauche, des substitutions du système F. 
En procédant ainsi, on aurait décomposé le système G 
en q suites formées chacune, comme les précédentes, 
de fi substitutions et qui sont 

I, S|, 3j, • • • f ^ji— 1> 



chaque substitution U étant choisie parmi les substitu- 
tions de G qui ne font pas partie des lignes horizontales 
déjà formées. 

426. Le théorème que nous venons d'établir conduit 
à des conséquences importantes, qui sont contenues 
dans les corollaires suivants : 

CohOLLAiRE I. — L'ordre d'un s) stcniedc sul>slilnlions 



SECTIOlf IV. CHAPITRE II. 28 1 

conjuguées formées auec n lettres est un dli^iseur du 
produit N = 1 . 2.3 . . . /^. 

En effet, les substitutions du système proposé appar- 
tiennent au système conjugué de Tordre N qui comprend 
toutes les substitutions. 

Corollaire II. — L'ordre d^un système de substitu- 
tions conjuguées est un multiple de l'ordre de l'une 
quelconque des substitutions du système. 

En effet, les puissances de Tune des substitutions d'un 
système conjugué appartiennent toutes à ce système ; 
d'ailleurs, ces puissances constituent un système con- 
jugué dont Tordre est égal à celui de la substitution ; donc 
cet ordre est un diviseur de Tordre du système proposé. 

Corollaire III. — Le nombre n des lettres étant 
supposé premier, tout système conjugué d'ordre n se 
compose des n puissances d'une substitution circulaire 
d'ordre n. 

En effet, Tordre d'une substitution quelconque du 
système doit diviser n\ il se réduit donc à i ou à n. 

Corollaire IV. — Si deux systèmes conjugués offrent 
des substitutions communes j celles-^i constituent un sys- 
tème conjugué et leur nombre est en conséquence un 
diinseur commun des ordres des deux systèmes donnés. 

En effet, soient 

V* ) ï> Sj, Sj, . . ., Ojv^j 

toutes les substitutions communes à deux systèmes con- 
jugués. Toute substitution S, obtenue en multipliant 
les précédentes entre elles ou par elles-mêmes, appar- 
tient à la fois aux deux systèmes proposés ; et, comme 
ceux-ci n'ont que les fx substitutions communes (i), il 



28a COURS d'algèbre supérieurs. 

est évident que la' substitution S se trouve comprise 
parmi elles; ces substitutions communes constituent 
donc un système conjugué. 

Des systèmes semblables et des systèmes échangeables 

entre eux. 

427. Considérons un système de substitutions con- 
juguées 

on a vu que TST""* et S sont deux substitutions sem- 
blables, quelle que soit la substitution T, et que, pour 
former la substitution TST""*, il suffit d'effectuer la sub- 
stitution T dans les cycles de S ; il en résulte que les 
substitutions 

(2) I, TS.Ï-S TS,T-». ..., TS^^jT-' 

constituent un système conjugué. On peutaussi vérifier 
immédiatement ce fait, en remarquant que le produit 
d'un nombre quelconque de substitutions prises dans la 
suite (i) est de la forme TS,Sj . . . S^T~*, et par suite 
de la forme TS/Ï~' , puisque les substitutions ( i ) forment, 
par hypothèse, un système conjugué. 

Les systèmes conjugués (i) et (a) seront dits 5em- 
hlablcs (*) ; il peut arriver que ces deux systèmes coïn- 
cident, et alors ou a, quel que soit i, 

TS, T- » = Sy ou TS, — Sy T ; 
par conséquent, on obtient les mêmes résultats en mul- 



(*) M. Rotti a donné aux substitutions (j) le nom de dérivéet dct tob- 
Ktitutiont corrcspondantos (i); T «si la dérivante, et le »yt»tème (1} tA 
alors le dérivé par T du système (1;. 



SECTION IV. — CHAPITRE II. a83 

tipliant les substitutions (i) par T, soit à droite, soit à 
gauche. 

Considérons maintenant deux systèmes de substitu- 
tions conjuguées, 

I , Oj, bj, bj, . . . , tJp^ 

'» ^1» *2> *i» • • •> Tv_i ; 

nous dirons que ces deux systèmes sont échangeables 
entre eux lorsque tout produit de la forme TyS/ sera en 
même temps de la forme SivTyv, Si Ton a / = 7, quels 
que soient i et y, le premier des deux systèmes propo- 
sés coïncidera avec le système semblable que Ton en 
déduit en multipliant ses substitutions à gauche par Ty 
et à droite par T^"*. Si Ton a en même temps i'= iff=jf 
quels que soient ieljy deux substitutions quelconques, 
prises dans les deux systèmes proposés, seront échan- 
geables entre elles. 

Du problème général qui fait l'objet principal de la 

théorie des substitutions. 

428. Le problème général que Ton a en vue dans la 
théorie des substitutions peut être énoncé dans les termes 
suivants : 

Quels sont les systèmes de substitutions conjuguées 
que l'on peut former av^ec n lettres données? 

La solution de ce problème serait, pour T Algèbre, de 
la plus haute importance ; aussi Lagrange et, après lui, 
plusieurs géomètres éminents se sont-ils occupés de 
cette question difficile. Mais, malgré leurs efforts, ils 
n'ont pu atteindre le but proposé, etlr Science ne possède 
aujourd'hui sur ce sujet qu'un petit nombre de propo- 
sitions générales que nous allons établir ici. 



284 COURS d'algèbre supérieurs* 

Parmi les systèmes de substitutions conjuguées que Ton 
peut former avec n lettres données, nous connaissons : 
I® le système qui comprend les N = i .a. . «n substitu- 
tions ; 3^ les systèmes que Ton forme en prenant toutes 
les puissances d^une substitution quelconque. Nous les 
rappelons ici, afin de présenter un ensemble complet des 
résultats acquis. 

429. TnéonÈME I. — Parmi /e5 N = i . a . . • n substi- 
tutions que fon peut former avec n lettres données^ 
celles qui équivalent à un nombre pair de transpositions 

constituent un système conjugué d'ordre—^ et il n'existe 
aucun autre système conjugué du même ordre - • 

La première partie du théorème est évidente. Nous 
avons vu, en effet, que si Ton multiplie entre elles plu- 
sieurs substitutions du premier genre, c'est-à-dire plu- 
sieurs substitutions don^hacune équivaut à un nombre 
pair de transpositions, on obtient pour résultat une sub- 
stitution du premier genre. 

Pour établir la seconde partie, soit 

(1) 1, Sly S,, S,, . . ., S,^ 

I 

N 
un système conjugué d'ordre -• Multiplions à gauche et 

à droite les substitutions de ce système par une substi- 
tution quelconque T, nous obtiendrons les produits 

(2) T, TS|, TS„ ..., TSji , 

t " * 

et 

( 3 ) T, S| T, S| T, • . . , S>i T« 



• -' 



SECTION IV. — CHAPITRE II. 285 

Si T fait partie du système (i), les suites (2) et (3) for- 
meront des systèmes conjugués identiques à (i); mais, 
si T n'est pas compris dans le systèifte (i), chacune des 
suites (2) et (3) se composera, comme on Ta vu précé- 
demment, des - substitutions qui n^appartiennent pas 

au système (i). Dans tous les cas, les suites (2) et (3) 
offrent les mêmes substitutions, et Ton a, en conséquence, 
quel que soit i, pour une certaine valeur dey, 

TS, = SyT ou TS,T-»rz.Sy; 

d'où il résulte que le système (i) renferme toutes les sub- 
stitutions semblables à Tune quelconque de celles qui y 
sont contenues. Ce système ne renferme donc aucune des 
transpositions ; car autrement il les renfermerait toutes, 
et son ordre serait égal à N, ce qui est contre Thypothèse. 
Supposons que T désigne maintenant une transpo- 
sition, les suites (i) et (2) comprendront toutes les 
N substitutions des «lettres, et ces substitutions ne feront 
que s'échanger entre elles, si on les multiplie par une 
transposition U. Or il est évident, d'après ce qui précède, 
que, par cette multiplication, la suite (i) se transformera 
dans la suite (2) ; donc à son tour la suite (2) se changera 
dans la suite (i), ce qui montre que la substitution Uï 
fait partie du système (1). Ce système comprend ainsi 
toutes les substitutions que Ton obtient en multipliant 
deux transpositions entre elles, et il renferme, en consé- 

N 
quence, les - substitutions qui équivalent chacune à un 

nombre pair quelconque de transpositions. 

Corollaihe. — Le système conjugué d'ordre— ren- 

Je 

ferme toutes les substitutions circulaires d ^ ordre impair, 
et iln^en renferme aucune d'ordre pair. 



a86 COURS D*4LG£BnE SUPÉRIEUIIE. 

En effet, toute substitution circulaire d'ordre p équi- 
vaut à p — 1 transpositions; on a 

(«01 «I, «2» •••» ^p-\] = {^0^ ^p-t) (^0» ^i>-j)---(«Of «j) (^» «il- 

430. Théorème II. — Si un système conjugué ren- 
ferme toutes les substitutions circulaires dont l'ordre 

est un nombre donné p égal ou inférieur à n, V ordre 

N 
du système conjugué est N ou - • Cet ordre est toujours 

égal à N si p est pair. 

Le théorème est évident, dans le cas de/?= a; carie 
système proposé contient toutes les transpositions et son 
ordre est égal à N. Dans le cas de /' = 3, le système pro- 
posé renferme la substitution circulaire 

(«Il «ji^a' ~ («Il «3) («ii«j) 

des trois lettres données a^ ^2, a^ et il contient aussi U 
substitution 

(«4, flj, ai] = (/Is,Û4)(«l» «i)» 

si, le nombre n étant supérieur à 3, ^14 désigne une lettre 
nouvelle. Le produit de la première substitution par U 

seconde est 

et ce produit doit figurer dans le système proposé. Donc 
celui-ci renferme toutes les substitutions qui équivalent à 
un nombre pair de transpositions, et son ordre est ainsi 

au moins égal à — *, d'ailleurs cet ordre est un diviseur 

N 
de N, par suite il est égal à - ou à N. 

Le cas de /^ ^ 3 se ramène facilement au cas de p = 3. 
En effet, soient «i, «a, a^ trois quelconques des lettres 
données, et post)ns 

T -- (^i,tfj, «3; = i^m «3; v^i»«i). 



SECTION IV. CHAPITRE II. 287 

Soit aussi 

S= («1, «,, 64, ftj, . . ., 6p, rtj) 

une substitution circulaire d'ordre p formée avec les 
lettres Ai, «a, «3 et ^ — 3 autres lettres données ^4, 
£5. • . •, &/»• On aura 

(«1, «,)S = (rt,) (û,, 64, />5 6^, «3), 

et, en multipliant, à gauche, par (ai, as), 

TS =: («i, rtj, «,, ^4, 65, . . . , bp). 

Par hypothèse le système proposé renferme toutes les sub- 
stitutions circulaires d'ordre p : donc les substitutions TS 
et S""* doivent y figurer ainsi que leur produit T, qui est 
l'une quelconque des substitutions circulaires, formées 
avec trois des lettres données. 

Si le nombre p est pair, le système proposé comprend 
les produits de transpositions, en nombre impair, qui 
équivalentauxsubstitutions circulaires d'ordre />> ; l'ordre 

N 
de ce système est donc supérieure -» et, en consé- 
quence, il est égal à N. 

431. Théorème III. — Une substitution quelconqueli 
étant formée auec n lettres, les div^erses substitutions 
des mêmes lettres qui sont échangeables avec T consti- 
tuent un système conjugué. 

En effet, soient 

I, Si, §2, . . • , Sm_i 

les M substitutions échangeables avec T, parmi lesquelles 
figure évidemment l'unité. Nous avons vu quç le produit 
de plusieurs de ces substitutions est lui-même une substi- 
tution échangeable avec T; ce produit fait donc partie de 
la suite précédente, et, en conséquence, celle-ci forme un 



288 C0I3RS D*ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

système conjugué d'ordre M. Ce nombre M a pour va- 
leur (n° 41i) 

M r= ( I . 2 . . . /»i ) ( l . 2 . . . /W, ) . . . ( I . 2 . . . /7I» ) /f7« /ï7« . . . Wj»», 

771/ désignant le nombre des cycles de T qui sont do 
Tordre /î|. On tient compte des cycles formés d'une seule 
lettre, en sorte que Ton a 

n ■=. /Tïj /ij -+- /Wj /ij -4- . . , -4- /w» /î». 

Ainsi en particulier avec un nombre n de lettres égal à 
77i| /2i, on peut former, par le précédent théorème^ un 
système conjugué d'ordre 

1 .2.3. . .m, X /îT*'- 
Exemple. — Dans le cas de 

/l rrr 6 rr: 3 X 2 :i=i 2 X 3, 

on pourra former deux systèmes de substitutions conju- 
guées dont les ordres seront respectivement i . a.3X2' 
ou 48, et 1 . 2 X 3* ou i8. 

432. Théorème IV. — Une substitution quelconque^ 
étant formée avec n lettres, les diverses substitutions S 
telles^ que le produit STS~* se réduise à une puissance 
de T, constituent un système de substitutions conjuguées. 

Le nombre des substitutions qui satisfont à Tégalité 

dans laquelle i représente un nombre donné premier à 
Tordre de la substitution T, est égal (n° 421) au nom- 
bre M des substitutions échangeables avec S. Si donc on 
désigne par y le nombre des substitutions S qui satis- 
font à la précédente égalité, lorsque i cesse d'être un 
nombre donné, etpar (p(u) le nombre qui indique cora- 



SECTION IV. CHAPITRE II. 289 

bien il y a de nombres premiers à l'ordre [jl de la substi- 
tution T, on aura 

Cela posé, soient 

(l) 1, Si, §2, Sj, • • •) 3y_l 

les substitutions qui satisfont à la condition imposée par 
l'énoncé du théorème. Je dis que le produit de deux 
quelconques des substitutions (i) fait partie de la même 
suite, et que celle-ci constitue en conséquence un système 
conjugué d'ordre v. Considérons, en effet, les deux sul> 
stitutions S|, S2; on a par hypothèse 

(2) SiTS7>ri T', ou SiT-:T'S„ 

(3) S,TS7»rLT>, ou S,T^T>Sjj 

en multipliant à gauche par S| l'égalité (3), il vient 

(4) S,S,T-. S.TAS,; 

Ci, en élevant l'égalité (2) à la puissance y,a on 

Si TS7» . Si TS7» ... S, TS7» ^ T'>, 

c'estrà-dire 

(5) S,T>S7»=:T'>, ou *SiT>r^ T'>S,; 

en vertu de celle égalité (5), la formule (4) donne 
(G) StS,T--_.P>SiS,. ou (S,S,)T(SiS,)-» = T'V, 

d'où il suit que la substitution S| S2 fait partie de la 
suite (i), comme on l'avait annoncé. 

433. Soient e l'un des nombres premiers à u, et 6 l'ex- 
posant auquel e appartient relativement au module fz. 
Au lieu de former la suite (1) avec toutes les substitu- 
tions S, qui satisfont à l'égalité 

STS-» = T', 

S. — Jlg. sup.f II. if) 



2()o couits d'algèbre supérieure. 

où i a une valeur quelconque, si Ton prend seulement les 
substitutions S qui satisfont à la même égalité en impo- 
sant la condition que i soit congru, suivant le module fc, à 
une puissance de e, les substitutions de la suite (i) forme- 
ront encore un système conjugué. Effectivement, si l'on 
suppose que dans les égalités (a) et (3) i et/ désignent 
deux puissances de e, le produit ij sera lui-même une 
puissance de e, et, en vertu de Tégalité (6), le produit S| Sj 
appartiendra à la suite (i). On peut donc énoncer le théo- 
rème suivant : 

Tuf^onÈME V. — Une substitution quelconque T, 
d'ordre n, étant formée ai^ec n lettres, si l'on forme 
toutes les substitutions S telles, que le produit STS"' se 
réduise à une puissance de T, dont l'exposant soit 
congru, suii^ant le module p, à une puissance d'un 
nombre donne e appartenant à l'exposant ô, par ra/h- 
port au module |x, les substitutions S constitueront un 
système conjugue d'ordre 6M, Lorsque le nombre ft 
admet des racines primitives^ 6 peut être un dis^iseur 
quelconque de ç ( |t^ ) . 

Ce théorème V compiMînd le théorème III comme cas 
particulier; il se confond avec celui-ci quand on fait6 = i 
et, par suite, e-^i. Mais il ne comprend pas le théo- 
rème IV, parce qu'il n'existe pas en général de racines 
primitives pour un nombre composé. Cette extension du 
théorème 111 a été indiquée par M. C. Jordan, dans un 
Mémoire qui fait partie du XXXVIll* Cahier du Journal 
de Vl'Jcole Polytechnique. 

Corollaire I. — On peut former, auec n lettres, des 
systèmes da substitutions conjuguées d'ordre w^(/j) ft 

d'ordre — ^- — -> t étant un diviseur convenable de n. En 
e 

particulier, si n est un nombre premier, on peut former 



SECTION IT. CHAPITRE II. Spl 

Min système de substitutions conjuguées dont l'ordre soit 
égal à n[n — i) ou au quotient de ce nombre par un 
diviseur quelconque de n — i . 

Ce corollaire résulte immédiatement des théorèmes IV 
et Vy en supposant que T y désigne une substitution cir- 
culaire d'ordre n. 

Corollaire II. — On peut former, avec n — i lettres 
données, un système conjugué d'ordre ç(n) ou ^ — ■• 

Considérons en effet le système conjugué qui contient 

n<f{n) ou ^ substitutions de n lettres, et dont il est 

question dans le corollaire précédent. Pour former ce sys- 
tème, on part d'une substitution circulaire T, d'ordre /i, 
et l'on prend les substitutions S qui satisfont à une éga- 
lité de la forme STS""* = T*. Or, du mode de formation 
de ces substitutions S, il résulte que, pour chaque valeur 
de I, il existe une substitution unique S, qui ne déplace 
pas une lettre donnée a. Donc le système que nous consi- 

/ > 

dérons renferme y (w) ou ^-^—^ substitutions qui ne dépla- 
cent que 71 — I lettres ; il est éviden t que ces substitutions 
constituent un système conjugué. 

434. Dans le cas de nz=i6j si l'on choisit d'abord 
pour Tune substitution régulière formée de deux cycles 
du troisième ordre, on pourra former, par le théo- 
rème IV, un système de substitutions conjuguées dont 
l'ordre sera i . 2 X 3^ X 2 ou 36. Si Ton prend en second 
lieu, pour T, une substitution circulaire du sixième 
ordre, on pourra former, par le théorème V (corollaire I), 
un système conjugué d'ordre 6 x ^(6) ou 12. Soit 

19. 



294 COURS D*ÀLtïÈB1tE SUPÉRIEUmV. 

Corollaire I. — Si les substitutions S ef T d'ordres 
respectifs [i et v sont échangeables entre elles et n^omi 
aucune puissance commune autre. que l'unité, on for" 
mer a un système d'ordre fxv en multipliant les yi puis~ 
sances de S par les v puissances de T. 

En effet y dans Thypothèse admise , les deux systèmes 
conjugués 

remplissent les conditions exigées par renoncé du théo- 
rème précédent. 

CorollàtreII. — Si plusieurs substitutions S, TfU y,, .f 
d'ordres respectifs p, v, p, . . . , sont échangeables entre 
elles deux à deux, et si V égalité 

S'T>U*... = i 

ne peut avoir lieu que pour i=:[Xy j = Vy k= py . . . , on 
formera un système conjugué d'ordre yLvp . . . e/i mu/- 
tipliant les puissances de S par celles de T, puis les 
résultats obtenus par les puissances de U, et ainsi de 
suite. 

Remarque. — Si Ton pose 

Q = (^0» ^o> • • • 1 /o) («I» ^t» •••»/!)•.• («f-i» ^e-i» • • • , yf-i)t 

pour que S et T soient des substitutions échangeables 
entre elles et que ces substitutions niaient aucune puis- 
sance commune autre que Tunité, il faut et il suffit 
(n® 417) que Ton ait 

S = P, T^Q, 
ou 



SBCTIOH IV. CHAPITRE II. ^q5 

V et Q^y V" et Q'', . . . désignant des substitutions for- 
mées de la même manière que P et Q, mais avec des 
lettres diflférentes. 

Considérons, par exemple, le cas de six lettres. Si 
Ton fait 

S ^ {a, b) (r, d) [e, /), T = [a, c) [b, d) [e) (/), 

on obtiendra un système conjugué du quatrième ordre 
qui se composera des quatre substitutions 

I, S, T, ST. 

436. Examen d^un cas remarquable qui rentre dans 
LES THÉORÈMES V ET VI. — Le cas dont il s'agit ici est 
celui du système de n[n — i) substitutions conjuguées 
dont il est question dans le corollaire I du théorème V, 
lorsque le nombre n des lettres est premier. 

Soient 

ÛQJ ^t» ^î» • • • > ^n—V 

les n lettres données, et supposons, comme au n® 416, 
que anq^ désigne la même lettre que ar. Le système que 
nous considérons sera formé de toutes les substitutions S 
qui satisfont à une égalité de la forme 

STS-» ^ T', 

dans laquelle T désigne une substitution circulaire 
d'ordre n. Soit 

cette substitution. Le nombre n étant premier et i dési- 
gnant un nombre quelconque non divisible par te, T*' sera 
une substitution circulaire d'ordre /z, et l'on aura, par 
nos conventions, 

OU;; en faisant passer une lettre quelconque aj^i à la pre- 



296 COUnS D^LGEBEE SUPÉ&IEU&B. 

micre place, 

T^' '[^kh ^(k+\)i ^{n-l)i9 ^Of ^i^ ••• 1 «(*-!:/]• 

Cela posé, chaque substitution S doit se former en pre- 
nant pour numérateur la permutation qui constitue le 
cycle de T' et pour dénominateur la permutation qui 
figure dans le cycle de T. Désignons par C cette dernière 
permutation, par Cet C'Mes permutations qui consti- 
tuent le cycle de T' lorsqu'on met à la première place 
«0 et a/(i respectivement. L'expression générale des sub- 
stitutions S sera 

-^(r)=(?)(^> 

On a évidemment 

„ I - [r^o, a^.f, a^f-i^ . . . , a^„^x)ki] - T^'; 

quant à la substitution \p]t elle ne renferme pas la 
lettre «0 et l'on a 

\C / L^'i^'t • • • ^n-\ J 

Cette substitution a pour eiïet de multiplier par i les 
indices des lettres a\ soitr une racine primitive pour le 
nombre premier /i, posons 

et désignons par U la substitution qui a pour cflet de 
multiplier par r les indices des lettres a : il est clair que la 
puissance v**"'" de U multipliera ces indices par r' ou 1; 
on aura donc 



(c ) - - 



on voit en outre, à cause de r"~* ^^ i (mod. w), queUcsl 



SECTlOn IV. CBAPITIIE II. ÎQJ 

une substitution circulaire de Tordre n — i dont l'ex- 
pression est 

Il résulte de là que, si Ton désigne par // un nombre teU 
que Ton ait Ii::^ki{mod, /i), la substitution S aura pour 
valeur 

(i) Szi^mr; 

enfin, deTéquation 

STS-» --:= T' 



on tirj 
d'où 



ST*S-» --.- T^'^— T'' z= SU-% 



et 

(a) C — U*T*. 

Les formules (i) et (a) fourniront donc la même valeur 
de S, si les exposants A et Ar satisfont à la relation 

Chacune de ces mêmes formules donnera toutes les sub- 
stitutions du système que nous considérons en attribuant 
kh ou à A' les 72 valeurs o, 1,2, . . . , n — i, et à vies mêmes 
valeurs, zéro excepté, ou, ce qui revient au même, n — i 
excepté. En d'autres termes, le système dont nous nous 
occupons s'obtiendra en multipliant les substitutions 

à droite ou à gauche, par les substitutions 

Exemple. — Considérons le cas de w = 3. Comme 2 
est ici racine primitive, on pourra former un système de 



apS COURS d'algèbre supéRtsimB. 

vingt substitutions conjuguées en multipliant entre eDes 
les puissances des deux substitutions 

il est facile de vérifier sur cet exemple que la formule 

a lieu quels que soient les nombres Ar et v. 

437. Théorème VII. — Étant donné un sy^stème de 
n lettres, soient n^ un nombre entier égal ou inférieur 
à tiy et y^zzm^n^ un multiple de n^ contenu dans n. 
Soient encore 712 un nombre égal ou inférieur à mi^ei 
m2 ^2 un multiple de n^ contenu dans nti . Soient partir 
lement /I3 un nombre égal ou inférieur à m^f et m% n% 
un multiple de n^ contenu dans m^y • • • • On pourra tour 
jours, avec v lettres arbitrairement choisies parmi les 
n lettres données, former un sj stème de sidfstitutiom 
conjuguées dont r ordre sera nUl'^nJ^* nj^* • . •.. 

Ce théorème a été démontré par Cauchy, dans le Mé- 
moire que nous avons déjà eu l'occasion de citer. 

Prenons v = /W| /ï| lettres parmi les n qui sont don- 
nées , puis distribuons-les en ///| groupes ou arrangements 
composés chacun de /i| lettres, et que nous nommerons 
groupes de première espèce. Prenons ensuite ces inj ar- 
rangements pour composer les cycles de nti substitutions 
circulaires d'ordre /i|, que nous représenterons par 

Parmi les mi groupes de première espèce, prenons-en 
ma 722 et distribuons-les en /712 groupes de deuxième espèce, 
lesquels seront ainsi formés par la réunion de «a groupes 
de première espèce. Avec les ii| n^ lettres de chaque 



8scno:Ei rv. — chapitrx u. agp 

groupe de deuxième espèce, formons une substitution 
ayant pour eiTet de déplacer circulairement les groupes 
de première espèce contenus dans le groupe de deuxième 
espèce^ et soient 

les m^ substitutions ainsi obtenues. Si C, C, G' , ... 
désignent les arrangements ou groupes de première espèce 
qui composent un groupe de deuxième espèce, chaque 
substitution (2) sera de la forme 

(cc'c...) ou (^'^:^:.::); 

elle a pour effet de remplacer chaque lettre de C par celle 
qui occupe le même rang dans C^ celle-ci par celle qui 
occnpe le même rang dans C, et ainsi de suite. Il résulte 
de là que les substitutions Q sont régulières et que cha- 
cune d'elles est formée de /i| cycles d'ordre /ij. 

Parmi les inj groupes de deuxième espèce, prenons-en 
mj Ut et distribuons-les en m^ groupes Ae troisième espèce, 
lesquels comprendront ainsi /I3 groupes de deuxième 
espèce. Avec les /i| n^n^ lettres de chaque groupe de 
troisième espèce, formons une substitution ayant pour 
effet de déplacer circulairement les groupes de deuxième 
espèce contenus dans celui de troisième espèce, et soient 

(3) Ri, Rj, Rj, ..., R^, 

les nit substitutions ainsi obtenues. En reproduisant le 
raisonnement que nous avons fait à l'égard des substitu- 
tions Q, on prouvera que chacune des substitutions R est 
régulière, et qu'elle est formée de /i| /I2 cycles d'ordre 119. 
On peut continuer ainsi tant que l'on n'aura pas ren- 
contré l'unité dans la suite des nombres /^i, ms, ma, .... 
Dans chacune des suites (i), (2), (3), . . ., deux sub- 
stitutions quelconques n'ont aucune lettre commune, et. 



I 3oo conns n'AinfesnE supÉniETidr. 

par suite, elles sont échangeables enlre elles. On ob- 
tiendra donc un sjistètne de substitutions conjuguées P 
d'ordre n"'> en multipliant entre elles les nit suites qui 
sont formées chacune par les n, puissances de I'odc 
des substitutions (i), PareiHcmenl, on obtiendra de 1» 
même manière des sjslènies conjugués Q, lî. - . . , donl 
les ordres soronl respcciivement it"i, nj*'. . . . , au moyeu 
des substitutions (a), {?•), ... 

Je dis en oulre que deux quelconques des systèmes 
ainsi formés sont échangeables entre eux. A cet effet, 
représentons les lettres contenues dans chacun des diveis 
arrangements ou groupes d'une espèce quelconque par 
un même caractère a ou b, ou c. . . . alTecté d'un indice 
variable; alors celles des substitutions P, Q, K, . .. qui 
ont pour elTel d'échanger circulaircmenl les groupes d'es- 
pèces moins élevées contenues dans l'un des groupes qae 
nous considérons pourront se déduire de celles qui se 
rapportentà un autre groupe, en changeant la lettre que 
nous sommes convenus d'affecter d'indices, mais en con- 
servant les mêmes indices. Si donc A et B désignent deux 
arrangements de i""' espèce formés respectivement de 
deux lettres a, b, affectées des mêmes indices, et si l'une 
des subsliiutions P, Q, ... change A en A', l'une de ces 
substitutions changera aussi B eu D'îles indices dpi 
dans B' se succédant dans le même ordre que les indices 
de a dans A'. 

Cela posé, soit V une substitution de l'une de5 
suites (3), (3\ . . . qui déplace circulaircment les groupes 

A, B, C, D K de t""' espèce, contenus dons on 

groupe ABCD. . .L de (('-H i_'""* espèce. Soit en même 
temps U l'une des substitutions (i),(a),(^).... qui M 
produisent de déplacements de lettres que dans l'un det 
arrangements A, H, . . . , dans C par exemple. SuppOMO) 
que U change C en C; d'après ce que nous venons BS 



SECTION IV. CHilPITRE II. 3oi 

dire, le système auquel U appartient renfermera une 
autre substitution U' changeant aussi D en D^ Appli- 
quons successivement les trois substitutions U, V, U'""* 

à Tarrangement 

ABCD...K. 

Par la substitution U, cet arrangement devient d'abord 

ABC'D...K; 
il se transforme ensuite en 

BCD' . . . KA 

par la substitution V. Enfin, comme la substitution U'""* 
change D' en D, elle nous donnera Tarrangement 

BCD... A, 

que I*on aurait obtenu tout d'abord en appliquant la 
substitution V à l'arrangement primitif; on a donc 

U'-»VUr=: V, d'où VU=:U'V. 

Il résulte de là que les systèmes conjugués P, Q, R, . . . 
sont échangeables entre eux deux à deux. D'ailleurs un 
produit tel que V. . . HQP, formé avec des substitutions 
de ces divers systèmes, ne peut se réduire à Tunité à 
moins que tous ses facteurs ne se réduisent eux-mêmes 
à l'unité; car, s'il en était autrement, on aurait 

ce qui est impossible, puisque la substitution contenue 
dans le premier membre est impropre à déplacer les 
groupes de lettres que V~* échange entre eux. On voit 
donc que l'on obtiendra un système de substitutions con- 
juguées d'ordre n^* n^*n^», . . , en multipliant entre eux 
les systèmes P, Q, R, .... 

CoaoLLAiRE I. — Etant donné un système de nlet- 



3o4 COURS D*ÀLG£BRE SUPÉRIEURE. 

439. Théorème VIII. — Si Von a formé un système 
de substitutions conjuguées de m lettres dont V ordre 
soit fi, et un sy^stème de substitutions conjuguées de 
p lettres dont r ordre soit xs, on pourra construire un 
système de substitutions conjuguées de n =.- mp lettres^ 
dont l'ordre sera yiPxs. 

En elTety distribuons les mp lettres données en p 
{poupes composés chacun de m lettres^ et que nous re- 
présenterons par 

^Oi ^\% ^t% •••• ^W—lt 

^0» ^1» ^ti • • • » ^m—i> 



'•01 '•1» '•t» •••! '•m—l* 

Soit A un système de p substitutions conjuguées, 
formées avec les m lettres a qui composent la première 
ligne de ce tableau. Soient aussi B, C, ..., K les systèmes 
de substitutions conjuguées que l'on obtient en rempla- 
çant successivement dans A la lettre a par bj c^ d, . ,,y 
kf sans changer les indices dont la lettre est affectée. 
Désignons enfîn par 

o substitutions conjuguées, formées avec les p lettres 
ai, bi, . . . , /./; posons 

— •"o^t • • • '*/w— Il 1 — - ^0 *1» • • • » ^m—U 

Cl nommons Pie système conjugué d'ordre a 

dont les substitutions ont pour effet d'échanger entre 
elles les lignes horizontales de notre tableau. 

Les systèmes A, B, ... K sont évidemment échangea- 
bles entre eux, et il est aisé de voir que leur produit est 
échangeable avec le s>slème P. En effet, soient Aune 



SECTION IV. CHAPITRE II. 3o5 

substitution du système Ay et S une substitution de P; la 
substitution Â., effectuée la première, déplacera les lettres 
a et elle remplacera la première ligne du tableau par 



I t I t 

^0ï ^',» <^j« •••» ^/n - I» 



après quoi la substitution S déplacera les lignes horizon- 
tales du tableau ; seulement, si elle doit amener les let- 
tres b à la place de a, la ligne précédente sera remplacée 
par 

et, pour faire disparaître les accents, il sufïira d'appliquer 
la substitution B"* , B désignant ce que devient A quand 
on y remplace a par b. On voit alors que Ton a 

B-» PA = P, d'où PA = BP. 

Il résulte évidemment de là qu'en multipliant entre 
eux les p-hi systèmes A, B, C, ..., K et P, on obtiendra 
an système conjugué dont Tordre sera p^cj. 

Corollaire I. — On peut former, ai^ec ;/ = mp let- 
tres, un système de substitutions conjuguées d'ordre 
(i .2.3. . . m)P,[i .9.. , , p), 

II suflit en effet de prendre pour A le système de toutes 
les substitutions formées avec m lettres, et pour Pie sys- 
tème de toutes les substitutions formées avec p lettres. 

Exemples. — Dans le cas de n == 6, on peut faire 
iî: = 3, ^ = 2, ou /^ = 2, m = 3. On voit alors que Ton 
peut former avec six lettres deux systèmes de substitu- 
tions conjuguées, dont les ordres sont respectivement 72 
et 48. Dans le cas de // = 4> ^^ ^ /?/ =: 2, /? = 2, et Ton 
peut former avec quatre lettres un système conjugué 
d'ordre 8. 

Corollaire II. — Si p est un nombre premier, on 
peutjbrmery a^^ec n = mp lettres, un système de substi^ 
tutions conjuguées d ordre (1.2. 3. , .m)P pi^p — i). 
S. — jilg. tup., II. ao 



3o6 couns d'halo ebbe supÉRiEumE. 

II suffit en effet de choisir Acomme dans le précédent 
corollaire, et de prendre pour P le système conjugoé 
d'ordre p(p — i) dont nous avons reconnu l'existence 
dans le cas ohp est un nombre premier. Le système dont 
il s'agit ici se rencontre dans la théorie des équations. 

440. Théorème IX. — Si un système de substitutions 
conjuguées relatif à n lettres renferme toutes les substir 
tutions circulaires du troisième ordre que Von peut for" 
mer ai^ec n — i lettres données, et t/u'il ait encore 
d* autres substitutions, il renferme toutes les substitu- 
tions circulaires du troisième ordre que l'on peut former 
avec les n lettres. 

Soient 

rtQ. rtj, rtj, ' • • 9 rt;i— 2» ^ 

les/i lettres données, G le système que l'on considère, cl 
GMe système conjugué formé avec celles des substitutions 
de G qui necontîennent pas b. Désignonspar T une sub- 
stitution de G qui n'appartienne pas à G', et supposons 
que T substitue b, ai, aj à no, a^, a^, i et j étant deux 
indices quelconques qui peuvent avoir les valeurs i et a; 
comme la substitution U:^ [a^, a^, a^) appartient à G, 
par hypothèse, il en sera de même de TUT""* = \b, ai, aj). 
Le système G renferme donc toutes les substitutions cir- 
culaires formées avec les n lettres. 

Corollaire. — Si un système de substitutions 

conjuguées relatif à n lettres renferme toutes les 

N . . 

1.2.3...' n — 1 "^ r-7 - substitutions formées ai^ec n — i let- 

n ^ 

N 
très, son ordre est N ou — Si le système proposé ren- 

N 
ferme seulement les — substitutions du premier genre 

formées av^ec n — i lettres, son ordre est - ou — • 



SECTION IV. CHAPITRE II. Soj 

Conservons les notations dont nous venons de faire 

usage. Par hypothèse, Tordre de Cest - ou — ; le même 

nombre exprimera donc aussi Tordre de G, si ce système 
n*a que les seules substitutions de G'. Dans le cas con traire , 
G admettra toutes les substitutions circulaires du troisième 

ordre formées avec les n lettres, et son ordre sera N ou -> 

2 

savoir : N si G' renferme toutes les substitutions de 

N 
n — I lettres, et— si G' renferme seulement des substi- 

tutions du premier genre. 

441 . Théorème X. — Si un système de substitutions 
conjuguées relatif à n lettres ne renferme pas toutes les 
substitutions circulaires du troisième ordre formées avec 
n — I lettres y mais qiiil contienne toutes celles que l'on 
peut former avec n — 2 des lettres données, les substi" 
tutions du système qui déplacent les deux autres lettres 
ne peuvent que les échanger entre elles. Le nombre n est 
supposé supérieur à 4* 

Soient 

les n lettres données, G le système que Ton considère, 
et G/ le système conjugué formé par celles des substitu- 
tions de G qui ne déplacent aucune des lettres bo, b^\ 
par hypothèse le système G renferme toutes les substi- 
tutions circulaires du troisième ordre que Ton peut for- 
mer avec les n — 2 lettres a. Désignons par T une sub- 
stitution de G qui n'appartienne pas àG'etqui n'échange 
pas entre elles les lettres b^ et &|. 

Si T déplace io pour la substituer à Qq et qu'elle ne 
déplace pas &i ou que, déplaçant &i , elle la substitue à b^^, 
soient ai et as les deux lettres qui seront remplacées par 

ao. 



3o8 COURS d'algèbre supérieure. 

deux lettres quelconques données, a/, aj; comme la sub- 
stitution U =(^0, ai, ai) appartient à G, il en est de 
même de TUT"* = (io> «i> ^j) î donc le système G ren- 
ferme toutes les substitutions circulaires du troisième 
ordre qu^on peut former avec n — i des lettres données, 
ce qui est contre Thypothèse. 

Si T substitue bo et i| à Aq et a^y a, à a^f la substitu- 
tion U = (aoy ai , ^2) appartenant à G, il en sera de même 
de TUT~* = ( Jo» ^o ^i)' Or cette dernière substitution 
remplace ai par^o» et io par i| ; on rentre donc dans 
le cas précédent, qui est incompatible avec notre hypo- 
thèse, comme on vient de le voir, 

Il résulte de là que la substitution T ne peut qu'échan- 
ger les lettres &«, b^ entre elles; elle sera donc de la 
(oTmeT = (bof if ).S,S étant une substitution de G'. On 
voit aussi que le système G s'obtiendra en multipliant 
entre eux le système G' et le système formé des deux 
substitutions i, {bo, b^). En conséquence, l'ordre du 
système G est double de Tordre du système G'. 

Remarque. — La démonstration précédente exige que 
le nombre des lettres a soit au moins égal à 3, et que 
Ton ait en conséquence /2^4- ^^ théorème ne subsiste 
pas pour 72 = 4. 

Corollaire. — Si un système de substitutions conju- 
guées relatif à n lettres renferme les 

I.2.0...[/l — 2)--^ 



n[n-x) 



substitutions formées ai^ecn — 2 des lettres données, mai^ 
qu'il ne renferme pas toutes celles qu^on peut former 
at^ec n — i lettres, son ordre sera égal au quotient de N 

par l' un des deux nombres -^ > n(n — i). Si le s)'y' 



SECTioir IV. — CHAPITRE II. Sog 

N 
icme renferme seulement les — ; r substitutions du 

•' 2/l(/I — i) 

premier genre formées auec n — a lettres, mais qu'il ne 
contienne pas toutes celles que Von peut former avec 
n — I lettres, son ordre sera égal au quotient de N par 
l'un des deux nombres n[n — i), 2n(n — i). 

N 
En effet, par hypothèse, l'ordre de & est — ; r 

N 
ou — 7 r> et le même nombre exprimera Tordre 

2/?(/I — i) *^ 

de G, si ce système n'a que les seules substitutions de G/. 
Dans le cas contraire, toute substitution de G qui n'ap- 
partient pas à Cf déplace circulairement les deux lettres 
non contenues dans G', car autrement G posséderait 
toutes les substitutions circulaires du troisième ordre 
qu'on peut former avec n —- 1 lettres, et cela est contre 
l'hypothèse. Alors, d'après le théorème précédent, Tordre 
de G est double de Tordre de G'. 



Des groupes de permutations, 

442. Considérons un système F de substitutions con- 
juguées de n lettres, dont Tordre soit égal à p; soient 

I, Si, Sj, . . . f S,i__i 

les substitutions de ce système. Si Ton prend une quel- 
conque des permutations des n lettres données, et que 
Ton multiplie cette permutation Aq parles fx substitutions 
de F, on obtiendra fx produits 

ou 

•*^0i "Il ■'^Si • • «1 Aj|,_i, 

qui constituent ce qu'on nomme un groupe de permuta- 



3lO COURS D*ALGÈBRE SUPÊRIEUaH. 

lions. Les substitutions du système F, par lesquelles on 
passe d'une permutation à une autre, sont dites les sul- 
stitutions du groupe. 

Désignons par G, soit le système des N=i.a.3...ii 
substitutions des lettres données, soit tout autre système 
conjugué contenant toutes les substitutions du systèmeF. 
On a vu au n° 425 que, si Ton désigne par m = yiq Tordre 
du système G, les substitutions de ce système peuvent 
être représentées de l'une ou de l'autre des deux manières 
suivantes : 

I, S|, S2, • • • f S|ik— 1> 

Tit StTi, SjTi, ...,S,a^|T|, 



7 

I , Sj , Sj, • • • > S51— 1» 

u,. u.s, u.s , u,s^_. 

(a) <' U,. U.S,, U,S„ ...,U,S^_:, 
l 

» U^— 1, U^_tSi, Uçr_jSj, •••9 U^— |Sja__|. 

Cela posé, on obtiendra un groupe de m permutations, 
en multipliant la permutation Ao, prise arbitrairement, 
par les m substitutions de G ; et, pour eflectucr cette ope- 
ration, on peut supposer à G Tune ou Tautre des formes 

(i)el(s>.). 

Employons d'abord la forme (1). La première ligne 
horizontale est formée des [jl substitutions du système F, 
cl les produits de la permutation A© par ces substitutions 
donneront le groupe déjà considéré plus haut, savoir: 

Aq, Aj, Aj, . .f A^.j. 

Pour multiplier Aq par les subst ilutions de la deuxième 



SBCTIOir IV. — CHAPITRE II. 3ll 

ligne du tableau ( i), il suflit de faire le produit A^*^ de la 
permutation A© parTi et de multiplier ensuite ce produit 
par les substitutions F ; les résultats 

a(1) k<^) Ki^) A^*^ 

qu^on obtiendra ainsi, forment évidemment un deuxième 
groupe de permutations qui admet les mêmes substitu- 
tions que le précédent. 

Comme ce que nous venons de dire s^appliqiie évidem- 
ment à chacune des lignes du tableau (i), à partir de la 
deuxième y on voit que le groupe de permutations obtenu 
en multipliant une permutation Aq par les yiq substitu- 
tions du système G est décomposable en q groupes for- 
mes cliacun de (a permutations; en outre, ces divers 
groupes partiels admettent les mêmes substitutions , 
savoir j celles du système F. 

Opérons maintenant delà même manière en employant 
le système G sous la forme (2). La première ligne du 
tableau (2) donnera, comme précédemment, le groupe 

■"Ot ^i« ^ï» • • • t Aj4 — 1 f 

quant aux lignes suivantes du tableau (2), elles donne- 
ront pour résultats les produits obtenus en multipliant 
successivement ce premier groupe de permutations par 
les substitutions 

et, comme ces opérations équivalent à de simples change- 
ments dans la notation employée pour désigner les lettres, 
chacune d'elles transformera le premier groupe en un 
autre groupe. Il résulte de là que le groupe obtenu en 
niultipliant la permutation Ao par les [iq substitutions 
du système G est décomposable en q groupes de fx per- 
^nutations tels, qu'on passe d'un groupe à un autre en 



3fa COURS d'algèbre supêrirubs. 

exécutant une même substitution sur les permutations du 
premier. 

Il peut arriver que les lignes horizontales soient les 
mêmes dans les deux tableaux (i) et (2). Cette circon- 
stance se présentera nécessairement si les substitutions 

ou 

forment un système conjugué échangeable avec le sys- 
tème r. Dans ce cas, le groupe de permutations obtenu 
en multipliant la permutation Ao par lesfiq substitutions 
du système G est décomposable en q groupes formés 
chacun de jcx permutations et qui jouissent de cette double 
propriété, que les substitutions sont les mêmes dans les 
dii^ers groupes partiels et qiCon passe de l'un de ces 
groupes à un autre en exécutant une même substitution 
siu* les permutations du premier, 

443. Exemple. — Considérons le cas de quatre lettres 
a, b, Cj d, et prenons les quatre systèmes de substitutions 

conjuguées 

G — I, (a, b) (c, r/), 
G' r-i, {a,e) (b,d), 
C''^: r, (^c, ^), (b,d,c), 

G''-:!, (^C). 

Les systèmes G et C sont échangeables, et leur pro- 
duit G'G, qui est du quatrième ordre, est un système con- 
jufj^ué échangeable avec C; enfin le système conjugi»^ 
G'' G' G est lui-même échangeable avec G"", en sorte qi* * 
le produit G"'G^G'G comprend les vingt-quatre subsl- '^ 
tutions. 

Cela posé, multiplions la permutation abcd parle sj^ ^ 



SECTION IV. CHAPITRE II. 3l3 

lème C^CG'G, nous obtiendrons le groupe des vingt- 
quatre permutations, savoir ; 



! abcd 
haàc 



acdb i adbc 



I cdab 
I dcba 



cabd 
dbac 
bdac 



I 



dacb 
bcad 
cbda 



' acbd 


abdc 


adcb 


cadb 

1 


bacd 


dabc 


1 bdac 

1 


dcab 


cbad 


1 dbca 


cdba 


bcda 



Ce groupe se décompose en deux autres ; Tun de ceux- 
ci comprend les permutations des trois premières co- 
lonnes, etil admet, comme le second, les douze substitu- 
tions du premier genre ; on passe de Tun des groupes 
partiels à l'autre en exécutant la transposition (i, c). 

Le premier de ces deux groupes se décompose lui- 
même en trois autres, formés chacun des permutations 
contenues dans une même colonne; ici les trois groupes 
partiels admettent les quatre substitutions du système 
G'G, et l'on passe d'un groupe à un autre en exécutant 
une môme substitution de G^^ 

Enfin le premier de ces trois derniers groupes est dé- 
composable en deux autres qui sontformésyl'un des deux 
premières permutations, l'autre des deux dernières. Ici 
chacun des groupes partiels admet la substitution de G, 
et on passe de l'un à Vautre groupe en exécutant la sub- 
stitution de G^, 



3l4 COURS d'algèbre SUPÉniEURB. 



CHAPITRE IIL 

DES INDICES DES SYSTÈMES CONJUGUÉS. 



Indice d^un système conjugué. — Limite inférieure des 

indices supérieurs à a. 

444. Pour abréger le discours, je nommerai indice 
d'un système de substitutions conjuguées formées avec 
n lettres le quotient obtenu en divisant le produit 
N = 1 . 2 . 3 • • • n par le nombre qui exprime Tordre du 
système. Si m désigne Tindice d'un système conjugué 

d'ordre ^f on aura 

N 
m= -; 

/* 

Tordre et l'indice d'un système conjugué relatif à n let- 
tres sont donc deux diviseurs correspondants du pro- 
duit I . 2.3. . . 72. 

L'indice m peut avoir les valeurs i et a, quel que soil 
le nombre n des lettres, et il serait intéressant de con- 
naître en général les plus petites valeurs qu'il peut avoir 
quand il est supérieur à 2. 

Rufmi, dans sa théorie des équations, a considéré pa^ 
ticulicrcment le cas de cinq lettres, et Ton peut conclure 
de ses recherches que : 

Dans le cas des cinq lettres, si l'indice d^un système 
conjugué est supérieur à 2, il est au moins égala 5. 

Cauchy, dans un Mémoire qui fait partie du X* Cahier 
du Journal de l'Ecole Polytechnique, a démontré en- 



SECTION IV. — CHAPITRE lit. 3l5 

suite un théorème plus général duquel il résulte que : 

L'indice d ^un système de substitutions conjuguées y 
formées ai^ec n lettres, ne peut être en même temps 
supérieur à 2 et inférieur au plus grand des nombres 
premiers qui ne surpassent pas n, 

Ety dans le cas où n est un nombre premier, on a ce 
théorème : 

L'indice d'un système de substitutions conjuguées j 
formées avec n lettres^ n étant un nombre premier, ne 
peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur à n, 

Cauchy donne à entendre, dans son Mémoire, qu'il 
chercha à étendre le précédent théorème au cas où n est 
un nombre composé, mais il ne put d'abord y parvenir 
que dans le cas de n = 6. Il a, en efiet, démontré que : 

L'indice d'un système de substitutions conjuguées, 
formées avec six lettres, ne peut être en même temps 
supérieur à 2 et inférieur à 6. 

M. Bertrand s'est occupé ensuite avec succès de cette 
même question, et il est parvenu à démontrer générale- 
ment, et pour la première fois, que : 

L'indice d'un système de substitutions conjuguées, 
formées avec n lettres, ne peut être en même temps 
supérieur à 2 et inférieur à n (*). 

Toutefois la démonstration de M. Bertrand repose sur 
un postulatum qui semble absolument étranger à la 
théorie, et, à ce point de vue, elle n'est pas complète- 
ment satisfaisante. Le postulatum dont il s'agit a été 
démontré au n° 4()3, et il consiste en ce que : 

«Si /'o/i a 7ï > 7, il y a au moins un nombre premier 

n 
compris entre - et n — 2. 



(*) Journal de l'Ecole Poljrtechnitiue, XXX* Cahier* 



3i6 COURS d'algèbre supêriecav. 

Le raisonnement dont M. Bertrand a fait usage con- 
duit à cet autre théorème démontré auparavant par Abel, 
dans le cas de /i = 5. 

Si l'indice d'un système de substitutions conjuguées, 
formées ai^ec n lettres, est égal à n^ le système conjugué 
se compose des i . a. . . (/i — i) substitutions de n — i 
lettres. 

Dans une Note qui fait partie du XXXII* Cahier du 
Journal de l'École Polytechnique, j*ai fait voir que si, 

entre n — 2 et -> il n'y a aucun nombre premier, le 

théorème de M. Bertrand subsiste, pourvu que - soit un 

nombre premier. La démonstration n'est en aucune façon 
modifiée ; seulement on ne peut plus conclure ce corol- 
laire, que, si l'indice d'un système conjugué est égal au 
nombre n des lettres, le système est formé par les 
1 . 2 . . . (tz — I ) substitutions de /i — 1 lettres. 

Cette remarque a quelque importance, car il en résulte 
que le théorème de M. Bertrand comprend celui deCauchj 
pour le cas de /t = 6, et rend, par suite, inutile la dé- 
monstration un peu compliquée qui se rapporte à ce cas 
particulier. Eln effet, si /i = 6, il n'y a aucun nombre 

premier entre n — 2 et ~; mais - ou 3 est un nombre 
* 7, 2 

premier. 

M. Bertrand a démontré aussi, dans son Mémoire, le 
théorème suivant : 

Si l'indice d'un système de substitutions conjuguées, 
formées ai^ec n lettres, n étant ]> 9, est supérieur à rit 
cet indice est au moins égal à 2 /i . 

Plus tard, dans un Mémoire que j*ai présenté àTAca- 
démie des Sciences, en 1849, j'^^ démontré, sans avoir 



SECTION IV. CHAPITRE III. ilj 

recours à aucun poslulatum, les théorèmes suivants [*): 

I ^ L* indice d'un système de substitutions conjuguées, 
/armées at^ec n lettres, ne peut être en même temps 
supérieur à 2 et inférieur à n^ à moins que n ne soit 
égal à 4- 

2® «Si l'indice d'un système conjugué est précisément 
égal au nombre n des lettres, le système est formé de 
toutes les substitutions de n — 1 lettres, à moins que n 
ne soit égal à 6. 

3° *Si / 'indice d'un système conjugué est supérieur au 
nombre n des lettres, il est au moins égal à un, powvu 
que n soit ^ 8. 

4* Si l'indice d'un système conjugué, relatif à 

n lettres, est supérieur à un, il est au moins égal à 

n[n — I ) . - 

— ^ -9 poun^u que n soit > 1 2. 

Lesdémonstrationsquej'ai données de ces propositions 
ne laissent rien à désirer sous le rapport de la rigueur. 
Cauchy, de son côté, avait repris la question et il avait 
obtenu d'autres démonstrations des mêmes théorèmes; 
ces démonstrations reposent sur des notions nouvelles 
qui ont une grande importance dans la théorie dont nous 
nous occupons, et que nous ne pouvons passer sous 
silence. Mais nous croyons devoir rappeler d'abord les 
considérations dont rillustre géomètre a fait usage, dans 
son premier Mémoire, pour établir la première des pro- 
positions énoncées dans cet aperçu, ainsi que l'analyse 
ingénieuse et élégante par laquelle M. Bertrand est par- 
venu à démontrer son théorème. 

445. Théorème de Cauchy. — L'indice d'un sys- 
lime de substitutions conjuguées, formées avec n lettres ^ 

(•) Journal de Mathématiques pures et appliquées, i" série, t. XV. 



3l8 CODRS d'algèbre SUPÉniBURB. 

ne peut être en même temps supérieur à a et inférieur 
au plus grand des nombres premiers qui ne surpassent 
pas n. 

En efict, considérons un système G d'ordre fx de substi- 
tutions conjuguées formées avec n lettres, et soient 

I) Si, Sj, 83, . . > S|fc— 1 

ces substitutions. Si on les multiplie à gaucho, pour fixer 
les idées, par les diverses puissances d'une substitution 
circulaire quelconque T, dont Tordre p soit un nombre 
premier égal ou inférieur à /i, on formera le tableao 
suivant : 



I, 


s„ 


s„ 


• • • » ^|i^_f f 


T, 


TS„ 


TS,. 


• ■ • , l-^n II 


> • • • 


T'S„ 

• • • • • • 


T>S„ 


• . • . JL ^M .. 1 f 



(jui comprendra up substitutions. Si l'indice — du sys- 
tème G est inférieur à />, on aura up '^> N, et, en consé- 
quence, on trouvera nécessairement deux substitutions 
égales dans le tableau précédent. Soit donc 

T*Sr T'Sy; 

• los exposants ot et 6 doivent élrc supposés inégaux, car, si 
Ton avait S :^ «, il s'ensuivrait Sy ==; S, ou j :^ i. De 
Tégalilé précédente on tire 

T«-*: SyS-> ou TTr SyS7»; 

le produit Sy Sf* étant une substitution du système G, dis- 
tincte de l'unité, on voit que ce système renferme néccs- 



SECTION IV. CHAPITRE III. Sip 

sairement une puissance Tf de T; il contient donc toutes 
les puissances de T^. Mais Tordre de la substitution cir- 
culaire T étant un nombre premier, cette substitution 
fait partie de la suite des puissances de Tf, et en consé- 
quence elle appartient au système G. 

Le système G renferme donc toutes les substitutions 
circulaires d'ordre /?, et il s'ensuit (n** 430) qu'il com- 

N . . 

prend N ou ~ substitutions; en d'autres termes, son 

indice est égal à i ou à 2. 

446. Théorème de M. Bertrand. — L'indice d'un 
système de substitutions conjuguées , formées ai^ec 
n lettres, ne peut être en même temps supérieur à !k et 
inférieur à n. 

Ainsi que nous l'avons déjà dit, M. Bertrand admet 
ce postula lu m : Si nest^ ^^ il y a au moins un nombre 

n 
premier compris entre -et n — 2. 

Cela posé, considérons un système G composé des 
substitutions conjuguées 

formées avec 71 lettres, et supposons que l'indice - de ce 

système soit inférieur à n. Désignons par p un nombre 

premier compris entre - et /i — 2, et prenons arbitraire- 

ment/?-r- 2 lettres parmi les n lettres données; formons 
avec p de ces p 4- 2 lettres une substitution circulaire T 
d'ordre /?, et avec les deux lettres restantes une transpo- 
sition U. Cela posé, multiplions les substitutions du sys- 
tème G à gauche, par exemple, par les p puissances de T, 
puis les produits obtenus par les deux puissances de U; 



320 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE* 

on formera de cette manière les deux tableaux : 

I, Si, 2>2t • • •» **;âr-i» 

T, To|, ^S], • • •« Tbj4_i, 

•••••• f 

T/^1, T^-1 Sj, T^-« S„ .... T^-» S^„ 

u, us„ us, us^„ 

UT, UTS„ UTS„ ..., UTS^i, 



« 



UT/>-», UT''-» Si, UT^->S„ ..., UT/-*S^.„ 
dans lesquels on trouve 2/?fx substitutions. Mais, par 



n 



hypothèse, p est au moins égal à - et fA est lui-même 

N 
supérieur à - *, donc le nombre de nos substitutions sur- 
passe N, et, en conséquence, il est nécessaire que deux 
d'entre elles soient égales. 

Si ces deux substitutions égales appartiennent au même 
tableau, on aura, par exemple, 

T* Si - T* Sy , ou UT- S, r-r UT« Sy , 
a et S étant deux exposants inégaux, et il en résultera 

T*-r-SyS7-; 

la substitution T*~' appartient donc au système G, ^^ 
Ton en conclut, comme dans le précédent théorème, qi^^ 
la substitution T fait elle-même partie de ce système. 

Si les deux substitutions égales n'appartiennent p-^^ 
au même tableau, on aura 

T«S, -UT*Sy T^USy, 

car on peut intervertir l'ordre des substitutions U et ^ 



SECTION IV. — CHAPITRE III. 321 

qui n'ont pas de lettres communes. De cette égalité on 
lire, à cause de U~* = U, 

d'où il résulte que la substitution T^'^'U appartient au 
système G, et il en est de môme du carré 

de cette substitution. La dilTérence a — 6 peut être nulle, 
et alors la substitution U appartient au système G ; si 
a — 6 n'est pas nulle, la substitution T*^*-^' appartient 
au système G, ainsi que toutes ses puissances, parmi les- 
quelles figure T, comme dans l'hypothèse précédente. 
Dans ce dernier cas, T et T"~*U appartiennent au sys- 
tème G, il en est de même de U. 

On voit en résumé que Tune au moins des deux sub- 
stitutions T et U appartient au système G. 

Supposons maintenant que Tindice du système pro« 

posé ne se réduise pas à i , ou que l'ordre de ce système 

ne soit pas égal à N. Alors, parmi les transpositions que 

Ton peut former avec les n lettres données, il y en aura 

au moins une qui ne fera pas partie des substitutions du 

système G ; nous prendrons pour U cette transposition, 

^^j d'après ce qui vient d'être établi, toute substitution 

circulaire T d'ordre/?, formée avec celles des n — a lettres 

données qui ne figurent pas dans U, appartiendra au sys- 

^etne G. Celles des substitutions de G qui ne déplacent 

P^s les deux lettres de la transposition U forment évidem- 

■^eoi un système conjugué G', et, puisque ce système G' 

^ï^ferme toutes les substitutions circulaires d'ordre p, 

*on ordre est égal à i . 2 . 3 . . . (w — 2) ou à la moitié de 

^^ nombre (n" 430). Mais le premier cas ne peut avoir 

^^^u, car autrement, Tindice de G étant supérieur à 1, 

S. — Alg, sup,. II. 21 



3a2 COURS d'algèbre supérieure. 

cet indice serait au moins égal à n [n? 441 , Corotfaire), 
ce qui est contre Thypothèse. Donc l'ordre de G' est 

-j et, par suite, l'indice de ce système est 

égal à 2. 

Le système G' n'a ainsi que des substitutions du pre- 
mier genre, et, en conséquence, le système G ne renferme 
aucune des transpositions que l'on peut former avec les 
lettres relatives à G'. Désignons par U' l'une quelconque 
de ces transpositions et par T' une substitution circulaire 
d'ordre p qui ne contienne aucune des lettres de U, 
mais qui, au contraire, renferme les deux lettres de U, 
ou au moins l'une d'elles. Comme la transposition U^ ne 
se trouve pas dans G, la substitution T' appartiendra à 
ce système, comme on l'a vu plus haut, d'où il suit que 
le système G renferme toutes les substitutions circulaires 
d'ordre p que Ton peut former avec les n lettres données; 

N . . 

il contient donc les - substitutions du premier genre que 

l'on peut former avec ces lettres. Il est évident d'ailleurs 
que le système G ne peut renfermer d'autres substitutions 
puisqu'il ne possède pas les substitutions du deuxième 
genre formées avec les n — 2 lettres relatives à G'; donc 

l'ordre de ce système est égal à - et son indice est éçal 

417. La démonstration précédente subsiste quand il 
n'existe pas de nombre premier entre - et // — i, pourvu 



(') Ou nuiail pu tirer imimrdialrnirn! crtlo conclusion des pro|»o*i" 
tioiis établies aux n**' 440 et 441 ; mais il nous a paru convenable (ler<^(^ 
sener dans son inti'jjrite le ruisonncment par Icqurl M. Berlrand a e^^b^ 
son tlH'urèiiie. 



SECTION IV. — CHAPITRE III. 323 

que - soit un nombre premier^ dans ce cas, on peut 



n 



poser p =^ - ; tel est le cas de n = 6. Mais, quand il existe 

un nombre premier p e(rcclivemcnt compris entre - et 

n — 2, le raisonnement que nous avons développé peut 
servir à démontrer une proposition nouvelle fort impor- 
tante. Effectivement, pour établir que le système G pos- 
sède Tune au moins des substitutions T et U, il n'est pas 
nécessaire de supposer, comme nous Tavons fait, que Tin- 
dice de G soit inférieur à w ; la même chose a lieu encore 

quand cet indice est égal à //, pourvu que Ton ait /?]> -> 

et l'on arrive toujours à cette conséquence que Tindice 
de G' est i ou 2. Cet indice ne peut être égal à 2, car il 
en résulterait, comme on Ta vu, que l'indice de G serait 
lui-même égal à 2, ce qui est contre l'hypothèse; l'in- 
dice de G' est donc égal à i ; mais alors (n° 4il, Corol- 
laire) l'indice de G ne peut pas être égal à /i, à moins 
que ce système ne soit formé par les substitutions de 
n — ï lettres. De là résulte le théorème suivant : 

Théorème. — Si l'indice d'un système de substilu- 
lions conjuguées est égal au nombre n des lettres, le 
svsthine se compose des 1.2. 3. . .[n — i) substitutions 
formées as^ec n — i lettres. 

La démonstration ne s'applique pas aux cas de 
"=^3, 4> 5> 6. 7. Le théorème a été démontré par Abel 
pour 7i= 5 [OEuvres complètes, 1. 1*% p. 19), et il a lieu 
*^ssi pour les cas de 72 = 4> 5, 7, comme on leTerra plus 
^^ïn. Le .seul cas de /^ = 6 fait exception; nous établi- 
rons qu'il existe effectivement un système de substitutions 
conjuguées de 6 lettres dont l'indice est égal à 6 et qui 
renferme des substitutions circulaires des ordres 4, 5,6. 



3a4 COmS D*AI.G£B11E SUPERIEURE. 

Démonstration nouvelle du théorème relatif à la limite 
inférieure des indices plus grands que a. 

448. Je vais faire connaître actuellement la démons- 
tration par laquelle je suis parvenu à établir directement 
le théorème de M. Bertrand ; j*ai publié cette démonstra- 
tion pour la première fois dans le tome XV du Journal 
de Mathématiques pures et appliquées (i"^ série), et je 
l'ai reproduite dans la précédente édition de cet Ou\Tage. 
Mais, en la présentant ici, je profiterai des secours que 
m'offrent les propositions établies dans le Chapitre pré- 
cédent, ce qui me permettra d'apporter quelques simpli- 
fications; la démonstration dont il s'agit sera fondée sur 
deux lemmes que nous établirons d'abord. 

Lemhe I. — Soient G un système de substitutions con- 
juguées formées a\fecn lettres ^0, ai , ^2, . .. , «/,_», ^0» 4ii 
et G' le système conjugué formé avec celles des substi- 
tutions de G qui ne déplacent aucune des deux lettres 
bof bf Si les systèmes G et G' ont un même indice fi 
supérieur à ly on pourra construire as^ec les n — a let^ 
très rtj, «1 , > . », a„^3 un système de substitutions conju- 

uérs dont l'indice sera -\ d'oii il suit que le nombre u 



rr 



2 

est toujours pair. 

Dt5signons par v et p les ordres respectifs des systèmes G 
et G'. Les indices de ces svstcmes seront —^-^'~ — '-^ el 

V 

I .21.3. . ^/î — 2 1 ., , 

j comme us sont égaux, par liypolhèse, 



on aura 
Posons 






G ~ - ï t 5|, oj, ^)3, • . . f ^p— 1» • • • » 2S»_|, 

O ' — I, î>i, Oj, Oj, • • • t ^f— i» 



SECTION IV. CHAPITRE III. 32J 

Si l'on représente par T, , To, . . . , T.,„i des substitutions 
des n — 2 lettres a, le système des |:zp = i . 2 . 3 . . . f/i — 2) 
substitutions des n — 2 lettres a pourra (n** 42o) être 
représenté par 

I| 5)|, î>j, • • •« ^p — 1» 

T|» Ti Si, Tj Sj, •••1 »i^?— 1> 



et je dis que le système des f/v = i . 2. . ./i substitutions 
des n lettres est compris dans le nouveau tableau 

I, Si, Sj, • • • > S„__ij 

*i» TiSj, Tj Sj, •.•t Ti Sy_i. 
J2j < Tj, TjSi, T2S2, .., rjSy—i, 



'I 



^j*— Il Tji^jSi, Tji_i bj, .••» T,t_i Sy_|, 

où les substitutions T sont les mêmes que dans le ta- 
bleau (i). Il suffît de prouver que ces \tv substitutions 
sont distinctes. Si Ton avait 

on en conclurait 

or les facteurs T sont indépendants de io et i|, donc le 
produit Sy S^', qui est Tune des substitutions Sa du sys- 
tème G, ne contient pas i© et i| ; il en résulte que S^ fait 
partie du système G'. D'ailleurs l'égalité précédente de- 
vient 

Tr==T/SA, 

ce qui n'est pas possible, d'après la manière doni les sub- 
stitutions ï ont été choisies pour former le tableau (1). 



326 COURS D*ALCÈBRE SUPÉRIEURE. 

Le tableau (2) renferme donc toutes les substitutions 
dos n lettres; or, si Ton applique ces substitutions à 
une permutation quelconque, il y en aura évidemment 
1.2.3. . .(/i — 2) qui transporteront deux lettres quel- 
conques données à deux places déterminées ; d'ailleurs, 
les substitutions T ne contenant pas i© et, i|, il est évi- 
dent que toutes les fx substitutions contenues dans une 
même colonne verticale du tableau (2) donneront à b^ 
et à h^ les mêmes places; il y aura donc, dans la pre- 
mière ligne horizontale du tableau, c'est-à-dire dans le 

1.2.3. . .1/7 — ■ 2 ) 
système G, — — — — ' ou p substitutions qui trans* 

porteront &o et &i à deux places quelconques et qui, en 
conséquence, substitueront ces lettres, dans la permuta- 
tion primitive, à deux lettres quelconques, parmi les- 
quelles &o et i| peuvent se trouver; en particulier il y 
aura précisément p substitutions qui échangeront ft# et h^ 
entre elles. Si Ton pose 

ces p substitutions seront de la forme 

us;, us',, us', us;_j. 

S',, S',, . . ., Sp_i étant des substitutions indépendantes 
de ho et de i|. Aucune de ces substitutions S' ne peut se 
réduire à Funité, ou plus généralement à l'une des substi- 
tutions du système G'; car, si S\ appartenait à G', et par 
suite à G, comme US^ est aussi une substitution de G, il 
en serait de même de U. Je dis que cela ne peut être; en 
effet, on a vu que les substitutions S/ de G peuvent substi- 
tuer Z>o et A| à deux lettres quelconques, et inversemeni 
substituer deux lettres quelconques à i© et A| ; d'après 
cela, si U appartenait à G, il en serait de même de toutes 
\vs substitutions de la forme S/US"*, c'est-à-dire de 



SECTION IV. CHAPITRE III. 3^7 

toutes les transpositions; l'indice de G serait alors égal 
à I , ce qui est contre Thypothèse. 

Cela posé, prenons dans le système G les p substitu- 
tions de G' avec les p précédentes, il est évident que les 
ic substitutions obtenues, savoir: 

j us;, US',, us'„ ..., us;^„ 

formeront un système conjugué. En effet, les produits 
S/Sy et US' X VS'j = S\Sj appartiennent à G, et, comme 
ils sont indépendants de bo et de 6|, ils font partie de la 
première ligne du tableau (3); pareillement le produit 
S/XUS} = UxS|S), appartenant à G, fait nécessaire- 
ment partie de la seconde ligne du tableau (3). On peut 
conclure de là que les substitutions 

. ,^ l ïi Si, Sj, . . ., Sj^i, 

\*i ) c' vi' c' c' 

'. ^o> ^1» ^a» •••> ^p— 1 

forment un système de 2p substitutions conjuguées de 

72 — 2 lettres ; l'indice de ce système est égal à -5 comme 
ou l'avait annoncé. 

449. Lemme II. — Soient G un système de substitu- 
tions conjuguées, formées avec n lettres ao^aif an, . . . , 
^n-m^-iy bo, b^j . . . , bm^^j et G' le système composé de 
celles des substitutions de G qui ne déplacent aucune 
des ni lettres b. L'indice de G ne peut être inférieur à 
l'indice (x de G', et, si on le représente par p -f- i, on 
pourra former un système G| de substitutions cojiju- 
guées de n — m lettres, dont l^ indice /jt| sera égal ou 
inférieur à^, et dont toutes les substitutions seront con- 
tenues dans le sjstème G. 



33o COURS d'algèbre SUP^.niF.URE. 

liplie ses substitutions par X substitutions 
convenablement choisies, les produits obtenus 

V •; •; • 

comprendront les i.a.3...(/z — m) substitutions qui 
ne déplacent pas m certaines lettres f je désignerai par 
^'#> ^'. » • • • > '^/i-i ces 771 lettres, et par a\,a\, . . . , <^'„_«--i 
les 71 — 771 autres. Soient 

les Ci substitutions de G qui ne déplacent pas les m 
lettres i', on obtiendra le système de toutes les 

1 .2.3. . .(/i — m) 

substitutions des lettres a\ en multipliant G| par cer- 
taines substitutions indépendantes des lettres b\ qui 
feront évidemment partie des facteurs i, U|, Uj, ••., 

Ux_i, et que Ton peut représenter par 

alors on aura 

|X| p, = I . SI . 3 . . . ( /^ — m \ 

ci le nombre fx, , égal ou inférieur à 1, exprimera Tindice 
(lu système G| dont toutes les substitutions sont con- 
tenues dans G. 

AoO. Ces lemmes établis, nous passons à la démons- 
tration des théorèmes que nous avons en vue. 



8ECTCON IV. CHAPITRE III. 33 1 

TnÉORÈUB I. — Le nombre n étant impair, si l'indice 
d'un système de substitutions conjuguées , /armées ai^cc 
n lettres, est plus grand que a, cet indice est égal ou 
supérieur à n; et, quand il est égal an, le système con- 
jugué est composé de toutes les substitutions que l'on 
peut former ax^ec n — i lettres. 

Le théorème est évident dans le cas de // = 3 ; car, l'in- 
dice du système étant supérieur à a, il est nécessairement 
égal ou supérieur à 3. En outre, si cet indice est égal à 3, 

1.2.3 

l'ordre du système est — rr*— ou 2, qui est un nombre prc- 

mier. Le système est alors formé des deux puissances 
d'une substitution circulaire du deuxième ordre, c'est- 
à-dire d'une transposition. 

Il résulte de là que, pour établir le théorème énoncé 
dans toute sa généralité, il suffît de prouver que, s'il a 
lieu pour // = n'y il subsiste aussi pour w = w'h- 2. En 
d'autres termes, nous pouvons admettre que le théorème 
a lieu quand on remplace, dans son*énoncé, n par /? — 2, 
le nombre n étant un nombre impair, au moins égal à j. 

Soient G le système conjugué donné dont nous suppo- 
sons l'indice supérieur à 2, et G' le système conjugué 
composé de celles des substitutions de G qui ne déplacent 
pas deux lettres choisies arbitrairement parmi les n lettres 
données. D'après ce que nous admettons, l'indice de G' 
ne peut être en mcme temps supérieur à 2 et inférieur à 
n — 2; cet indice sera donc l'un des cinq nombres 

ï, 2, n — 2, n — I, /7, 

ou bien il sera supérieur à «, auquel cas l'indice de G 
sera lui-même plus grand que n. Nous allons examiner 
successivement ces cinq hypothèses. 

i** L'indice de G' est 1 . — Comme, par hypothèse, l'in- 
dice de G n'est pas i , cet indice est égal (n"* 4i0 et 441 , 



33^ COURS d'alGÈDRE SUPéRlEDRE. 

Corollaires) à l'un des nombres /?, -^ -y nln — i^, 

et en outre, si cet indice est égal à /i, le système G est 
composé de toutes les substitutions de /i — i lettres. 

2** V indice de G' est 2. — Dans ce cas, Tindice de G, 
qu*on suppose diflTérent de 2, est Tun des nombres an, 
n{n — i), 2/i(/i — i) (a°*440et 441); il est donc supé- 
rieur à n, 

3** L'indice G' est n — 2. — Dans ce cas, Findice de G 
ne peut être égal à n — 2, d'après le lemme I (n" 448), 
parce que n — 2 est un nombre impair. Si Tindlce de G 
est égal à n — i ou à /?, on pourra former, d'après le 
lemme II (n"449), un système conjugué de substitutions 
de 71 — 2 lettres, dont l'indice sera i ou 2 et dont toutes 
les substitutions seront contenues dans G; on rentre dore 
dans Tune des deux hypothèses précédentes, quand Tin- 
dice de G n'est pas supérieur à n, 

4" L'indice de G estn — i . — Dans ce cas, l'indice de G 
ne peut être n — i ; car, si cet indice était /i — 1, on pour- 
rait former, d'après le lemme I, un système conjugué de 

substitutions de n — 2 lettres, dont l'indice serait -» 

' 2 

Or, si n est^-S, le nombre est supérieur à 2 et 

2 

il est inférieur kn — 2; nous admettons d'ailleurs que 
rindice d'un système conjugué relatif k n — 2 lettres 
ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur ù 
n — 2; donc Thypollièse que nous discutons en ce mo- 
ment est inadmissible quand n est supérieur à 5. Mais elle 
l'est aussi lorsque /i = j, car dans ce cas l'indice de G 
ne peut pas être supposé égal à n — i = 4« puisque 4 
n*cst pas un diviseur du produit 1.2. 3. 

L'indice de G, s'il n'est pas supérieur à /i, est donc égal 
à n\ mais alors, d'après le lemme II, on pourra foriuor 



SECTION IV CHAPITRE III. 3!^3 

un système conjugué de substitutions de n — 2 lettres, 
ayant i pour indice et dont toutes les substitutions seront 
contenues dans G. Ou rentre ainsi dans la première des 
liypothèses que nous venons d^examiner. 

S® Ij indice de Gf est n. — Dans ce cas, l'indice de G est 
nécessairement supérieur à n\ car, d'après le lemme I, 
cet indice ne peut être égal à /i, puisque n est un nombre 
impair. 

On conclut de là que rindice de G supposé plus grand 
que 2 ne peut être en aucun cas inférieur à /i, et que si 
cet indice est égal à w, le système G est formé par les 
substitutions de /i — i lettres. 

45i. Tméobème II. — Le nombre n étant pair, si 
l'indice d'un sj sterne de substitutions conjuguées for- 
mées ai^ec n lettres est plus grand que ^j cet indice est 
égal ou supérieur ii n, le cas de n ■=> ^ étant excepté. 
Et, si l^ indice du système est précisément égal à n, celui- 
ci est composé de toutes les substitutions formées a^ec 
n — I lettres, le seul cas de n = 6 étant excepté. 

Soient G le système conjugué donné, et Gq le système 
conjugué formé parcelles des substitutions de G qui ne 
déplacent pas une lettre choisie arbitrairement parmi les 
lettres données. Nous supposons que l'indice de G est su- 
périeur à 2 ; quant à Tindice de Go qui se rapporte à 
n — I lettres seulement, il ne peut, d'après ce qui précède, 
être en même temps supérieur à 2 et inférieur k n — i, 
puisque /2 — i est un nombre impair. Cet indice de G© 
sera donc l'un des nombres 

I, 2, /Z — I, 72, 

ou bien il sera supérieur à n, et, dans ce cas, Tindice 
de G sera lui-même plus grand que n. Nous allons exa- 
miner les quatre hypothèses précédentes : 



334 COURS d'algèbre supérieure. 

I** L'indice de Go est i. — Dans ce cas, Findice de G 
est égal à n (n**440, Corollaire)^ puisqu^on suppose cet 
indice différent de i . 

•i? L'indice de G© estTL, — Dans ce cas, Tindice de G 
est égal à aw (n** 440), puisqu'on le suppose diflercnt 
de 2. 

3* L'indice de G© estn — i . — Dans ce cas, comme 
n — I est impair, lesvstèmeGo (n"4o0) est formé par 
toutes les substitutions de /z — i lettres, et son indice, 
qui est plus grand que i , est égal (n°* 440 et 441 ) à l'un 

des nombres /î, — --> n[n — i), pourvu cependant 

que 71 soit p 4 (*)• En outre, cet indice ne peut être 
égal à n que dans le cas où G renferme toutes les substi- 
tutions de n — I lettres. 

4** L indice de Go est n, — Alors l'indice de G est 
égal ou supérieur à /z ; il nous reste à examiner le cas où 
cet indice est précisément égal à n. 

Remarquons d'abord que la première partie du théo- 
rème énoncé se trouve établie par ce qui précède, savoir: 
Si le nombre pair n est supérieur à 4, l'indice d'un 
système conjugué, relatif à n lettres, ne peut être à la 
fois supérieur à i et inférieur à n. Dans ce qui va sui- 
vre, nous supposerons n — O- î> cl, par suite, //]; S. 
Désignons par GMe systcnie conjugué formé par celles 
des substitutions de Gq qui ne déplacent pas l'une des 
n — I lettres relatives à Go, lettre qui peut d'ailleurs 
éln' choisie à v()h)nté. L'indice de G' ne peut être à la 
fois supérieur à a et inférieur à// — 2, d'ailleurs il n'est 
pas supérieur à n\ donc il a pour valeur l'un des cinq 



r*) Nous avons vu (n° ilV.I} qu'on jxhiI former avec quatre lt>Ur«>4 in 
6\ft(ènie (le «ulislitutionsi conju(;uèc& dont l'ordre rst 8 et dont l'indicect 
cunhét|uemincnt è[;al à 3. 



SECTION IV. — chapithe III. 335 

nombres i, a, n — 2, /i — i, n. Le cas où cet indice 
serait l'un des nombres 71 — 2, n — i se ramène immé- 
diatement, par le lemmelly au cas où il serait i ou 2; 
or je dis que ce dernier cas ne peut avoir lieu ; car, si 
rindice de G' est i ou 2, Tindice de Go sera nécessaire- 
ment Tun des nombres i, 2, [n — i), 2(w — i) (n**440) 
dont aucun ne peut être égal à n. L'indice de G' est donc 
égal à n ; mais alors, d'après le lemme I, on pourrait for- 
mer un système conjugué de substitutions de // — 2 let- 
tres, dont rindice serait -■> ce qui est impossible, puis- 
que 



n 

2 

l'on a 



n 

2<C - <C« - 2. 
2 



Donc notre dernière hypothèse est inadmissible, si le 
nombre n est supérieur à 6. Elle peut au contraire avoir 
lieu quand n =:^Gy ainsi que nous allons l'établir ; mais 
elle est impossible quand n=^^, puisque, 4 n'étant pas 
un diviseur du produit 1.2.3, l'indice de Gq ne peut pas 
être égal à 4« Ainsi le cas de /z = G constitue la seule ex- 
ception à la deuxième partie de notre théorème. 

Du système conjugué d'indice 6 qui comprend 1 20 sub- 
stitutions de six lettres, et qui n'est pas formé par les 
120 substitutions de cinq lettres, 

452. Il résulte de la démonstration précédente que, si 
un tel système existe, celles de ses substitutions qui ne 
déplacent pas deux lettres quelconques forment un sys- 
tème conjugué de substitutions de quatre lettres, dont 
l'indice est 6, et dont Tordre est, en conséquence, 

» o 3 A 

' ' '^ OU 4' Ce système d'ordre 4 ne peut renfermer, 
outre l'unité, que des substitutions circulaires du qua-. 



33() cotns uAiGÈeiiK sti'ÉaiELBe, 

trièmc ordre, des substitutions régulières du deuxième 
ordre formées de deux cvclcs, ou des irausposît ions. Mais 
il ne saurait y avoir de transpositions, car le système en- 
tier des substitutions des six lettres n'en saurait contenir, 
comme on l'a vu dans la démoustralion du lemnie du 
a" 448, lemme qui embrasse le cas que nous considéroos 
ici. Si le système d'ordre 4 dont il est question n'est pas 
composé des quatre puissances d'une substitution circu- 
laire du quatrième ordre, il comprendra, outre ruDÎtê. 
les trois substitutions régulières que l'on peut former 
avec les quatre lettres; donc on y trouvera, dans tous les 
iuLstïtulion régulière formée de deux transposi- 



tions. Et, I 



rue il 



jaquit 



e combinaisons de six lellre* 



quatre à quatre, le système conjugué G dont nous nous 
occupons doitcomprendrequinzesubstitutionsréj^ulièrcs 
formées chacune de deux transpositions. Or deux substi- 
tulions de cette espèce qui auraient uu cycle commun et 
une troisième lettre commune ne peuvcnl figurer dans G. 
car le produit de deux telles substitutions est évidemment 
une substitution circulaire du troisième ordre; donc, si 
l'on distribue les quinze transpositions des six lettres en 
cinq groupes de trois transpasilions, de Iclle manière que 
les six lettres figurent dans les trois transpositions d'un 
même groupe, on obtiendra les quinte substitutions ré- 
gulières de G, en faisant tes produits deux à deux des 
transpositions contenues dons un même groupe. Toute 
autre substitulion régulière de la même espèce a néces- 
sairement un cycle commun et une troisième lettre com- 
mune avec l'une des quinze dont nous venons de parler, 
et par conséquent elle ne peut pas être contenue dans G; 
ainsi ce système ne renferme pas les trois substitutions 
régulières formées avec les quatre mêmes lettres, ci. par 
suite, il contient une substilutiou ciiculaiic de ces quain 
lettres. 



IL 




SFXTION IV. CHAPITRE III. 337 

Soient 

a, b, c, d, e, f 

les lettres données, et supposons que le système G ren- 
ferme les puissances de la substitution circulaire 

Le même système doit renfermer une substitution circu- 
laire U|, formée avec les quatre lettres a, i, c, <?; on peut 
supposer que a soit mis au premier rang dans Ui; mais 
alors c ne pourra occuper la troisième place, car, si cela 
avait lieu, le produit des deux substitutions régulières U^ 
et UJ, qui auraient un facteur (a, c) commun, ne con- 
tiendrait que deux transpositions ayant une lettre com- 
mune i, et il se réduirait à une substitution circulaire 
du troisième ordre, laquelle ne peut figurer dans G. Il 
faut donc que c occupe dans U| la deuxième -ou la qua- 
trième place, et alors'il occupera dans UJ la quatrième 
ou la deuxième. J'appellerai U| celle de ces deux substitu- 
tions dans laquelle c occupe la quatrième place: on aura 
donc 

pareillement, le système G renferme deux substitutions 
circulaires du quatrième ordre dont chacune est le cube 
de l'autre, et qui sont formées avec les quatre lettres a, 
i, c, f\ je désignerai par Uj celle de ces substitutions 
dans laquelle c occupe la deuxième place, et Ton aura 

Uj — (rt, c, / 6) ou \S^—[a,c,b,f], 

Mais, si l'on prend la première valeur de U|, il faudra 
prendre la deuxième valeur de Ua, et inversement, car 
autrementU' etUJ auraient une transposition commune, 
et leur produit se réduirait à une substitution circulaire 
du troisième ordre. Rien ne distinguant jusqu'ici les Ict- 

S. — Alg, sup,, II. 33 



338 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

très e et y, nous ferons 

* 

Cela posé, en appliquant successivement les substitu- 
tions Ll, U|, Ua à une permutation quelconque, on trouve 

UiU= (n,e, c, fi, 6), 

On voit donc que le système G renferme les trois substi- 
tutions circulaires 

Urrr («, b,C,d), T = {a,€,C,fi, b), S=(/7,|., b,C,dJ) 

(les ordres respectifs 4> 5, 6 ; ce système s'obtiendra donc 
en multipliant à droite ou à gauche, mais toujours de la 
même manière, les puissances de U parcelles de T, puis 
les résultats obtenus par celles de S. En opérant ainsi, on 
formera bien 6x5x4 ou 120 substitutions distinctes, 
car il est évident que deux produits, tels que S*T^U', 
S^'T^U'', ne peuvent être égaux, à moins que l'on n'ait 
Â^ = A , / =y, a = i. Mais il reste à faire voir que ces 
1 20 substitutions constituent réellement un système con- 

En premier lieu, les systèmes conjugués formés l'un 
avec les puissances de U, l'autre avec les puissances de T, 
sont échangeables entre eux. On a efiectivement 

c'csl-à-dire 

et, en élevant à la puissance p, 

U^Ti^U-^ = Ti^«\ d'où U^Ti^r=1>«*l]^ 

ces deux systèmes fournissent donc, parla multiplication, 
un système conjugué de uo substitutions relatives à cinq 



SECTION IV. CHAPITRE III. SSp 

lettres; en mettant ao^a^ a^^a^ya^ au lieu dee, c, d^ 
bf a, on ferait coïncider ce système avec celui que nous 
avons rencontré au n® 436. 

En second lieu, le système conjugué 

dont nous venons de parler, est échangeable avec le sys- 
tème conjugué formé par les puissances de S. D'abord, il 
est facile de vérifier que, quel que soit/z, on peut trouver 
un entier m tel, que chacune des substitutions 

S'«TS'*, S^'US" 

se réduise à Tune des substitutions P. Le nombre m se 
détermine facilement par la condition que les substitu- 
tions que nous venons d'écrire ne contiennent pas la 
lettre y, et l'on trouve 



S*TS 


— T«U 


= UT. 


S» US 


— T*U 


— UT«, 


S*TS* 


-TS 




s*us- 


r^rT'U^' 


-U'T, 


S«TS' 


^ U*, 




S^VS-' 


— T'U« 


— U*T*, 


STS* 


rru^ 


-U'T\ 


sus* 


— ru» 


= U«T, 


S'TS 


-_-T*U- 


r::rU«T\ 


S'^US^ 


— u». 





On a donc, quel que soit n, 



ou 



§/« xS" = P/, S'" US" = P„ 



TS« = S-"» P/, US" =:.: s-'» P,-, 



m et I ayant des valeurs convenables. Il résulte de là que 
tout produit de la forme PyS* peut être ramené à la 
forme S'' Pa; en effet, Py est un produit composé de fac- 
teurs T et de facteurs U, et, d'après ce qui précède, on 
peut faire avancer successivement S* d'un rang vers la 
gauche, en modifiant chaque fois convenablement l'expo- 



23. 



34'> coL'tis d'alcIdre SUPÉniEI 

sanlv; après avoir répété celle opéralion plusieurs fob, 
il est clair que PyS' se trouvera remplacé par une expres- 
sion de la forme S''P^. Le système des substitutions F it 
celui des puissances de S étant échangeables entre eu\. 
on obtiendra, en les multipliant l'un par l'autre, un sjs 
lème conjugué d'ordre 34 X 5 ^^ lao ou d'indice G. 

Il importe de remarquer aussi que le système dont 
nous venons de prouver l'existence comprend des substi- 
tutions du premier genre et des substitutions dudeuxîème 
genre en nombre égal. En conséquence, les substitutions 
du premier genre constitueront un système conji 
d'ordre 60 et dont l'indice sera égal à 






Des systèmes transitifs de substitutions conjiiffuèes. 

433. Lorsque les substitutions d'un système conjugué 
permettent de substituer successivement l'une des lettres 
à chacune des autres, le système est dît transiiij. Il est 
inlransiri/ dans le cas contraire. Celte distinction des 
systèmes conjugués en transitifs et întransitifs est due À 
Cauchy ; elle a une très-grande importance dans la théo- 
rie qui nous occupe. 

Plus généralement, si les substitulions d'un système 
conjugué permettent de substituer m des lettres ilonnc«s 
àwi lettres quelconques, nous dirons que le système cslwi 
fois transitif. 

Si un système de substitutions conjuguées est m fois 
transitif, les substitutions du système permettent de sub- 
stituer m lettres quelconques à m lettres quelconque. En 



effet, le système prnpost 



étant su 



ppoi 



I fois transitif. 



il y a m lettres a,, a^, ■ . ■. a„ qu'on peut substituer i 
m autres quelconques £,, &,, ..., An. distinctes ou non 
des premières. Réciproquement, les substitutions du sys- 
tème permettent de remplacer fii, a^, ■ ■ ■, fin> par ^n 



t 



^ 



SECTION IV. CHAPITRE lll. 34 1 

^29 "'9 ^my et, en conséquence, elles peuvent substituer 
ces dernières lettres à fti lettres quelconques. 

Il est évident que le système de toutes les substitutions 
formées avec n lettres est// — i fois transitif, et que le 
système qui comprend toutes les substitutions du pre- 
mier genre formées avec les mômes lettres est w — 2 fois 
transitif. 

On voit aussi qu'un système de substitutions conju- 
guées formées avec n lettres est transitif, quand il ren- 
ferme une substitution circulaire d'ordre n ; mais cette 
condition n'est pas nécessaire. En général, un système 
conjugué de substitutions de n lettres est m fois transi- 
tif, quand il renferme m substitutions circulaires des 
ordres respectifs n, n — 1 , . . . , /z — m 4- 1 . Par exemple, 
le système d'indice 6, dont nous nous sommes occupé au 
n** 452 et qui est composé de 120 substitutions conju- 
guées de six lettres, est trois fois transitif, car il admet 
trois substitutions circulaires des ordres respectifs 6, 5, 4- 

4o4. Théorème I. — L^ ordre d^un sjstème m fois 
transitif, de substitutions conjuguées de n lettres, est un 
multiple de n{n — i ) . . . ( /i — m -h \); end ^autres tenues, 
l 'indice du sjsthne est un di\^iseur du produit 

i.2.3...(/î — m). 

En effet, soient Ao, A|, Ao,... les 72 (w — i )...(/? — w-j-i) 
arrangements m à m que Ton peut former avec les 
n lettres données, et 

*^0» ^1» ^2» • • • » ^^1 

celles des substitutions du système proposé G qui rem- 
placent les lettres de l'arrangement A/ par celles qui 
occupent respectivement les mêmes rangs dans Ay. Dési- 
gnons, en outre, par T Tune des substitutions de G qui 



34 2 couns d'algèbee supÉiiiEvaB* 

remplacent les lettres de Ay par celles de A/^, il est clair 
que les p substitutions 

ll^Q, J.l^|« ta)], • • •« -t*^*— 1 

remplaceront les lettres de A/ par celles de A/^. Le nombre 

des substitutions qui remplacent A/ par A;^ ne peut donc 

être moindre que le nombre de celles qui remplacent A/ 

par Ay, et réciproquement ce dernier nombre ne peut 

être inférieur au premier. 

Il résulte de là qu'il y a, dans le système proposé, un 

même nombre p de substitutions qui remplacent Farran- 

gement donné A/ par chacun des arrangements Aq, A|, 

An, .... Si donc on appelle /x l'ordre du système G, on 

aura 

11=1 n[fi — 1 ) . . . (/i — /n H- I ) X p, 

et rindice du système sera 

N f.2.3.. n f2.3...w — m) 

Cet indice est, en conséquence, un diviseur du produit 
1.2.3. . .[n — m) et Ton voit en outre qu'il est égal à 
l'indice du système conjugué formé par IcsjO substitutions 
qui remplacent Tun des arrangements A/ par lui-même. 
De là résulte la proposition suivante : 

Corollaire. — Si tin s) sterne G de suhstifiifions con^ 
j liguées est in fois transitif y celles des substitutions de G 
qui laissent immobiles m lettres choisies à volonté for- 
ment un système conjugué G' dont rindice est égal à 
[indice de G. 

4S5. Théorème II. — Un système de substitutions 
conjuguées dont V indice est supérieur à i ne peut être 
m fois transitif s'il renferme une substitution qui ne dé- 



SECTION IV. CHAPITUE III. 3^3 

place que i lettres j le nombre i étant supposé égal ou 
inférieur à m. 

EneiTet, supposons que le système proposé G renferme 
une substitution S qui ne déplace que i lettres ; le nom- 
bre m étant au moins égal à i, et le système G étant m fois 
transitif, ce système renferme une substitution T qui 
remplace les i lettres contenues dans S par i lettres choi- 
sies arbitrairement ; par conséquent, il renferme aussi 
la substitution TST~*, qui est une substitution quel- 
conque semblable à S. 

La substitution S étant décomposée en cycles, soit 

et formons la substitution semblable 

d — L< V>| Lia • • • , 

le produit 

appartiendra au système G. Si Tordre yi du cycle C est 
supérieur à 2 et que Ton ait 

nous ferons 

et nous aurons 

SS'— ( «0» ^î» ^ij- 

Le cas de itji= 3 est compris dans ce qui précède : on a 
alors C' = G; mais, si u. = 2 et que Ton ait 

comme il y a au moins une lettre a^ non contenue dans S, 

nous ferons 

Cl I 



344 COURS d'algèbee supéeiedrb* 

et nous aurons encore 

Ainsi, dans tous les cas, G renferme une substitution 
circulaire du troisième ordre ; donc, si m est égal ou supé- 
rieur à 3, G renferme toutes les substitutions circulaires 
de troisième ordre, et en conséquence son indice est égal 
à I ou 2 (n» 430). 

Le cas de m = 2 échappe à cette analyse ; mais, dans 
ce cas, le système G contient par hypothèse une des 
transpositions formées avec les lettres données ; donc il 
les renferme toutes et son indice est égal à 1 . 

CoROLLAiEE. — Un Système de substitutions conjuguées 
doublement transitif, dont V indice est supérieur à n^ne 
renferme aucune transposition; pareillement^ un sj'stème 
triplement transitif dont T indice est supérieur à 2y ne 
renferme aucune transposition et aucune substitution 
circulaire de trois lettres, 

456. Théorème III. — Si V indice d^un système m fois 
transit^ de substitutions conjuguées formées avec n 
lettres est supérieur à 2, cet indice est un multiple du 
produit 1.2.3. .. 7/2 . 

En effet, soient 

"Oi ^1» ■"î» • • •• Aji 

les 

M = 1 . 2 . 3 . . . ^Ai 

permutations formées avec m des lettres données choisies 
arbitrairement, et 

'» M, Tj, . . ., Tu_i 
les M substitutions de ces mêmes lettres. Soient aussi 



SECTION IV. 



CHAPITRE III. 



celles des substitutions du système proposé G qui ne dé- 
placent pas les m lettres que nous venons de choisir, et 
qui, en conséquence, remplacent Tarrangement Aq par 
lui-même. Ily a dans le système G, comme on Ta vu dans 
la démonstration du théorème I (n" 454\ p substitu- 
tions susceptibles de remplacer les m lettres de Aq par 
celles qui occupent les mêmes rangs dans A/; mais, pour 
exécuter une telle substitution, il suffit évidemment de 
faire d'abord une substitution du système T qui amènera 
les m lettres de A/ aux places voulues, après quoi il restera 
seulement à exécuter une substitution S' de n — m let- 
tres. D'ailleurs, les deux substitutions que nous em- 
ployons sont échangeables entre elles, puisqu'elles n'ont 
pas de lettres communes, et les pM substitutions, dis- 
tinctes du système G, qui sont susceptibles de remplacer 
l'un des arrangements A par un autre arrangement forme 
des mêmes lettres, peuvent être représentées par 



Sj, • • •» Sp_i, 

Tq(I) rr» c(l) 

j O j » • • • > A 1 ^p_i > 

T <;î*) T s * 



1, 


s„ 


T, s;», 


T. S'". 


T,Si' , 


T. Si", 






TC(M-I) 



OÙ S['^ désigne généralement des substitutions qui ne dé- 
pendent pas des m lettres contenues dans les arrange- 
ments A. Le produit de deux quelconques de ces substi- 
tutions appartient au système G ; d'ailleurs il est de la 
forme T, S', S' étant indépendant des m lettres contenues 
dans A; donc il fait nécessairement partie du tableau 
précédent; il en résulte que les MjO substitutions de ce 
tableau forment un système conjugué. On voit en outre 
que les substitutions S, qui figurent comme facteurs 



34â COURS d'algèbue supÉmEURS. 

dans deux substitutions de ce système, ne peuvent être 
égales entre elles ; en effet, il est évident que, si ]== i, on 
ne peut trouver dans notre tableau les deux substitutioDS 
Ty S et T/S, et la même chose a lieu s\j est différent de i, 
car autrement on trouverait aussi (Ty S) (T,S)~* ouTyTf*, 
ce qui est impossible d*après le théorème II (n® 455), 
puisque cette substitution ne déplace que m lettres an 
plus. En conséquence, les MjO facteurs S du précédent 
tableau, savoir: 



ly 


s„ 


s„ 


. • , 


S^if 


^0 » 


si". 


s.'), 


• . . , 




• • • • 


s™, 


s;", 

> • • • ■ 


' • • > 


c(t) 

• ••••• 



c{M-l) c^.M-i) o(M-l) q(II-1\ 

'-'O '1 > t > • • • > "^p— 1 > 

constituent un système de MjO substitutions conjuguées 
formées avec n — m lettres ; l'ordre M p de ce système est 
donc un diviseur du produit i.2.3...(/i — //i), et Ton a 

l.a.3. , [n- m] _ ^^ ^ 

:= A ( I . 2 . . m) . 

Or, par le théorème I (n° 456), le premier membre de 
celte égalité est précisément J'indice du système G : cet 
indice est donc un multiple de 1.2... m. 

Remvrque. — Le théorème que nous venons d'établir 
comprend, comme cas particulier, la proposition que 
nous avons présentée au n° 4i8 à litre de lemmc. On 
peut effectivement conclure de ce qui précède le corol- 
laire suivant : 

Corollaire. — Si un s) stème de substitutions conju^ 
guées formées av^ec n lettres est m fois transitif y et t/uô 



SECTION IV. CHAPITUE III. 347 

V indice fx de ce système soit supérieur à ^, on peut for- 
mer un système de substitutions conjuguées de n — m 

lettres dont Vindice est 



1.2.3... tn 



457. Théorème IV. — Vu système de substitutions 
conjuguées den lettres j dont l'indice est supérieur à 2, 

ne peut être plus de - fois transitif ( * ). 



En effet, quand Tindice fx d'un système m fois transitif 
de substitutions formées avec n lettres est supérieur à 2, 
cet indice est en même temps un multiple de 1.2... met 
un diviseur de i.2.3...(/i — m). On ne peut donc pas 

avoir 

^ n 

m^ n — m ou m>> -• 

On peut même ajouter que : Si n est supérieur à 6, 
il n^ existe point de système de substitutions coujuguées 
formées av^ec n lettres dont Vindice soit supérieur à 2, 

et ijui soit - fois transitif 



En effet, si un tel système existe, désignons-le par G et 
soit T Tune de ses substitutions. Supposons que la sub- 
stitution T remplace les - lettres 



^o> «i> ^*2> •••»''„ > ^„ 

par 

r/ç, «,, 11^, . . ., a^ , a 

5"' ?-» 



(') Ce théorème a été démontré par M. Émilc Mathieu dans un Mé- 
moire qui fait partie du tome V du Journal de Mathématiques pures et 
appliquées (3* s rie); M. Mathieu a également démontré le ihcorème U 
dans ^e Mémoire. 



348 COURS D*ALGÈB11E SUPÉllIEUne. 

le système G renferme une substitution U qui remplace 
ces -dernières lettres par 

«0» ^H ^î« • • •» ^'»_j* ^» 

b étant une lettre diflférente des - lettres a dont est formé 

2 

le premier arrangement ; la substitution UT = S ne se 
réduit pas à Tunité et elle ne déplace pas les lettres 
a^, a^, .,,j a„ ; donc le système G renferme une sub- 



f-' 



n 



s ti tut ion qui ne déplace que — i- i lettres. 

Décomposons cette substitution S en cycles, et soit 

siTdésigneunesubstitutionquelconquedeG,TST~'=S' 
sera une substitution de G semblable à S ; posons 

»J — VI Ll| Vi^ f • • • • 

Comme S et S' ne renferment que — h i lettres, on peut 
choisir T de manière que Ton ait 

I v»! t ^j ^1 1 • • • f 

on aura alors 

SS' = CC'. 

La substitution SS' appartient à G, et l'on peut même 
choisir à volonté les lettres de C, à Texception d'uuc 
seule. Supposons que Ton ait 

Si I = 9,Cseréduità («0,^1), C'sera delà forme(&o»^«)' 
en choisissant Tune des lettres Aq, i| parmi celles qui 



SECTION IV. CHAPITRE III. 349 

ne figurent pas dans S ; la substitution SS' ne déplaçant 
au plus que quatre lettres, on a nécessairement (n^ 455) 

-23 ou /i^6. 

Si 1 est > 2, on peut faire 

C' = i<lo> *» ^/-i» ^/-l» •••» ^i]'y 

on n'est pas libre du choix de & ; si cette lettre diflFère 
de a^y le produit SS' ou CC est [a^^ i) («i, a^)» et l'on 
conclut, comme précédemment, que n est au plus égal 
à 6. Si la lettre b n'est autre que a^ on a 

ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas de /i = 4, où 
l'indice du système deux fois transitif est 2. 

Des ex /cessions susceptibles de représenter l'indice 

d'un sj sterne intransitif. 

4o8. Soient G un système intransitif de substitutions 
conjuguées den lettres, et 

les a lettres que a^ peut remplacer par les substitutions 
de G. Si ai et aj désignent deux quelconques de ces lettres, 
le système G renfermera deux substitutions telles que 






or le produit de la deuxième substitution par Tinversc 
de la première a pour ellel de remplacer la lettre aj par 
ai : donc les substitutions de G peuvent transporter l'une 
quelconque des lettres « à la place d'une autre lettre quel- 
conque du même groupe. Réciproquement, toute lettre 
susceptible de remplacer une lettre aj par les subsli- 



35o COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

tutions de G appartient au même groupe; car, si la 
lettre a peut remplacer ay, par une substitution de G, 
cette substitution, combinée avec Tune des précédentes, 
permettra de remplacer a par a^ et, conséquemment, la 
lettre a fait partie du groupe considéré. 

Soit &i Tune des lettres données non comprises dans 
le groupe précédent ; le raisonnement que nous venons 
de faire prouve que b^ fait partie d*un deuxième groupe 
de lettres 

qui ne peuvent que s'échanger entre elles par les substi- 
tutions de G, et, en continuant ainsi, on voit que les n let- 
tres données peuvent être partagées en divers groupes 

^1» ^f* • • • » ^a« 
^ii ^fi • • •» ^e» 

^1» ^2» • • • » ^y» 

y 

de telle manière que les substitutions de G ne puissent 

qu'échanger entre elles les lettres de chaque groupe. Eo 

d'autres termes, chaque substitution S de G sera de la 

forme 

S =3 A , B .C . . . , 

A, B, C, . . . étant des substitutions qui ne déplacent 
respectivement que des lettres a, des lettres b, des let- 
tres c, etc. 

Il est évident que les substitutions A forment un sys- 
tème transitif relatif à a lettres, et de même les substi- 
tutions B, C, . . . forment des systèmes transitifs relatifs 
à 6 lettres, à y lettres, etc. Désignons par X l'indice du 
système conjugué formé des substitutions A, et par ij fio- 
dice du système G. 

11 peut arriver que les substitutions A soient en même 



SSCTIOIf IV. CHAPITRE ITf, 35 1 

nombre que les substitutions de G, et, dans ce cas, on 
aura 

1.2.3. ../I 1.7. ...a 





(j X 


d'où 




(•; 


I . 2 . 3 . . . /f 
"^ 1.2.3...» 



Mais, si Tordre /x du système A est inférieur à l'ordre v 
de G, il y aura nécessairement dans ce dernier système 
des substitutions telles que AT, AT', composées d'une 
même substitution A et de deux substitutions T, •T' in- 
dépendantes des lettres r/, .... Le produit de Tune de 
ces substitutions par Tinverse de Tautre ne déplace pas 
les lettres a et, en conséquence, le système G renferme 
un certain nombre p de substitutions 



If It» 1;» •••» i| 



e-1» 



qui ne dépendent pas des lettres a et qui forment un svs* 
tème conjugué que nous désignerons par G'. Maintenant, 
soit Aj T' Tune des substitutions de G qui renferment le 
facteur A|, ce système contiendra les p substitutions 

A|T, A|TT|, AiTTj, ..., A|T Tp_i, 

<fiaîs il ne contiendra aucune autre substitution renfer- 
Qiant le facteur A| ; car une telle substitution peut se 
'netire sous la forme A, T'0, et, si elle figurait dans G, 
^ y figurerait aussi. Comme A| désigne Tune quelconque 
oesfi. — 1 substitutions du système A, distinctes de Tunité, 
^■^ Voit que G contient up substitutions^ ainsi Ton a 
^^"^l^p, ou, en désignant par Ç* Tordre du système G', 



1 . ^ . o . . 


,n 


î . 2 . 3 . . 


.« 1.2.3. ..(/? — «) 


• ff 




t/ 



35^ COURS d'algèbre SVPÉRIEUnff. 

ce qui donne 

{i) g= : î-:J?.li^'' ^ j^c{. 

* ' '^ ^1 .2. . .a) n .2. . ;/!—«)] ^* 

Si Ton suppose que le système G/ se réduise à la seule 
substitution égale à i, on aura 

0*-= 1 .2.3. . . /i — a), 

en sorte que Ton peut regarder la formule (i) comme 
comprise dans la formule (2). 

On peut raisonner sur le système G' comme nous l'a- 
vons fait sur le système G, et Ton aura en conséquence 

1.2.3. ..(/î — a) 

^ ~ (i.2.3...'sy[iV2~; . .;/i^ « — «)"] ^^y ' 

iil> étant l'indice d'un système transitif relatif à S lettres, 
et Ç'^ rindice d'un système relatif kn — a — o lettres. 

On peut continuer ainsi jusqu'à ce qu'on rencontre 
dans la série G, G', G'', ... un système conjugué qui ne 
soit plus intransitif et qui se rapportera alors au dernier 
des groupes de lettres données; les formules précédentes 
donneront 

(3) Ç— K.c^ifi,C..., 

en posant 

1 . 2 . 3 ... /F 



^i .2.3. . .a) ^i .2.3. . .6)(i .2.3. . -y)... 
avec 

/» :^- a H- Ç -4- 7 -^- . . . . 

La formule (3), qui a été indiquée par Cauchy, nous 
fait connaître l'expression des nombres susceptibles de 
représenter les indices des systèmes intransitifs. 



SECTION IV. CHAPITRE III. 353 

4o9. Il faut remarquer que la formule (a) peut s'écrire 

et, comme a ne peut avoir que les valeurs i , 2 , . . . , n — T , 
le premier facteur de cette expression de Ç est Tun des 

nombres 

n n {n — 1 1 

— , — 9 • * • 9 

I 1.2 

dont le minimum est n. D'ailleurs JL et ^ sont des en- 
tiers, donc Ç est au moins égal à n. On voit même que, 
pour avoir Ç = /i, il faut que Ton ait 

et alors le système proposé G est évidemment composé 
cfes 1 . 2 . 3 . . . ( /i — I ) substitutions de n — • i lettres. 
La formule précédente montre encore que, si Ç est su- 

P^r^eur à /i, cet indice est au moins égal à la plus petite 

de^ valeurs 

n (n — I ! 
7.n. — i • 

2 



Sic y la limite des indices supérieurs à 2, dans le cas 

des systèmes transitifs. 

4^0. Nous présenterons ici avec quelques modifications 
la démonstration que Cauchy a donnée du théorème de 
M. Bertrand, dans un Mémoire inséré au tome XXI des 
Comptes rendus de V Académie des Sciences. 

I^'après ce qui précède, l'indice d'un système intransî- 

l» ne peut être inférieur au nombre des lettres; donc, 

p<^ur établir le théorème que nous avons en vue, il suffit 

^^ considérer les systèmes transitifs. 

^e dis que l'indice d'un système transitif G relatif 

s — Alg, sup.f 11. a3 



354 COURS D*ALCÊBRB SUPÊRIEUKB. 

à n letires ne peut être en môme temps supérieur à a cl 
inférieur à n, à moins que n ne soit égal à 4- Pour cela 
nous distinguerons trois cas. 

1 ° Le système G est simplement transitif. — Dans ce 
cas le système G', qui comprend celles des substitutions 
de G qui ne déplacent que n — i lettres, est in transitif et 
son indice est égal ou supérieur kn — i . Cet indice est 
aussi celui de G, et je dis qu'il ne peut pas être égal â 
n — 1 si n est > 4» En effet, si G et Gravaient n — i 
pour indice, le système G'(n** 459) serait formé par les 
substitutions de /2 — i lettres, et ces substitutions feraient 
partie de G ; or le système G ne peut pas contenir toutes 
les substitutions de n — i lettres, car autrement il ne 
serait pas transitif, ou il serait composé de toutes les 
substitutions des n lettres, et alors son indice serait égal 
à 1 . Cela étant, si n est ^: -4^ on ne peut pas admettre que 
le système G, d'indice n — i, renferme toutes les substi- 
tutions de 71 — a lettres; car, si cela avait lieu, l'indice 

de ce système serait égal à l'un des nombres ' % 

n{n — i) (n° 441, Corollaire)y ce qui implique contra- 
diction. Donc, si n est " > 4> l'indice de G' ou de G est 
au moins égal (n° 4o9) au plus petit des deux nombres 

. . [n — \]{n — 2I T^ • • !• 

2 (« — I ) , • Par suite cet indice est supé- 
rieur à 72. 

2® Le système G est deux fois transitif — Alors le 
système Cest simplement transitif, et si Ton a n — 1>4» 
l'indice de ce système, qui est aussi celui de G, sera au 
moins égal au plus petit des deux nombres 

2(/l— 2)=/l-f-(/I — 4), 

(^-2)(;i-3) ,',|-,)(;î-61 

r=/l H 9 

2 2 

lesquels ne sont pas inférieurs à 72, quand n est supérieur 



SECTION IV. CHAPITRE III. 355 

à 5. Nous nous référons pour le cas de nir=^5 slu théo- 
rème du n** 415. 

3° Le sjstèmc G est au moins trois fois transitif. — 
Soient a^y a^ . . . , a;,.| les lettres donaées et 

les substitutions de G. Désignons aussi par T/ la trans- 
position [a^ai). Si l'on multiplie la droite, pour fixer les 
idées, par 

T T T 

■■•Oï * Il • • • » *■ n — 1 

les substitutions de G, on obtiendra n^t. produits qui 
seront distincts, si l'indice de G est supérieur à 2 ; car 
si Ton avait 

on en conclurait 

Tr'T,=SA-', 

et par conséquent la substitution Tf * Ty ferai t partie de G. 
Or ce produit est une substitution circulaire de trois 
lettres, à moins que Tun de ses facteurs ne soit égal à 1 , et 
dans ce cas elle se réduit à une transposition. D'ailleurs, 
dans notre hypothèse, le système G ne peut renfermer 
une telle substitution (n** 455, Corollaire)', donc les 
//a produits que nous avons formés sont distincts, ce qui 
exige que tî/i ne soit pas supérieur à 1.2...//, c'est-à- 
dire que l'indice de G soit au moins égal à n. 



93. 



35r> COURS d'algèbre supérieure. 



CHAPITRE IV. 

SUR QUELQUES CAS PARTICULIERS DE LA THÉORIE 

DES SUBSTITUTIONS. 



Sur les fonctions linéaires de la forme —. — -r-, • 
•^ ^ a X -f- V 

461 . Les développements que je me propose de pré- 
senter ici nous conduiront à des conséquences intéres- 
santes au point de vue de la théorie des substitutions, et 
ils trouveront en outre plus loin leur application dans 
la théorie des équations. 

Soit posé 

^ ' a' x-\- b' ^ 

a y b, d y V étant des quantités quelconques données; 
faisons aussi 

il est très-aisé d'avoir Texpression générale de 6'*x. Soit 



en 



effet 



(2) e^-x=-^r""^'" 



a X H- // 
m m 



on pourra écrire, d'après la loi de formation des fonc- 
tions 6^»r, 6'a:, . . . , 



(3) 



f'm 


— a «,„_, -f- b «,„_, , 


"m 


— rt'r/,„«, -+-^^/^_j, 


^m 


-iah„,_^ -f- h //^_,, 


fL 


— ^''^,/,-l-^^'^m-!- 



Pour tirer de ces équations les valeurs de a;„,a„,A;„, il,, 
en fonction des quantités connues a, a', i, i', désignons 



SECTION IV. — CHAPITRE IV. 35^ 

par z une quantité telle, que Ton ait 
les équations (3) donneront 

d'où Ton tire 

Eln outre, l'équation (4), qui est du deuxième degré, a 
deux racines, et si l'on désigne ces racines par :; et z' ^ 
on aura encore 

( a^-^ az' =' a->t- a! z'Y", 

Les équations (5) et (6) déterminent les valeurs de «,», 

«m> *m, A';n- 

En faisant, pour abréger, 

(7) 2^--- siV^'-^b'Y^^^'ab'^n;^']^ 

et 

ip^ — (rt-f- //-h 2^;/'' -h (rt4-// — 2^) 

on trouve aisément 

tn ^tn 



m 



(9) < Q 



*"."'' ^-7' 



1*-= 



m s'""^^ 



358 COURS d'ai.gèdre supÉRiscns. 

équations dont on déduit 



> 



«m 



l«o; < *m ^ 



t 



m 



en sorte que, si Ton a 

on aura aussi 

402. On connaît donc les coeflicients de la fonction 
6"' a- en fonction des quantités connues a, A, tf', b'. A la 
vérité, notre analyse semble en défaut si t est nulle, car, 
dans ce cas, les racines ;; et z^ étant égales, les équa- 
tions (6) ne différent pas des équations {3 ; mais, 
comme les équations (8) et (9) ont lieu quelque petite 
que soit ly il en résulte qu'elles subsistent pour £ = o : 
on a, dans ce cas, 

et, par suite, 

'a -i- b' ]"' -r- m'a^ b' 1 (« -+- b' /"-» 

«,„ _ ^^— — -, 



ma 



'a-'- 6'/"-' 



(-0 



a :■_. - , 3 

ni 2'"~ 



mb a -i- ///"-» 



\ ^* 

Ici los quantités a y i, «', // doivent vérifier l'équation 

(I2J (ci-^-b';-=z^[ab' -bii'\ 



SKCTIOW IV. CHAPITRE IV. BSp 

et Ton peut écrire la valeur de B'^x comme il suit : 

[a — b'-{ ] x-h^à 

î-..= V '^ — 

2a X - 



m I 



On voit que, si l'on fait croître indéfiniment le nombre m, 
ù'^x converge vers la quantité 

(a — b']x -\- lb 

là X — \^a — b' ^ 

, ,, , a — b' — 'yb 
qui a pour valeur 1 une des constantes ,-> 77» 

^ ^ 2.(1 a — 

lesquelles sont égales entre elles en vertu de la rela- 
tion (12). 

463. Proposons-nous maintenant de trouver la condi- 
tion nécessaire et suffisante pour que Ton ait identique- 
ment 

(i3; Qv-x^x, 

c'est-à-dire 

On voit immédiatement qu'on doit exclure le cas parti- 
culier où Ton aurait 

caries équations (11) montrent que, pour satisfaire aux 
équations (i4); î' faudrait que Ton eût 

a -,' b' z=-. o, 

par suite, 

ah' — bà —- o, 

et alors la fonction ôxne dépendrait pas de x. Cela étant, 
on voit par les équations (9) que, pour satisfaire aux 
équations (i4}y il ^^^ nécessaire et suffisant que l'on ait 



Z6o COURS D^ALGÈBBE SUPÉEIEURE. 

OU 

On tire de là 

\ îi. 'X ' 

et 

en désignant par X un nombre entier qu'on doit supposer 
premier avec yi pour qu'il faille effectivement exécuter 
|x fois sur X l'opération désignée par Q avant de repro- 
duire X. 

La comparaison de cette valeur de 2 1 avec celle qa*on 
tire deTéquation (7) donne 

(16) (^-4.^';î_4w,^'_^,a')cos»^" —o; 

tx. 

ce qui est la condition nécessaire et suflisante pour que 
Ton ait 

Si Ton suppose que les quantités a, b, d^ V soient 
réelles, Téquation (16) montre que la quantité ah' — hâ 
doit être positive, le cas de jtxi^ 2 élrnt excepté. Et comme 
on peut, sans changer la fonction ôx, multiplier les con- 
stantes <7, i, (j! y h' par un facteur quelconque, on voit que, 
sans altérer la généralité de la solution,, on peut supposer 

• (17) «//— ha =1^ l; 

alors Téquatîon (16) donne 

(18) a -\- b' ziz 2COS --• 

Nous ne mettons pas le signe zh devant le second membre, 
parce qu'on peut, si on le juge à propos, changer les 
signes des quatre quantités a, b, a, b\ 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 

Des équations (17) et (18) on tire 



3Gi 



h'=: — la — 2 CCS — \ t 



(-9) 



bz=z — 



.^/ 



2acos h I 



a 



et la fonction dx a pour valeur 



ATT 



a^ — ia cos h I 



u. 



(20) 



ax — 



Qxz= 



a 



( l:z \ 

a X — \a — 2 cos — 1 



Les quantités a et a' demeurent indéterminées; quant 
à i, c'est un nombre entier quelconque premier avec i*.. 
Si l'on continue de poser 

a X -r- b 

on trouvera aisément 



a 



m 



. m\it . [m — I ) ).7r 
asin sm ^^ ■ — 

____t P 

. ).7r 

sm — 



{21) 



m ATT 



sm 



m 



. ATT 

sm — 



ATT . /W ATT 

c' — 7. a cos 1- 1 sin 



^ m ~~~ 



a 



, AîT 

sm — 



- » 



. ( m -4- ï ) ).7r . m\it 
sm ^ rt sm 



b\ 



m 



a 



. a;t 
sm — 



36^ COL'tlS D*ALGkBRE SUPÉRIBUEE. 

Des équations ( i y ) et ( 2 1 ) on tire 



m\Tz\ 



r 4 



(aa) 



rnhz 



a:,, — 2^»,cos 



*m 



m 



-hl 



'm--- 



a 



m 



et 



/ . >7r . ( w — I ) >7r 
a^n sm h sin — 

« = ^ — -.- 



u 



/7JA7r 



sm 



a ^=za 



sm — 

f^ 

sm 



(23) 



m\'i 



^1T 



fl.» — 2rt,„cos - — T- 1 sin -- 



vn 



*=- 



u 



u 



ti 



m 



m Air 



sm 



sm ^ 



ù'^~ - 



u 



«m sm — 






1 



sm 



Ces formules permettent de résoudre Ja question sui- 
vante : 

Etant donnée une fonction linéaire !"— :r^ » trouver 



n.r -'- h 



m 



Âï' 



une fonction linéaire Ox = -— 77 telle, que Von ail 

identiquement 



O'^x^ -; 



a.,,x -\- h 



m 



m 



"m'-^^'m 



-,^ et (/:^x =r J-. 



On voit que le problème n'est possible que si les quan- 
tités données Um, b„,, a,^, V^ satisfont aux équations (aa]. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 363 

Des fondions rationnelles linéaires prises suivant un 

module premier, 

404. Nous allons considérer ici, à un point de vue 
particulier, les fonctions rationnelles linéaires de la 
forme 

a' z -\- 

dans laquelle z est une variable indépendante. Nous 
supposerons que les constantes a, A, «', V soient des 
nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, et nous con- 
viendrons, en outre, de prendre les résultats suivant un 
module premier impair p\ en d'autres termes, nous re- 
garderons comme équivalents les entiers qui sont con- 
grus relativement au module. Les développements qui 
vont suivre conduisent à des conséquences intéressantes 
pour la théorie des nombres et qui sont surtout utiles 
dans la théorie des substitutions ; je les ai présentés, pour 
la première fois, dans un article inséré au tome XLVIII 
des Comptes rendus de V Académie des Sciences, 

Comme nous faisons abstraction du cas où 03 se réduit 
à une constante, la différence al?' — ba' ne sera jamais 
congrue à zéro suivant le module/;; cette différence sera 
dite le déterminant de la fonction linéaire Bz, On peut» 
sans changer cette fonction, multiplier les quatre con- 
stantes a, i, a', // far un même nombre /; le détermi- 
nant se trouve alors multiplié par A^, et il sera, après 
comme avant la multiplication, résidu quadratique ou 
non-résidu quadratique de p. D'après cela, nos fonctions 
linéaires peuvent être classées en deux genres; le pre- 
mier genre comprendra les fonctions dont le détermi- 
nant est résidu quadratique, tandis que celles dont le 
déterminant est non-résidu constitueront le deuxième 



364 COURS d'algèbre supérieobe. 

genre. Mais on voit que l'on pourra toujours faire en 
sorte que, dans le premier genre, le déterminant soit an 
résidu quadratique quelconque donné, i par exemple, et 
pareillement que, dans le deuxième genre, le détermi- 
nant soit un non-résidu quelconque donné. 

L'expression générale de 9^ comprend des fonctions 
entières et des fonctions fractionnaires ; les premières 
peuvent être ramenées à la forme 

et les dernières à la forme 



(3) /- 






A désignant dans les deux cas le déterminant de la 
fonction. 

Dans les formules (s) et (3), le déterminant A peut 
recevoir les p — 1 valeurs 

parmi lesquelles il y a autant de résidus que de non-ré- 
sidus; les constantes y et g peuvent recevoir les mêmes 
valeurs, et, en outre, la valeur zéro. 11 s'ensuit que le 
nombre des fonctions entières est/^(/; — i) en compre- 
nant la variable z elle-même, et que celui des fonctions 
fractionnaires est p^{p — 1 ) ; par conséquent, le nombre 
total N des fonctions linéaires suivant le module p est 

(4) N--:;;, + i;/. (/.-■). 

et le nombre des fonctions du premier ou du deuxième 
genre est - N. 

16o. Soient 6z et QtZ deux fonctions rationnelles li- 
néaires prises suivant le module/?; pour abréger le dis- 
cours, nous nommerons produit de la /onction linéaire 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 365 

6i z par Oz le résultat Ô9« :; que Ton obtient en exécutant 
d'abord sur la variable z l'opération désignée par &|, 
puis sur le résultat 9| z l'opération désignée par Ô ; cette 
définition s'étend naturellement au cas de trois, de qua- 
tre, etc., fonctions linéaires. Le produit de m fonctions 
linéaires égales à 9z, c'est-à-dire le résultat que l'on ob- 
tient en exécutant m fois sur z l'opération 6, sera la 
m**"* puissance de 02, et nous la représenterons par 6'"z. 
Le produit de deux fonctions linéaires a pour déter- 
minant le produit des déterminants des facteurs. Si, en 
effet, on pose 

az-\- h n,z -4- h* 

a Z ~r- b a ,z -\- u , 



i " ' - I 



on aura 

[ftnx-^ hn\ ]z^ [ab^-h bb\] _ Az-!-B 

^'''~ [a'a,-\b'a\)z^- yT^7ù~b\) "~ Â'T-i-'U'' 

et 

(AB' — BA') =: [nb' - On ] [a,b\ - b, a\]. 

On conclut de là que le produit de tant de fonctions 
linéaires que l'on voudra est une fonction linéaire dont le 
déterminant est égal au produit des déterminants des 
facteurs ; d'où il suit que la fonction produit appartiendra 
au premier ou au deuxième genre, suivant que le nombre 
des facteurs du deuxième genre sera pair ou impair. 

Il est évident que l'ensemble de toutes les fonctions 
linéaires forme un groupe tel, que le produit de plusieurs 
fonctions du groupe fait aussi partie de ce groupe. On 
voit par ce qui précède qu'il en est de même de l'en- 
semble des seules fonctions linéaires du premier genre, 
mais non pas de l'ensemble des seules fonctions du 
deuxième genre. 

466. Considérons la série indéfinie 

(5) z, Oz, f/^z, OH, ..., 



366 COURS d'algèbre supérieure. 

formée par la variable z et les diverses puissances de la 
fonction linéaire 03 pour le module premier /?• Comme 
le nombre des fonctions linéaires est limité, la suite pré- 
cédente ne pourra jamais offrir qu'un nombre fini de 
valeurs distinctes suivant le module p, et, parconséquent. 
quelques-uns des termes de cette série se trouveront né- 
cessairement reproduits une infinité de fois. Supposons 
que Ton ait identiquement 

^74-///, ^^mj OU 6'»ô'»z— O'^z (mod./?), 

on pourra écrire z au lieu de 6'"r, et l'on aura identi- 
quement 

(6) ^^z^.ziiz (mod. />], 
d'où l'on conclut aisément 

quels que soient les entiers positifs X et p. On peut con- 
venir d'étendre cette formule à toutes les valeurs posi- 
tives, nulles ou négatives de jO, en sorte que l'on aura en 
particulier 

(7) C^z^zzBz (mod. 77) 

et 

(8) 0-^ z ~ 0'*-^ z (mod./;). 

Si n désigne le plus petit nombre tel, que la con- 
gruence (6) ait lieu identiquement, la série (5) ne com- 
prendra que les n termes distincts 

(9) 3, Oz, Ô'z, .. ., O^-^c, 

et deux quelconques de ces termes seront effeclivcmenl 
incongrus suivant le module p, au moins tant que s 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 36^ 

restera indéterminé; le nombre n sera dit V ordre de la 
Ibnction linéaire Qz pour le module p. 

Si e est un nombre premier avec n et inférieur à /z, 
la fonction 6*z sera, comme 9z, de Tordre /i; car, si Ton 
suppose les termes de la suite (9) rangés en cercle et 
qu'on les compte de e en e à partir du premier z, c'est- 
à-dire en suivant Tordre 

il est clair qu'on ne reviendra au point de départ qu'a- 
près avoir rencontré les n termes. Au contraire, si les 
nombres n ei e ont un plus grand commun diviseur d 
supérieur à 1, on se trouvera ramené au point de départ 

après avoir rencontré - termes, et Tordre de la fonc- 
tion O^z sera égal à -• 

La fonction 6~* z, définie par la congruence (8), sera 
dite Yins^erse de 05 ; on peut obtenir immédiatement sa 
valeur; car, si l'on remplace z par Gr^z dans la con- 
gruence (i), il vient 

6^* 2=3=: % 

a' ^-"^ Z -\- b'^ 

d'où 

,^1 -b'z-\-b 

(10 O^H— — , 

^ ' a z — a 

en sorte que les fonctions Qz et 6~* z se déduisent Tune 
de l'autre en changeant a et V en — V et — a. 

467. Soit, comme précédemment, 

az '\- h 

Oz = — , —j 

a z 4- y 

et posons en outre 



«m* + *m 



368 COURS d'algèbre SUPÉBIECnC. 

si l'on fait, pour abréger, comme au n° 461, 



(12) o.t — ^[a -h ^' )* — 4 [ab' ~ ba' ), 

( p^— (a + ^' H^arj^'-f- [a -^ b' — ar)*», 
(i3) I (^_+.^,'_^. ^.^]m_/a^_^'_ 20*" 

( Q-- ^-, > 

on aura les équations déjà considérées 

P„, -(-(,;- A' )0,„ O 

._ , ^ .-:=: t) _ 



(1-1) 



n rrz: , £>-, .'=: c> j 



, Q/n ,' r>//i— '« — '^'îQ 



i ' / V/n /' 



— > 



et qui sont comprises dans les formules 



2"' a — b' -~ b ~" «' ~" 2* ' 



Désignons par A le déterminant ab' — bd de la fonc- 
tion Bz et par ù^m celui de B'^z] posons en outre 



(16) 1t„, r^ sl[a^ -4- O' — 4 («^/« ^m - ^««Lij i 

on aura, par les formules (i4) ou (i5), 

V J I i — ^/n ' '*'" ■* • 

On voit que, dans le passage de la fonction 0z à sa 
^ième puissance B'^z, les rapports des quantités a — b\ 
b, a\ t à Tune d'elles restent invariables et que le déter- 
minant se trouve remplacé par sa //i**™'' puissance; cette 
dernière propriété résulte d'ailleurs de ce qui a été dit 
plus haut. 

Les formules (i4) montrent que B"^ z ne peut jamais 
être une fonction entière autre que z, à moins que 0^ 
ne soit elle-même entière; car, si a! n'est pas nul, a]„ n^ 
peut s'évanouir que dans le cas où Ton a Q„ = o, ^^ 
alors on a i;w :r:= o et Um = b',^. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 869 

Pour satisfaire à la congruenec (6), il faut et il suffit 
que Ton ait 

(i8) Qn = o [mod.p); 

mais, pour que n soit efTeclivement l'ordre de la fonc- 
tion Ozy il faut en outre que pour toute \aleur de ?n infé- 
rieure à n la quantité Q,« soit différente de zéro ; nous fai- 
sons ici abstraction du cas oxiOz est du premier ordre, 
c*est-à-dire du cas oiiOz se réduit à z. 

Nous nous proposons d'étudier les fonctions linéaires 
6z au point de vue de leur ordre. Il convient dans cette 
recherche de distinguer trois cas, suivant que la quan- 
tité t^ est congrue à zéro suivant le module p, résidu 
quadratique de ce module, ou non-résidu quadratique. 

468. Examinons d'abord le premier cas où la quan- 
tité t^ est congrue à zéro suivant le module/?; la con- 
gruence (i8) devient alors 

2/i(a -4- b')'^^^::20 (mod./?). 

On ne peut pas avoir a -h b' -nz^ o (mod. p), car autre- 
ment la condition ^eizzo [mod. p) se réduirait à 

ali' — ba' IZ20 (mod./?); 

le déterminant deOz serait nul et cette fonction se rédui- 
rait à une constante. La congruence (i8) ne peut donc 
avoir lieu que si n est un multiple de p, et par consé- 
quent, dans le cas qui nous occupe, l'ordre de la fonc- 
tion linéaire 6z est toujours égal au module p. La con- 
dition t-^i-o (mod. p) donne 

a -\- b' Ei^ 2 ^/ 1 (mod.p); 

d'où il suit que le déterminant A est résidu quadratique 
^e p^ et, par conséquent, la fonction 6z appartient au 
preiïxier genre. 

&• — jii^, sup., II. 24 



370 corns D^i.ckBRE supériecre. 

On obtiendra toutes les fonctions linéaires d'ordre p 
en prenant tous les systèmes de solutions distinctes des 
deux congruences 

n -h 0' :l^ 2 \' \ , nlf — ha =3 A ( nioil. p ; 

si Ton veut d'abord les fonctions entières, on posera 
a'=:o, b'=jf ce qui donnera a = ^=^i; on aura 
donc les /) — i fonctions d'ordre p 

(19) Oz:=Z~\-b, 

en prenant pour i les valeurs successives i , a, ..., p — t. 
Pour avoir les fonctions fractionnaires, nous feroo» 
a' -— 1 et nous poserons 

a — ù'=z2g, 
ce qui donnera 

en sorte que Texpression des fonctions fractionnaires 
d'ordre p. sera 



. - _ . » 



\ _ _ t 



On peut attribuer à la quantité g les p valeurs 

O, I, 31, . . . , /> — I, 

et à la quantité y2ï les mêmes valeurs, zéro exccplc. 
on obtiendra ainsi p[p — i) fonctions fractionnain*s. Il 
suit de lu que le nombre total N^, des fonctions linéairo> 
d'ordre p est 

(ai) N,,: :{p-^~l'i [p -i;. 

Comme tout nombre inférieur i\ /; est premier avec ce 
nombre, tontes les puissances d'une fonction linéaire 
d'ordre/; sont aussi de cet ordre; il en résulte que les 



SECTION IV. CHAPITRE IV. Sjl 

N^ fonctions dont nous venons d'établir Texistence for- 
ment /?-f-i groupes renfermant chacun p — i fonctions 
qui sont les puissances de Tune quelconque d'entre elles. 
Les p — I fonctions comprises dans la formule (19) con- 
stituent évidemment Tun de ces groupes, et Ton obtien- 
dra les p autres groupes par la formule (20) en associant 
successivement chacune des p valeurs de g* avec le système 
des p — I valeurs de yfA. Effectivement, si Ton forme, 
en se servant des formules (i4) ou (i5), la puissance 
^ieme jg \^ fonctiou Qz douuéc par Téquation (20), on 
trouve 

(22) 0'z=z 



n 



I - 

- M^ —S ; 



expression qui se déduit de celle de ^^ par le seul chan- 
gement de ^/A en - y/a. 



469. Lorsque la quantité t^ est différenle de zéro, la 
congruence (18), savoir 

(23) [a-i-b' -^-2^)'» — (rt-4-ô' — arl" (mod./?;, 
peut être mise sous la forme 

(24) a-^ b' -T- ^trr2i[a -!- b' — 2/) (mod./?), 

en désignant par i une racine de la congruence 

(25 ) i" =^ I ( mod. p ) . 

EIn outre, pour que n soit effectivement Tordre de la 
fonction Qz, il est nécessaire que i soit une racine primi- 
tive de la congruence précédente. 

Si, dans la congruence (24), on substitue à f sa valeur 
tirée de la formule (12), puis qu'on fasse disparaître, par 

a/,. 



3^2 COURS D ALGEBRE SCPÉRIEURB. 

Télévation au canrc, le radical introduit, il viendra 
.^6; 7—= — [mod.yj,; 

au — tJti i 

telle est la condition à laquelle doivent satisfaire les coih 
stantcs rt, by a', b\ pour que le nombre n soit l'ordre de 
la fonction Oz^ dans Tli^pothèse où t est différent de 
zéro. Si Ton pose 



'>'■'! a — b' zz^ igy 






on pourra, au movcn des formules (12), [^^)cX {t^\ 
exprimer les quantités a, //, ba' et le déterminant û en 
fonction des quantités^, t^ i\ on trouve ainsi 



/-4- I 

à ~ - ~ t — Sf 



(28) i '— I 



ba' 


— 


^- 


-g\ 




A 


— 




■! "' 




- '/' 



Ces formules serviront à construire les fonctions linéaires 
que nous considérons ; on pourra faire a' z-^ 1 quand celle 
quantité ^/' ne sera pas nulle. 11 est aisé de former aussi 
la puissance m»*"*' de Ozy savoir 



n ,., z - - h .., 

0'" z - - - ' 

m m 



on trouve, en faisant usage des formules (14) ou (i3) ci 
en supprimant un facteur commun, ce qu'il est permis 
de faire, 



r" 



;?9) '''/« -^m — 2^,^__j' ^'//*-'^n-~-«-^'> ^'m- «'» */« 



SECTION IV. CHAPITRE IV. Sjî 

en sorte qu'on passe de Texpression de 0z à celle de 9"*z 
en remplaçant simplement i par i'" sans changer les va- 
leurs de g et de t. 

470. Supposons que la quantité 

soit résidu quadratique du module y?. Alors les quantités 
teii, respectivement défmies parles formules (12) et (24)» 
sont l'une et l'autre réelles ; par suite, i ne peut être racine 
primitive de la congruence (aS) que dans le cas où 
l'ordre n de la fonction 6z est égal k p — i ou à un di- 
viseur de^ — I. Les fonctions linéaires qui répondent à 
une racine primitive i de la congruence (2j) peuvent être 
formées immédiatement au moyen des formules (28). 

Pour avoir en premier lieu les fonctions entières, on 
fera a =:=o, i' = i, et Ton aura ces deux solutions : 

/ — T / — I I 

t := g -- , a =. i Vt t z= — if -rr , rt r=i :■» 

2 2/ / 

qui donneront les 2p fonctions entières iz-^ by -^ z-^b 

si l'on attribue à b les valeurs successives o, i, 2, ..., 
p — I. Mais nous considérerons seulementlesp fonctions 
fournies par la première formule 

(3o) tz-{-b 

comme appartenant à la racine î; les p autres seront rela- 
tives à la racine primitive T si 72 est ^ 2, et, dans le cas 

particulier de /i = 2, elles coïncideront avec celles de la 
formule (3o). 

I^our avoir en second lieu les fonctions fractionnaires, 



374 COURS d^lgèbue supérieure. 

on fera d =:= i dans les formules ( 28 ) et Ton aura 

' / — I 

/ — 1 4 it* 



\b'-.L-\t- 



<T A — 

»« • 4* - - 



^ 



X / I ; / I ; 



V 



le changement de f en — t dans les formules (3i) équi- 
vaut au changement de i en - ; donc, lorsqu'on doit em- 
ployer successivement toutes les racines i, on peut se 

borner à donner à t toutes les - — ■ valeurs 

2 

p~ I 
I, 2, ..., — ^— • 

Quant à la quantité gy elle peut recevoir les p valeurs 

On obtiendra de la sorte, au moyen des formules (3i), 

' '. fonctions fractionnaires relatives à la racine 1, 

2 

ce qui, avec les p fonctions enlicrcs, donnera un total de 

- {p-hi)p fonctions linéaires. Et cela aura lieu encore 

dans le cas de 72 = 2, bien qu'alors la congruence ( aS) 
n'ait (|iie la seule racine primitive — i, car, cette racine 
étant é^alc à son inverse, les formules (3i) ne change- 
ront pas par le changement de t en — t, 

11 est facile de voir que les -- \P'- »)/' fonctions qui 

2 

répond(»nt à une racine 1 sont distinctes de celles qui se 

rapportent aune deuxi(>mo racine primitive, en sorte que, 

si ç(/i) désigne le nombre des racines primitives de la 

congruence (25), il y aura un nombre de Amctions 



SECTION IV. CnAPlTRE IV. Zj5 

d'ordre n égal à 

pour lesquelles la quantité t^ est résidu quadratique de p. 
En particulier, le nombre des fonctions linéaires d'ordre 
p — I sera 

^{p — i) désignant ici le nombre des racines primitives 
pour le nombre premier p. 

Quant au nombre total des fonctions linéaires pour 
lesquelles f^ est résidu quadratique de/;, et dont Tordre /î 
est en conséquence un diviseur de p — i, il sera donné 
par la formule 

l'expression \ cp(7i), qui s'étend à tous les diviseurs n 

de p — I , I excepté, est égale, comme on sait, k p — 2; 
on aura donc 

Ces N ._, fonctions linéaires peuvent être partagées 

en - f/7 -|-i)/7 groupes contenant chacun /7 — 2 fonctions, 

qui sont les p — 2 puissances d'une fonction linéaire 
d'ordre /> — 1 relative à une racine primitive donnée de/;. 
En eiïet, il est évident que toutes les N^_i fonctions 
que nous considérons seront données par les formules 
(3o) et (3i), en employant toutes les racines de la con- 

gruence 

/^~' — I m; G \ raod . /? ) , 

excepté 1 ; et ces racines ne sont autre chose que les 



3yG couns d\lgebre supéhieure. 

p — 2 premières puissances d^une racine primitive i. Or, 
en employant celte racine primitive, les équations (3oi 

et (3i) donnent-(;:7-|-i)y? fonctions d'ordre/? — i: d'ail- 

leurs les formules (29) montrent que les puissances de 
ces fonctions se déduisent des fonctions elles-mêmes, en 
remplaçant la racine primitive i par ses puissances; on 
aura donc toutes les fonctions linéaires que nous consi- 
dérons en prenant les - {p-h- i)p qui répondent à la 

racine primitive donnée i, et en formant le groupe des 
p — a premières puissances de chacune d'elles. 

Les formules (3i) montrent que A et 1 sont en mémo 
temps résidus ou non-résidus quadratiques de p;\\ s'en- 
suit que les fonctions dont nous nous occupons appar- 
tiendront au premier ou au deuxième genre, suivant que 
la racine i à laquelle elles se rapportent sera résidu ou 
non-résidu quadratique de p. Or, pour les fonctions 
d'ordre p — i , i est non-résidu ; donc ces fonctions et leurs 
puissances impaires appartiennent au deuxième genre, 
tandis que les puissances paires appartiennent au premier 
genre. On voit aussi que, parmi nos N^-i fonctions, il v 
en a 

qui appartiennent au premier genre, et 

-7 [p-^^)pip—^] 
qui appartiennent au deuxième genre. 

471. Examinons maintenant le cas où la quantité 



SECTION IV. CI1APIT1\TÎ IV. 877 

Don-résidu quadratique du module p. Alors la quan- 
t est imaginaire, et pour que a et V soient réelles, il 
t, parles formules (28), que la racine i soit elle-même 
iginaire, ou qu'elle soit égale à — i; dans ce dernier 
on a nécessairement /i =^ 2. Je dis que généralement 
lombre /i, qui marque Tordre delà fonction 6^, est 
l à p -î- 1 ou à un diviseur de y^ -4- 1 . Si Ton a /ï = 2, 
Toposition est évidente, car 2 divise p-hi; supposons 
ic w >• 2. Si Ton pose 

ongruence (26) devient 

) /--- 2//-4- 1 -ro (mod. p). 

sait (n*' 372, théorème III) que les racines de la con- 
ence irréductible (34 ) peuvent être représentées par/ 
^j et, comme le produit de ces racines est congru à i , 
a 

) /■/"*-' = 1 (mod./?); 

; peut donc être racine primitive de la congruence (20) 
; si n est égal à /? -4- i ou à un diviseur de p -f- i . 
yaprès la congruence (34)> A' désigne la demi-somme 

• deux racines conjuguées i gI -•» et il en résulte que 

Q a 






/ — , y X - 1 



is attribuerons au radical qui figure dans le second 
mbre de cette formule celle de ses deux valeurs qui 
partie de la suite 



I, 2, • • ' y j 



SjS COURS d'algf.due supérieure. 

la seconde valeur du radical sera alors relative à la ra- 
cine -7 inverse de i. Cela posé, comme l'hypothèse «'-"O 

rendrait f^ résidu quadratique de/?, le cas que nous ext- 
niinons ne comprend pas de fonctions entières ; on peut 
donc faire a! m^ i et les formules (28) donneront alors 



(36) { "^ '_ 

V /• — I ^ A —I 

Ces formules feront connaître les fonctions linéaires 
qui répondent à la racine 1 en donnant kglfisp valeurs 

o, I, 2, . . ., yy — I, 
et en prenant successivement pour v tous les noc- 

rcsidus. On aura ainsi - p(p — T fonctions linéaires 

d'ordre n relatives à la racine 1, et il faut remarquer que 
l'on obtiendrait en même temps les puissances de ces 
fonctions en remplaçant la racine i par ses diverses puis- 
sances. On voit aussi que le nombre de toutes le* fonc- 
tions d'ordre n que nous considérons est 

çj/(//) désignant, comme précédemment, le nombre Je? 
racines primitives de la congrucnce (aj . Celte conclu" 
sîon s'applique au cas de // -^ .> ; alors on n'a que»* 
seule racine primitive z :^ — i qui donne aussi A = — *• 

Les formules (3()) font ainsi connaître - p^ p — i ^^ 
p[p — I ) 9 ( ^ ) fonctions linéaires du deuxième 



SECTioir IV. — cnAPiTRE IV. 379 

pour lesquelles t^ est non-résîdu quadratique de p. Si 
Ton suppose n = p-r- i, on obtient l'expression 



du nombre des fonctions linéaires d'ordre p-*- \, 

Enfin, si N,,+ i désigne le nombre total des fonctions 
linéaires pour lesquelles L^ est non-résidu quadratique 
de Pj et dont Tordre est en conséquence un diviseur 
de /; -; • I , on aura 

or l'expression \ 9(^1)» qui s'étend à tous les diviseurs 
des p -f- 1 autres que 1 , est égal à p ; donc 

(37) N;,^! - ly/ ,,_.,). 

Ces Ny,...i fonctions linéaires peuvent être partagées en 

"pip — i) groupes contenant chacun p fonctions, qui 

sont les p premières puissances d'une fonction linéaire 
d'ordre /;-f-i, relative à une racine primitive donnée 
de p. 

Enefict, lesN^4.i fondions dont il s'agit seront données 
parles formules (36) en employant toutes les racines de 
la congruence (35), excepté i, et ces racines ne sont autre 
cbose que les p premières puissances d'une racine pri- 
mitive i. Or, en employant cette racine primitive, les 

formules (36) donneront - f)[p — i) fonctions linéaires 

d ordre p -\-i\ d'ailleurs les puissances de ces fonctions 
^ déduisent des fonctions elles-mêmes en remplaçant la 
racine primitive i par ses puissances ; on aura donc toutes 



3So couns dVlgèbhe supérieure. 

les fonctions linéaires dont nous nous occupons en pre- 
nant parmi ces fonctions les -/^(/^ — i) qûî répondent 

à la racine i, et en formant le groupe des p premières 
puissances de chacune d'elles. 

Les formules (36) montrent que les quantités ùk et 

sont toutes deux résidus quadratiques de /?, ou 

toutes deux non-résidus; je dis que ces quantités sont 
résidus ou non-résidus, suivant que l'ordre n de la fonc- 

tîon Oz divise ou ne divise pas On a en effet, par 

la congruence (34)» 

= '- — , mod. p), 

et, en élevant à la puissance ^ —t 



<) — I /» r I 



/' - • /' 



' • ' * l'"^') )(mod.;>^; 



" '^ ;; -4-1 /' -^ • 

mais on a 



/ s =-î-i ou / « E== — I (mod./ij, 

suivant que n divise ou ne divise pas ; on aura donc. 

dans les m<}mes hypothèses, 

- J £=2-hi ou ( j =—1 (mod./,, 



SECTIOIf IV. CHAPITaS IV. 38 1 

c'est-à-dire 

A>E:3-hi ou A«=3— I [mod. p]. 

Il résulte de là que les fonctions linéaires d'ordre y? -I- 1 
appartiennent au deuxième genre, ainsi que leurs puis- 
sances impaires ; au contraire, les puissances paires appar- 
tiennent au premier genre. Donc, parmi nos fonctions 
dont le nombre est N^^.i, il y en a 

qui appartiennent au premier genre, et 

qui sont du deuxième genre. 

472. Si Ton ajoute Tunité et les trois nombres Np, 
iVy,_i, Ny,^i, on doit retrouver le nombre N de toutes les 
fonctions linéaires prises suivant le module p ; on vérifie 
effectivement, au moyen des formules (4), {21), (32) et 
(37), que Ton a bien 

si l'on désigne en outre par G le nombre des groupes 
distincts qui sont formés par les puissances d'une fonc- 
tion linéaire d'ordre p^ p — i ou p-hi, il est aisé de 
s'assurer que l'on a 

Il convient de remarquer les fonctions du deuxième 
ordre qui se distribuent dans les deux genres que nous 
avons distingués. Les unes sont les puissances de degré 

^ des fonctions d'ordre p — i , leur nombre est 



383 COURS d'alg^dre supéhieo&e. 

- /^ (/?-+- 1), et elles apparliennent au premier genre oc 

au deuxième genre suivant que est pair ou impair, 

c'est-à-dire suivant que /; a la forme 4^ ~^ i ou la forme 

VI * I 

4<7 -+- 3. Les autres sont les puissances du degré- — 

des fonctions d'ordre p-,- i; leur nombre est - /Wy; — i . 

et elles appartiennent au premier ou au deuxième genre 

suivant que est pair ou impair, c'est-à-dire suivant 

que /; a la forme 4<7 ~'- 3 ou la forme 4^ -H i . On voit que 
le nombre total des fonctions du deuxième ordre est égal 
à p'^. Dans ce cas de // = a, où l'on a / = — i, la con- 
gruence ('>.()) se réduit à a -r- J' - o (mod. p\ ; il en ré- 
sulte que Texprcssion générale des fonctions du deuxième 

ordre est 

az ''- b 

a z — a 

on arrive au môme résultat au moyen de la formule (io\ 
puisqu'une fonction du deuxième ordre est égale à son 
inverse. 

t73. On voit, par les développements qui préccdenl. 
que, pour former les dilfércnls groupes qui conticnncn! 
les puissances d'une même fonction linéaire pour le mo- 
dule premier /;, il sutlira de connaître une racine pri- 
mitive de chacune des congruenccs 



;/-»_ - 



I, //■+-'i_^i I mod. y? . 



Les racines de la première ne sont autres que les racines 
primillNCs du nombre premier/;, et Ton a vu aun"3T* 
comment on peut obtenir les racines primitives do '•* 
deuxième congruence. Veut-on, par exemple, former ici 



SECTION IV. — CHAPITRE IV. 383 

fonctions linéaires d'ordre p-{- i pour les modules 5, 7, 
1 1 , il sufïira de trouver une valeur de A" pour chacun de 
ces modules. Or les racines primitives i sont données, 
pour ces différents cas, par les congruences 

' ' "lo (mod. 5), 



"O (mod. 7y, 



/^— î 



/iî_,)(/î_,) , 

' ^ ' 1.— o (mod. Il , 



./'.-, )(/*-!) 



ou 



/" — /-+-i^-o (mod. 5), 

/' iti 4 ' "*" ' ^=^ o ( mod. 7 ) , 
/■- di Cw" -T- I rz: o ( mod. i i ) ; 

on a donc /• = 'i pour le module 5, / ~ ih: 2 pour le mo- 
dule jy clh =^ — i pour le module 1 i. 

Des /onctions analy tiques propres à représenter les 

substitutions. 

474. Dans la plupart des cas où Ton a à considérer 
les substitutions de plusieurs quantités données, il con- 
vient de représenter ces quantités, comme nous avons 
déjà eu Toccasion de le faire, par une même lettre affectée 
d'un indice variable z susceptible de prendre un nombre 
de valeurs distinctes, égal au nombre n des quantités 
données. Alors les substitutions qu'on doit exécuter 
portent sur les indices. 

Attribuons successivement 'd zlcs n valeurs dont cet 
indice est susceptible, et supposons qu'une fonction 
donnée f{z) de z prenne en même temps les mêmes va- 
leurs, abstraction faite de Tordre ; on exécutera sur les 
quantités données une certaine substitution en y rem- 



384 cocRs d'algèbrb supérieubs. 

plaçant chaque indice z ^btJ'^z), Cette substitution 
pourra être représentée par 



V:l 



OU plus simplement pary(^). 

Toute substitution peut ainsi être représentée analvli- 
quemcnt par le mojcn d'une fonction; supposons, par 
exemple, que les valeurs de l'indice z soient les n nom- 
bres 

o, I, 1, . . ., n — i), 

et que ces mômes nombres soient dans un ordre différent. 

a, 0, Cy - . . , /*; 

si Ton fait, pour abréger, 

et qu'on désigne par F'(c) la dérivée de F (5), la fonc- 
tion entière 

a?'z\ hV^ X-F's^ _ 

prendra les valeurs a, b, c, . . . , A', quand on donnera 
à z les valeurs o, 1, :2. . . . , [n — i): en conséquencOr 
elle sera propre à représenter une substitution. 

475. Lorsque le nombre n des quantités données est 
égal à un .nombre premier/;, il y a souvent avantage à 
prendre pour indices un système de /; nombres entiers 
quelconques incongrus suivant le module />, et à regarder 
deux nombres congrus suivant le module comme pou- 
vant indifféremment représenter le même indice. Alors 
la fonction représentée par V{z) au numéro précédent 

se réduit ù 

ï\z\ --, z'' -^ z. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 385 

t Ton a 

F'(z)==— I (mod.p). 

In même temps l'expression des fonctions entières y*(z), 
ropres à représenter les substitutions, devient 

. ^ a(zP--.z) b{zP-z) A'izP-^z) . , . 

u, en effectuant les divisions, 

(z) =— alzP-^ — i) — ^(z/»-» -+■ zP'^-h . . . -f- s) j 

— r(s''->-4- izP-^-\-. ..-\-iP-^z) \ (mod./?). 

lomme on a 

«-i-^-4-cH-...-f-/'==o (mod. /?), 

n peut écrire, en ordonnant par rapport à ::, 

'(z)=^/--[^ + 2/'-'c-f-.. -ir [p — l]P-'i l,]z 

— [^ 4- 2'»-»^ 4- . . . -H (/? — i)''-M-]3« 



(mod./?). 



— [6 -f- 2C H "4- (/^ — \)li]zP-^ 



476. Dans un article qui fait partie du tome LVII des 
Comptes rendus de V Académie des Sciences, M. Her- 
lîte a démontré que les polynômes f{z) dont nous 
^cons de donner l'expression possèdent une propriété 
ui peut servir à les caractériser. On a effectivement ce 
^écréme : 

Théoïième. — Soient f[z) une fonction entière de r, 
Coefficients entiers et du degré p — 2, et fm{z) la fonç- 
ait entière obtenue en rabaissant au-dessous de /?, à 
^ide de la congruence zPn^z (mod. /?), le degré de la 
^issance m'*"*' du polynôme f[z). Pour que la fonction 
S. — j4lg, sup,t II. 25 



386 COURS d'algèbke supÉaiEiniE. 

f[z) soit propre à représenter une substitution dep in» 
dices incongrus suiv^ant le module premier p^ il faut 
et il suffit que, dans chacune des fonctions 

le coefficient de zP' * soit congru à zéro suivant le mo' 
dule p. 

En effet, soit 

(i) /(3)=:Ao-hAtr-}- A,2'H-...H-Ap_,3/^»; 

élevons ce polynôme à la m**"* puissance, et réduisons 
ensuite par le moyen de la congruence 

z^zi^z [mod.p]\ 

on aura un résultat de la forme 

(2) [/f3)r=A.(3)=:Ar»-i-Ar-3-f-... + A;î:!,3i-» (mod./»). 
Posons en outre 

(3) [/(o)r -^ [/(!)]- H-...-:.[/(;.~î)r=S«: 
si Ton donne à z, dans la formule (2), les valeurs 

o, I, 2, 3, . . ., p — i\ 
et qu'on ajoute les résultats, il viendra 

(4) S,„ = -A;-\ (mod./.); 

car r^"'*cst congru à zéro ou à i, suivant que z est nul 
ou différent de zéro, et la somme i**-h 2'' 4-... -H [P^^f 
est congrue à zéro si fx est inférieur k p — i . 

Cela posé, supposons que/ (25) soit propre à repr^ 
senlcr une substitution. Alors la formule (3) se réduit 

o"*-:- r"-h2'"-h.. .-+- [p — iI^'eziS^ (mod. />), 
et par suite S^ est congrue à zéro suivant le module /N 



SECTION IV. CHAPITRE IV. ZSj 

pour toutes les valeurs de m inférieures à p — i ; on a 
donc, par la formule (4)» 

;5) A^^-V^o [mod.p]. 

En second Heu, supposons la fonction y(s) telle, que la 
congruence (5) ait lieu pour les valeurs 2, 3, . . . , {p — 2) 
de 7/1. On aura par la formule (4) 

S;„==:o (mod./»), 

pour les mêmes valeurs de m ; cette congruence subsistera 
aussi pour m= i, d'après la formule (1), et pour m=pj 
puisque zP^nz quel que soit z. On voit alors, en se re- 
portant aux formules de Newton, que la congruence 

[Z~/(o)][Z~/(i)]...[Z-/(/.-i)] = o [moà.p] 

a la forme 

Z/'— c'.Z^^o (mod.yj), 

ou même la forme 

Z/' — Z ^13 o ( mod. p ] ; 

effectivement, toute valeur de a autre que i ou zéro ne 
laisserait subsister qu'une seule racine réelle Z qui 
^^rait égale à zéro ; la valeur a = o donnerait p racines 
ï^ulles, ce qui est inadmissible, car la congruence 

/(3)r=o (mod. /^), 

^lantdu degré/; — 2, ne peut avoir plus de p — 2 racines. 
Il résulte de là que, si Ton donne à z les valeurs 

o, I, 2, . . ., (y^ — i), 

*^ fonction y (z) prend successivement les mêmes va- 
*^urs, abstraction faite de Tordre^ elle est donc propre 
* représenter une substitution. 



388 COURS d'algèbre supérteitre. 

477. Si la fonction entière y(z) représente une sub- 
stitution de p indices incongrus suivant le module pre- 
mier /?, il est évident que la fonction 

03=:a/(3-|-€)+7 

représentera aussi une substitution. Or on peut disposer 
de rindé terminée et y de manière à réduire à Tunité le 
coefficient de la plus haute puissance de z\ l'indéter- 
minée 6 permet ensuite de faire disparaître la puissance 
de :: immédiatement inférieure; enfin on peut disposer 
de y de manière à faire évanouir le terme indépendant 
de z, La fonction Oz aura alors la forme 

V étant égal ou inférieur à /? — 2. 

M. Hermite a donné aux substitutions de la forme Or 
le nom de substitutions réduites; il est clair que ces sub- 
stitutions en fourniront d'autres plus générales, y(r> 
au moyen de la formule 

où a, 6, y désignent des indéterminées. Il faut ^ema^ 
quer que les suhslilulions réduites ne déplacent pas Tin- 
dice zéro. 

Le lliéorèmc du n° 476 prend une forme plus simple 
quand on l'applique aux fonctions réduites. Eflective- 
nicnt, si Ton clùve la fonction Qz à la puissance de de- 
gré ///, et qu'on réduise au moyen de la congruence 
zP ^ . z (mod. /;), on n'introduira aucun terme indépen- 
danl de z\ si donc on remplace ensuite zP^^ par i,le 
cocfficicnl de zP^^ deviendra le terme indépendant de r. 
On peut alors énoncer comme il suit le théorème établi 
plus haut : 

Pour que la fonction réduite Qz puisse représenter 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 889 

une substitution, il faut et il suffit qu'en élevant 6 z 
aux puissances 2, 3, . . ., (/> — 2) ^ et en réduisant les 
résultats par la congruence zP"^^ i (mod. p), les termes 
indépendants de z soient congrus à zéro. 

Les fonctions réduites 6z sont encore susceptibles 
d'une réduction ultérieure, car, si Ton pose 

0(3) z=aO[oLz), 

on pourra disposer de Tindéterminée « de manière à ré- 
duire à Tunité le coefficient de la plus haute puissance 
de z, dans Q{z), et il restera une indéterminée a dont 
on pourra disposer à volonté. Ces considérations trou- 
veront plus loin leur application. 

• 

478. Lorsque le nombre n des quantités données est 
égal à une puissance p" d'un nombre premier, on peut 
choisir pour indices, avec Galois, les p'* valeurs que peut 
prendre l'expression 

dans laquelle / désigne une racine d'une congruence 

irréductible 

F(.r) £E=o (mod, p) 

du degré v. Si la fonction irréductible F(x) appartient 
à l'exposant p" — i, i sera une racine primitive pour la 
congruence 

x''"-* — I ^s G ( mod. p ) 

et les indices autres que zéro seront représentés par les 
puissances 

i, r, . . ., iP 



.«v_i 



Enfin, lorsque le nombre n est un nombre composé, 



3gO COURS d'atGEBRE SUPÉBIEURE. 

/?, ^, /% ... étant des nombres premiers, et y, fz, X, ... 
des exposants quelconques, il peut être avantageux de 
représenter les quantités données par une même lettre 
affectée de plusieurs indices a, 6, y, . . . , en nombre égal 
à celui des nombres premiers />, y, r, . . . , et de prendre 
pour valeurs des indices les fonctions entières composées 
respectivement avec une racine des congiuenres 

Fi [x] r^o (mod. p)y 
F, (x) ^o (mod. q\, 

F3 (x) iz^o (mod. r], 



F| (x), F2 (x), F3 (x), ... désignant des fonctions cd- 
tières des degrés v, p., X, . . . , irréductibles relativemeol 
à leurs modules respectifs /?, 7, /', .... 

Des substitutions rationnelles et linéaires, 

479. Les fonctions entières et linéaires az-^b^ prises 

suivant le module premier p^ donnent des substitutions 

(les p indices 

o, 1 , 2, . . . , ' p — 1 . 

Le nombre total de ces substitutions est p(p — i\ctîl 
est évident qu'elles forment un svstème conjugue. 
Les fonctions rationnelles de la forme 

prises suivant le module premier p, peuvent t^trc enh 
plovcos pour représenter des substitutions de/>-hi i**' 
dires; les valeurs (ju'il faut attribuer à ces indices sont 
alors 

o, I, 2, . . ., 1/, _ i;, ce. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. S.QI 

et Ton doit toujours regarder deux nombres congrus sui- 
vant le module p comme pouvant représenter le même 
indice. La substitution de l'infini k z se fait d'après les 
règles de l'Algèbre ordinaire, et lorsque, pour une valeur 
particulière de z, le dénominateur Qz est congru à zéro, 
la fonction prend la valeur de oo . C'est là une conven- 
tion qu'on est libre de faire, attendu qu'elle n'est en 
contradiction avec aucun des principes fondamentaux 
de la théorie des congruences. 

En résolvant la formule (i) par rapport à 2, il vient 

b — b'Qz 



à Oz— a 

cette formule montre qu'il n'existe qu'une seule valeur 
de z propre à faire acquérir kQz une valeur donnée, ce 
qui est nécessaire pour que 6z puisse représenter une 
substitution. 
La congruence 

(a) 02=^3 (mod./?; 

peut se mettre sous la forme 

(3! a! z^ — \^a — b')z — b^n^o (mod./?', 

ou 

[^a! z — [a — b' )Y^[a -^ b'Y — ^[ab' ^ ba'] ( mod. p). 

Elle n'aura aucune racine réelle si la quantité 

(4) [a-\^b'Y-^^[ab'-ba') 

est non-résidu quadratique relativement à p\ alors, la 
congruence (2) ne pouvant subsister pour aucune valeur 
de Zj la substitution Bz déplace tous les indices. Si la 
quantité (4) est congrue à zéro, la congruence (2) ou (3) 
a deux racines réelles et égales; par conséquent, la sub- 



39^ COURS d'algèbre supérieure. 

stitution 6z déplace p indices. Enfin, si Texpression (4) 
est résidu quadratique de p, la congruence (a) a deux 
racines réelles et inégales ; en conséquence, la substitu- 
tion Qz ne déplace que p — i indices. 

48U. Désignons par n Tordre de la fonction linéaire 
Ozy et considérons la suite 

Si la congruence Oz-z^z (mod. p) a une racine réelle 
zo, les termes de la suite précédente se réduiront tous 
à Zq pour z = Zo\ mais, pour toute autre valeur Zq de z, 
aucun de ces termes ne se réduira à Zq, Laissant de côté 
ces valeurs Zq s'il en existe, je dis que les termes de la 
suite précédente auront toujours des valeurs distinctes; 
car si Ton avait, par exemple, 

6:'-»-*c, = 0J*3, (mod./?), 
en posant 

il en résulterait 

C*3, ===3, (mod./?); 

ce qui est impossible, car, v étant inférieur à /i, on ne 
peut avoir identiquement 

O^z^z (mod./>); 

d'ailleurs, par les formules du n® 467, la précédente 
congruence n'est autre chose que 

Oz==z (mod./!?), 

et, en conséquence, elle n'admet pas la racine z^. 

On peut conclure de là que la fonction linéaire Oz re- 
présente une substitution d'ordre /i, et, d'après la classi- 
fication que nous avons établie, on voit que le système 



SECTION IV. CHAPITRE IV. SgS 

des substitutions linéaires ne comprend que des substi- 
tutions circulaires, dont Tordre est Tun des nombres 
p-hif Pj p — I avec les puissances des mêmes substi- 
tutions. 

Le nombre total des substitutions linéaires est 
(p -h i)p{p — i), et parmi ces substitutions il y en a 

^ ^ dont le déterminant est résidu quadra- 
tique du module. De là résulte la proposition suivante : 

Théorème. — L'ensemble de toutes les substitutions 
linéaires, relatives à un module premier p, constitue 
un système conjugué trois fois transitif d'ordre 
{p-T- ^)p{p — *)• ^^ outre, les substitutions linéaires 
dont le déterminant est résidu quadratique forment 
lin système conjugué deux fois transitif d'ordre 



1, 



Effectivement, le premier de ces systèmes renferme des 
substitutions circulaires d'ordre p-h i, d'ordre p et 
d*ordre ;; — i . Quant au second système, il renferme des 
substitutions circulaires d'ordre p avec des substitutions 

régulières d'ordre ? et parmi ces dernières on en 

peut toujours trouver une qui remplace un indice donné 
zq par un autre indice donné Z|. 

Dans le cas de p = 5, on retrouve immédiatement le 
système triplement transitif de substitutions de six lettres 
dont nous nous sommes occupé au n° 452. 

De quelques propriétés des substitutions linéaires. 

481. Théorème I. — Si Ez désigne généralement 
les p{p — i) substitutions linéaires et entières, relatif 



394 COURS d'algèbre supérieure. 

vement au module p, et que cps soit une fonction 
linéaire quelconque donnée, les substitutions de la 
forme y~*E(p-z formeront un système conjugué d'or- 
dre p[p — i) qui ne déplaceront pas V indice z pour 
lequel la fonction (fz est infinie. 

En effet, en premier lîeu, les substitutions ç~*Ecpz 
forment un système conjugué semblable à celui des sub- 
stitutions Kz (n° 427). En second lieu, soit z^ Tindice 
que les substitutions (f''^E(fz laissent immobile; on aura 

9- * E y ry E^ 3o ( mod , p], 
d'où 

Eç»3o^?-o (mod./?\ 

Il résulte de là que les substitutions E;; ne déplacent 
pas rindice cpzo) on a donc 

Corollaire I. — // existe /? H- i systèmes conjugués 
d'ordre p[p — i ) dont chacun est composé de substitu- 
tions linéaires qui toutes laissent immobile un même 
indice. 

Corollaire II. — Chaque système d'ordre p{p — i] 
s'obtient en multipliant l'un par l'autre les systèmes 
formés respectivement par les puissances de deux substi- 
tutions linéaires qui ne déplacent pas un mente indice z«, 
et qui sont l'une d'ordre />, l'autre de l'ordre p — 1. 

Car soient 

les svstt^'mcs formes par les puissances des substitution.' 
Oz ci(fz des ordres respectifs /> cl /> — i, qui ne déplacent 
pas un indice Zo- I-c nombre des produits (^^O^z élanl 



SECTION IV. CHAPITRE IV. * SqS 

p{p — f), îl suffît de montrer que ces produits sont dis- 
tincts. Or, si l'on avait 

^1*0^3 = y»'' Ô*' 3, 

on en conclurait 

ce qui exige que Ton ait [j! = ^, v'= v, puisque la sub- 
stitution c!pz d'ordre p — i laisse deux indices immo- 
biles, tandis que Qz déplace y:; indices. Notre proposition 
est donc établie. 

Corollaire III. — Le système des [p -^ ^)p(p — 
substitutions linéaires s'obtient en multipliant l'un des 
systèmes d'ordre p[p — i ) , dont les substitutions laissent 
un indice immobile, par le système des puissances d'une 
substitution linéaire d^ ordre p -\-i. 

Soient 
et 

z, 03, O^s, . . ., QPz 

les deux systèmes dont il s'agit. Les produits ^^Q'*z étant 
au nombre de [p -^ ^) P\P — 0> ^' suffît d'établir qu'ils 
sont distincts. Or, si fx' et v'ne sont pas égaux respecti- 
vement à fx et V, on ne peut pas avoir 

car il en résulterait 

ce qui est impossible, puisque la substitution 6 déplace 
un indice que les substitutions ^ laissent immobile. 

482. Théorème II. — Soient Oz une substitution li^ 
néaire d^ ordre p qui ne déplace pas l'indice Zq, et ç-j 



396 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

une substitution linéaire quelconque» Pour que Von 
puisse a\^oir 

il faut et il suffit que la substitution (fz ne déplace pas 
l'indice Zq. 

En effet, la congruence 

OzqEsZq (inod«p} 

entraine 

O^Zq==Zq (mod. /?;. 

Si donc on a 

il viendra, pour z = Zq, 

Ofz^^fZo (mod.p], 

et, puisque la substitution 9z déplace tous les indices à 
Texception de Zq, on a 

y5^,==Zo (mod. pj, 

ce qui exprime que la substitution cpz laisse Zq immobile. 
Réciproquement, si f z ne déplace pas z», il en sera de 
même de la substitution y"*0(j)5; celle-ci est d'ailleurs 
(lu même ordre que ôz. Donc les deux congruenccs 

Oz^z, f^^Ofz^z (mod. p) 

ont Tune et Tautre la môme racine unique z©; il en 
résulte, d'après le mode de formation des fonctions li- 
néaires, que les fonctions y~* 0:f z et 9z font partie d'un 
même groupe de puissances, et l'on a 

11 faut remarquer que Tordre /i de ^ z est égal à p ou à 
un diviseur de /; — i. Mais, si le premier cas a lieu, f^ 
n'est autre chose qu'une puissance de Oz. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 3gj 

Corollaire I. — Une substitution linéaire d* ordre p 
n^est échangeable avec aucune autre substitution li- 



* • 



neaire, si ce n est av^ec ses puissances. 

En effet, si la substitution ôz est d'ordre p et que (fz 
ne soit pas une puissance de 6z, Tégalité 

^l) $fZ=:fOz OU '^-^OoZ=:Oz 

exige, comme nous venons de le dire, que Tordre de 95 
soit un diviseur de p — i . Alors la congruence 

(a) ozEi^z [mod. p) 

a une racine Z| distincte de Zq, et l'égalité (i) donne, 

pour Z=-:i Zfy 

Ozi ^Eç^zi (mod. /?), 

d'où il suit que la congruence (2) a la racine Ozi. Or les 
racines de cette congruence sont Z| et Zq = ÔZq ; donc il 
faudrait que Ton eût 

Ozi^^Zi ou OZi^OzQ, 

et, par suite, Zi = tq, ce qui n'a pas lieu. 

Corollaire IL — Soient 6z une substitution linéaire 
d'ordre p et c^z une substitution linéaire dont l'ordre n 
est un diviseur de p — i. Si les substitutions 6z et c&z 
laissent immobile un même indice Zq, on obtiendra un 
système de substitutions conjuguées d'ordre np en mul- 
tipliant le système des puissances de Bz par celui des 
puissances de (fz. En outre, ce système d'ordre np ren- 
fermera toutes les substitutions linéaires d'ordre n qui 
ne déplacent pas l'indice Zq, 

Il est évident qu'on obtiendra un système conjugué 
d'ordre np en multipliant l'un par l'autre les deux sys- 



398 COURS d'algèbre supérieure. 

tcmes 

En outre, ce système d'ordre np renferme toutes les 
substitutions d'ordre n de la forme Ô""'(]p0'z, et, comme î 
peut avoir l'une quelconque des valeurs 

o, I, 2, 3, . . ., (/>— • i), 

on trouvera p systèmes formés chacun par les puissances 
d'une substitution d'ordre n qui ne déplace pas l'in- 
dice Zq. Or il n'existe pas un plus grand nombre de tels 
systèmes : il suffît donc d'établir que ceux dont nous ve- 
nons de parler sont distincts. Je dis que l'égalité 

est impossible, car, si elle avait lieu, il en résulterait 

mais on a y""* Ooz = B^z, et, par conséquent, 

^->0>^2 — Oi*>5, OJ^z = f9^z : 
on aurait donc 

ce qui exige k = i, u =^ i. Mais, si l'on avait a = i, les 
substitutions Oz el(fz seraient échangeables, ce qui n'a 
pas Heu. 

i83. Théorème III. — Soient Oz une substitution 
linraire d'ordre p± i, et (fz une substitution linéaire 
distincte des puissances de Oz, Pour que l'on puisse 

a^oir 

il faut et il suffit que 9 z soit une substitution du deuxième 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 899 

ordre et que les racines réelles ou imaginaires Zqj Zi 
de la congruence 

Ozc^z [mod,p) 
soient telles, que l'on ait 

Dans le cas où l'ordre deOz est p — i , les racines Zq^ Zt 
sont réelles et la dernière condition exprime que la sub- 
stitution (fz transpose les deux indices que Bz laisse 
immobiles. 

Si l'égalité (i) a lieu, le système des puissances de 
ç,-< 9'^r, savoir 

(a) z, t^'^Ooz, f-^O^yz, ..., 

coïncide avec le système 

(3) 5, Oc, 6-5, . . . 

des puissances de 9z. Chacun des systèmes (2) et (3) 
renferme une substitution du deuxième ordre, et alors 
ces deux substitutions doivent être égales; on a ainsi 



* z. 



(4) ?~*^ * fZz=0 * Z OU * (jtZ^jO 

Réciproquement, si cette égalité (4) a lieu, les systèmes 
(2) et (3) étant du même ordre pzïz i et ayant une sub- 
stitution commune, ils coïncident nécessairement. 

Si Ton remplace z par Q ' oz, Tégalité (4) devient 

t; * oz ci fz ont donc le même carré, et il en résulte 
que ces fonctions sont du deuxième ordre. En efict, si le 
contraire avait lieu, les deux substitutions dont il s'agit 



400 COURS D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE. 

appartiendraient Tune et Fautre au groupe des puissances 
d'une même substitution linéaire ^z; on aurait 

d'où 

et par suite les fonctions f et d feraient partie du même 
groupe de puissances, ce qui est contre Thypothèse. 
Ainsi Ton a 

(5) y*z = s, « yO~*~ <fz z=z z, 

et réciproquement ces égalités entraînent la formule (4)- 
Cela posé, soient Zo et ^i les racines réelles ou ima- 
ginaires des congruences 

03Ei=z, 6~î~«==3 (mod. />), 
l'égalité (4) donnera 

ç>-»0 * ^3o^S(j, y-*0"~^ yz, =^«1 (mod. /?\ 
ou 

d'où il suitquecfZoetoci ne sont autre chose que z» et 2i< 

Mais si l'on a '^Zq^Zq, (fz^^n^z^y les fonctions Ç5 et 
P±i\ 
Q~^ Zy qui sont du deuxième ordre, coïncideront; donc 

on a 

(6) y5o==-i» ?-!=^2o (mod. /?). 

Réciproquement, si ces congruences (6) ont lieu, les 
congruences du deuxième degré 

f-^0 «y3=:^s, Oîs£=« (mod. /?), 



SECTIOM IV. CHAPITRE IV. 4^1 

auront les mêmes racines, et, comme leurs premiers 
membres sont des fonctions du deuxième ordre, ces 
premiers membres seront égaux entre eux. 

CoROLLAir.E I. — // existe p ±1 substitutions du 
deuxième ordre cj^^ telles, que l'on ait 

savoir : p-hi si 6z est de l'ordre p-\~iy et p — isi Oz 
est de l'ordre p — i . 

En effet, Zq el z^ désignant comme précédemment les 
racines de la congruence 9z^^z (mod. p)^ si Ton a 

la fonction linéaire du deuxième ordre <fz sera 

m(3— Tq — 3, ) -4- a ZqZ^ 
a z — a 



cette expression renferme une indéterminée — à laquelle 
on peut attribuer les /> -h i valeurs 

o, I, 2, 3, . .., p — i). 00 ; 

toutefois, quand Zq cl z^ sont réelles, il faut rejeter les 

deux valeurs -^ =-o> ; = -i pour lesquelles Texpres- 

sion de y c se réduit à une constante. Donc le nombre des 
substitutions oz est toujours rgal à Tordre de Qz. 

CoROLLAiiiE II. — Si Oz est une substitution d'ordre 
pzzz i et que f^z soit l'une des p dz i substitutions du 
deuxième ordre telles, que 



? 



-»(?33 = fJ-^Z, 



on obtiendra un système de '2[p±i) substitutions conju- 

S. — jilg» sup., II. 26 



4oa cou us d'algèbre sup^.rieuiib. 

guées, en joignant aux puissances de ôz leurs produits 
var (fz. En outre y ces pdzi produits seront précisément 
les p±i substitutions du deuxième ordre qui satisfont 
à la précédente égalité. 

D'abord il est évident qu'on obtiendra un système 
conjugué, en multipliant Tun par Tautre, à droite ou à 
gauche, les deux systèmes 

Z, Oz, 0-2, . . ., 9 ' Z, 

Z, y3. 

Ensuite, si Ton considère un des produits obtenus, 

(l) .>3=0'>3, 

comme l'égalité 





<f-^0'^z B-^z 


entraîne 






ff-^O^r^Z —G^^Z, 


on aura aussi 




(«) 


'^z — fj>0'" z. 



Les formules (i) et (2) donnent 
cela exige que Ton ait 



.ri , — . 



car autrement les fonctions ij/ et (p appartiendraient ao 
groupe des puissances de 0, ce qui est contre rhypothèsc. 
Les produits Q^c^z sont donc tous du deuxième ordre. 
L'égalité (i) donne 

Q'z = -^yz, 

et il en résulte que toute substitution linéaire ôzesi\t 
produit de deux substitutions du deuxième ordre. 



SECTION IV. CHAPITRE IV, 4^^ 

Remarqi}e. — On obtient un système conjugué d'ordre 
2/î si, en posant pzh i = mn, on multiplie l'un par 
l'autre les deux systèmes 

3, <^Z. 

CoROLLAiiiE III. — Pour que deux substitutions li- 
néaires qui ne sont pas des puissances d 'une même sub- 
stitution soient échangeables, il faut et il sujjit quelles 
soient toutes deux du deuxième ordre, et que les indices 
[réels ou imaginaires) que l'une des substitutions laisse 
immobiles soient transposés par l'autre substitution. 

En eflet, soient cp et ^ deux substitutions linéaires qui 
ne sont pas des puissances d'une même substitution. Si 
ces substitutions sont échangeables, aucune d'elles ne 
sera d'ordre p (n° 482); ^z sera donc une puissance 
d'une substitution Bz d'ordre p ± i. L'égalité 

ne peut avoir lieu que si le groupe des puissances de 
o^*9(fz coïncide avec celui des puissances de 9z; cela 
exige que r^z soit du deuxième ordre. Le même raisonne- 
ment prouve que^-s est aussi du deuxième ordre; alors, 
d'après le théorème qui précède, si Zo el Zt désignent les 
racines de la congruence cpr. ==- r (mod. p), les conditions 
pour que (^z cl^z soient échangeables sont 

•}3o^3,, |zi^Zo (mod./?); 

il est évident que l'une de ces conditions entraîne l'autre. 

484. Théorème IV. — Soient Bz une substitution 
linéaire d'ordre p-hiy pour le module p, etuz une sub- 
stitution linéaire quelconque. On pourra satisfaire à 

aC. 



4o4 corBs d'algèbre supébibubb. 

l'égalité 

ou Ez désigne une substitution linéaire et entière, en 
attribuant à l^un quelconque des nombres met n l'une 
quelconque des valeurs o, i, 2,3, • . ,y p; la valeur de 
l'autre nombre sera alors déterminée. 

En cfTct, la substitution 9z étant d'ordre p-^iy les 
puissances 

prendront dans un certain ordre les valeurs 

o, I, 2, 3, . . ., ^/? — i\ 00 , 

quelle que soit la valeur que Ton attribue à z. Cela étant, 
posons 

Si le nombre n est donné, la première de ces formales 
détermine Zq, la deuxième donne ensuite -^i, et alors le 
nombre m est déterminé par la troisième formule. Si au 
contraire le nombre m est donné, la troisième formule 
détermine r,, après quoi la deuxième donne 2^ = 0**^1 
et le nombre n est ensuite déterminé par la première 
formule. D'après cela on a 

c'cst-à-dirc que la fonction linéaire 0"'nO''z devient in- 
finie pour c = 00 , et par conséquent elle est entière. 

Corollaire. — Si le déterminant de la substitution tJ- 
est résidu quadratique du module p, que r désigne une 
racine primitive pour ca module et que les entiers ni, « 
soient tels, que ta substitution 

soit entière; si l'on pose en outre 



SECTION IV. CHAPITRE IV, 4^5 

ia substitution 

sera entière et son déterminant sera résidu quadratique 
de p. 

En effet, suivant que m et n sont pairs ou impairs, la 
substitution dont il s'agit a Tune des formes 

0-"'aO"z, 6-'»CT0'»rz, i- 0-'" nrO" « . ^ 0-'" u^" rz; 

r r 

elle est donc entière. D'ailleurs son déterminant est 
résidu quadratique dep, car elle est le produit de trois 
substitutionsy~/3, xr>z^ f^Zy dont les déterminants sont 
résidus quadratiques. 

Exemple. — Supposons p = y, r = 3, et prenons 



0, =^ 


6 


Z -h 2, 

rr 5 ~~~ « 




eu 4* — .9 

z-\-b 


on aura 






-6'ciô®z z. 




ÔînrO^r. — 43 + 4, 


fl'oSSz — z. 




-OciO'3c 2SH-G, 




3 

Ô»o0»3z = 2S H- 6, ^ 0'cjO"3c ^ 42 4- 4. 



«Swr /e^' substitutions de cinq et de sept lettres. 

485. Lorsque le nombre premier p est égal à 3, les 
substitutions des p — i indices z 

o, I, 2, 3, . . ., [p — i) 

sont toutes linéaires et entières. 
M. Betti a donné pour le cas de cinq lettres Texpres- 



4o6 couBs d'algèbee scp^bieues. 

sîon analytique des subslîlulîonSy et M. Hermîle mrésola 
ensuite le même problème à l'égard des substitutions de 
sept lettres. Nous allons exposer ici ces importants ré- 
sultats. 

Des suBSTiTrTioîis de cisq lettres — Considérons 
d'abord le cas de cinq indices; d'après ce qui a été dil 
au n" 477 y les formes réduites des substitutions sont 

La deuxième forme doit être exclue, car on en tire 

r^sV^i'E^i mod. 5'; 
la troisième donne 

et pour faire disparaître le terme indépendant il faot 
poser a =0. Toutes les autres conditions se trou^'anl 
d'ailleurs remplies (n** 477) par l'expression ôr~i r', il 
en résulte que la totalité des substitutions pour un sys- 
tème de cinq indices sont comprises dans les deux formes 



a3-r-^, a Z -+-€]*-+- 7, 



où Ton n'excepte que la valeur de a = o. 

480. Des substitutions de sept lettres. — Dans le 
cas de sept indices, les formes réduites ne peuvent être 
que les suivantes : 

\ [mod. 7 , 

parmi lesquelles on doit rejeter d'abord la deuxième cl 
la Iroisièiiie, parce que le terme indépendant de :: subsiste 
nécessairement dans le cube de Tune et dans le carré de 
l'autre. 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 4^7 

Soit 

Oz^z^-h fiz^-\- bz (mod, 7); 

on voit immédiatement que le terme indépendant dans 
[Ozy est a; on a donc a^o (mod. y). On trouve ensuite 

(z^-h 0z)^=z^^-{-'3hz^-h3h^'z^'{'h^z^ 1 

7 (mod. n\ 

ce qui exige que Ton fasse 

3 ^'-4-1^=0, ^^±3 (mod. 7). 

Od a ainsi les deux formes 

Bz = z' -f- 33, 93 = s*— 33; 

mais la seconde se ramène à la première par la transfor- 
mation indiquée au n® 477, car, si Ton fait 

cette formule se réduit à 

si Ton suppose 

«'=== — I (mod. 7), 

c'est-à-dire si Ton prend a non-résidu quadratique de 7. 
Cela étant, on a la série des puissances qui suit : 

Oz—-z 3*-^3s \ 

[OzYl-jiz^ } (mod. 7;, 

\ezYy-3z'-\-z 

[OzYi^3z^-{-6z^ 

en sorte que toutes les autres conditions se trouvent 
remplies d*elles-mémes. 
Soit en dernier lieu 

z =^ z' -{- a z^ -\- i z'*' -\- c z (mod. 7)3 



4o8 COUaS d' ALGÈBRE SUPéBIEDKE. 

on aura, en égalant à zéro le terme indépendant de z dans 
le carré y dans le cube et dans la quatrième puissance 

de Oz, 



2C -f- fl'ë^O, 



b[3 -h6ac -{- ù^]^o, \ (mod. 7). 

ah^-h 4^*c*+ 2(20 -+- r*) (i -4- 2ac H- ^')^o ) 

La deuxième condition est satisfaite en posant 

fj^=o (mod. 7), 
ce qui réduit la troisième à 

(2/ï -h r') (r -4- 2^r) ==1=0 (mod. 7' ; 

remplaçant c par la valeur a-^i^ia^ { mod . 7 ) , tirée 

de la première congruence, on obtient Tidentité 

2 (.'/ + r?^ ) ( I — //' ) == 2 (rt — • ^r ] == o (mod, 7) . 

On a ainsi cette expression 

Oc ==r* + rtz' -h 3rt'2 (mod. 7', 

où a reste indéterminé, mais que Ton peut rameneran 
cas de rt == o et à ceux de « ^ i , ri ==s 3, au moyen de la 
relation 

aO[uz) =^2^^ — n oi^ z^ -{- 3 tt^ 01} z (mod. 7'. 

On vérifie facilement que la cinquième puissance df 
notre expression de Oz ne renferme pas de terme indé- 
pendant, en sorte que la dernière condition exigée se 
trouve satisfaite d'elle-même. 

Supposons maintenant que b ne soît pas nul suivant 
le module 7. La première des conditions écrites plus 
haut nous donne 

€^12 3a* (mod. 7), 



SECTION IV. CHAPITRE IV. 4^9 

ety en substituant cette valeur, les deux autres se rédui- 
sent à 

3_ 3rt'-f- ^'^o ) 

> (mod. «7' ; 

il suit de là qu'on a ces deux solutions 

et ( (mod. 7^ 

^' = — I , /> ^ dr. I ) 

On conclut de là ces nouvelles formes réduites 

V -* 7 •' :_ 2. ** I 

> (mod. «j;, 

a étant ici un non-résidu quadratique de 7 ; enfin, par la 
transformation déjà employée plus haut, on ramènera 
ces deux formes aux suivantes : 

En résumé, toutes les substitutions des indices 

o, I, 2, 3, 4» 5, 6, 

au nombre de 

1.2. 3. 4-5. G. 7 = 5o4o, 

peuvent être représentées par 

la fonction Qz prenant successivement ces formes : 

2* ±32, 



«*±2 3% 



z* -f- rt 3* -+- 3 «* 2 ( rt quelconque ) , 

z*-+- tfz'dzz'-i- 3a*z (anon rcsidu de 7]. 



4lO COrnS D'ALGÈiaB scpériecrb. 

-187. M. Hermite a publié d'abord les résultats qui 
précèdent dans les Annales de M. Tortolini, et il les a 
romplétés ensuite par des remarques que nous croyons 
utile de reproduire. 

Considérons les deux formes réduites z*-f-3r, ='-f-ar*, 
qui font partie de celles que nous avons obtenues, et 
riistinguons les valeurs de z en deux groupes, contenant 
i*un les résidus quadratiques, Tautre les non-résidus, 
relativement au module 7. On trouvera 

«*-*-33n323 z résidu quadratique de 7 ), 

^ 4 ^ ^ non-résidu de 7 \ 
cl 

s' -i- 2 3- ZL- 3 -- z résidu quadratique de 7 ), 

=E3 3- ^z non-résidu de 7 ;. 

Considérons en deuxième lieu la forme réduîle 

z^ -\- z^ ->r Z z y et distinguons les indices en résidus co- 
Ijiqucs et en non-résidus relativement à 7 ; on aura 

c* -h s"* -t- 3 r ^^ — 22 s résidu cubique de 7 , 

HZ- -1 - 25 z non-résidu cubique de 7 ' . 

Considérons enfin les deux substitutions c* -+- 3w'— - 
et c^-i- 33'iiz Z' — z. On pourra encore ramener ces 
subslilufions à la forme monôme, mais d'une nianiôre 
toute ditrércntc. On a, en eflet, 

'^\ni l'on conclut, en faisant £ =^ dz i. 



--3-r*>« ^C-^j- 



SECTION IV, — CHAPITRE IV. 4^* 

Ces résultats, dit M. Hermite, autorisent jusqu'à un 
certain point à supposer que, dans l'étude des formes 
analytiques des substitutions pour un nombre premier/; 
de lettres, les expressions nommées réduites se ramènent 
elles-mêmes à d'autres beaucoup plus simples, en con- 
sidérant les valeurs de l'indice comme résidus ou non- 
résidus de puissances dont l'exposant diviserait/? — i, 
ou bien encore comme divisées en deux séries formées 

l'une de nombres inférieurs à-' et l'autre de nombres 
supérieurs. 

488. Par exemple, le nombre premier p étant quel- 
conque, si l'on a une substitution réduite de la forme 

( 'lui \ ( rzJ \ 

il est clair que l'on peut écrire d'une manière plus simple 

Oz = 2az^ ; si z est rcsidii de p , 
0s = a^z" (si :î est non-rcsidu dep\ 

C'est à cette catégorie de substitutions qu'appartient, 
dans le cas de p = y, la substitution réduite 

fi - ___ »J> o ■»' 

cjui est telle, que l'on a 

'e[Oz] E=3 



et 



f 



?. \ I — ri 



0[aO:z] ^h] — iab^O{z-^-"-- -^~ ;fr^iù^\ 



pourvu que a soit un résidu quadratique de 7. 

II résulte de là que, a étant résidu de 7, les substitu- 
erons représentées par les expressions 

ciz -1- ^, a ^J ^z ^- b] -r C 



4f2 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE. 

forment un système conjugué. La première expres,«on 
donne 3 x3 ou 21 substitutions, la seconde en donne 
3X7^ ou 147. Donc il existe un système de 168 substi- 
tutions conjuguées de sept lettres ; l'indice de ce système 
est égal à 80. Cet important résultat a été constaté pour 
la première fois par M. Kronecker. 



■«•V4 



8ECTI01( IV. CHAPITRE V. 4^^ 



CHAPITRE V. 

APPLIGATIOiNS DE LA THÉORIE DES SUBSTITUTIONS. 



Des valeurs diverses que prend une Jonction de plusieurs 
variables par les substitutions de ces variables. 

489. Je me propose ici d'appliquer les principes éta- 
blis dans les Chapitres précédents à Tétude des fonctions 
de plusieurs variables, au point de vue des valeurs di- 
verses que prennent ces fonctions par les substitutions 
des variables. 

11 suffit pour notre objet de considérer les fonctions 
rationnelles et même les fonctions entières; mais les dé- 
veloppements qui vont suivre s'appliquent à toutes les 
fonctions bien déterminées, 

Dési{^nons par V une fonction bien déterminée des 
Il variables 

•''Ot •'^l» "^i* • • •> •''«— l i 

formons les N= i.i.'i...n substitutions de ces variables, 
et exécutons successivement toutes ces substitutions dans 
la fonction V ; nous obtiendrons ainsi N résultats 

;i) V, V(»), V(»), ..., V('^-»). 

Si la fonction V est symétrique, les N résultats (i) se- 
ront tous égaux entre eux; au contraire, ils seront tous 
distincts si la fonction V n'offre aucune symétrie. Ce der- 
nier cas se présentera en particulier si l'on a 

toj «i> • • •> ^u-ï étant n coefiicients inégaux. 



4l4 COUnS d'algèbre SUPÉRIEUaB. 

Désignons généralement par /x le nombre de celles des 
fondions ( i ) qui sont égales à Y ; alors [x sera le nombre 
des substitutions que Ton peut exécuter sur V sans chan- 
ger cette fonction. Soient 

CCS [JL substitutions. Comme la fonction Y ne change pas 
quand on exécute, dans un ordre quelconque, deux ou 
un plus grand nombre des substitutions (2), il est évi- 
dent que ces substitutions constitueront un système con- 
jugué. 

Nous avons vu (n^ 425) que les N substitutions des 
n variables peuvent être représentées par 

I y b i , S2 * • • • » ^|ft— l » 

\ /' Tj, TjSj TjSjf •••» *jSj4_i, 



Iv—i, Tv_iSi, Tv_iSj, •••> TviS, 



ifc-i» 



donc les N = [JLV fonctions (i) pourront être représentées 
par 

l v„ v;*-, v;«' vfî--'), 

(4) ( v„ V'', V.", .... v/-', 






\\ drsifrnant généralement le résultat obtenu en exécu- 
tant sur V, d'abord la substitution S;, puis la substitu- 
tion T/; dans le cas dey = o, la substitution Sy doilêf* 
réduite à Tunité, et nous écrivons Y,- au lieu de Vj*. 

Comme les substitutions S ne changent pas Y ou V».on 
voit que, dans le tableau (4), les termes d'une môme bgï*^ 



SECTION IV. — CHAPITRE V. ^10 

horizontale sont égaux entre eux, et que les seules va- 
leurs distinctes de V sont 

490. Lorsqu'une fonction ne sera pas altérée par une 
substitution, je dirai, pour abréger le discours, que la 
fonction admet la substitution ; on peut alors énoncer la 
proposition suivante : 

Théorème I. — Les substitutions d'une Jonction de 
plusieurs variables forment un système conjugué, et l'in- 
dice de ce système est égal au nombre des 'valeurs dis- 
tinctes que la fonction peut acquérir par les substitutions. 

Ce théorème entraîne diverses conséquences (n^'-iSG 
et tti :, parmi lesquelles nous devons signaler les sui- 
vantes : 

Corollaire I. — Le nombre des valeurs distinctes 
d' une fonction de n variables est un divnseur du pro^ 
duit 1.2.3. . .//. 

Corollaire II. — Le nombre des valeurs distinctes 
d ' une fonction de n variables ne peut s'abaisser au- 
dessous de n sans se réduire à i ou à 2, le cas de n = ^ 
^^^zint seul excepté. 

Corollaire III. — Une fonction de n variables, qui a 
'^^cisément n ifaleurs distinctes, est symétrique par rap- 
^t an — I variables, le cas de n =6 étant seul ex- 
té. 



11 faut remarquer que, si Ton exécute une substitution 
4^^ «Iconque sur les v fonctions (5), ces fonctions ne pour- 
"itque s'échanger les unes dans les autres. Si donc on 
signe par V une indéterminée, le produit 

{v-Vo;(v-v,;...(v-v^.} 



4l6 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

sera une fonctiou symétrique. Il en résulte que toute 
fonction symétrique des fonctions (5) est une fonction 
symétrique des variables x; nous avons déjà eu Tocca- 
sion de faire cette remarque au n** 180. 

491. La proposition que nous venons d'établir admet 
une réciproque que Ton peut énoncer comme il suit : 

Théorème II. — // existe toujours des Jonctions qui 
admettent les substitutions d' un système conjugué donné 
et qui n'admettent aucune autre substitution. 

En effet, soient 

les substitutions conjuguées données, et désignons par X 
une fonction de n variables 

•^0» •'*1' '^i^ • • • » ^ n — 1 

clont toutes les N valeurs soient distinctes; on pourra 
prendre, par exemple, 

a^, «1, . . ., 5r,/_, étant des nombres inégaux. 
Soient 

Xq. A-i, Xj, • • •! A-i—j 

les résultats obtenus en exécutant surX les a substitu- 
tions (i), et posons 

V '-^- Ay Xj X^ • • . X.x_l, 

il est évident que la fonction V admet les a subsL»*-*** 
lions ^i) et qu'elle iradmet aucune autre substitution** 

Remarque. — Si Ton pose 

V=^/(\y, Xj, Xj, ..., Xj._i} 



SECTIOlf IV. CHAPITRE V. 4^7 

/"désignant une fonction syniélrîquedeXQ,X|, ..., X,*_|, 
la fonction V admettra les substitutions (i); mais elle 
peut aussi en admettre d'autres, si la fonction y* a une 
forme convenable. Si Ton fait, par exemple, 

V ^^ \q H- X 1 -f- . . . -I- X .4__ I , 

V sera une fonction symétrique des variables Xo, Xi, ..., 

Des Jonctions setnblab les . 

4i)2. Deux fonctions de n variables sont dites sembla-- 
blés lorsqu'elles admettent les mômes substitutions. 
Ainsi les fonctions 

ToXj -f. jr,.r„ (Xo -h .ri ) ( jr, H- .rj ) 

des quatre variables x^, .ri, x^y x^ sont semblables, car 
elles admettent les huit mêmes substitutions: 






(.rp, .r,) (.r,, .rj) 
(j^Of •'•j) (*i» --^î) 



(.ry, JTi, .Tj, JTjJ 

(jTo, ^i) (X^, JTj) 
(•^Oî «^JJ -^lî *^l) 



» 



qn 1 forment un système conj ugué dont Tind ice est égal à 3 . 
Lagrange a fait connaître une propriété importante des 
/onctions semblables que Ton peut énoncer ainsi : 

^tant données deux fonctions semblables des n va- 

''^^^SIcsXqj X|, X2, . . . , Xn^^i chacune de ces fonctions 

est cjcprimable par une fonction rationnelle de l'autre, 

dnns laquelle les coefficients sont des fonctions symé^ 

^'^*^/u,e>sdes n \yariables, 

^oiie proposition est contenue dans une autre plus 
gerit*t*j|]c que nous allons établir; 

-*- **ÉORÈME. — Etant données deux fonctions des 
S. — jé/g. suj/.f U. 27 



4i8 COURS d'algèbre supérieure. 

n variables jCoy Xt, . . . , x„_i, sav^oir : 

5i /rt fonction y admet toutes les substitutions de la 
fonction V, elle est exprimable par une fonction ra- 
tionnelle de V, dans laquelle les coefficients sont des 
fonctions symétriques. 

En effet, soient 

'> S|, Sj, . . . , Sjj-i 

les substitutions conjuguées de V, et 

les V substitutions par lesquelles on déduîlrespecûvcmcnl 
de V les v valeurs distinctes que cette fonction peut ac- 
quérir ; supposons enfin que Vp et y^ soient les résultais 
obtenus en exécutant la substitution T^ sur V cl sur j. 
Nous regardons T© comme égale à i , et, en conséquence, 
Vo et ro ne seront autre chose que V et^. 
Si l'on fait 

•Xv:--_.;v-Vo)(v-v,)(v-v,)...(v-v^,\ 

on aura, en développant, 

P,, Pj, . . ., Pv étant des fonctions symétriques. Ici ^ 
est regardée comme une indéterminée, et Téqualion 

a pour racines 



SECTION IV. CHAPITRE V. 4^9 

Considérons maintenant la fonction 

où m est un nombre entier quelconque ; par hypothèse, 
cette fonction admet toutes les substitutions de V ; si elle 
en admet un plus gjand nombre, ces substitutions pour- 
ront être représentées par 

I, S|, Sj, • • •*> Sjfc^i, 



1*9— 1> "e-|Si> Rp_|Sî, ..., R^|S^_i, 
et, en multipliant par certaines substitutions 

*> Qi> Qi» • • • > Q*— 1> 

on formera (n° 425) toutes les i .2.3. . ./z substitutions 
des n variables. Il résulte de là que les substitutions T 
sont les produits des substitutions 

I, Rj, Rj, . . . , Rp— 1> 

qui ne changent pas V'"^', par les substitutions 

ï> Qi> Qf> • • • » Q*.-i» 

Ainsi, en appliquant à la fonction X'^j les v substitu- 
tions T, on obtiendra les X valeurs distinctes de cette 
fonction, répétées chacune p fois; par conséquent la 
somme 

est une fonction symétrique des n variables x^j Ti, . . . , 

27. 



4'2o couns d'algèbre supérieure. 

Xft^t . Si donc on donne à m les valeurs successives o, i, 

2, . . . , (v — i), et que Ton pose 

(3) j yIjo -^ y\yx H- v;r,-f- ...-+- Vî_., y^, =. r„ 

I •........•....•• f 

\ v;-»ro -H v;-> j, 4- + v;;i|^^,= /^„ 

fo, /i, ... seront des fonctions symétriques. 

Ajoutons les équations (3 ), après les avoir multipliées 
respectivement par les facteurs indéterminés 

et faisons, pour abréger, 

(4) ^ ; V) = v^» -4- >v-2V-' -4- . . . 4- )., V -h >o, 

on aura 

j^. j ro?;Vo)-f-Ji?(Vt)-f-...-f-jv-,?(V,_,) 

et si Ton veut la valeur dej^'^ par exemple, il î^uffira de 
déterminer les facteurs Xo, X,, ..., de manière que l'on ait 

excepté ç(Vp) =^ o; alors Téquation (5) donnera 
f ^ 'o^'o "^ ^1 ).| -t- . . . -4- /v_tÀv_j-i- r,_| 

et il ne restera plus qu'à trouver les valeurs de Xq» ^ i 

ce que l'on peut faire très-aisément de la manière sui- 
vante. 



SECTION IV. CHAPITRE V. 4^1 

Les équations (6) qui délerminent ces facteurs expri- 
ment que Inéquation 

?(V;=:o 

a pour racines Vo, V|. ..., V\_,, excepté V^; mais l'équa- 
tion (i) 

•t'(V.: =o 

a ces mêmes racines, y compris V^; et comme, d'ailleurs, 
les plus hautes puissances de V dans cf (V)el dans<|/(V) 
ont pour coefficient Tunité, on aura identiquement 

OU, en développant le quotient de «{«(V) par V — V^, 



v(V)=V'-'4-P, I V-'-f-P, 



V, 1 + P, V, 



V'-»-4-...-t-Pv_, 

-1-P.-.VJ 

• ••••••• 

-HPjVp» 

En identifiant cette valeur de Œ'(V) avec celle donnée par 
l'équation (4)> on obtient les valeurs suivantes des fac- 
teurs X : 

).v-, = P, 4- Vp, 

)..3 - P, -^ Pi V, -^ VJ, 
(8) < >_,=rP3^P,V,-^P,V5-4-V«, 



).o.. — Pv-, -+- Pv-jV,^-^ , . . 4-PtV; 



rv_8 . yv-i 



f 



Ces facteurs étant tous exprimés en fonction de V^ et des 
fonctions symétriques, il en sera de môme de j p. On peut 



4aa COURS d'algèbre supérieure. 

donner à Texpression de r^ une forme très-simple ; si Ton 
fail, pour abréger récriture, 

5v_jZ=: f,_j * P|/v_3 -f- Pj^, _4 -+- . . . ~\- Pv— j/o, 

Jy— 3 ^^^^ *v— 3 "^ » I ^v— i -h . . . -T-"v— 3*0» 
> 

et que Ton désigne par 0( Vp) le numérateur de la va- 
leur de r^, donnée par Téquation (7), on aura 

(9) ©(Ve:' = ^oV;-»-hv,v;-*-f-...-h.^-,v,4-.s.,. 

Quant au dénominateur de l'expression de j^'^, il est égil 
àçj'(Vp), c'est-à-dire à la valeur que prend la fraction 

^ — ^ pour V= V^: cette valeur est 



p 



(10) f[Vp"=.vV;-«4-(v-i:P,V;-'-f-...-i-P..„ 
({/' désignant. la dérivée de ^. On a donc 

OU 

e Vi 

en désignant simplement par V Tune quelconque des 
valeurs \o> V,, ... cl par > la valeur corres|)ondaiUe 

de la suite ) „, 1 1 

La formule précédente démontre le théorème énoncé, 
et elle donne Texprcssion de 7 en fonction rationnelle 
do V . Ajoutons que, par la méthode exposée au n" I8i. 



SECTION IV. CHAPITRE V. 4^3 

on pourra donner à la formule (12) la forme plus simple 

r = n(v), 

n(V) désignant une fonction entière du degré v — 1 au 
plus, dans laquelle les coefficients de V sont des fonc- 
tions sjrmétriques des variables x. 

Sur la formation des /onctions de n variables, 
qui admettent des substitutions données, 

493. Le problème qui a pour objet de former les fonc- 
tions de n variables, dont le nombre des valeurs distinctes 
est égal à un nombre donné Vj se ramène, d'après les 
théorèmes précédents, à la détermination des systèmes 
de substitutions conjuguées dont Tindice est égal à v. 
Effectivement, quand on connaîtra un tel système, on 
obtiendra sans difficulté, parle théorème du n°491 , une 
fonction particulière V correspondante, qui aura préci- 
sément V valeurs distinctes. Et, quant aux autres fonctions 
semblables, elles seront toutes exprimables, comme on 
vient de le voir, par des fonctions entières de V du degré 
V — I, dans lesquelles les coefficients des puissances de V 
seront des fonctions symétriques. 

Considérons, par exemple, les fonctions qui ont deux 
valeurs distinctes. Les substitutions de ces fonctions 
forment un système conjugué dont Tindlce est égal à 2 ; 
ce système est unique, comme on Ta vu au n"429, et il 
se compose des substitutions qui équivalent à un nombre 
pair de transpositions. Les fonctions V dont nous nous 
occupons sont donc semblables, et si l'on désigne par P 
l'une d'elles, l'expression générale de V sera 

V rir A -f- BP, 
A et B étant des fonctions symétriques. On peut prendre 



424 couns d'algèbre supérieure. 

pour P la fonction alternée des n variables Xo,wC|, ..., 
x„_i , dont nous nous sommes occupés au n*'236 et qui a 
pour expression 

11 est évident que les fonctions qui ont deux valeurs 
distinctes admettent toutes les substitutions circulaires 
du troisième ordre qu'on peut former avec les variables, 
et qu'elles n'admettent aucune transposition. 

Parmi les fonctions qui répondent à un système donné 
de substitutions conjuguées, on peut se proposer de dé- 
terminer les plus simples, par exemple celles qui, étant 
rationnelles et entières, ont le plus petit degré. Énonce 
dans ces termes, le problème qui nous occupe exige des 
considérations d'un tout autre ordre, et sa solution offre 
de sérieuses difficultés. Nous n'aborderons point ici l'é- 
tude de ce nouveau problème, qui est d'ailleurs tout à fait 
en dehors de notre sujet ; toutefois, afin de présenter une 
application de la théorie que nous avons développée dans 
les Chapitres précédents, nous croyons utile de faire con- 
naître ici un procédé particulier par lequel on obtient 
facilement les fonctions qui répondent à certains svs- 
lèmcs de substitutions conjuguées. 

Si un système de substitutions conjuguées est m fois 
transitif, nous dirons, avec Caucliy, que les fonctions 
qui admettent ces substitutions sont m fois transiin*es. 

Des fonctions doublement transitées de n i^ariahles 
qui ont i.2.3...(w — 2) valeurs ^ n étant premier, 

49i. Les fonctions dont il s'agit ici jouent un rôle 
considérable dans la théorie des équations algébriques. 
Elles répondent au système conjugué formé par les 



SECTION IV. CHAPITRE V. 4^*^^ 

n{n — i) substitutions linéaires et entières de la forme 

z désignant successivement tous les indices o, i, 9., ..., 
(/i — i) des n variables 

et les valeurs de «z -h i étant prises, suivant le module «, 
entre les limites zéro et n — i. 
Soit a une racine de Téquation 

.2 r=<^» 

jr. — I 

et posons 

il est évident que t est une fonction des n variables (i) 
qui a 1.2.3.../? valeurs distinctes. 

Exécutons, sur la fonction t, la substitution d'ordre n 



:)• 



ainsi que les puissances successives de cette substitution 
On obtiendra n résultats 

(4) ^0» ^1' 's» • • • ' '/î— 1 

ci comme t^ se déduit de / en remplaçant chaque indice : 

par z -4- a, on aura 

/j^r^ j-j,-f- a.r.^^.j -I- . . . -f- a-' x^+y -f- . . . -+- a""'.r.,H.„_,. 

Soit 

fx -f- y =13 / ou j^=^i — tx ( mod. // ) , 

i étant compris entre zéro et /i — i, il viendra 

OU 



4^6 COURS d'algèbre supérieure. 

ainsi chacune des fonctions (4) est égale au produit de t 
par une puissance de a, et comme on a 



a«=i, 



tfine 



les fonctions dont il s^agit ont la même puissance ti^' 
Si donc on pose 6 = t", ou 

la fonction ù sera invariable par la substitution circa- 
) 9 et il est évident que le nombre de ses va- 
leurs distinctes sera 

1 .2.3. . . (/? — i). 

Maintenant désignons par r une racine primitive pour 
le nombre premier n, et exécutons sur les indices z des 
variables x les puissances o, i , 2, ...,('* — a ) de la sub- 
stitution circulaire, d'ordre n — i , 

on obtiendra ainsi n — i résultats que nous représenl«- 
rons par 

(6) Oo, o„ 0„ ..., 0„.,. 

On aura généralement 

(^t si Ton pose 

y/ ' : /, j . .. ir'"*-'* [ mod. n ) , 

I i'iaul compris entre zéro cl n — i, il viendra 



J l - •* I) ^^ . . . T ^ •* I ^^ ... 



« 



d'où il suit que 0^ se déduit de 6 en romplac^anl a f^^ 



SECTIOir IV. CHAPITRE V. 4^7 

~ . Or, si Ton donne à yi les valeurs successives 

o, I, 2, .. ., [n — 2), 

*"'* prendra toutes les valeurs 

I, 2, 3, . . ., n — 1) 

vant le module /i, el, par conséquent, Texpressiou 
' "^ donnera successivement les n — i racines 



a, 6, 7, . . . , 



u 



Téquation (2). Donc les valeurs des fonctions (6) s'ob- 
ndronl en remplaçant a par chacune des racines (7) 
Ds Texpression de 6; on a ainsi 

9q = ( jTq -I- a.r^ -h a» j:, -h ... 4- a""» jr„_ï j'», 



» 



hacune des fonctions (8) est invariable par la substi- 
>ri i j, et quand on applique à ces fonctions la 

titution I W elles se changent les unes dans les 

es ; si donc on désigne par une indéterminée, la 
'tion 

^,o-0o] ie-0,] [0-0,] ,,[o-o^_,) 

•retira les substitutions 

^ suite, elle admettra toutes les substitutions linéaires 



4^8 COURS d'algèbre supérieurc. 

et entières 



( 






et le nombre de ses valeurs dislinctes sera i .a.3... (n — a). 
Il esl évident que toutes les fonctions symétriques de V 
^1» •••1 ^//-2 admettent les substitutions linéaires et en- 
tières; ces (onctions sont donc deux fois transitives. 

49o. Si d désigne un diviseur de n — i , que l'on fasse 

et qu'on applique à la fonction les puissances de la 
substitution régulière 



\ z ■ 



qui est de Tordre e, on obtiendra e résultats 

^0, 0,, e„ .., o,..j, 

et il est évident que la fonction 

[0-0,) (0_o,>...{ô«6^^^) 

aura i . a . 3 . . . // — 'i)xd valeurs distinctes. 

Des fonctions triplement transitives de n -i- i variables 
qui ont i . !>.. 3 . . . ( /? — i>. ) valeurs, n étant premier, 

496. L'existence des fonctions dont il s'agit est évi- 
dente à priori; ces fonctions répondent au système con- 
jugué formé par les (// -h i) n [n — i) substitutions In 1 
néairos relatives au module premier ti. La règle que jo 
vais exposer pour les obtenir ne diffère que dans b 
forme de celle qui a été donnée pour la première lob 
par M. Kmile Mathieu. 

Le nombre n étant supposé premier, consi<léron> 
d'abord les n variables 



SECTI02« IV. CHAPITRE V. 4*^9 

et posons, comme au n** 491, 

0, =:(xo-+-Çj-, -f- e»-rjH-...-he«-'.r^_t)'*, 



(2) 

ay Sr'/y . . . , w étant les /i — i racines de i'équalîon 

x" — I 



:=: O. 



./• — I 



Soit i' une fonction rationnelle et symétrique quelconque 
des n — I expressions (a) : cette fonction p» sera inva- 
riable, comme nous Tavons vu, par toute substitution 
de la forme 

Xz étant une fonction entière quelconque de Tindice z. 
D'après la théorie des fonctions semblables, toute fonc- 
tion des variables (i) qui admet les substitutions (3) est 
une fonction rationnelle det' dans laquelle les coefficients 
des puissances de i^ sont des fonctions symétriques. Dési- 
gnons donc par Vo une fonction rationnelle arbitraire de 
la quantité v' et d'une nouvelle variable que je représen- 
terai par x^ ; Vo sera une fonction des n -h i variables 

•'^0' "'l' •''1» • • •» ■'*/l — |t ''"'x ' 

qui sera invariable par toutes les substitutions entières et 
linéaires ; on peut, si Ton veut, prendre pour V'o la fonc- 
tion V ellc'^méme. 

Cela posé, soit Oz une fonction rationnelle linéaire 
d'ordre n -j- i pour le module /i, et désignons par V/ la 
valeur que prend Vq quand on exécute / fois sur cette 
fonction la substitution 



43o coxJHs d'algî:bhb supérieure. 

ce que Ton peut exprimer en écrivant, d'après la nota- 
tion de Caucliy, 

(4) ^'=C';)^- 

Soit encore uz une fonction rationnelle linéaire d ordre 
quelconque pour le module riy et exécutons sur Vila sub- 
stitution 



{'■ 



on obtiendra un résultat qui peut être représenté par 



{■:)'-(":)'•• 



Or, si y désigne un entier quelconque, comme la fonc- 
tion 9z est d^ordre /z + i, on pourra effectuer la substi- 
tution [ ) ^^ faisant d'abord la substitution ( li 

puis la substitution ( j . On peut donc écrire 

r:)'-r"':) ("■':)'.• 

égalité où chacun des nombres i et J est arbitraire. Mab, 
d'après le théorème du n** 484, à chaque valeur de foii 
des nombres /, j correspond pour l'autre nombre une 
valeur telle, que 

OJxsO' 



est une substitution entière ; et en outre, quand l'un des 
nombres /, y reçoit successivement les n -\- i valeurs 
o, I, 2, . . ., //, Tautre nombre prend aussi toutes ces 
mêmes valeurs. Si donc i et j sont choisis de manière 
à réaliser les conditions du théorème que je viens de 



SECTION IV. CHAPITRE V. 43l 

rappeler, comme Vo est invariable par les substitutions 
linéaires et entières, on aura 



ou, d'après la formule (4)> 

(5) c:) V, = 






Zl °' 



V/i+i— /, 



et, je le répète, si dans cette formule Tun des nombres i , 
y prend successivement les /i -t- i valeurs o, i, 2, ..., /i, 
Feutre nombre prendra aussi successivement toutes ces 
mêmes valeurs. 

La formule (5) exprime cette conséquence remar- 
quable, que les n -f- \ fonctions 

forment un système qui est invariable par une substi- 
tution linéaire quelconque y c'est-à-dire qu'une telle 
substitution ne peut qu échanger entre elles les Jonc- 
tions du système. 

Si donc T désigne une fonction symétrique des ex- 
pressions (6), que Ton fasse, par exemple, 

(7) T = (V-V.)(V-V,).. (V-V„), 

Vêtant une indéterminée, la fonction T admettra toutes 
les substitutions linéaires ; elle sera donc triplement tran- 
sitive, et elle aura i.2.3...(/ï — 2) valeurs distinctes. 

Si Ton désigne parT< etT2 deux fonctions semblables 
à la fonction T, par P la fonction alternée 

des 72 4-1 variables, et que Ton fasse 

S =z Tj 4- PTj, 



432 COURS d'algèbre supérieueb. 

la fonction S admettra toutes les substitutions linéaires 
dont le déterminant est résidu quadratique de n, et qui 
équivalent en conséquence à un nombre pair de transpo- 
sitions. S aura donc 2X1, 2, ..{n — a) valeurs distinctes, 
ainsi que M. Mathieu en a fait la remarque. On peutaussi 
former les fonctions S de la môme manière que les fonc- 
tions T, en faisant usage du corollaire du n^484; mais 
nous devons nous borner à cette indication. 

Sur les fonctions triplement transiti\fes de six variables 

qui ont six valeurs distinctes, 

497. On peut donner plusieurs formes diverses aux 
fonctions dont nous venons de nous occuper; nous pren- 
drons comme exemple le cas des fonctions transitives 
de six lettres qui ont six valeurs distinctes. 

Les variables étant désignées par 

•^0» •''1» -^î» -^s» •'*4» •'*,»> 
nous poserons 

Vo = •'*« •'-0 -^ -^1 -«^v ^- "^t^t. 

et, les indices z étant pris suivant le module 5, nouseffeo 
lucrons sur Vq la substitution du cinquième ordre 



3 -f- I \ . , , 



^ j — o, I, 2, 3, 4: 
ri ses puissances; on trouve alors les résultats suivants: 

V y ~rr .r^ .r^ -f- r, .r^ -f- .rj.rj, 
V, : ^^J-, -f-.rj.r^ -t-.rj.r^, 

^\ " «■« ''i "^ '**''* ■^" ''o-^n 
' Vi .-= r^ .r. --}- r,, rj -h r^.r^. 

Mnsuitc, si Ton fait 

T-;V-V,)(V- Vj) iV-V,) ^V-V.) J-VJ. 



SFXTION IV. CHAPITRE V. 4^3 

Vêtant une indéterminée, la fonction T sera invariable 
par toutes les substitutions linéaires et entières, et, 
comme elle n'est pas symétrique, elle aura précisément 
six valeurs distinctes. Pour justifier celte assertion, il 
suffit d'établir que la fonction Test invariable par deux 
substitutions linéaires. Tune du quatrième ordre, Tautrc 
du sixième. La substitution du quatrième ordre 

(V)=:'.^.4.3) 

laisse V© invariable, et elle change 

Vit V,, Vj, V4 

en 

V„ V^, V|, V3; 

ensuite la substitution du sixième ordre 




change 



en 



Vo, Vj, Vj, \ 3, "4 



M, Vo» V3, V^, V,, 

ce qui achève la démonstration de notre proposition. 

Méthode de Lagrange pour calculer une Jonction drs 
racines d'une équation donnée, quand on connaît 
une autre Jonction quelconque des racines. 

498. Parmi les travaux publiés depuis un siècle sur la 
théorie algébrique des équations, Tun des plus impor- 
tants est, sanscontredit,le célèbre Mémoire de Lagrange, 
que nous avons déjà eu l'occasion de citer (n® 189), et 
qui fait partie des Mémoires de l^ Académie de Beiiiii 

S. — Alg. sujt.f H. 9'S 



434 COUnS D^LGEBRE SUPÉRIEURE. 

pour 1770 et 1771. On rencontre, entre autres résul- 
tats remarquables , dans ce grand travail , le beau 
théorème que voici : 

Dès qu'on aura trouvée, par un moyen quelconque, 
la valeur d' une fonction rationnelle des racines d'une 
équation, onpourra, en général, tromper la valeur d'une 
autre fonction rationnelle quelconque desmémes racines, 
cl cela par le moy end' une équation simplement linéaire. 
Quelques cas particuliers exigeront cependant la réso- 
lution d'une équation du deuxième, du troisième, etc., 
degré. 

Soient 
les n racines de Téquation 

(1) .r« -hy^i-r"-» -4-y>,j:«->-4- . . . -4-/?„_,x ^-/>„ = o, 

et 

V = r (.ro, .rj, . . . , .r;,_, j, 

J'^=^J['^o% J^i» • • • > «^n— 1 ) 

deux fonctions rationnelles de ces racines dont la pre- 
mière a une valeur donnée. 

Nous supposerons d'abord que la fonction y admcllc 
toutes les substitutions de F ; dans ce cas, on peut dcle^ 
miner la valeur def par la méthode dont nous avons fait 
usage au n®492. Effectivement, si Ton représente par 

\^'i) Vq, Vj, Vj, ..., Vy— 1 

les valeurs distinctes que prend F parles substitutions, 
et par 

les valeurs correspondantes def que Ton pose en outre. 



SECTION IV. CHAPITRE V. 435 

comme au n^ 492^ 

VoJo -4- V,j, -h V,j, +...-4- V^, j,_i — ^1, 

(4) { v«7o + vîji4-v;7,-+-...4-v;.,j^,^-./,. 



on pourra exprimer ïo> ^o •••» ^-i en fonction des quan- 
tités connues, puisque ce sont des fonctions symétriques 
des racines de Téquation (i). Ensuite la résolution des 
équations (4) fera connaître les inconnues jo>J''i> • • • . 
Nous avons vu que, si Ton représente par 

(5) ^( V) = V^-t 4- p, V*-« -h . . . -hPv-i V + P, 

le polynôme égal au produit 

(V-Vo)(V-VO...(V-V._,)^ 

par ^(V) la dérivée de V, puis que Ton fasse, pour 
abréger, 

•^v— I ^^^ '^^î H~ "l'v— J ~i~ * x*v — 4 ~f" • • • ~f" Pv-Î^O> 

(6; \ 
et 

(7) e{v)=.çoV*-* + ^,v^-*H-.. .-t-^v-iVH-.ç,_,, 

les valeurs des inconnues j^ sont 

Dans rhypothèse où nous nous sommes placé, la fonc- 

28. 



436 cocRs d'algedke supérieure. 

lion F a V valeurs distinctes algébriquement ; mais ici 
o-o, X|, ..., Xn^\ ne sont plus des indéterminées, cl ii 
peut arriver que plusieurs des quantités (2) soient mt- 
rnériquement égales entre elles. Lorsque ce cas se pré- 
sente, Véquation 

(9) •Mv) = o 

a des racines multiples, et quelques-unes des formules(8) 
deviennent illusoires; mais, dans tous les cas, si V^ esl 
une racine simple de Téquation (9), la formule 

_ 0;Vo) 

donnera toujours, comme nous allons le démontrer, la 
valeur • de j qui répond à la valeur V^ de V. 

499. On voit, d'après ce qui précède, qu'il est néce>- 
saire de compléter Tanaljsc du n°492 pour Tadaplerau 
cas qui nous occupe ici. Supposons que, parmi les quan- 
tités (2), il y en ai t i qui soient numériquement distinctes 
et représentons-les j)ar 

^10) V^, V|, Vg, ..., V/-1. 

Soient Vp l'une des quanlil«'s (10) et Y^ la sommt" «le 
toutes les valeurs dcj) <|ui répondent aux valeurs do \ 
égales à V^. Les équations (4) deviendront 

VqYo -f- Vj II -f- . . . -t- V/_j i,_i - - /|, 



fi., 



Vi-i Y -;- V'-* V -^ -4- V'-' V - / 



., «-/-1 Y _i v *V -;- - V' 'Y -/ 



SECTION IV. CHA.PITRE V. 4^7 

îl est évident qu'elles ne peuvent déterminer que les 
i quantités 

Y Y Y. 

*0> *■ 19 • • • * ■■■/— 1> 

et que les/ premières équations suffisent en toute rigueur 
pour cet objet; mais nous en emploierons un plus grand 
nombre, afin d'arriver à des formules où ne figurent que 
les deux seules fonctions 0(V), ^(V) déjà introduites. 
Désignons par r le nombre des quantités (2) qui sont 
égales à VpCt considérons les v — r-f-i premières équa- 
tions (11); dans le cas de /• = i , aucune équation ne sera 
exclue. Ajoutons les équations dont il s'agit, après les 
avoir multipliées par les facteurs 

"û» ^1» •••1 ^v— r— 1> '> 

et faisons, pour abréger, 

on aura 

Yo?(Vo)H-Yj^(V,)-^...-f-Y,_,9>(V,_0 

et si l'on détermine les facteurs 9, de manière que l'on 
ait identiquement 

„(v) = -ii!^, 

la précédente équation donnera 

' 9\ Y ^0 A) **" "1 ^1 ~^ • • • + "y-r-l'v— r— 1 "*" '»— r 



L'expression de ?(V) s'obtient facilement en multi- 
pliant les deux expressions 

^(V) r^ V^ -4- Pj V^» ^- . . . -+- Pv_, V -f- P„ 

I __ I r Vp /'(r-f-r) VJ 



(V — Vp)'- \' ' I V'-»-» 1.2 v-^* 



I . • • 



438 covRs d'algèbhe supérieure. 

et en négligeant dans le produit les puissances néga- 
tives de V. En comparant le résultat obtenu avec la for- 
mule (12), on obtient 

r;r-f-i;...;v--.: 

1 . ?. . . . ( V r I; * 

( -4 ) ' ^ r(r -4-,)...(v-2 l ^_^^, 



I I . 2 . . . ( V — /• — 2 ) P ' 
9 

r, _ p . '' p V -1. ^'^"^'^ V» 
Wv-r-t — 1 3 -H Y l 1 Vp H — \ ^, 



I 



D'après ces formules (i4) et en se sor\'ant des for- 
mules (6), on trouve que le numérateur de Texprcir 
sion (i3 ) de Yp est le produit du polynôme 

par le facteur numérique ; on voit flU' 

' ' 1 . 9. . 5 . . . r — I 

celle expression ( 1 5 ) est précisément la valeur que pren' 

pour V =1 Vp la dérivée d'ordre r — i, 0'"* 1 V ^ diipoN- 

nome ©(V). Quant au dénominateur de Tcxprcssioa 

de Vp, il est égal à t'( V^) ou à 

I«2»«3* • •/* 



SECTION IV. CHAPITRE V. 4'^9 

La formule (i3) devient alors 

dans le cas de /•=!, Y^ doit être remplacé par y^ et 
-'(V^) par 0(Vp); on retombe ainsi sur celle des 
formules (8) qui détermine j^. 

La formule (i6) exprime ce résultat remarquable, que 
l'expression générale 

_ efv) 

convient à tous les cas, pourvu que, si le second membre 

se réduit à - pour V^^V^, on supprime les facteurs V — V^ 

communs aux deux termes, avant de faire V = V^, et 
qu'on remplace y par la moyenne arithmétique des va- 
leurs qui répondent à la valeur V^. 
Soient 

^0» ^1» .Vî* • • •> y r—\ 

les r valeurs de^ qui répondent à la valeur V^, la mé- 
thode que nous avons développée nous permet de cal- 
culer la somme 

ro-+- >i H- VsH-. ..-4- r^-i. 

On pourra aussi calculer, de la même manière, la somme 
des carrés de ces quantités, la somme de leurs cubes, etc., 
etenGn la somme de leurs puissances/*^""; on pourra 
donc former r équation de degré /*, qui a pour racines les 
quantités rotj'o •••>,') r-i- Ainsi, quand Téquation en V 
a des racines égales, la détermination de la fonction j>' 
peut dépendre d^une équation du deuxième, ou du troi- 
sième, etc., degré. 



4i0 COURS d'algèbre super lECRB. 

500. L'analys€ qui précède peut être étendue au cas 
où la fonction j^ n'admet pas toutes les substitutions de 
la fonction donnée V. 

Dans ce cas, le nombre v des valeurs distinctes de \ 
est moindre que N = i . 2 . . . // ; et si l'on pose 

les N valeurs de V se partageront en v groupes contenant 
chacun /ji valeurs égales. Soient 

VV *^ V :*-î^ 

o> ♦ • • • > ' > 

ces V groupes, et^'^*' la valeur dey qui correspond à Y^'\ 
Désignons par :: une fonction symétrique et ration- 
nelle quelconque des quantités 

il est évident que la fonction :: admettra toutes les sub- 
stitutions de Vp; on pourra donc exprimer Zy en général, 
par une fonction rationnelle de Vp. Quand on aura ainsi 
calculé fji i'onclions symétriques des quantités j'p,jp*, .... 
j)[i*~* , on pourra former l'équation du degré u, qui a 
pour racines ces fx valeurs de y\ 

0OI . On voit, par ce qui précède, qu'on pourra tou- 
jours déterminer les n racines .ro, o'i , . . . , .>t^,_i d'une équa- 
tion donnée du degré n, si l'on connaît la valeur d'une 
fonction V de ces racines, pourvu que les 1.2. 3... /va- 
leurs que prend V, quand on y permute les racines, soient 
difTérenles, non-seulement sous le rapport do la forme 
algébrique, mais encore au point de vue numérique. 

En effet, on peut supposer que la fonction inconnue ; 



SECTIOW IV. CHAPITRE V. 44* 

se réduise à Tune quelconque des racines, à Xo par 
exemple ; alors on pourra exprimer x© en fonction ra- 
tionnelle de V et des coefficients de Téquation proposée. 
Si ensuite on suppose que j se réduise à une autre ra- 
cine Xi y on pourra de môme exprimer x^ en fonction 
rationnelle de V, et ainsi de suite. Il résulte de là que 
si la valeur donnée de Vest commensurable, c'est-à-dire 
exprimable en fonction rationnelle des quantités que Ton 
regarde comme connues, les racines de Téquatlon pro- 
posée seront toutes commensurables. 

Mais, si la fonction V n'a pas toutes ses valeurs dis- 
tinctes, qu'elle prenne, par exemple. À* valeurs égales par 
les substitutions auxquelles répondent les valeurs 

de la fonction y = x, la méthode précédente ne fera 
plus connaître ces racines, elle permettra seulement de 
former l'équation du A'*"" degré dont elles dépendent. 

La théorie qui vient d'être exposée comprend tout ce 
que l'on sait de plus général sur l'abaissement des équa- 
tions quand on connaît une relation entre les racines, 
car ce cas est évidemment le même que celui où l'on 
donne la valeur d'une fonction des racines. 

Recherches de Galois relatives à la théorie précédente. 

502. L'analyse que nous venons de présenter nous a 
conduit à un théorème dont on comprend toute l'impor- 
tance et que l'on peut énoncer comme il suit : 

Théorème. — Si 

^^t une équation quelconque de degré n, mais qui ri a 
pas de racines égales^ et que 



44^ COURS D^LGÈBRB SUPÉRIBUKE. 

soit une fonction rationnelle des racines x^^x^^ ...jX,.! 
de l ^équation ( i ) , tellement choisie, que les i . a. 3 . . . n vfl- 
leurs quelle prend, par les substitutions des racines, 
soient toutes différentes, on pourra exprimer ces n ra- 
cines Xo, Xf, ..., j:„_i en fonction rationnelle de V. 

Il ne sera pas inutile de faire connaître ici la démon- 
stration que Galois a donnée de ce théorème dans le cé- 
lèbre Mémoire inséré au tome XI du Journal de Mathé- 
matiques pures et appliquées. 

Nous désignerons par V© la valeur donnée de V, et par 

les a = 1 . 2 . 3 . . . ( w — i) valeurs que prend V, par les 
substitutions des n — i racines 

On aura alors une équation en V du degré fx, savoir 

(2) (v-.Vo)(v-v,)...;v-v,_,- = o, 

dont les racines Vo, V,, ... seront toutes différentes el 
donl les coefficients, qui sont des fonctions symclrique> 
des racines jc^, x^y . . . , Xn^x de Téquation 

= O, 

s'exprimeront rationnellement par les coeflîcicnts de 
celte équation, c'est-à-dire en fonction rationnelle de J* 
et des cocfliclents de Téquation proposée (i). Parsuil«N 
Téquation (îi) pourra être mise sous la forme 

V désignant une fonction rationnelle de V et dcr*. * ^ 
ré(juation ( 2) ou (3 ) est satisfaite pour V:^Ve ; on aiin 



SECTION IV — chapithe V. 443 

donc identiquement 

en sorte que Téquation 

(4) F(V,, .rî=0 

sera satisfaite en posant 

ety en conséquence, les équations (i) et (4) auront une 
"^cine commune j^o- Je dis, de plus, que ces équations ne 
sauraient avoir d'autre racine commune. Supposons, en 
cflet, que Téquation (4) soit satisfaite pour x = Xi, on 
aura identiquement 

F^V„x,)=o; • 

par suite, Téquation 

(5) Yi\,x,\^o 

sera satisfaite pour V=:: Vo. Or Téquation (5) se déduit 
de l'équation (3), ou de Téquation (2), parla transposi- 
tion des racines x^ et x^ ; d'ailleurs, par cette transposi- 
tion, les quantités Vo, V, V^-i se changen t en d'au- 
tres Vo,Vi , ...,V'j^_,, toutes distinctes des premières par 
hypothèse; donc Téquation (5) peut se mettre sous la 
forme 

(v~v;. (v-v'.K..(v-v;_,) = o, 

et Ton voit qu'elle ne saurait avoir Vo pour racine. 

Les équations (i) et (4) n'ayant que la seule racine 
commune j:*©, on déterminera facilement cette racine. 
Pour cela on cherchera le plus grand commun diviseur 
entre /"(a) et F(Vo, x), et l'on poussera l'opération jus- 
qu'à ce qu'on obtienne un reste du premier degré en x : 
en égalant à zéro ce reste, on aura une équation qui fera 
connaître la valeur de Xo, 

xo^«>(Vo; ou x.^-yyy. 



444 COURS d'aLGEBHR SCPÉniECnE. 

et celle valeur de Xq sera évidemment rationnelle en V, 
puisque l'opération du plus grand commun diviseur ne 
peut pas introduire de radicaux. 

On peut opérer de la même manière pour trouver les 
autres racines^ et Ton obtiendra ainsi des expressions 
rationnelles, telles que 

Corollaire I. — L' équationW du degréN = i .2.3.../I, 
i/ui a pour racines toutes lesN valeurs de V et dont les 
coefficients s* expriment rationnellement par ceux de 16- 
(fuatioîi proposée, jouit de cette propriété remarquable 
que toutes ses racines peuvent être exprimées rationnel- 
lement par l'une quelconque d'entre elles. 

Soient, en effet, V et Vi deux valeurs de V; V| est 
une fonction rationnelle des racines Xo, J^i» .... Xn^x* 
lesquelles, d'après ce qui précède, sont des fonctions 
rationnelles de V : on aura donc 

désignant une fonction rationnelle. 

Corollaire II. — Etant données tant d' irrationnelle^ 
algébriques qu on voudra, on peut toujours les exprimer 
toutes en Jonction rationnelle d\ine même irrationnelle. 

iSous nommons irrationnelle algébrique toute (juanlilt' 
qui est racine d'une équation algébrique dont les coeflî- 
cicnls sont des fonctions rationnelles des quantités regar- 
dées comme connues. Cela étant, soient 

m irrationnelles algébriques quelconques ; on pourra K»r- 
mer une équation d'un certain degré w, à coefficient-' 
commensurables, dont ces m quantités seront racines 



SECTION IV. — CIIAPITIIE V. 44^ 

et qui n'aura pas de racines égales. Soient 

les n racines de cette équation, et désignons par V une 
fonction rationnelle de ces n racines telle, que les valeurs 
qu'elle prend parles substitutions soient toutes distinctes : 
V sera une irrationnelle algébrique en fonction de la- 
quelle les m irrationnelles données pourront s'exprimer 
rationnellement, d'après le théorème précédent 

Nous admettons comme évident qu'on peut toujours 
former une fonction rationnelle de m quantités inégales, 
telle que les i .2. 3. . . m valeurs qu'on en déduit par 
les substitutions soient diflerentes. 

503. Application a un exemple. — Le théorème 
précédent fournit une méthode beaucoup plus simple 
que celle qui résulte de la théorie de Lagrange, pour 
déterminer les racines d'une équation quand on se 
donne une fonction de ces racines. Nous prendrons 
comme exemple le cas de l'équation du troisième degré. 

Soit l'équation 

(0 j:3 -r /?, X* -h /?2 r -f- 7^3 = o, 

et posons 

En transposant les lettres X| et x^y on obtient ces deux 
valeurs de V, 

Vq rr: aXf^ 4- b.r^ -h cXj, 
V, z^ axQ -f- b.r^ -h c.Ti ; 

l'équation en V sera alors 

(V-Vo)(V-V/ 4o, 
ou 



446 corns d'àlgèbhe supérieube. 

On peut chasser Xt et X2 de celte équation à Faide des 
relations 

^i -h .r^ = — pi — Xo, 

'^i ^i - Pi — -^0 ( '•1 -+- -^î ) = Pi -^Pt^o-^ -^îf 

.rj -\- .rj -^ [p] — 2/7,) — .rj, 

et Ton aura 

(2) ' -{-[(a^-\- b*-^-c*— ab — ac— bc).rl 

{ -\- {b^-\-c^—ab — tic)piJrQ-hbcp] — ;ô — c]*/7|]=0. 

Il faudra maintenant, pour avoir Xo» faire x =r.Xi, dans 
le premier membre de Inéquation (1) et chercher le plus 
grand commun diviseur entre le polynôme que Ton ob- 
tiendra ainsi et le premier membre de Téquation (a): 
il n'y a même aucun calcul à faire dans le cas particulier 
où Ton a 

a* -h 6* -h c' — ab — ûc — be= o; 

car Téquation (2) ne contient plus alors que la première 

puissance de Xq^ et elle en fait connaître immédiatement 

la valeur. Ce cas simple se présente si Ton prend pourfl, 

/>, c les trois racines cubiques de Tunilé. 

Soit a une racine cubique imaginaire de runité, et 

posons 

rt -- I , b =: X, c — - a', 

on aura, à cause de ol^ -}- ol -}- i = o, 

V'-/»,V+ p]-3p,) 
'•>- 3V " - • 

501. T^e théorème démontré au n" 502 a pour foffl- 
plémcnt la [)ropositiôn suivante, qui n'a pas moins d in»* 
portance dans la théorie des équations : 

Tiiéoukhe. — Soient 

>0 Z.-^, =0 



SECTION IV. CHAPITRE V. 44? 

9 équation de degré n qui n'a pas de racines égales, 

9 fonction rationnelle des racines X09 Xt, . . . , x„^i 
des quantités connues, tellement choisie, que les 
= I . a . 3 . . . « /onctions qu'on en déduit par les sub- 
Uitions des racines aient des valeurs numériques iné- 
les. Soient aussi 

'quation de degré îi qui a pour racines les N valeurs 
V, F(V) un diviseur ir /déductible de degré v du 
Ijnàme ^(V) ; désignons enfin les racines de l'équa- 
n 

F(V) = o 

'0» M» M» • • • > Vv__i. 

les racines de V équation proposée (1) sont repré^ 
tées par 

*s pourront l'être aussi par 

désignant l'une quelconque des quantités (5). 

En effet, Téquation (i) admet par hypothèse la racine 
Vo); on a donc / i|/a ( Vo ) = o, et, par conséquent, 
est racine de Téquation 

Vo est Tune des racines de Féquation (4) et, comme 
le-ci est irréductible, toutes ses racines doivent satis- 



448 



COTIRS D^LGÈBRE SUPÉHIEUHE. 



faire à Téqualion précédente : on a donc y (p/, (V,) = o, 
ce qui exprime que les quantités (7) sont racines de 
l'équation (1). 

Pour achever la démonstration du théorème énoncé, 
il reste à prouver que les quantités (7) sont distinctes. 
Je dis qu'on ne peut pas avoir ^a(V,) = ^y(V|), sîy est 
différent de A; en effet, si celte égalité avait Heu, V/ se- 
rait racine de Téquation 

laquelle admettrait alors chacune des racines (5) de IV- 
quation irréductible (4); on aurait donc en particulier 
^^ ( Vo) — (py( Vo) = o, ce qui est contre l'hypothèse. 

Corollaire. — Les substitutions i , S|, Sj, . . ., S^, 
par lesquelles ou passe de la permutation (6) des ra- 
cines Xqj X|, .... x„^i aux V permutations (y), forment 
un système conjugué. En d'autres termes, les v permur 
tut ions (7) constituent un groupe. 

En effet, on a V|==0(Vo), étant une fonction ra- 
tionnelle; il s'ensuit que Vo est racine de F9(Vj = o: 
celte équation admet donc la racine Vy, et (/(\yie>l 
Tune des racines Va de Téquation (4). Cela pose, dê>î- 
gnons par A/ la permutation (7), on aura 

et, en faisant la substitution Sy, 

SyS,Aor-:>.,</:V,:, -^.«(Vy) ^n-l^>!V/ 

d'où 

Sy S, :— S^-. 



i' • 



SECTION V. 



LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 



s. — Jlg. tup.. If. ^0 



SECTION V. CHAPITRE I. 4^1 

SECTION V. 

LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 



CHAPITRE PREMIER. 

DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ. 
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA RÉSOLUTION ALGÉ- 
BRIQUE DES ÉQUATIONS. 



Résolution de l'équation générale du troisième degré. 

805. Méthode de Hudde. — Parmi les méthodes 
connues pour la résolution de l'équation générale du 
troisième degré, la plus simple est, sans contredit, celle 
de Hudde ; c'est aussi celle que nous exposerons la pre- 
mière. 

Comme on peut toujours faire disparaître le deuxième 
terme d'une équation, nous considérerons l'équation 

(1) jr^ -^ p X -\- q zm o 

débarrassée du terme en x^. Posons 

(2) x—y-^z, 

Y étant une nouvelle variable et z une fonction de j^, 
que nous nous réservons de déterminer, de manière que 
l'équation transformée en y rentre, s'il est possible, 
dans les classes d'équations que nous savons résoudre. 
Remplaçons dans l'équation (i) x par sa valeur tirée 
de (2), on aura 

[jf -H zf -\-p[x -f- z) -f- 7 == o, 

29. 



45a COURS d'algèbre supérieure, 

ou 

(3) (/8-f-Z»-T-7)-4-(r-+-2)(3j2-+-/?)=0. 

Si maintenant on détermine z par la condition 

Zyz H- /> = G, 
ce qui donne 

Téquation (3) deviendra 



^-5^+? = 0' 



ou 



(4) J''-»-?^-^=o- 

Cette équation en y peut se résoudre à la manière des 
équations du deuxième degré, car elle ne contient que 
les puissances y^ et y^. Ensuite, quand y sera connu, 
on aura x par la formule 

(5) -=^-Ty' 

L^équation du sixième degré (4)> ^ laquelle nous ra- 
menons ainsi Téquation proposée, a été nommée par 
Lagrange la réduite ou la résolvante de Téquation (i). 

Quoique cette résolvante ait six racines, la formule (5) 
ne donnera pourtant que trois valeurs de x, comme cela 
doit être. En effet, la résolvante ne change pas quand oo 

change y en — ^» en sorte que ses six racines forment 

trois groupes tels, que le produit des deux racines de 

chaque groupe est égal à — ~» et il est évident que la 

formule (5) donnera la même valeur pour x quand on 
remplacerai^ successivement par les deux racines d'un 
même groupe. Cela va résulter, au surplus, de Tex- 



SECTION V. — chapithe I. 453 

pression même des valeurs de x dont nous allons nous 
occuper. 

De Téquation (4) on tire cette valeur de^', 



^ 2""V 4 27 



on 

(6) j^ = -?±v/R, 



2 



en faisant, pour abréger, 



4 • 27' 

enfin, on tire de Téquation (6) 



(7) y=\J-\±^^. 

Cette expression, à cause des valeurs multiples des radi- 
caux, donne les six racines de Téquation (4); mais nous 

admettrons, dans ce qui va suivre, que i/ — - ih ^R 

représentera seulement Tune des trois racines cubiques 

de zh ^R : ce sera celle que Ton voudra, mais ce 

sera toujours la même ; en sorte que, si a et 6 désignent 
les deux racines cubiques imaginaires de l'unité, les 
six racines de Téquation (4) pourront être représentées 
par 

(8) ^-\±^, «y/-|±^ri, 6^/-?±,/ïï. 
Et comme, des deux radicaux 

le premier nous représente, par notre convention, celle 



456 COURS d'algèbre supérieure» 

celles du second seront 

B, Boc, B6; 

et, comme les valeurs des deux radicaux qu'il faut 
prendre ensemble doivent avoir un produit réel, on 
aura, pour les racines de Féquation (i), 

A + B, 
Aa4-B6, 
A6 + Boe. 
D'ailleurs, 



^i^yfir^ _i_^^ir3. 



€= , 



les trois racines de Téquation (i) seront donc 



AH-B . A — B 



Ah-B et d= ^—3. 

Ainsi, dans ce cas, Téquation (i) a deux racines ima- 
ginaires. 

Si Ton a R = o, ou 

il en résulte B = A; alors l'équation (i) a ses trois ra- 
cines réelles, mais deux de ces racines sont égales entre 
elles. 

Supposons, enfin, R<^o, ou 

chacun des radicaux qui figurent dans la valeur de x 
aura ses trois valeurs imaginaires ; mais il est facile de 
voir que Téquation (i) a ses racines réelles et inégales. 
Soient, en cfTet, 

A-+-By — I, «(a -4-By''-^), C(AH-By'^) 



SECTION V. CHAPITRE I. 4^7 

les trois racines cubiques de Texpression imaginaire 
H yR ; l'expression imaginaire conjuguée yR 

2 2 

aura évidemment pour racines cubiques 

A — Bv/^, e(A — Bv^^), «(a — Bv^— 7); 

et, comme les valeurs des deux radicaux qui composent 
la valeur (lo) de x doivent avoir un produit réel, on 
aura les trois valeurs suivantes de x : 

(A-4-Bv^)-f- (a — Bv/^), 
« (a -f- B v/^) -\- €(a — B V^^), 
e(A -4- B \f^\) -H «(a — B v'^); 

ou, en remplaçant a et 6 par leurs valeurs, 
2A, — A -+- B v^, — A — B v^3. 

L'équation (i) a donc ses trois racines réelles, comme 
nous l'avions annoncé, et il est très-facile de montrer 
qu'elles sont inégales. 

En eflet, on ne peut avoir d^abord 

— A -i- B v/3 =r — A — B v/3, 

car il en résulterait B = o, et la quantité — - -+- ^/R serait 

égale à la quantité réelle A', ce qui est contre l'hypo- 
thèse. On ne peut avoir non plus 

2Ar_r — AiBy'S, 

car il en résulterait B = ih A y^S ; par suite, 

A H- B s(^^\-— a(i =h yf^) = — 2aA, 



et 



— i. -h vR := - 8«'A3 = - 8 AS 

2 



458 COURS D^LGÈBHE SUPÉRIEURE. 

ce quî est encore contre l'hypothèse, puisque le second 
membre est réel. 

Le cas que nous examinons ici est fort remarquable; 
car, bien qu'alors les trois racines de l'équation du troi- 
sième degré soient réelles, la formule de Cardan pré- 
sente leurs valeurs sous une forme compliquée d'imagi- 
naires; et si, pour faire disparaître ces imaginaires, on 
cherchait à mettre les radicaux cubiques qui enlrcnl 

dans la formule de Cardan sous la forme ÀH-By — i» 
on trouverait que les quantités A et B dépendent d'une 
équation toute semblable à la proposée. L'équation en A, 
par exemple, aurait ses trois racines réelles, et Ion 
trouverait, par conséquent, une expression de A égale- 
ment compliquée d'imaginaires. C'est pour celte raison 
que le cas dont il s'agit ici a été nommé cas irréductible. 

507. Ainsi la formule de Cardan ne peut servir àb 
résolution numérique de l'équaliorT du troisième degré 
que si une seule racine est réelle; mais, dans le cas irré- 
ductible, l'équation se résout très-simplement par le 
moyen des fonctions circulaires. Si l'on pose, en effet. 

' -i- -- — û'siirw, — OC:»SW, 

4 77 ^ 2 • 

la quantité p et l'angle w seront déterminés par les ior- 
mules 

— 7 



'^ V 27 ^ ^ 



v/=:f 



et la formule de Cardan donnera 



j-/* ■ — . " * ~ " 

X rrr \ p ^\ COSW 4- y — I siuw -f- \ COSw — \ — I 



SIU^» 



\ 



« 



SECTION V. CHAPITRE T. 4^9 

{ p désignant une quantité réelle; on a d'ailleurs 



1 - 



'. ; . (0-^9. An ! . w-4-2/-7r 

V c«s w — y — 1 sm w = cos ^ V — ï s^ o » 



ycosct) -h ^— I smw = cos h y — i sin ^ — ■? 

où Xr a l'une des trois valeurs o, 1,2. On doit donner à k 
la même valeur dans ces deux formules, car il faut que 
le produit de leurs premiers membres soit réel ; on aura 

donc 

3 - oi -\- 9. An 
x:^z7.)jp cos " 5 



et le;5 trois racines de l'équation seront 

j/- « 3/- w H- 27r 3 - 

2 VP cos - » 2 V|0 cos ^ 9 lyj p COS 



W 3/- W H- 2 7r 3- 'o-f-4^ 
^» 2V|0COS 9 2v'/3COS ^ 



On pourra, dans chaque cas, calculer par logarithmes 
les troîs racines dont nous venons de donner l'expres- 
sion. 

508. Méthode de Lagrajnge. — Considérons l'équa- 
tion complète du troisième degré 

(l) or* H- Px* — Q.r -r R = O, 

et désignons par Xo, x^y X2 ses trois racines. D'après la 
théorie exposée aux n"*" 501 et 502, on pourra déter- 
miner les racines Xqj x^, x^y si l'on parvient à connaître 
la valeur d'une fonction quelconque de ces racines, tel- 
lement choisie, cependant, que les six valeurs qu'elle 
peut prendre par les 1.2. 3 substitutions de Xq, Xi, 
X2 soient différentes. La méthode de Lagrange, que 
nous allons exposer ici, consiste à déterminer directement 
la valeur d'une fonction linéaire des trois racines, telle 
que 

(a) r=:Xo-l- Axi -hBxj» 



46o COVRS d'aLGÈBKE SUPÉKIBUIIB. 

OÙ A et B désignent des constantes quelconques, et à dé- 
duire ensuite de cette fonction Texpression des racines 
elles-mêmes. 

Si Ton exécute sur les indices o, i, 2 toutes les sub- 
stitutions qu'ils comportent, on obtiendra les six valeurs 
suivantes de la fonction t ; 

/(, - - j?ç -4- Axi -f- B.r,, 

/, r= j?ç -f- A-r, -+- B JTt, 

/, = a?i -1- Ax, H- Bxo, 

^3 -r: j?j -4- Axq -4- Bx^, 

f^ r=: X, -f- Axo -+- B JTi, 

» ij r= Xj -f- Axi -H Bj^ot 

et cette fonction t dépendra de Téquation du sixième 
degré 

que Ton ramènera au deuxième degré, si Ton peut dis- 
poser des constantes indéterminées A et B, de manière 
qu'elle ne renferme que la sixième et la troisième puis- 
sance de t. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, 
que, t désignant Tune quelconque des racines de l'équa- 
tion (4)» a une racine cubique imaginaire de l'unité, 
a^ et (x^t soient aussi racines de l'équation (4). Voyons 
si celte condition peut être remplie. D'abord ato et 
a^/o ne peuvent être égaux ni à ^1, ni à tj, ni à tj, lors- 
qu'on regarde Xo, Xt, X2 comme des indéterminées, car 
autrement on aurait a = i ; il faut donc que Ton ail 



a /y -; /, et a- 1^ = Z^, 

ou 

UIq r= t^ et «*/o = 's* 



Ces deux dernières équations équivalent aux précédentes, 
puisque rien ne distingue les racines a et a^ Tune de 



SECTION V. CHAPITRE I. 4^1 

Tautre ; nous adopterons les précédentes, etcomme celles- 
ci doivent avoir lieu, quelles que soient x©, Xi , Xj, nous 
en déduirons les valeurs suivantes de  et de B : 

A = «, B = a*. 
Il arrive alors que, A et B ayant ces valeurs, on a aussi 

en sorte que, si Ton prend pour valeur de t 

Téquation en t aura pour racines 

et elle sera, par conséquent, 

oi 

(5) ^_(,3^,;),s + ,j,j,^o, 

en faisant 

( ^1 =:3 jtq H- a' Xj -h a j:, ; 

ce qui s'accorde avec les résultats généraux que nous 
avons obtenus au n^ 49 i. 

Lorsque les valeurs de to et f i seront connues, celles 
de Xoy X\j X2 le seront aussi; on a, en effet, 

(7) — P :=r Xq -f- .rj -f- J7,, 

et, en ajoutant les équations (6) et (7), il vient, à cause 
de a^ H- a -f- 1 = o, 

(8) Xo= 3 

Pour avoir Xi , il faut ajouter les trois équations (6) et (7), 



m 

462 COURS d'algèbre supérieure. 

après les avoir multipliées respectivement para*, a el i; 
on a ainsi 

(9) X, — j , 

et enfin on obtient la valeur suivante de x^y 



(.0) 



X, 



en ajoutant les équations (6) et (7), après les avoir res- 
pectivement multipliées para, a* et i. 

Tout est donc ramené à résoudre Téquation (5), qui 
est alors une réduite ou une résolvante de Téquation pro- 
posée. Cherchons d'abord à exprimer les coeflicients de 
la résolvante par ceux de Téquation proposée, ce qui est 
possible, puisque ces coefficients <J-h t\ et t\t\ sont des 
fonctions symétriques des racines. 

Si Ton multiplie les deux équations (6) l'une parTautre, 
et qu'on ait égard à la relation a^4- a 4- 1 =- o, il vient 

=-: [Xo -f- Xj -f- j:,)* — 3 (.roXj -+- Xj x, h- r^x^] ; 

et, par conséquent, 

(11) ^o'i- 1^' -3Q; 

si, enfin, on ajoute les deux équations (6), après les avoir 
élevées au cube, on obtient 

t\-{ t\z-::l[x\-\-x]-'>x\) 

— 3(.rJ.r, -, r'.ro-«-.r^.rj -f-.rJ.r,-4- .r^r^ -r- .rjr,' -f- l2X,/r'i 
— 3(./-J -f- .rj - - .r\] ~ [x^ -4- .rj -r- Jr^f -h l8.ro.r,j-, 
-—— 2P3-I-9PQ— 27 R; 

la résolvante (5) devient donc 

/« _ _ 2p3 ^_ ^^1>Q _ .,^R) ^3 .^ pî _ 3QJS _Q^ 



SECTION V- CHAPITRE I. 4^i 

En posant 

elle se réduit à réquation du deuxième degré 

et, si Ton nomme Oq et 6^ les deux racines de cette équa- 
tion, on aura 

Les équations (8), (9) et (10) deviennent alors 

— P -f- \\ H- \/Tt 
Xo= ^ , 



X, L— 



— P 4- g* y /ê; H- « V^ 

3 

— P -h a y/ë^ H- a' V^i" 



on prendra pour v^Ôo l'une quelconque des trois valeurs 
de ce radical, mais la même dans les trois formules : 

quant à l'autre radical /0| , sa valeur est déterminée 

quand on a fixé celle de \/6o, car l'équation (11) nous 

donne 

^VÎ/ë;=P«-3Q. 

n suit de là que les trois racines pourront être représen- 
tées par la formule unique 



P -f- \ 0, -f- 1% 



-y 



qui n'a que trois valeurs distinctes, si Ton considère que 
Vdl y est mis, pour abréger, à la place de — rr- * 



464 coL^RS d'algèbre supérieure. 

509. Comparaison des deux méthodes précédentes. 
— La méthode de La^ange, que nous venons d'expo- 
ser, est moins simple que celle de Hudde ; mais elle est 
plus directe. Toutefois, ces deux méthodes fournissent 
la même résolvante, et nous allons voir qu'on est nata- 
rellement conduit à la méthode de Lagrange, en étudiant 
à fond celle de Hudde. 

Reprenons Téquation générale du troisième degré 

(1) X*-f-Px*-h Qx-hRirrO. 

Pour appliquer la méthode de Hudde, on commence par 
faire disparaître le deuxième terme, en posant 

X m — — -4- s/ m 
3 ' 

ce qui ramène l'équation à la forme 

(2) x''-h/?x'-T-^ =0; 

on pose ensuite 

et Ton obtient enfin cette résolvante, 
(3) j.«+yj'-^=o. 

Cela posé, si y^ désigne Tune des trois racines cu- 
biques de — - -h 1/7- + » J^'i celle des trois racines 

cubiques de — - — \/y -+- — » qui, multipliée parji, 

donne pour produit — rp> les six racines de l'équa- 
tion (3) seront 



SECTION V. CHAPITRE I. 4^5 

et celles de Féquation (2) 

par suite, en appelant Xqj x^, x^ les trois racines de 
Téquation (1), on aura 



•^0 — — -^ -^- Xo ~- J^'i» 
P , 

p 

Si Ton ajoute ces équations, après les avoir respective- 
ment multipliées d^abord par i, a, a^, puis ensuite par 
I, a*, a, il vient 

Xa -4- «Xi -i- a'jr, 
Jo- 3 ^ 



ri = 



Xo -h a*X| -i- ax, 



On voit par là que la méthode de Iludde revient, au fond, 
à former une résolvante en y dont la racine ait pour va- 
leur 

r- 3 . 

et que cette résolvante ne diffère de celle de Lagrange 
que par le facteur 3 qui divise les racines. 

510. Méthodes de Tschirnaus et d'Euler. — Nous 
avons exposé au n° 190 la méthode générale de Tschir- 
naùs, pour faire disparaître d'une équation autant do 
termes que Ton veut. Il en résulte une méthode pour la 
résolution des écjualions du troisième degré ; mais nous 
n'ajouterons rien ici à ce que nous avons dit à ce sujet 
au n*»191. 

S. — jéig. sitp.f II. 3o 



466 couns d'algèbre supérieure. 

La méthode d'EuIer ne diflfôre que dans la forme de 
celle de Tschirnaûs. Elle consiste à éliminer j- entre 
deux' équations de la forme 

et à identifier Téquation finale en x avec Téquation pro- 
posée ; la résolution de celle-ci s'ensuivra évidemment. 
On peut disposer, à volonté, de la valeur de Tune des 
indéterminées a, &, Cy d; on peut faire , par exemple, 
fl = I ou rf== I. 

Des équations du troisième degré dont deux racines 
peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de la 
troisième racine et des quantités connues. 

51 1 . Si l'on désigne par x, x^ , x% les racines de l'équa- 
tion du troisième degré 

(l) j:'-4-Pa:* -t-Qx-f-R = 0, 

le produit 

A = (j: — J^i)* [x — x, )* (jTj — X,)* 

des carrés des différences des racines aura pour valeur 
(n° 179) 

A =r — (4Q3 -I- 27R*) -h 18PQR -h P*Q* — 4p'r. 

Cela posé, en multipliant par X\ — x^ l'identité 

v/I= [x — X^) (jT — X,) (x, — Xi), 

il vient 

(xi — X,) v'Â =3 [(xj — x) (xi — X,)] [(x, — x) (x, — Xi)] 

ou 

(^1 - X,) V^ =: (3x| -+- aPxi -f- Q) (3x; 4- aPx, -h Q) 

= g^î'^î -^ 6pxix,(x, -f- X,) -i- 3Q(xi H- j-,;' 

(4P« -6Q) xix,-h 2PQ(xi -+-X,) -i-Q*; 



SECTIOIf V. CHAPITHE I. 4^7 

on a d'ailleurs 

(a) OTi -har, rrrr — X — P 

et 

XiX^zzz— (arj -f- x,) X-+- Q=:Jr« 4-P^-i- Q; 

en faisant usage de ces formules, on trouve 

(xj — ar,) v^ =gx* -4- 12?^'» 4- (i5Q -+- P* ) ar« 

-4- ;ioPQ — 2P»)ar + (4Q«— P«Q). 

On peut ramener cette expression au deuxième degré, 
par le moyen de l'équation (i), et il vient alors 

j (x,-x,)v/Â=(6Q-2P«)x«-;9R-7PQ--2P»)x 
^ 1 -f-(4Q*-P«Q^3PR). 

On voit, par lesléquatlons (a) et (3), que les racines 
X| et X2 seront égales aux deux valeurs de X tirées de la 
formule 

,.^ i X= -U.[(6Q-2P*)a:a-(9R — 7PQ-4-2P»4-v/Â)a: 

(41 { 2 ^/A 



(4q«-p«q-3pr-Pv/a)], 

en y donnant successivement au radical y û ses deux va- 
leurs. 

Il résulte de là que, si Ton comprend ce radical y/^ 
parmi les quantités qu'on regarde comme connues, les 
racines Xi et Xa s'exprimeront par des fonctions ration- 
nelles de X et des quantités connues. 

On peut aussi représenter ces racines par des fonctions 
rationnelles et linéaires de x, en suivant la marche indi- 
quée au n^'lSS. Effectivement, si l'on divise le premier 
nombre F (a:) de l'équation (i) par l'expression (4) deX, 
que l'on désigne par V le quotient de cette division et 
par — U le reste, on aura 

o=:F(x) = VX— U. 

3o. 



468 COURS d'algèbre SUPÉaiEORE. 

d'où 

On trouve, en faisant le calcul, 

2v/Â. V " ;6Q — 2P*) X ^- (9R - PQ -f- v^Â), 
2v/Â.U= — (9R-PQ — y^Â)x-h(2Q» 6PR); 

par conséquent, si Ton pose 



(5) 



9Q« — 6PR 

b= , 

2\/A 

, 6Q— 2P» 

a '^-. -=. — , 

2 VA 



V^A-t-(9R-PQ) 

^ — ;= > • 

\ 2 VA 

Tcxpression de X sera 

rtx-i-6 

^-— -ï --p' 

« x H- 6 

et l'on en conclura les racines x^ et x^ en donnant au 
radical y/A ses deux valeurs. Mais quand on change ^ 
en — \fùk, a et i' se changent l'une dans l'autre, tandis 
que b et a' se changent en — i et — a! \ donc on peut 

écrire 

ax -^ b b'x — h 



•^1 — ■ ~f~~ . #7 ' X, .^ 



a .V -i- 6» — a X ~k- a 

On tire des équations (5) 
(6 ) fl -T- // "-- 1 , ab' — ba ~- i, 

et il en résulte que, si l'on pose 

7) exr--, -, 



SECTION V. — CHAPITRE I. 4^9 

on aura 

(8) 0«j::^-A':^_-_A_, ô>X = X, 

— a'x. H- a 

O^Xj ô^x étant mis au lieu de ÔOx et 60^x. 

Les racines de Téqualion proposée peuvent donc être 
représentées par 

j'ajoute que, si une fonction linéaire 



^ ' a a: -f- 6 

dont le déterminant a6' — 6a' peut toujours être supposé 
égal à I , représente Tune des racines, ôx par exemple, 
on aura identiquement 

c*est-à-dire 

«rrtfl,. ez=dzh, a'-^±a\ ^' = zhb'. 

En effet, Téquation proposée étant irréductible, elle 
ne peut pas avoir une racine commune avec Téquation 
ffx = Qx qui est du deuxième degré, à moins que celle-ci 
ne soit identique. 

512. Nous avons rencontré au n** 166 une équation du 
troisième degré dont les racines se développent en des 
fractions continues susceptibles d'être terminées par un 
même quotient complet. 

L'analyse qui précède nous fait connaître toutes les 
équations du troisième degré qui possèdent cette pro- 
priété. En eff*et, pour que deux irrationnelles x et x^ 
soient développables en des fractions continues terminées 
par les mêmes quotients, il faut et il suffit (n" 16) que 
l'on ait 

a.r -i- h 
a .r H- ù 



4y<i COUKS d'âlgèbue supéiiibuiie. 

ay h y a!, V étant des entiers positifs ou négatifs satisfai- 
sant à la condition 

dh' — W ziz ±: I , 

Si Ton applique ce résultat à deux des racines de l'équa- 
tion {i)y X et ^Xy ou X et d^x, on voit que la condition 
relative au déterminant est satisfaite quand on exprime 
9x ou 0^x par les formules (5), (7) et (8) ; donc, pour que 
les fractions continues dans lesquelles se développent les 
trois racines aient un même quotient complet commun, 
il faut et il suflit que les formules (5) donnent pour a^ hy 
ci y V des valeurs entières. 

Les deux dernières équations (5) peuvent être rem- 
placées par les équations (6), et celles-ci donnent 



(9) h' . i — a^ h - — 



I — n -- a^ 



a 



en même temps on a, par les deux premières équa- 
tions (5), 

(10) (jR — PQ I — ofljy/I, 3Q-P«^- fl'v'Â, 

et Texprcssion de A peut être mise sous la forme 

|9A 3(yR-PQ;«--4P(9R-PQ^3Q-P') 

I -4Q(3Q i":'. 

Des é(|uati()ns (10) ri (11) on lire 

. 3 I rt ' a-\ I - 2rt ^ 
Q _ : _ p^ 

a ' a 

r 3Q P* 

a 
la quantité P demeure indclerminée. 



SECTION V. CHAPITRE I. 4?! 

D'après cela, la forme générale des équations dont 
nous nous occupons est 

1 r» t f — ^fi — a-^a*) I — 2««1 
r (-i + 2a)(i-.^ + ^«) a(-,^a) 1 

L «'• «'* '-j— "' 

P désigne une quantité réelle quelconque, rationnelle ou 
irrationnelle ; a est un nombre entier positif ou négatif 
quelconque ; enfin a! est un diviseur positif ou négatif 
quelconque du nombre i — a -h «^. 
L'équation 

.r^ — 7 J? -f- 7 = o, 

dont nous nous sommes occupé au n® 166, répond aux 

valeurs 

P:z^O, a=: — 4> «' = — 3. 

Résolution de l'équation générale du quatrième degré. 

513. Méthode de Ferrahi. — La méthode la plus 
simple pour résoudre l'équation du quatrième degré est 
aussi la plus ancienne; c'est celle de Louis Ferrari : elle 
consiste à faire en sorte que les deux membres de l'équa- 
tion soient des carrés, et elle ramène, en conséquence, 
la résolution de cette équation à celle de deux équations 
du deuxième degré. 

Soit l'équation 

(i) x^ -f-/^jr' -h ^j:* -f- rx -T- 5 = O; 

en ne conservant dans le premier membre que les deux 
premiers termes, elle devient 

x* -+- /? j:^ := — qx^ — Tx — .f, 



»i ..î 



et, en ajoutant aux deux membres ^-^> afin que le pre- 



4y^ COURS d'algèbre supérieure. 

micr membre devienne un carré, 

Mise sous cette forme, l'équation proposée se résoadrait 
immédiatement, si le» second membre était un carré; car 
il suffirait alors d'extraire la racine carrée des deux 
membres, et l'équation serait abaissée au deuxième degré. 
C'est à ce cas particulier que la méthode de Ferrari ra- 
mène tous les autres. 

Désignons psiry une quantité indéterminée, et ajoutons 
aux deux membres de Téquation (2) la même quantité 

.1 



(■••*;') 






il viendra 



Maintenant, déterminons^, de manière que le second 
membre de l'équation (3) soit un carré. Il suffit, pour 
cela, que Ton ait 

ou 

(4) r' — 7.>* -+- [p^— 4 ^^.> — •*' 7^* — 47) — '•* ~o; 

et, si Ton connaît une seule racine de cette équation enr« 
la résolution de l'équation proposée (i) s'ensuivra immt''- 
diatcmcnt, car l'équation (3), qui est la même que(i . 
peut s'écrire comme il suit : 



(^^'+?'-^0*-(-i-''-^^ 




~ii 



:0. 



SECTION V. CHAPITRE I. 47^ 

et elle se décompose dans les deux suivantes, qui sont 
du deuxième degré : 

x« -f- ( ^ -f- i/Ç — q -h r j .r-f- I --H :=z^ ^^r=r | — O 






(-vf^> 




r' -+- ' K r- ^/ — > .r -f- I * :--:-- I = o. 



l 

L'équation (4), qui est du troisième degré, sera donc 
ici la réduite ou. la résolvante de Téquation (i). Nous 
avons vu qu'on peut exprimer par des radicaux les racines 
de l'équation générale du troisième degré; il s'ensuit que 
l'équation du quatrième degré a la même propriété, car 
les équations (5) donneront les quatre racines de l'équa- 
tion ( I ) en fonction des coefficients et d'une racine quel- 
conque j' de la résolvante. 

514. Etude de la résolvante. — Nous venons de 
voir que les quatre racines de l'équation proposée peu- 
vent s'exprimer en fonction d'une seule racine de la 
résolvante : nous allons étudier à son tour cette résol- 
vante, et examiner de quelle manière ses racines sont 
composées avec celles de la proposée. 

Désignons toujours par^ une racine quelconque de 
la résolvante, et par x©, Xj, Xj, x^ les quatre racines de 
Féquation proposée, savoir, parx© etX2 celles qui appar- 
tiennent à la première des équations (5); par X| cl x 
celles qui appartiennent à la seconde. On aura alors 

r 2 y 1 



2 



■Sj'j-i+x ^ 2y^ 



1+y 



478 COURS d'algèbre supérieure. 

connaît la composition de ses racines ; mais on peut aussi 
la déduire de la résolvante (3) en y. Il est facile, en effet, 
de voir que Ton a 

y= ^ S 

et la résolvante en est 

(5) I -h(3p*-i6/?«7-hi67*-M6/?r— 64.f)0 

On pourrait exprimer les quatre racines x^, x%y X|,Xj 
de la proposée par une seule des racines de cette équa- 
tion ; mais on obtient des résultats plus simples en em- 
ployant les trois racines. 

Soient ^oy ^d ^2 I^s trois racines de Téquation (5), on 
aura 

( -n — •'•1 -^- J^î — •''a = V^f 

(6) ' Xo — .rj -f-x, — X| = yO,. 

( *o — -«^j ->- *i — •'•i = v^; 

d'ailleurs 

(7 ) X^-\r .r, -+. ^, -4- J.3 = —y,, 

ol les é([uations (6) et (7), qui sont du premier drgr^. 
donneront les valeurs suivantes des quatre racines : 



(8) 



.'•0 — 


—p-^ 


4 


V'S, 


9 


'1 — 


— p 


V % - 

- 4- 


v'^: 


> 


*» — 


-p-^ 


v\ - 
4 


v«i 




*»= 


p 


v''>„-+- 
4 


V». 


-v^.. 



SECTION V. CHAPITRE I. 47^ 

Telle est l'expression de la racine de la résolvante en t. 
C'est une fonction linéaire des racines de la proposée, 
qui peut prendre effectivement six valeurs égales deux à 
deux et de signes contraires, par les substitutions des 
racines Xf^j ^ty *^2j *^z* 

515. Méthode de Lagrange. — D'après la théorie gé- 
nérale que nous avons exposée aux n°* 501 et 502, on peut 
exprimer rationnellement les quatre racines de Téqua- 
tion du quatrième degré par une (onction de ces racines 
telle, que les 1.2.3.4 valeurs qu'on en déduit par les 
substitutions soient différentes. Une pareille fonction 
dépend d'une équation du vingt-quatrième degré ; maïs 
nous venons de voir, par l'analyse de la méthode de Fer- 
rari, qu'il suffit, pour résoudre l'équation du quatrième 
degré, de connaître une fonction des racines qui ait seu- 
lement trois valeurs distinctes, ou six valeurs égales 
deux à deux et de signes contraires. 

La formation directe de l'équation dont dépend une 
pareille fonction des racines de la proposée et la déter- 
mination subséquente de ses racines constituent une 
nouvelle méthode due à Lagrange^ et que nous allons ac- 
tuellement développer. 

Soit l'équation 

(l ) .r* -f-/; x' H- fjjr^ -h ra: -{- .v =l. o, 

et désignons par Xo, X|, Xa, Xz ses quatre racines. La 
fonction la plus simple de ces racines, parmi celles qui 
ne peuvent acquérir que trois valeurs, estXo Xj -+- x^ Xz ; 
posons donc 

^t commençons par chercher la valeur de j'y ou plutôt 
* équation du troisième degré dont dépend cette quantité. 



48o COURS d'algèbre supérieure. 

517. La discussion des cas particuliers de Téquation 
du quatrième degré n'offre aucune difliculté. Les for- 
mules (6) ou (8) donnent immédiatement les résultats 
suivants. 

i^ Si la réduite a deux racines égales différentes de 
zéro, la proposée a deux racines égales; les deux autres 
racines sont difl'érentes de celles-ci, et différentes entre 
elles. 

7? Si la réduite a deux racines nulles, la proposée a 
deux couples de racines égales. 

3*^ Si les trois racines de la réduite sont égales cotre 
elles et différentes de zéro, la proposée a trois racines 
égales. 

4^ Si la réduite a trois racines nulles, les quatre ra- 
cines de la proposée sont égales entre elles. 

Lorsque les coefficients /;, q, r, s sont réels, la nature 
des racines de la réduite fait connaître celle des racines 
de la proposée. 

Si les trois racines de la réduite sont réelles, et qu'au- 
cune d'elles ne soit négative, il est évident, par les for- 
mules (8), que les quatre racines de la proposée sont 
réelles; si au contraire la réduite a une ou deux racines 
négatives, les quatre racines de la proposée sont imap- 
naires : toutefois deux de ces racines deviennent réelles 
et égales lorsque la réduite a deux racines né«:ali\es 
égales entre elles. Le dernier ternie de la réduite ("0 
nV'lant jamais positif, cette réduite ne peut avoir une 
seule racine négative que dans le cas où elle a une racine 
nulle. Si la réduite a deux racines imaginaires, on pt*ul 

supposer que, dans les formules (8), yJO^ et y^Ô, soient des 

imaginaires conjuguées, et que yJO^ soit réelle; on voit 
alors que la proposée a deux racines réelles et deux 
racines imaginaires. 



SECTION V. CHAPITKE I. 477 

degré 

(4) Z^— )qZ-{- s~o. 

Soient Zq et Z| les racines de cette équation (4)^ on aura 

connaissant ainsi les valeurs des fonctions 0:0X2 et Xi 0:3^ 
on voit de suite qu^on doit en déduire rationnellement les 
sommes Xq 4- x^ et Xj -h Xa, qui sont des fonctions res- 
pectivement semblables à X0X2 et Xt x^. On a efiective- 

ment 

JTiX,(xo-4- X,) -f- jTo Jr, ( .r, -f- JTs) -—— f\ 

ou 

2i (•'^o -- ^2) ■+- ^0 (-n -+- ^3) = — '•; 

d'ailleurs 
donc 

r^pz^ pz^ — r 

.Tq -f- j-j m ) X| -f- Xj =:: • 

Connaissant Xq -f- Xj et Xq X2, Xj -h X3 et X\ x^, on 
peut former deux équations du deuxième degré, ayant 
pour racines, la première Xq et 0:2, la seconde jc« et X3, 
et le problème peut être regardé comme résolu. 

516. On résout plus facilement Téquation du qua- 
trième degré, en prenant une résolvante dont la racine 
soit une fonction linéaire des racines de Téquation pro- 
posée, ayant six valeurs égales deux à deux et de signes 
contraires. 

Soit 



t — .r^ — .r| -H .r j — Xj ; 



cette fonction ayant six valeurs, elle dépendra d'une 
équation du sixième degré; mais parce que les valeurs 
de t sont égales deux à deux et de signes contraires, Té- 
quation s^abaissera au troisième degré, en posant t^ = d. 
On peut former directement Téquation en 6, puisqu'on 



482 coi:rs d'algèbre si:péiiiel'rk. 

et à identifier réqualion finale en x avec la proposée 
dont les racines seront alors données par la formule 

Tout revient donc à déterminer les valeurs des indéler^ 
minées «, i, c, rf, e, dont l'une peut être choisie arbi- 
trairement. 

Sur la résolution algébrique des- équations. 

519. Toutes les méthodes connues que les géomètres 
ont essayé d'appliquer à la résolution algébrique des 
équations, et il en serait nécessairement de même da 
nouvelles qu'on pourrait imaginer, reviennent à faire 
dépendre la résolution de l'équation proposée de celle 
d'une autre équation plus facile à résoudre, et dont les 
racines soient des fonctions de celles de la proposée. 

C'est ainsi que l'équation du deuxième degré peut 
être résolue en déterminant la fonction x^ — x© de ses 
deux racines. Le carré de cette fonction est une fonction 
symétrique, et, sa valeur étant connue, la résolution Je 
l'équation en résulte par l'extraction d'une racine carrée. 

C'est encore ainsi que nous avons pu résoudre l'équa- 
tion du troisième degré en déterminant la valeur d'une 
fonction linéaire des racines Xo, x^, .^2, savoir : 



(z=. jtq -\- a.r, - «'.r 



i» 



a désignant l'une des racines imaginaires de Téquation 
x^ --- I . Le cube t^ de cette fonction ne peut prendre 
que deux valeurs distinctes par les substitutions de? 
racines Xoy Xiy x^j et il dépend, par conséquent, d'une 
équation du deuxième degré. 

Enfin nous avons résolu l'équation du quatrième 



SECTION V. CHAPITRE I. 483 

degré en déterminant la valeur de Tune des deux fonc- 
tions suivantes de ses racines Xo, x«, Xa, X3 : 

^ =r jTq j-j -h J?! J^3, 
i = jrQ — .rj -i- Xj — ar^, 

La première de ces deux fonctions ne peut acquérir que 
trois valeurs, et elle dépend, par conséquent, d'une 
équation du troisième degré, qu'on sait résoudre; la se- 
conde fonction peut prendre six valeurs, et elle dépend 
d'une équation qui est du sixième degré, mais qui peut 
être abaissée au troisième, parce qu'elle ne contient que 
des puissances paires de Tinconnue. Nous avons vu que 
la résolvante en t conduit plus aisément que celle enj à 
la résolution de la proposée ; elle a aussi cet avantage, 
que la résolution de Téquation du quatrième degré, 
qu'on en déduit, présente la plus complète analogie avec 
celle de l'équation du troisième degré. La fonction t 
peut, en effet, s'écrire ainsi : 

% désignant la racine réelle — i de Téquation x* = i . 

Dans les Mémoires de l'académie de Berlin (années 
1770 et 1771) (*), Lagrange, prenant pour point de dé- 
part les résultats qui précèdent, a cherché à opérer la 
résolution de l'équation de degré n dont jr©, x«, X2, ..., 
3C«_i sont les n racines, en employant une fonction de 
la forme 

OÙ ce désigne une racine de Téqualion jc" = i . 

Quoique ces recherches de Lagrange niaient pu le 



(*) Lagrange a donné un extrait de son Mémoire dans la Note XIII de 
•on Traité de la résolution des équations numériques, 3" édition, p. 24^* 

3i. 



484 COURS d'algèbre supérieure. 

conduire à la résolution des équations générales d*an 
degré supérieur au quatrième, problème dont Timpossi- 
bilité est aujourd'hui démontrée, les développements 
qu'il a donnés à ce sujet ont une importance considé- 
rable, et nous allons les présenter ici. 

Nous suivrons la marche tracée par l'illustre auteur, 
et nous distinguerons avec lui le cas où le degré de 
l'équation est un nombre premier, et le cas où ce degré 
est un nombre composé. 

Des équations dont le degré est un nombre premier, 
520. Désignons par 

•Tqj J?1, .Tj, . . ., <Tfi i 

les n racines d'une équation 

(i) V^o, 

d'un degré premier 72, par a une racine quelconque de 
l'équation or" = i , et posons 

(2) t= X^f -r- d f'i -4- «'J*, -f- . . . -4- (l"-^X„^^, 

Si a n'est pas égal à i, /i étant premier, les puissances 
de a, savoir : 

sont les n racines de l'équation x" ^^^ i , et par consé- 
quent elles sont distinctes. 11 résulte de là que la fonc- 
tion t prendra i.2.3.../ï valeurs distinctes, par le» 
substitutions des racines, ainsi que nous l'avons déjà dit 
au n" 491; celte fonction dépend donc d'une équation 

du degré 

1 . 7. . 3 . . . /i, 

qu'on peut former par la méthode du n® 180, puisqu'on 



SECTION V. CHÀPITHE I. 4^5 

connaît la composition de ses racines. Mais d'après les 
développements présentés au n® 49-i, la résolution de 
cette équation de degré i . 2 . 3 . . . /t peut être ramenée 
à la résolution d'une équation du degré n — i, dont 
les coefficients dépendent d*une équation du degré 
1.2.3. . .(/i — 2). 
En eOet, si z désigne successivement tous les indices 

o, I, 2, . . ., f/ï — i) 

à des multiples près de /i, que Ton néglige, la substitu- 
tion circulaire 



rrv 



exécutée sur la fonction t, équivaut (n®494) à la multi- 
plication de t par a, et il en résulte que Téquation dont t 
dépend ne renferme que des termes dont les degrés sont 
divisibles par /i; cette équation s'abaissera donc au degré 
1 .2.3. . .(/z — 1}> si Ton pose 

Soient 

(3) Oo, 0„ 0„ ..., 0„«, 

les résultats que Ton obtient en remplaçant a par cha- 
cune des racines 

a, e, 7, ...» » 

de Téquation 

- =0, 
j: — I 

dans l'expression 

On a vu au n° 491 que, si r désigne une racine primi- 
tive pour le nombre premier n, les quantités (3) sont 



486 COURS d'algebue supériecrb. 

précisément les valeurs que prend 9 quand on exécute 
dans cette fonction les n — a puissances de la substi- 
tution circulaire 



C:) 



et nous avons conclu de ce fait que toute fonction symé- 
trique des quantités (3) est invariable par les deux 
substitutions circulaires 



2-f- 



!)• C:) 



Cela posé, une substitution quelconque peut être re- 
gardée comme le produit de trois substitutions, savoir : 

I** une puissance de f ) : 2° une puissance de f ) 

qui ne déplace pas Tindicc o ; 3^ une substitution qui ne 
déplace aucun des indices o et i. Les deux premières de 
ces substitutions ne produiront aucun changement dans6. 
et, par conséquent, on obtiendra toutes les valeurs dis- 
tinctes de celte fonction en exécutant les i.2.3...(/i — a 
substiliitions des n — 2 indices 2, 3^ ..., [n — 1. 
D'après cela, si l'on représente par 

[5; 0"-^ -h Pi 0"-* -I- P, ()'»-•» -+-... -:- P„_, -f- P„-, - - o 

l'équation qui a pour racines les tî — i valeurs (3 ) do '•. 
chacun des coefficients P,, Pj, ..., dépondra d'unr 
équation du degré 1.2. 3...;// — 2), et Ton pourra 
former ces diverses équations par la méthode du n** 180, 
puisqu'on connaît la composition de leurs racines. Mais 
on aperçoit iinmédialemenl que tous ces coefficients P|. 
Po, . . . ne dépendent que d'une seule équation du degré 
1.2.3. ..(/2 — 2), car ce sont évidemment des fonctions 
semblables des racines Xo, X|, • - ., x„.| de réqualioD 



SECTION V. CHAPITRE I. 4^7 

proposée, et si Ton se donne la valeur de l'un d'eux, 
celles de tous les autres s'en déduiront rationnellement. 

Voici comment on peut opérer pour former l'équa- 
tion dont P« dépend, et pour exprimer en fonction de 
Pf les autres coefficients Fa, P3. .... On calculera l'é- 
quation de degré I.2.3.. (/i — i), qui a pour racines 
toutes les valeurs de 9 et dont les coefficients, fonctions 
invariables des racines de la proposée, sont exprimables 
rationnellement par ses coefficients. Le premier membre 
de l'équation (5) étant un diviseur du premier membre 
de cette équation complète en 6, on fera la division à la 
manière ordinaire, et l'on égalera à zéro les n — i termes 
du reste. Les n — 2 premières des équations ainsi obte- 
nues serviront à déterminer les coefficients P2, P3» • • •> 
en fonction de P|, et Ton aura ensuite l'équation en Pi 
de degré i.2.3...(/i — 2), en remplaçant dans la 
(n — 1)**"*, Pa, P3, ... par les valeurs qu'on aura 
trouvées. 

Lagrange a cherché à simplifier les calculs, presque 
impraticables dès le cinquième degré, auxquels conduit 
l'application de la théorie précédente ; il a effectivement 
imaginé un artifice ingénieux pour exprimer les coeffi- 
cients de l'équation (5), en fonction des racines Xo,X|, — 
Je vais le rapporter ici. 

Pour avoir l'expression de 0, il faut élever à la /i**"* 
puissance la quanlitc 

en faisant ce calcul, et ayant soin de rabaisser les expo- 
sants de a au-dessous de //, on a un résultai de la forme 

La formule (6) donne les valeurs de ^o? ^<. • • •> 0„_2, 



488 COURS D*ÀLG£BRE SUPÉRIEURE. 

quand on substitue à a chacune des racines imaginaires 
«, 6, y, . . . . c«) de Téquation x"= i. En outre, si Ton 
remplace a par i, le second membre de Téquation (6) a 
pour valeur (xo-4- J^iH-- . -f-x^^i)'* ou A", en désignant 
par A la somme connue des racines de l'équation pro- 
posée (i). On a donc 

©0 -- ;o -^ «?i -4- «* S, H- ... H- «"-*?«_!. 
0, = ?o -f- e?i -r- e«Ç, H- ... 4- C»-!;,,. ., 



Ajoutons ces équations et désignons par S| la somme 
des racines de Téquation (5); on aura, d'après les pro- 
priétés des racines «, 6, . . . , 

OU 

s, r.:/|Ço — A«. 

Désignons généralement par S» la somme des y*'"** puis- 
sances des racines de Téquation (5); élevons l'expres- 
sion (6) à la puissance v, et rabaissant les exposants 
de a au-dessous de «, représentons le résultat par 

v - - ,,j r- i*,j « ,j -1- .... « "ïrt- j » 

remplaçons ensuite a successivement par i, a, ?, ....'«». 
et ajoutons les résultats, on aura 

OU 

On pourra calculer de celle manière, en fonction Jc5 
racines jy, X|, . . . , Xn^^, les sommes S2, Sj, .... S«-o 



SECTION V. — CHAPITRE I. 4^9 

et l'on en déduira ensuite les valeurs suivantes des coef- 
ficients Pf, P2, ... de l'équation (5) : 



* 2.3 2 3 



Voilà donc les coefficients P|, Pa, ... de l'équation (5) 
exprimés en fonction des racines Xoy Xj, . . . , Xn^t de 
l'équation proposée, et si Ton fait dans l'expression de 
l'un d'eux, dans celle de P| par exemple, toutes ces substi- 
tutions des racines, on ne trouvera que i . 2. 3 . . . [n — 2) 
valeurs distinctes. On pourra ainsi former directement 
l'équation en Pj, et l'on exprimera ensuite les valeurs 
des autres coefficients en fonction rationnelle de P|, 
par le procédé indiqué plus haut . 

Si l'on connaît un seul système de valeurs des coeffi- 
cients P|, P2, . . ., et si l'on peut résoudre l'équation 
en correspondante de degré n — 1, la résolution de 
l'équation proposée ( i ) s'ensuivra immédiatement, comme 
nous allons le faire voir. 

Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les quantités 
6of Oi, . . . , ôfi^t sont connues, et l'équation (4) donne, 
en mettant «, 6, y, . . . , o) au lieu de a, 



(7) 






on a d'ailleurs 

JTq H- Xj -}- j:, -f- . . . -+- J*;,--! = A; 



49^ COURS D^LGEBKE SUPÉRIEURE. 

donc, en ajoutant ces équations, et en ayant égard aux 
propriétés des racines a, S, . . . , on aura 

A -t- 70; -f- v^ê; H- . . . -4- V^t 

^* ■ . • 



(8) 



n 



ajoutant aussi ces mêmes équations respectivement mul- 
tipliées par a", 6\ . . . , w" et i, il viendra 



. . _ _A-+-a^v'6,-he>v^</, -i-...-f.«>îX-, 



Xfj V 



Mais, comme rien ne détermine celle des valeurs de 
chaque radical qu'il faut prendre, le second membre de 
l'équation (9) ne diffère pas du second membre de Té- 
quation (8). Aussi doit-on se borner à dire que les n 
racines de Téquation proposée sont données par la for- 
mule unique 

(ici J- r^ 



n 



A la vérité, cette formule, à cause de la multiplicité des 
valeurs de chaque radical, donne pour x un nombre de 
valeurs égal à /z"""* ; mais on peut faire disparaître Tani- 
biguïlé qui en résullc. En effet, les premiers membres 
des équations (7) sont des fonctions semblables des ra- 
cines Xo, x< , . . . : on pourra donc, si Ton se donne Tune 
(le ces fonctions, en déduire rationnellement loule> les 

autres. Ainsi, on pourra exprimer sO^/sO^ \ ^n^\ 

rationnellement en fonction de \ Oq, et la iormule îio 
ne donnera alors pour x (jue n valeurs, comme cela doit 
être. 

Parcelle niélhode, la résolution de Téquation du cin- 
quième degré se ramène à celle d'une équation du <jua- 
trième degré, dont les coefficients dépendent d'une 
équation du sixième. 



SECTION V. — CHAPITRE I. 49' 

Des équations dont le degré est un nombre composé. 

521 . L'analyse précédente nVsl pas applicable aux 
équations dont le degré est un nombre composé, et il 
est nécessaire d'employer ici des considérations nou- 
velles. La méthode que Lagrange a proposée pour ce cas 
revient au fond à décomposer l'équation proposée 

(i) V-.o, 

de degré m = np, n étant un nombre premier, en n équa- 
tions du degré ^; et celte méthode n'exige pour cela que 
la résolution d'une équation du degré 



1.2. . ,m 



[n — i) /i(t .2. . ./?)'* 

et celle d'une équation du degré n — i, tandis que si l'on 
cherchait à faire la décomposition par la méthode ordi- 
naire, il faudrait résoudre une équation du degré 

m [m — I ) . . .[ni — /> -f- 1 ) 
i .7. . . .p 

Cette décomposition de Téquation (i) en n équations 
de degré p ayant été effectuée, on pourra appliquer à 
chacune de ces dernières la méthode exposée précédem- 
ment, si p est un nombre premier. Dans le cas contraire, 
si p == n'p'j n' étant un nombre premier, on ramènera 
la résolution de chaque équation de degré p à celle de n' 
équations du degré p'^ en opérant de la même manière 
que pour la proposée; et ainsi de suite. Entrons main- 
tenant dans les détails. 

Soit m r:rznp, n étant un nombre premier, et posons, 
comme précédemment, 

X^j Xo ..., Xm^h désignant les m racines de l'équation (i) 



i 



493 COURS d'algèbre supérieure. 

et a une racine de x'" ^=-- i , mais qui appartienne aussi ï 
Téquation x''= i. Alors, comme on a généralement 

la valeur précédente de t pourra s'écrire comme il suit: 

t — [xo -f- x„ -f- X^^ H- . . . -f- J^(/>-Onl 

ou 

en faisant, pour abréger, 

Xq --" JTq "^" -^n "1" *tii H- . . . -+• •I'''(p~i)ii» 
, X i ^1 ^^ •''1 ~^~ •'^/i-f-i ~t~ "^m-Hl H- ... -I- JP(a-i;ii^.i« 

( 

X;,_l — -^n—i "^ ^tn—\ "'" •'"s»— 1 •+ . . . -4- 'lut— I* 

Représentons par 

(3) W— o 

Tcquation qui a pour racines Xq, X|, .... Xu.i; on 
pourra appliquer à cette équation (3) la méthode exposée 
précédemment pour les équations de degré premier. 
Faisons - f", ou 

dépend d'une équation du degré i .2,3. . .[n — i)donl 
les coefficients peuvent s'exprimer rationnellement par 

ceux de l'équation (3); et si l'on représente par 0^, 0^ 

Qn-i les n — I valeurs que prend (?, quand on remplace 
a par les n-- i racines imaginaires de x"^ - 1, on pourra 
former Téqualion de degré n — i qui a ces /ï — - 1 valeurs 
de pour racines : représentons cette équation par 

(5) O'»-» 4- Pi O'»-*-!- Pi (/'*-^ -+-... -1- P„.-, Q H- P»-, - 0; 



SECTION V. — CHAPITRE 1. 49^ 

ses coefficients P«, Pj, . . . dépendent d'une seule équa- 
tion de degré i.2.3...(// — 2) dont les coefficients 
s'expriment rationnellement par ceux de Féquation (31» 
ainsi que nous Tavons établi précédemment. 

Soient j^ l'un quelconque des coefficients P|, Pj, ... 
et 

(6) /(Ji^-'o 

Téquation de degré i.2.3...(/i — 2) dontj^ dépend. 
Les coefficients de cette équation (6) sont exprimables 
rationnellement par ceux de l'équation (3), mais ces 
derniers ne sont pas connus, il n'y a que ceux de l'équa- 
tion (i) qui le soient; voici comment on peut former 
une équation enj' dont les coefficients soient exprimés 
parles quantités connues. 

f{y) ^st une fonclion de y qui contient symétrique- 
ment les quantités Xq, X,, ..., X„_«, et, si l'on y 
remplace Xo , X| , ... par leurs valeurs tirées des 
équations (2), elle deviendra une fonction entière non 
symétrique des racines x^, JCi, ..-, JOm^i de l'équa- 
tion (i). Effectuons dams f [y) toutes les substitutions 
des racines jto, X|, . . ., Xm~.\y et désignons par 

/o(r)t /i(.r) f^-\[x] 

les fit valeurs distinctes que prend ainsi f[j) ; le produit 
de toutes ces valeurs est une fonction symétrique des 
racines Xq, Xi, . . . , Xm-i, exprimable rationnellement 
par les coefficients de l'équation proposée. On a donc, 
pour déterminer j^, Téqualion 

(7) Ux]A{y]A[y)■^.J,-^'y:-■-o, 

dont les coefficients peuvent être considérés comme 
connus. 

Le degré de cette équation (7) est i.2.3...(/t — 2)xfA, 
p désignant le nombre des valeurs distinctes que prend 



494 CODHS D^LGÈBRE SUPÉRIEUEB. 

f{y) par les substitutions des racines jTq, X| , . . . , Xm^\ \ 
nous savons que ce nombre fx est un diviseur du produit 
I • a . 3 ... m, et si Ton fait 

T .51.3. . .m 

^= — - — . 

V sera le nombre des substitutions qui appartiennent ï 
la fonction f{j)- Or f{y) ne change pas quand on 
change, les unes dans les autres^ les racines qui figurent 
dans Tune des expressions Xq, X|, . • . , X|,.|, non plus 
qu'en échangeant les quantités Xq, Xi^ ...^ les unes 
dans les autres^ mais toute substitution qui fait passer 
quelques-unes des racines contenues dans X|, ou Xs, 
ou . . . , dans Tune des autres fonctions, change évidem- 
ment la fonction y*(j^). On conclut aisément de là que 

V =: (l .2.3. . ./7)'*(l .2. , ./»), 

et, par conséquent, 

I . 2 . 3 . . . /w 



* (l .2.3. . •«) (l .2.3. . ./>)* 

Le degré de Téquation (7) est donc 

_ . 1 . 2 . 3 ... m 

1 .2. J. . .1/1 — 2) -, 

(i .2.3. . ./i) (1 .2. . ./>/' 

ou 

1.2.3. . ,m 

(n — i) w(i .2. 3. . .z?)* 

ce qui s'accorde avec la proposition établie au n"439 
(corollaire II). 

Si Ton connaît une seule racine de l'équation (7). on 
aura un système de valeurs des coefficients 

de l'équation (5), car ces coefficients sont des fonctions 
semblables des racines de l'équation proposée, et. ptf 



5ECTION V. — CHAPITKE I. 495 

conséquent, ils peuvent s'exprimer rationnellement en 
fonction de l'un quelconque d'entre eux et des quan- 
tités connues. 

On résoudra ensuite l'équation (5), qui n'est que du 
degré n — i, et l'on aura alors aisément les racines de 
l'équation (3). Désignons, en effet, par 

^0» ^1» ^ïi • • » ^n-1 

les n — 1 racines de l'équation ( 5 ) ; ces valeurs de Q 
étant précisément celles qu'on déduit de l'équation (4), 
en remplaçant ol par chacune des racines imaginaires 
de or" = I , on aura 



Xj -r- wX, -r w* Xj -t- . . . -h w^-^X^ — \'On-i, 

D'ailleurs, la somme des racines X|, X2, . . ., X« esl 
connue, car elle est la même que celles des racines Xo, 
Xi, . . . , X/n-i ; en désignant donc par A cette somme, 
on aura 

JVq -t~ A.J ~r" A.J ~f- • . . "T" J^n — i "--—■ A. 

Des équations qui précèdent, on tire cette expression 
générale des racines X©, X|, . . ., 



A/1/» n f. /!/• 

n 

11 ne reste plus, maintenant, qu'à trouver les racines 
XQy Xi, ... elles-mêmes; pour cela, on considérera 
l'équation qui a pour racines celles de la proposée dont 
la somme est Xo ou X|, ou . . . , Xq par exemple : soit 

cette équation, dont le premier membre est un diviseur 



496 COURS d'algebur supérieuiie. 

du premier membre V de la proposée. On fera la divi- 
sion à la manière ordinaire et Ton égalera à zéro les p 
termes du reste ; on aura ainsi p équations dont les p — i 
premières détermineront Q2, Qj, . . . , en fonction deX«, 
la dernière étant alors satisfaite d^elle-méme. Il est évi- 
dent que Q2, Qs, ... doivent s'exprimer rationnelle- 
ment en fonction de X^, puisque toutes ces fonctions 
sont semblables. On aura donc enfin, parce moyen, les 
n équations de degré p dans lesquelles peut se décom- 
poser Téquation proposée. 

Tel est le point où les travaux de Lagrange ont ramené 
la question de la résolution algébrique des équations. 
La fonction résolvante nous a donné la résolution des 
équations du troisième et du quatrième degré; mais elle 
n'est d'aucune utilité pour les équations générales de 
degré supérieur au quatrième, dont, au surplus, la réso- 
lution est aujourd'hui démontrée impossible. Toutefois 
on verra plus loin que la considération de cette fonction 
résolvante conduit à la résolution algébrique d'une classe 
fort étendue d'équations de degrés quelconques. 

A la même époque où Lagrange publiait, a Berlin, le 
Mciuoire dont nous venons de présonler les résultats 
principaux, Vandcrmondc s'occupait de la incmo que?*- 
lion et présentait à l'Académie des Sciences de Paris un 
beau Mémoire où, par des considérations dinerentesde 
celles de Lagrange, il arrivait pourtant aux mêmes con- 
séquences. Je me borne ici à indiquer ce travail de 
Vandcrnionde, imprimé dans les Mémoires de l* Acù- 
demie des Sciences de Patis (année 1 77 1 )- 



SECTIOJV V. CHAPITRE II. 497 



CHAPITRE IL 

DE L'IMPOSSIBILITÉ DE LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES 
ÉQUATIONS GÉNÉRALES AU DELA DU QUATRIÈME DEGRÉ. 



Des fonctions algébriques. 

522. Les considérations que nous avons développées 
dans le Chapitre précédent donnent lieu de penser qu'il 
est impossible de résoudre algébriquement les équations 
générales de degré supérieur au quatrième. Abel est 
parvenu à démontrer rigoureusement cette impossibilité 
par une méthode qui a été simplifiée ensuite par Wantzcl 
dans quelques-unes de ses parties. 

Résoudre une équation algébriquement, c'est former 
une fonction algébrique des coefficients qui, substituée 
à l'inconnue, satisfasse identiquement àTéquation; la 
première chose à faire, pour reconnaître si une équation 
est soluble ou non algébriquement, est donc d'étudier 
la forme générale des fonctions algébriques. C'est cette 
étude que nous allons faire ici, et nous en conclurons 
ensuite facilement l'impossibilité de résoudre algébri- 
quement les équations générales de degré supérieur au 
quatrième. 

Soient 

^1» "^î» ^3» • • •» *^k 

k quantités quelconques indépendantes, et if une fonc- 
tion de ces quantités; v sera une fonction algébrique, 
si on peut l'exprimer en Xo 0:2, X3, . . . , par le moyen 
des opérations suivantes, eflectuécs un nombre fini de 

s. — jélg. sup,, II. 32 



498 COURS d'algèbre supérieure. 

fois : i^ l'addition ou la soustraction; 2? la multiplica- 
tion ; 3" la division ; 4° l'extraction des racines d'indices 
premiers. Nous ne comptons pas l'élévation aux puis- 
sances entières et l'extraction des racines de degrés 
composés y parce que ces opérations sont évidemment 
comprises dans les quatre que nous avons mentionnées. 

Des /onctions entières. 

523. Lorsque la fonction i/ peut se former par les 
deux premières des quatre opérations mentionnées ci- 
dessus, elle est dite rationnelle et entière ou simplement 
entière. 

Désignons par 

une fonction qui peut être exprimée par une somme 
d'un nombre limité de termes de la forme 

 désignant une constante, et mi, m^, ... étant des 
exposants entiers et positifs. L'opération désignée par/ 
fournit une fonction entière, conformément à la défini- 
tion précédente; et Ton peut généralement considérer 
tontes les fonctions entières comme obtenues en répé^ 
tant cette opération un nombre limité de fois. Soient l'o 
1^2, • . • plusieurs fonctions de X|, X2, . . . , de la même 
forme que f, la fonction 

sera évidemment de la même forme. D'ailleursy(9| , vj. ... 
est l'expression des fonctions obtenues en répétant deux 
fois l'opération y(xi, X2, . . .); d'où il suit qu'on Iroo- 
vera toujours un résultat de même forme en répétant 



SECTION V. CHAPT:rRE II. 499 

cette mémo opération autant de fois que l'on voudra, 
et que toule fonction entière de x^y X2, • • . peut être 
exprimée par une somme de termes de la forme 

AxJ*» xj»» .... 

Des fonctions rationnelles, 

624. Une fonction v des quantités x^ ^2» ^s? ••• 
est dite rationnelle lorsqu'elle peut être exprimée par 
les trois premières des quatre opérations algébriques 
ci-dessus désignées. 

Soient 

* deux fonctions entières , le quotient de ces fonctions 

F(j:i, j:,, . . . j 

sera évidemment un cas particulier des fonctions ration- 
nelles non entières, et Ton peut considérer toute fonc- 
tion rationnelle comme obtenue en répétant plusieurs 
fois l'opération précédente; mais, en désignant par v^j 

v^j ... plusieurs fonctions de la forme ^ry— ^- — ** » 

il est évident que la fonction 

peut être réduite à la même forme ; d'où il suit que toute 
fonction rationnelle se réduira à la forme 

/( ^li ^i^ • ' ' ) 

F(j^i, •»•«, . . .) 
/ et F désignant des fonctions entières. 

39. 



5oO COURS dIaLGÊBRE SUPÉRIEUEB. 

Classification des fonctions algébriques 
non rationnelles. 

523. Soit 

j \^\% ^j» • • • ) 

une fonction rationnelle quelconque; il est évident que 
toule fonction algébrique s'obtiendra en combinant Topé- 
ration désignée par y avec l'opération désignée par \ , 
ni étant un nombre premier. Si donc p^, p^, . . . dé- 
signent des fonctions rationnelles de x^, Xj, . . ., w^ 
Ha, . . . des nombres premiers, et qu'on fasse 

p' ^^Jv'u -^îi • ' ••> y Pu "vpï^ • • • ■> 

p^ sera la forme des fonctions algébriques dans lesquelles 

l'opération désignée par V ne porte que sur des fonc- 
tions rationnelles. Nous appellerons, avec Abel, fonc- 
tions algébriques du premier ordre les fonctions de la 
forme p\ 

Soient y:?'j, p\f ... des fonctions algébriques du pre- 
mier ordre, /i',, /i',, . . . des nombres premiers ; et posons 

p* f\JC\. J^i \Pu V7?j, . ., \p,, \pj, ...K 

pi' sera la forme générale des fonctions algébriques daDS 

lesquelles l'opération désignée par yj ne porte que sur 
des fonctions rationnelles ou sur des fonctions algé- 
briques du premier ordre. Nous appellerons fonctions 
algébriques du deuxième ordre les fonctions de la 
forme pf' , 

De même, si //, , //' , ... désignent des fonctions algé- 
briques du deuxième ordre, w* , n\, . . ., dos nombres 
premiers, et qu'on fasse 

p — /\^Xi,x„ ..., v7>i, ..., vT'i» •••> SP /'» 



SECTION V. CHAPITRE 11. 5oi 

p"' sera la forme des fonctions algébriques, où l'opéra- 

lion désignée par V ne porte que sur des fonctions ra- 
tionnelles et sur des fonctions des deux premiers ordres. 
Les fonctions de la forme jJ" seront les fonctions algé- 
briques du troisième ordre. 

En continuant ainsi, on formera des fonctions algé- 
briques du quatrième, cinquième, . . . , fx**"' ordre^^ et il 
est évident que Texpression générale des fonctions du 
^ieme Qrdrc sera l'expression générale des fonctions algé- 
briques. 

Il suit de là qu'en désignant par v une fonction algé- 
brique du fx*^"*® ordre, v aura la forme 

oùydésigne toujours une fonction rationnelle, pi, p^y ... 
des fonctions de Tordre fx — i, /îi, «2^ • • • des nombres 
premiers, et Ti, r2, ... des fonctions de Tordre (ui — i 
ou d'un ordre moins élevé. 

On peut évidemment supposer qu'aucun des radicaux 

\Piy \P2* ... ne soit exprimable rationnellement en 
fonction des autres radicaux et des quantités /'i, 7*2^ • • • • 

Si, en effet, V/7j était dans ce cas, en portant sa valeur 
dans l'expression de Vj on aurait une valeur de sf 

de la même forme que la précédente, mais plus simple, 

puisqu'elle contiendrait le radical v/;< de moins. Si, de 
même, l'un des radicaux qui restent pouvait s'exprimer 
en fonction rationnelle des autres radicaux et des quan- 
tités Ti, r2y . . . , on pourrait chasser ce radical de l'ex- 
pression de i^j qui conserverait d'ailleurs la même forme ; 
et si Ton pouvait continuer ainsi jusqu'à ce qu'on eût 



D02 coims d'algèbre supékieueb» 

éliminé tous les radicaux v/^i, \p2t •••7 la foDClioD *» 
serait réduite à Tordre fx — i. 

Si donc la fonction v est effectivement du fi^"""*^ ordre, 

on peut supposer que les radicaux \/pty \p2r • • • aient 
été réduits au plus petit nombre possible, et qu'il soit 
impossible d'exprimer l'un de ces radicaux en fonction 
rationnelle des autres et de fonctions algébriques d'ordre 
inférieur. Et si m désigne alors le nombre de ces radi- 
caux qui affectent des fonctions algébriques d'ordre f* — i, 
Hous dirons que la fonction v d'ordre [jl est du degré m. 

D'après cette défmition, une fonction d'ordre fz et de 
degré zéro n'est autre qu'une fonction d'ordre ji — 1. el 
une fonction d'ordre zéro est une fonction rationnelle. 

Il résulte de là que, si v désigne une fonction algé- 
brique d'ordre fx et de degré m, on aura généralement 

'' — /{ru ^ly • • •» \/p)y 

/désignant une fonction rationnelle, p une fonction al- 
gébrique d'ordre (à — 1, 72 un. nombre premier, et r|, 
/'o, ... des fonctions d'ordre /x, mais de degré m — 1. 
En outre, d'après ce qui précède, on peut toujours sii[»- 

poser qu'il soit impossible d'exprimer \p en fonction 
ralionncllc de r,, /'o, .... 

Forme générale des fondions algébriques. 

526. Dans l'expression précédenle de r, f désigno 

une fonction rationnelle des quantités /'i, /'n, ... et \/». 
mais toute fonction rationnelle de plusieurs quantités 
peut être représentée par le quotient de deux fonclioQS 
entières; nous pouvons donc poser 

1 (/-,, r^, . . . , V /^ I 

i' : — - - - -;; » 

'^ M '2, \P) 



SECTION V. CHAPITRE II. 5o3 

cp et ^ désignant des fonctions entières, et si Ton ordonne ç 

et ^ par rapport aux puissances de ^p ou /?", on aura 
pour i^ une valeur de la forme 

.^0 -^ '^1 />" -+- ^i /?" -4- . . . -4- .Çy P" s 

où Sq, Si y , . .j 5y et fo9 ^o • • -7 ^' sont des fonctions 
entières de Ti, r2, .... 

Soit a une racine imaginaire de Téquation 

a" :^- 1 ; 
désignons par 

les n — I valeurs qu'on obtient en remplaçant, dans T, 
1 

p^ successivement par 

111 1 

«/?", a*/>", a'/ZS ..., a"-*/'"» 

et multiplions par Ti T2 . . . Tn^t les deux termes de la 
valeur de ^^ on aura 

Le produit TTi T2. - -Tn^i peut évidemment s'exprimer 
en fonction entière de p et des quantités /'i, ror • • • i il 
est donc une fonction algébrique d'ordre [jl et de degré 
m — I au plus, que nous désignerons par u. Pareille- 
ment, le produit 8X4 Tj. . .T„^i est une fonction en- 
tière de Ti, r2 . . • , et ^p] nous représenterons sa valeur 
par 

1 i i 



5o4 COURS d'algèbbi! SUPÉniEUnE. 

et l'on aura 

i î i 



P.-tt: 



U 



OU simplemenl 

1*1 

•; — <7o -4- <7t /?" 4- 7, /?" -î- . . -4- 7//>" , 

en mettant ^q, 71, ... au lieu de — -» — • •• ; 7^, 71, ... 

désignent ici des fonctions rationnelles de r^j r^^ ... 

Qlp. 

On peut chasser de l'expression précédente de v les 

t 

puissances de p" supérieures à la (/i — i )**"•. Si, en 
effet, / désigne un nombre qui, divisé par n, donne le 
quotient g et le reste //, on a 

L * 

et, en se servant de cette formule, on pourra mettre v 

sous la forme 

1 • î."~i 

(joj <l\j q-i <y«_i étant toujours des fonctions ratioD- 

ncUes de /?, /'i, Tj et, par conséquent, des fonc- 
tions algél)riqucs d'ordre /x et de degré m — i au plus 
telles, on outre, qu'il soit impossible d'exprimer ration- 

nellemcnt p" en fonction rationnelle des quantités donl 
elles dépendent. 

Dans Tcxpression (1) de ç^, on peut supposer 

Pour le dénionlror, supposons d'abord que q^ ne soil 
pas nul, et posons 

P\ pql^ 



SECTION V. CHAPITHE II. So3 

d'où 

t 

l'expression de v devient 

I I n — 1 



Vl 7i 



I 



OU plus simplement 

(2) ^=^go-^p'*-^^iP"'^'"'^qn-ip " . 

en écrivant p au lieu de pi ; q2y 73> • • • 21^ lî^^ d® 4» 

9t 

'— ■- • • • • • 

1] 

Dans cette nouvelle expression (2) de i^, qui se déduit 
de (i) en faisant ^, = i, les quantités q^, ^,, . . • dési- 
gnent toujours des fonctions algébriques d'ordre fx et de 
degré m — i . 

Supposons maintenant que dans l'expression (i) de v 
on ait ^{ = o; désignons par ^^ Tune des quantités i/oj 
qi, ... y qui n'est pas nulle, et posons 

pi = 5*/'*. 

d'où 

pl-=glp'^y 

n étant premier et k étant moindre que n, on peut tou- 
jours trouver deux entiers a et 6 tels, que 

X étant un nombre entier quelconque donné; alors on 
aura 



5o6 cocus d'algèbre supÉniEcnB. 

d'où 



X 



,n — ^— «r>— •»»« 



On a, en particulier et par hypothèse. 



1 

A- n 

9k 



les deux formules précédentes permettent de substitaer 

aux puissances de p", dans la valeur (i) de i', celles dcf^, 

et, après cette substitution, il est évident que la forme 

t 

de (^ n^aura pas changé, mais que le coefïicient de pjsen 

k 

l'unité ; car, dans l'expression primitive de i', ^ a pour 
coefficient y>f Les développements qui précèdent peuvent 
être résumés par la proposition suivante : 

Théorème. — Toute fonction algébrique d' ordre fi 
et de degré m peut être mise sous la forme 

«'- go-^-p"-^fhP"-^" .H-7«-i/^ " y 

ou n est un nombre premier, yo> Vs? • • • des fonctions 
algébriques d* ordre jex, mais de degré m — i , et p une 
fonction d'ordre [x — i , dont la racine /i«<'''»«« ne peut être 
exprimée rationnellement par les quantités */o» y 2. • • • 

Propriétés des fonctions algébriques qui satisfont 

à une équation donnée. 

527. Il importe de rappeler ici les définitions que 
nous avons présentées au n° 100. 

Si Ton considère un polynôme entier et rationnel 



.1'" -\ a,.r'"'^-'- u..t'"-* 



• • « 



SECTION V. CHAPITRE TI. Soj 

dont les cocnfîcienls «<, «2? • • • soient des nombres com- 
mensurables donnés, tout diviseur de ce polynôme dont 
les coefficients sont commensurables est dit un dwiseur 
commensurable . 

Plus généralement, si les coefficients a^ «2» ... du 
polynôme sont des fonctions rationnelles de quantités 
quelconques, qu'on regarde comme connues, tout divi- 
seur de ce polynôme qui a pour coefficients des fonctions 
rationnelles des quantités connues est appelé un dwiseiu^ 
commensurable. 

On nomme, dans tous les cas, équation irréductible 
toute équation dont le premier membre n'admet aucun 
diviseur commensurable. 

Dans le cas de l'équation générale de degré quel- 
conque, dont les coefficients sont indéterminés, les 
quantités connues ne sont autres que les coefficients 
eux-mêmes; Téquation est nécessairement irréductible. 

Cela posé, soit une équation de degré m 

; I ; ^•"' -h «, x"'-» -r- rt, x'"-' -:-...-!- n^n-x .*: -:- ih„ -^ o, 

dont les coefficients sont considérés comme des fonctions 
rationnelles de quantités connues, et suj)posons qu'elle 
soit résoluble algébriquement. 

D'après la classification des fonctions algébriques 
établie précédemment, si la racine x est une fonction 
algébrique d'ordre [jl des quantités connues, on pourra 
poser 

1 « w-l 

(2} X r:.: q^ -{- p" -l- 7j/>"-+-. . . -f- 7n-| 

n est un nombre premier; /; désigne une fonction d'ordre 

— i; Ço, 72? • • • peuvent être de Tordre /:/, mais sont 

d'un degré moindre que celui de x. Enfin on peut sup- 



5o8 COURS d'algèbre supérieurb. 

l 
poser qu'il soit impossible d'exprimer p" en fonction 

rationnelle de p, y©» ?2» • • • • 

En substituant cette expression (a) de x dans l'équa- 
tion (i), on aura un résultat qui pourra évidemment se 
réduire à la forme 

1 t n--l 

(3) /•oH-ri//»-l-rj;7''-i-...-;.r„^,^ « — O, 

où /q, Ti, r2, . . . , r„^^ désignent des fonctions ration- 
nelles des quantités p, q^y q^, . . . , y^-i- Or je dis qnc 
l'équation (3) exige que Ton ait en même temps 

7*0 - :: O, Tj :=:. O, Tj i= O, . . . , r„— i = G. 

En effet, dans le cas contraire , les deux équations 

»"— y?--o, 

auraient ine ou plusieurs racines communes. Soitik 
nombre de ces racines, on pourrait former une équation 
de degré k ayant pour racines ces k racines communes, 
et pour coefficients des fonctions rationnelles de p, (j^i 
<72? • • M y«-i' Soit 

•^0 -h J| s -f- .Vj z' -i- . . . 4- 5jt 2* = O 

cette équation, et désignons par 

un diviseur irréductible de son premier membre, doni 
les coefficients ^g, f ^ , . . . , ti soient des fonctions ration- 
nelles de py q^y ^2i • • • > Çn-î» L'équation 

(4) ^0 4- /j 3 4- r^ 3* -+- . . . -4- /, 3'= o 



5ECT10M V. — CHAPITRE II. 5og 

a toutes ses racines communes avec 

(5) z^ — p^-o; 

d'ailleurs son degré i est au moins égal à 2, car, autre- 

ment, on pourrait exprimer z ou p" en fonction ration- 
nelle de p, (/o, q^f ' • -j Çn^i • Si donc z désigne une racine 
quelconque de Téquation (4)^ cette équation aura au 
moins une autre racine de la forme «z, a étant une ra- 
cine de Téquation % 

Téquation (4) aura donc une racine commune avec 

(6) /q -f /,a5 -f- ^,a's*-+- . . -t- //a'z'i-: o, 

et, par conséquent, avec Téquation 

que l'on obtient en retranchant de Téquation (6) l'équa- 
tion (4) multipliée par a*. Mais Tcquation (4) est sup- 
posée irréductible: il est donc impossible qu'elle ait une 
racine commune avec l'équation (7), qui est d'un degré 
inférieur au sien : d'où il suit qu'on a nécessairement 

Les équations précédentes ayant lieu, l'expression (2) 

de X satisfera encore à la proposée (i), quand on y aura 

1 

substitué à p" chacune des n valeurs 

111 1 

p", »P". ^P"y ..., w/>", 

où I , a, 6, . . . , û) désignent les racines /i'«"»" de l'unité. 
On aura ainsi n racines de l'équation (1), que nous re- 
présenterons par 



5io COURS d'algèbre supérieurb. 

et dont les valeurs seront 

Xi - 7o-^ yp" -4- q^p» -h ^- 7i»-lP " » 

(8) { I i «:j 

• ••••••••••••••...•, 

i 1 «-1 



On voit que ces racines sont difTérentes, car, si dem 
d'entre elles étaient égales, il résulterait de cette égalité 
une équation qui aurait la même forme que Téqut- 
tion (3), ce qui conduit, comme nous l'avons vu, à on 
résultat contradictoire. Au surplus, cette remarque n*est 
pas indispensable pour ce qui va suivre. 

En ajoutant les équations (8), en les ajoutant ensuite 
après les avoir respectivement multipliées par 

1,0C ,0 ,...,0) , 

puis par 

i,a ,o ,...,« , 

puis, etc., on obtient les suivantes : 

70 — - (-^1 -+- -^2 -+- X, -h -^ J^l.\ 

i 

1 

• • I 

n — I 

qn-^p " — - (xi-f-«jr, -{- -t-«x«j. 

Il résulte de là que, si Ton regarde comme connues les 



SECTION V. — CHAPITRE H. 5ll 

racines de Tunité, les quantités 

sont des fonctions rationnelles des racines de Féqua- 
tion (i). On a, en effet, généralement 

Désignons maintenant par y Tune quelconque des 
quantités p", ^o> ^a? • • • ? V"""*? et soit 



r 



(9) J — .^0 -+- «^ H- ^2*''* -♦- . . • -f- ^,—1 V 

jTty 53, . . . , étant des fonctions qui peuvent être du même 
ordre quej^, mais qui sont de degré inférieur. On a, par 
ce qui précède, 

f désignant une fonction rationnelle, el x^y x^, . . . , Xm 
les m racines de l'équation (i), lesquelles peuvent ne pas 
entrer toutes dans la fonction f . Soit m' le nombre des 
valeurs que prend cette fonction cp par les substitutions des 
racines x^, x^, ... ; on pourra former une équation du 
degré m' dont les coefficients seront exprimés rationnel- 
lement par ceux de Téquation ( i ) , et dont les racines 

seront les ni valeurs de la fonction cp . Et, comme la va- 
leur (9) de^ doit satisfaire à cette équation, on en con- 
clura, comme précédemment, que les quantités 

5ont des fonctions rationnelles de y^, y^j • • •^ym'i et, 



5l2 COURS d'algèbre SUPlfaiEDEE. 

par conséquent, aussi des fonctions rationnelles de x^ 

Comme on peut continuer indéfiniment ce raisonne- 
ment, on conclut de ce qui précède que : 

Si une équation est résoluble algébriquement, on peut 
donner à la racine une forme telle, que toutes les fonc- 
tions algébriques dont elle est composée soient des fonc- 
tions rationnelles des racines de l'équation proposée. 

Démonstration de l'impossibilité de résoudre algébri- 
quement les équations générales de degré supérieur 
au quatrième, 

528. Les propriétés des racines d'une équation réso- 
luble algébriquement, que nous venons de démontrer, 
ont lieu dans tous les cas, soit qu'il s'agisse d'une équa- 
tion dont les coefûcients ont des valeurs déterminées, soit 
que l'on considère ces coefBcients comme indéterminés, 
et, par suite, les racines de l'équation comme étant des 
quantités quelconques, n'ayant entre elles aucune dépen- 
dance. 

Nous plaçant maintenant à ce dernier point de vue, 
nous allons démontrer qu'il est impossible de résoudre 
alg^ébriquement les équations générales de degré supé- 
rieur au qualrième. 

Ce ihcorème a été démontré, pour la première fois, 
d'une manière rigoureuse par Abel; je présenterai ici la 
démonstration plus simple que l'on doit à Wantzel (•)• 



(*) J'ai cru devoir reproduire le raisonnement de WanUel ; j'ai 
cependant supprimé quelques détails que rendent inutiles les dcrrelop- 
pemenls dans lesquels je suis entré en traitant de la théorie des subsû- 
tu lions. 



SECTlOIf V. CHÀPITKB II. 5l3 

Soit 

/(.r) = 

ane équation du degré m dont les coeiBcîents sont indé- 
terminés^ et désignons par 



^1» *2» • • •! ^> 



m 



ses m racines, que nous supposons exprimables algébri- 
quement en fonction des coefficients. 

Si réquationy*(j:) = o est satisfaite par la valeur x^ 
de Xj quels que soient ses coefficients, on doit reproduire 
identiquement X| en substituant dans son expression la 
fonction rationnelle correspondant à chaque radical, 
puisque les racines de Téquation sont alors entièrement 
arbitraires. De môme, toute relation entre les racines 
devra être identique, et ne cessera pas d'exister, si Ton y 
remplace ces racines les unes par les autres, d'une ma- 
nière quelconque. 

Désignons par y le premier radical qui entre dans la 
\aleur de X|, en suivant l'ordre du calcul, et soit 

p dépendra immédiatement des coefficients dey(j:) = o, 
et s'exprimera par une fonction symétrique des racines, 
F(j:i, X2, X3, ...); ^ sera une fonction rationnelle 
f (xi, X2, Xj, . . .) des mômes racines. 

Comme la fonction cp n'est pas symétrique, sans quoi 
la racine /z"™* de p s'extrairait exactement, elle doit 
changer lorsqu'on transpose deux racines, Xi, x^t par 
exemple ; mais la relation 

*sera toujours satisfaite. D'ailleurs, la fonction F étant 

invariable par cette transposition, les valeurs de cp sont 

S. — jilg» tup*f 11. 33 



Si4 couas d'algèbre supéniBUBS. 

des racines de réqualionj^« = F, et l'on a 

a étant une racine /i**"* de l'unité. 

Si l'on transpose les racines X| et Xs, il vient 

y(xi, X,, Xj, ...) = ay(x„ arj, x,, ••.;^ 

d'oùy en multipliant par ordre, 



a«r=i. 



Ce résultat prouve que le nombre Uf supposé preinieri 
est nécessairement égal à a; donc le premier radical qui 
se présente dans la ^valeur de l'inconnue doit être du 
deuxième degré. C'est ce qui arrive, en effet, pour les 
équations qu'on sait résoudre. 

La fonction cp n'ayant que deux valeurs, elle change 
par une transposition quelconque, et elle ne sera pas 
changée (n^493) par une substitution circulaire de trois 
ou de cinq lettres, car chacune de ces substitutions équi- 
vaut à un nombre pair de transpositions. 

Continuons la série des opérations indiquées pour 
former la valeur X| de x. 

On combinera le premier radical avec les coefficients 
def[x) = o, ou la fonction cp avec des fonctions symé- 
triques des racines, à l'aide des premières opérations de 
TAlgèbre, et l'on obtiendra ainsi une fonction des racines 
susceptible de deux valeurs, et, par conséquent, inva- 
riable par les substitutions circulaires de trois lettres. 
Les radicaux subséquents pourront donner encore des 
fonctions du même genre, s'ils sont du deuxième degré. 
Supposons qu'on soit arrivé à un radical pour lequel la 
fonction rationnelle équivalente ne soit pas invariable 
par ces substitutions; dcsignons-le toujours par 



SECTION V. CHAPITRE II. 5l5 

Dans réquation 
nous ferons encore 

cette fonction ne sera pas symétrique, mais seulement 
invariable par les substitutions circulaires de trois let- 
tres. Si Ton remplace 

par 

dans f , la relation 

9'»= F 

subsistera toujours ; et, puisque F ne change pas par cette 
substitution, il viendra 

a désignant une racine n**"* de l'unité. 

En faisant dans cette équation la substitution circu- 
laire 

et en répétant cette substitution, on aura 

?(^3» -^11 ^t- -^4» •••)="?(-^2» •'^»» •''l' 'V> -..)« 
yl-^H •*"«» -^S» -^4' • • • ; ^^ ** ? \*'"3i -^l» -^li •'*4j •••)» 

puis, en multipliant les trois équations précédentes, ou 
conclura 

a' = I. 

Ainsi, n sera égal à 3. 

Si le nombre des quantités jti , x^^ x^^x^^ ... est su- 
périeur à quatre, ou si l'équation f(^x) = o est d'un 
degré plus élevé que le quatrième, on pourra effectuer 

33. 



5l6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

dans (f une substitution circulaire de cinq lettres, pir 
exemple 

(•^1» ^1» -^SJ ^4> ^s)> 

la fonction F ne changera pas par cette substitution, et 
Ton aura 

^l^î» Xj, X4, ^5, Xj, .,,j=ay(j:|, JTj, Xj, ^^4, o'j, •..), 

puis, en répétant de part et d'autre la même substitution, 

y[j:3, x^, ^^5, JTi, .ro, ...)==: a ^[Xj, Xj, ^4, jTj, X|, ..•), 

Par la multiplication, on obtient 

ce qui entraîne 

puisque a est une racine cubique de l'unité. Donc, si 
le degré de l'équation proposée est supérieur à 4i I^ 
fonction cp est invariable par les substitutions circulaires 
de trois lettres, ce qui est contraire à notre hypothèse. 
Ainsi, tous les radicaux renfermés dans l'expression 
de la racine d'une équation générale de degré supérieur 
au quatrième dei^r aient être égaux à des Jonctions ra- 
tionnelles des racines im^ariables par les substitutions 
circulaires de trois racines. En substituant ces fonctions 
dans l'expression de x^, on arrive alors à une égalité de 
la forme 

•^1 ^^^ Y;-''!* •''î» «^s» "^ti '^s* • • • )» 

qui doit être identique ; or cela est impossible, puisque le 
second membre reste invariable quand on remplace Xo 
X2, Xz par X2, X3, x^, tandis que le premier membre 
change évidemment. 

Donc il est impossible de résoudre par radicaux Té* 



SECTION V- CHAPITRE II* 5l7 

qnatîon générale du cinquième degré ou d^un degré su- 
périeur. 

La démonstration précédente fait voir en même temps 
que y pour les équations du troisième et du quatrième 
degré, le premier radical, dans Tordre des opérations, 
doit être un radical carré, et le deuxième un radical 
cubique. Ces circonstances se présentent, en eHet, dans 
les formules que nous avons données dans le Chapitre 
précédent. 



5l6 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

dans (f une substitution circulaire de cinq lettres, par 

exemple 

(xj, Xj, x^j x^j ^j); 

la fonction F ne changera pas par cette substitution, et 
Ton aura 

?(^î» •*'S' •^4» -^51 -^H •••)=*?Fl» •*«» ^»» *4« ^»* •••)t 

puis, en répétant de part et d'autre la même substitution, 

?(-^zn J^ii J^si J^i, «^2» ...)=a^(j:j, Xj, X4, Xj, X|, ...J, 

Par la multiplication, on obtient 

ce qui entraîne 

puisque a est une racine cubique de Tunité. Donc, si 
le degré de Téquation proposée est supérieur à 4> I^ 
fonction cp est invariable par les substitutions circulaires 
de trois lettres, ce qui est contraire à notre hypothèse. 
Ainsi, tous les radicaux renfermés dans l'expression 
de la racine d'une équation générale de degré supérieur 
au quatrième dévoraient être égaux à des fonctions ra- 
tionnelles des racines inv^ariables par les substitutions 
circulaires de trois racines. En substituant ces fonctions 
dans Texpression de x^ , on arrive alors à une égalité de 
la forme 

Xi z=z y (.ri, j:*2, X3, X4, 0:5, . . .), 

qui doit être identique ; or cela est impossible, puisque le 
second membre reste invariable quand on remplace Xi, 
Xa, x^ par Xa, Xa, Xi, tandis que le premier membre 
change évidemment. 

Donc il est impossible de résoudre par radicaux Té- 



SECTION V. CHAPITRE II. SlJ 

qnatîon générale du cinquième degré ou d'un degré su- 
périeur. 

La démonstration précédente fait voir en même temps 
que, pour les équations du troisième et du quatrième 
degré, le premier radical, dans Tordre des opérations, 
doit être un radical carré, et le deuxième un radical 
cubique. Ces circonstances se présentent, en effet, dans 
les formules que nous avons données dans le Chapitre 
précédent. 



fê^t 



5l8 COURS d'aLgIiBIIE SCPÉRIEDRE. 



CHAPITRE III. 

DES ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 



Des équations irréductibles dont deux racines sont tel- 
lement liées entre elles y que l'une puisse s exprimer 
rationnellement par l'autre. 

529. Après avoir démontré qu'il est impossible de 
résoudre algébriquement les équations générales de de- 
gré supérieur au quatrième, il paraîtrait naturel de cher- 
cher à déterminer quelles sont les équations susceptibles 
d'une telle résolution. Mais, avant d'aborder ce difficile 
problème, il convient de présenter une étude complète 
d'une classe remarquable d'équations que M. Krônecker 
a nommées abéliennes. 

Les équations auxquelles conduit le problème de la 
division du cercle en un nombre premier p de parties 
égales sont toujours résolubles par radicaux, et Gauss a 
montré, dans ses Recherches arithmétiques, que chacun 
des radicaux dont l'expression des racines est composta 
a pour indice l'un des facteurs premiers Ac p — i. Ces 
équations ont celte propriété, que chaque racine peut 
s'exprimer rationncllemout par l'une quelconque Jcs 
autres, et Abel, en partant de cette remarque, a fait \oir 
que, si deux racines d'une équation irréductible sont 
tellement liées entre elles, que l'une puisse s'exprimer 
rationnellementpar l'autre, on peut toujours ramener la 
résolution de l'équation î\ celle d'éïjuations de degrés 
moindres. Ily a même des cas où l'équation est résoluble 



SECTION V. CHAPITRE II I. Sig 

algébriquement; cela arrive en particulier si son degré 
est un nombre premier. 

Nous allons exposer ici ces recherches d'Abel, et nous 
ferons ensuite l'application de sa méthode aux équations 
dont dépend la division du cercle en un nombre premier 
de parties égales. 

530. Soit 

(1) /W = o 

une équation irréductible de degré fi, et supposons que 
deux racines a/ et X| soient liées entre elles par Téquation 

où 6x désigne une fonction rationnelle de x et des quan- 
tités connues, a/ étant racine de Téquation (i), on aura 

d'où il suit que Xi est racine de Téquation 

(2) A0.v]:^O, 

et, par conséquent, cette équation (2) admet toutes les 
racines de Téquation (i) (n** iOO), car celle-ci est irré- 
ductible, ei/[Ox) est une fonction rationnelle. En d'au- 
tres termes, si x désigne une racine quelconque de Té- 
quation (i), 9x sera aussi racine de celte équation. 
Mais 6xt est racine de l'équation (i); donc 09xi le sera 
aussi, ainsi que 059x^, et généralement, en répétant sur 
X| un nombre quelconque de fois l'opération désignée 
par 9y on obtiendra toujours une racine de l'équation (i). 
Soit, pour abréger, 

tous les termes de la série 

(3) ^1, 0.rj, Ù^x^, O^x^, ... 



5aO COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE. 

seront des racînes de Téquallon (i). Maïs la série (3) ren- 
ferme une infinité de termes, tandis que l'équation (i) 
n'a que fx racines; il faut donc que quelques-unes des 
quantités (3) se trouvent répétées un nombre infini de fois. 
Supposons, par exemple, que l'on ait 

OU 

l'équation 

Q^x — X = o 

a la racine O'^x^ commune avec l'équation (i); elle admet- 
tra donc toutes les racines de l'équation (i), et l'on aura 

ou 

On tire de là 

d'où il suit que les termes de la série (3), à partir da 
7i**"*, se reproduiront dans le môme ordre, et que celle 
série ne contiendra que les n racines distinctes 

(4) •'•i. o-^P ^^-^1 o''-»^,. 

Ces n racînes seront elTectîvement dislinctes, si n est le 
nombre de fois qu'il faut répéter sur x^ l'opération de- 
signée par pour reproduire x^ . 

Si l'on a fx=:/2, la série (4) contient toutes les racines 
de l'équation (i). 

Supposons ;/> 71, et soit Xi une racine de l'équation (i) 
qui ne fasse pas partie de la série (4), on fera voir, 
comme précédemment, que toutes les quantités 

(5) X„ e.rj, O^rj, ..., (/«-^j-5, ... 

sont également racines de Tcquation (i). Or je dis que, 



SECTION V. CHAPITRE III. Sai 

dans la série (5), les /i premiers termes 
(6) .r,, 0xj, e^T^, ..., 0«-*x, 

sont les seuls qui puissent être différents. En effet, l'é- 
quation 

admet la racine Xi de l'équation (i); donc elle admettra 
toutes les autres, et Ton aura 

d'où 

Par conséquent, les termes de la série (5) se reproduiront 
dans le même ordre, à partir du /!«*»% et, parmi ces 
termes, les seuls qui puissent être distincts sont renfer- 
més dans la série (6). 

Je dis maintenant que les termes de la série (6) sont 
effectivement diflérents entre eux, et. distincts des quan- 
tités (4). 

L'égalité 

où k et I sont inférieurs à zi, est effectivement impos- 
sible; car, d'après le théorème établi au n^ 100, elle 
entraînerait 

ce qui n'a pas lieu, puisque les quantités (4) sont diffé- 
rentes. 
L'égalité 

est de même impossible. Si, en effet, elle avait lieu, il 
en résulterait 

oa 



5aa COTJ118 d^algèbre supéeibdre. 

et, par conséquent, X2 ferait partie de la série (4)y ce qui 
est contre Thypo thèse. 

Le nombre des racines de Téquation (i) renfermées 
dans les séries (4) et (6) est 2n; on a donc nécessaire- 
ment /l = 2/Z ou fJl >> 271. 

Supposons ii^2n, et désignons par x^ une racine de 
Péquation (i) qui ne fasse pas partie des groupes (4) 
et (6) ; en raisonnant comme précédemment, on formcxa 
un troisième groupe de n racines , 

toutes distinctes et différentes des quantités (4) etf6); 
d'où il suit nécessairement que Ton a|i = 3nou|x^3n. 
En continuant ainsi, on verra que les fi racines de 
Téquation ( i ) peuvent être partagées en un certain 
nombre m de groupes composes chacun de n termes, en 
sorte que 

Les racines de Téquation (i) seront alors 

.rj, 0.r^, 0-.r^ (/"-^jt^, 

.rj, O.r^, 0-J'^ 0" ^r,, 

(7) { -^3. ^•''31 ^■•''3. • - ^ "'-'u^ 



r Or ()'* r rjn—\ ^ 

531. Consîrlcrons réquation de degré n qui a pour 
racines les raciiics de Tun de ces groupes, du premier 
par exemple, et soit 

(x — .r, ) i.r— O.rj) (.r -— C'X^]. . . [.r — O^^^jr^] r-.O 

ou 

(8) x"-i-Ai'^x«-> s- a;' •.*:«-»-:-. . .-:- A[;\.r-hA^;\-to 



SECTION V. — CHAPITRE ÏII. 5a3 

cette équation. Les coefficients 

a(1) .(1) .(1) 

^1 » ^î ♦ • • •' ^m 

sont des fonctions rationnelles et sjmélriqucs des quan- 
tités 

et ils ne dépendent, comme on va voir, que d'une seule 
équation du degré m. 

Soit, en effet, j^i une fonction rationnelle et symétrique 
quelconque des quantités 

0X], O^Xiy . . . étant des fonctions rationnelles de X|,jki 
le sera aussi, et nous poserons 

F désignant une fonction rationnelle. En outre, à cause 
de 6" Xi =Xif les quantités (g) ne feront que se changer 
les unes dans les autres si Ton remplace Xt par dxi, 
0*X|, . . . , ô'^"* Xi ; et comme j>^i est une fonction symé- 
trique de ces quantités, sa valeur sera invariable par ces 
changements ; on aura donc 

Désignons par 

j 2y J ?.i • • •» Jm 

les valeurs que prend j^i quand on y remplace Xj succes- 
sivement par 

on aura 

y, =:F(.r,)=rF(0.r,)r^F(0^r,)=...=rF(Ô''-»X,), 
î 

:r„=F(.i „,) = F(Ox,„) = Fiov,„} = . . . .■=F(0''-'x„). 



S^4 COURS d'alGÈBHE SUPÉRIBimB. 

Soit maintenant 
ou 

Téquation qui a pour racines^i , j^j , . . . ,^„ ; je dis que les 
coefficients pty p^j ... de cette équation peuvent être 
exprimés rationnellement par les coedGcients de Téqua- 
tion proposée (i). On a, en efiet, quel que soit l'entier 31, 

y\-=\\ LF(x,)? 4- [F(ôx,)]^ -f-. . .-^ [Fiô'-tx.ipj, 

et, en ajoutant, 

Le signe \ du second membre s'étend à toutes les ra- 
cines de réqualîon proposée ; ce second membre est donc 
une fonction symétrique et rationnelle de toutes les ra- 
cines; d'où il résulte que les sommes de puissances sem- 
blables des racines de Téquation (lo) peuvent être expri- 
mées rationnellement par les coefficients de Téquation 
proposée. On pourra donc aussi exprimer de la merae 
manière les coefficients/;!, y:?2* •••> ainsi que nous l'avions 
annoncé. 

La fonction rationnelle et symétrique y^ des quanti- 
tés (9), fonction qui peut être choisie à volonté, dépend 
donc directement d'une équation de degré m. D'ailleurs 



SECTION y. GHAPITEE III. SsS 

les fonctions 

sont semblables ; car elles peuvent toutes être considérées 
comme des fonctions rationnelles de la seule racine X|« 
On pourra donc exprimer 

.(1) .(1) ^(1) 

en fonction rationnelle de^i . 

Nous sommes ainsi conduits à l'une des applications les 
plus importantes de la théorie des fonctions semblables, 
que nous avons développée dans le Chapitre V de la Sec- 
tion IV ; mais, comme cette théorie est sujette à quelques 
cas d'exception, il ne sera pas inutile d'entrer, avec Abel, 
dans le détail du calcul des coeHIcients A|*^ , A^^^ , . . . . 

Désignons par ^(j^i) l'un quelconque de ces coeffi- 
cients; (p est une fonction rationnelle qui ne doit pas 
changer qur.nd on remplace Xt parôa:i,6*j:i, ...f6'^^*Xiy 
puisque ^(^i) est, comme j^i, une fonction symétrique 
des quantités (9) ; et il en sera de même de la fonction 

On aura donc 

en remplaçant Xi successivement par X29 x^j • • . , Xmy 
on aura des expressions semblables pouTj\^{^X2)7 • • •, 
Jm^i^m)', et, si Ton pose 

(11) ^^=x]'H-^i)-^:r]^(^t)'^..^-^xlJ{:r^), 

on aura 



5a6 COI3IIS d'algèbre supérieure 

le signe \ s^élendant à toutes les racines de réqi]atioD(i). 

On voit par là que t-^ est une fonction symétrique et 
rationnelle des racines de Téquation (i), qui pourra, par 
conséquent, s'exprimer rationnellement en fonction des 
quantités connues. 

Cela posé, en prenant pour X les valeurs o, 1,2, 3, .... 
(m — i), Téquation (11) donnera les suivantes : 

/i >Kar, ) -h j,.^(x-,) -h . . . H-r/ii ^(*m ) == ^1, 

(12) { y\^{^i) -^ Xl^i^f) -^ " • -^j'I^i^m) = ft, 

• •• •••» 

dont les seconds membres peuvent être considérés 
comme connus. 

Pour avoir la valeur de ^(Xi), ajoutons les équa- 
tions (i 2), après les avoir respectivement multipliées par 
les indéterminées 

et faisons, pour abréger, 
on aura 

et, si Ton détermine les facteurs Ro« I^o ••• parles 
conditions 

on aura 

(«4) H-.) = ^^^ 



SECTION V.t— CHAPITRE III. 627 

Cherchons maintenant les valeurs de Rq, R^ • • • • Dia- 
prés notre hypothèse, l'équation 

?(r) = o 

doit avoir pour racines j^y yzj • • •> JKm*, maïs ces ra- 
cines appartiennent aussi à l'équation (lo), qui admet 
en outre la racine y^ : on aura donc 



?w= 



jr"''^P\X' 



.m-\ 



(i5) 






.m— 1 



X — Xi 
-^PïXï 



^m—% 



Pm-l 
Pm-tX\ 



« • • • 






Comparant les valeurs <f{y') données par les équa- 
tions (i3) et (i5), on trouve 

^m-s =/^l '♦■J^l' 

(.6) 

Ri = Pm-t -+- Pm-lXx -4- . . . -4- J'^"^ 
R, =/?;n-l -^/'m-iri -^ . . . -+-rr"*« 



On tire aussi de l'équation (i5) 

?(ri)=='«^T"'-^ ('w-OpitT'"*-*- 

et en faisant, pour abréger, 



-+- 2Pm-l7l -4- /?«-!, 



To = '0 Pm-\ -+- ^1 Pm-t -+- 
Ti = ^o/'/n-î -+- '1 Pm-Z ■+- 



-^ '/n— î /'l -4" fw— 1 



H-^, 



m— Si 
•1 






5 28 COUE8 D^ÀLGÈBREtSUPéaiEUmB. 

on aura cette valeur de ^ {xi ), 

(17) +{^i) = 



La formule précédente n^est en défaut que si le déno- 
minateur du second membre est nul. Or, je dis qu*on 
peut toujours faire en sorte que cela ne soit pas. En 
eflet, ce dénominateur est égal au produit 

(ri — r«) (ri — r») . • -(ri — r»)» 

et, pour qu'il soit nul, il faut que Tun des facteurs le 
soity que Ton ait, par exemple, 

ri =r*. 

Cela posé, prenons pourri la fonction 

ri = (« - -^i) (« - 0.r,) (« - 0«Xi). . .(« — 0"-«a:0. 

a étant indéterminé; l'équation yt =ykf ou 

(a — xj ) (a — JTi ) . . . = (a — j:^) (a — Ox/, ) . . . , 

ne peut avoir lieu, quel que soit or, à moins d'étrt iden- 
tique ; ce qui est impossible, puisque les quantités Xk, 
Oxk, • • • sont différentes de X|, 9xi, .... D'où il suit 
qu'en choisissant j 1, comme il vient d'être dit, Téqua- 
lion (17) donnera pour ^[Xt) une valeur finie et déter- 
minée. 

Les coefficients A'/*, A!i\ ... de l'équation (8) peuvent 
donc s'exprimer rationnellement par une même fonction 
ji dont la valeur dépend d'une équation du degré m; et 
si l'on remplacerai successivement parj'j,^3, . . .,j'j«, 
on aura m équations du degré /i, dont les racines seront 
respectivement 

•^1» ^*iï • • •» ^"^ •''it 



« 






mi 



SECTION V. CHAPITRE III. 5^9 

d'où il suîl que l'équation proposée peut être décomposée 
en m équations chacune du degré /i, dont les coefïicienfs 
sont respectivement des fonctions rationnelles d'une 
même racine d'une équation du degré m. 

Cette dernière équation n'est pas en général résoluble 
algébriquement, quand son degré surpasse le quatrième ; 
mais l'équation (8) et les autres semblables le sont tou- 
jours, comme nous allons le démontrer, en supposant 
connus les coefficients A^*^, A?*, — Dans cette hypothèse, 
notre analyse ramène la résolution de l'équation proposée 
de degré ^l = mn à celle de m équations de degré /i, qui 
ont cette propriété, que toutes les racines de chacune 
d'elles peuvent être représentées par 

Résolution algébrique des équations dont toutes les 
racines peuvent être représentées par Xy Ox, Q^x, . . . , 
9^^x, 6x étant une /onction rationnelle de x et des 
quantités connues, telle que &^x = x, 

532. Soit 

(i) /W = o 

mie équation de degré fx, dont les racines sont 

ar, Ox, 0*x, . . ., $^^x, 

Ox désignant une fonction rationnelle de x et des quan- 
tités connues, telle que l'on ait 

(2) O^a: = X, 
et, par conséquent, 

(3) OJ'^Xrrrô*^?. 

S. — jéig^» $ttp»f IL ^ 



53o COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURS. 

Désignons par a une racine quelconque de l'équation 
et posons, avec Lagrange (n® 520), 

je dis que la fonction ^(x) est exprimable rationnelle* 
ment par les quantités connues dey(x) et de 6(x). 

En effet, remplaçons x par B^x dans Féquation (4)9 
on aura 

y^Q"'x] = ($'".r 4- aO"'-*-^x H- a^O"'-^^x -f-...-4- a»*-* ô'"-H»-t^j,i^ 

et, en ayant égard aux équations (a) et (3), 

= («i*-'«x -h a»^'"-*-»^^ -f-...-h ai^*ô'"-*jr -h O'^x -4-. ..-h «''---M 
= (a'^'")>*(x -+- aOx -f- a* ô*x -}-... -+- a^*-*ô^^*x)^ 

ou enfin, à cause de «>"= i. 

Donnant à m les valeurs successives o, i , a, ..., jui — if 
on a 

et, par conséquent, 

d'où il suit que ^{x) est une fonction rationnelle et 
symétrique de toutes les racines de Téquation (i); elle 
pourra donc être exprimée rationnellement par les coef- 
ficients de cette équation. 

Posons alors 

+ ( x) = P, 



SECTION V. GHAPITEE III. 53 1 

on aura 

if étant une quantité connue. Et si l'on désigne par 

les fi racines de l'équation 

a-«*=l, 

par 

f'o» f^i. «'j» •.., «'i^-i 

les valeurs correspondantes de i^, on aura 

x + 0x 4- 0* j: -I- 4- ô»*^* jr = Ç^î^, 

.r -4- «1 Ojt -4- aj O'.r -|- -4- af"* Oi*-* x = Ç^p^, 



1 



La quantité ^v^ est immédiatement donnée par l'équa- 
tion (i); car, si l'on désigne par Aie coefHcient de af^^ 
dans cette équation, on a 

En ajoutant les équations (5), et ayant égard aux pro- 
priétés connues des racines a, il vient 



(6) 



__ — A 4- 1>^ 4- t-^ -^- . . . -4- X^x . 



X :=. 



f* 



> 



et l^on aura généralement la valeur d'une racine quel- 



532 COURS d'àlgèbrb supéribueb. 

conque ô'^Xy en ajoutant les équations (5) respective- 
ment multipliées par 

on trouve ainsi 



cette formule donnera les valeurs de 6 r, 6*x, ..., 9*^*x, 
en attribuant à m les valeurs i, 2, 3, . . . , (]ix — i). 

533. Dans l'équation (6) et dans toutes celles qu'on 
déduit de la formule (7), on doit considérer chaque 

radical yi^i , \V2 , • • • , V^p^-i comme ayant toujours la 
même valeur. Si on laisse à ces radicaux toute leur gé- 
néralité, l'équation (7) ne diffère aucunement de l'équa- 
tion (6), et cette dernière renferme l'expression de toutes 
les racines. Il y a en outre ici une difGculté, car l'équa- 
tion (6) donne pour x une expression qui a f**^* valeurs, 
tandis que l'équation (i) n'a que /x racines. Mais nous 
avons déjà eu l'occasion d'indiquer comment on peut 
faire disparaître cette ambiguïté, et il est facile d'établir 
que, quand on a fixé la valeur de l'un des radicaux, les 
autres sont par cela même déterminés. 

En effet, désignons par a une racine primitive de 
l'équation 

et posons 
on aura 

^Çy =zx -h aOjT -h a* 0*jc -4- . . -f- ce.^^ O^^x, 

Ç i;^ = X -^ a" Ox -4- a*" 0*x 4- . . . -f- «(»^*)" Ôi*-»jc 



SECTION V. CHAPITRE III. 



533 



Si l'on change x en B^x^ y^i s^ changera en a'*^"*v ^i » 
ainsi qu'on le reconnaît par le calcul effectué plus haut. 

Pareillement \Vn sera, par le même changement de x en 
6'"x, multiplié par a'"'*"'"^; d*où il suit que le produit 



i^i^(î^r" 



sera multiplié par a'^»^'">= i, c'est-à-dire qu'il n'éprou- 
vera aucun changement. Si donc on pose 

Ç^(î/7.)^-=f{x), 
on aura 

et, par conséquent, 

ç> (x) = - [y [x) -+- 5p (Qx) 4- ...-+. y (ôi^*a:)j. 

f (x) est donc une fonction rationnelle et symétrique 
^es racines de l'équation (i), et l'on pourra l'exprimer 
rationnellement par les quantités connues; en dési- 
gnant par an sa valeur, on aura 

ou 

On pourra exprimer ainsi chacun des radicaux y 1^29 

^U3j , . . en fonction rationnelle de y P| y et l'équation 
(6) prendra la forme . 

)x=i[-A+ç/^;-*-^(t';:;)'+^(v;T)'+...+^(ç^r]. 



534 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURS. 

Cette expression de a: a précisément fx valeurs, et elle 
représente bien les [â racines de Téquation proposée. 
De ce qui précède on peut conclure cette proposition : 

Théorème I. — Si les [jl racines d'une cguation quelr 
conque peuv^ent être représentées par 

Ox étant une fonction rationnelle telle que 6^= Xy /'e- 
quation est toujours soluble par radicaux. 

Et en rapprochant cet énoncé du théorème démontré 
au n^ 531, on a cet autre théorème : 

Théorème II. — Si deux racines d'une équation irré- 
ductible de degré premier sont telles, que l'une puisse 
s'exprimer rationnellement en fonction de Vautre, l'é- 
quation est soluble par radicaux. 

Cas oà les quantités connues sont réelles, 

534. Si tous les coefïicients de / et de d sont réels, 
on a un tlicorème remarquable, que Gauss a établi le 
premier à Tégard des équations dont dépend la division 
du cercle en parties égales. 

Nous avons posé précédemment 

et nous avons établi que W| est une fonction symétrique 
des racines de l'équation y(j^) = o; par conséquent V| 
est exprimable rationnellement par les coefïicients de/ 
et de B; et si ces quantités sont toutes réelles, v'i ne 
contiendra d'autres imaginaires que celle de la racine a. 
En outre, v.^_^ se déduit de t'i en remplaçant a par Tex- 
pression conjuguée a**^*; d'où il résulte que V| et v^_i 



SBCTIOH V. CHAPITHE III. 535 

sont des quantités connues imaginaires et conjuguées. 
On pourra donc poser 

l fj =/3(cosû) -4- v^ — I sinw\ 
( «',,^1 = pièces û) — \i — I 8ia«;. 

Nous avons aussi, en général, 

/a ■■ u — n 11/ 



et, pour n = fx — i , 

{2) ^^il%-i--a^i* 

a^^i est exprimable rationnellement par les coeffîcients 
dey et de 6: elle ne peut donc renfermer d*autres ima- 
ginaires que celle qui se trouve dans a. Mais il est évi- 
dent que a^^i ne change pas si Ton remplace a par a**~* 
qui est sa conjuguée; donc a^^^ est réelle. 
Des équations (i) et (2) on déduit 

et, en désignant par a la valeur numérique de n^,^^, 

La première des équations (i) donne alors cette valeur 
de \v\ , 

V l'j rr: y a ( COS h i^ — I SUl i 

Vf* f* ^ 

où k désigne un nombre entier, et l'expression des ra- 
cines X, donnée par l'équation (8) du n® S33, prend 



536 CODES D'ALGkBEE SDPéftlBUBB. 

celte forme très-remarquable : 

= - J •— A 4- Y« ( cos h i/— I sm i 

-^(/-^5'V — O fcos ^ -t-^/— ism • 

-+- (/i -+- g', V--Ï) Vu [ces -^^ ^ -h v^- 1 sm J 

-*-(/i-^iÇ'îV^-0 Icos^?^ l^^^^^l-. J 



OÙ a, fy gj f^y g^y ... soiit (Ics foncUoDS rationnelles 

de cos — et de sm — • 

La formule précédente fera connaître les fx racines de 
f[x) = o, si Ton donne au nombre entier Ar les fx va- 
leurs o, I, 2, 3, . . ., fx — I. De là résulte le théorème 
suivant : 

Tbéoeème. — Pour résoudre l'équation proposée 

f{x) = o, il suffit : 

1^ De diviser la circonférence entière du cercle en fi 
parties égales; 2^ de div^iser ensuite un angle a> quon 
peut construire en fx parties égales; 3® d^ extraire la 
racine carrée d'une seule quantité a. 

Remarque. — Les cocflîcients de y et de 6 étant tous 
réels, si une racine dey(x) = o est réelle, toutes les 
autres le sont aussi, puisque, si x désigne cette racine 
réelle, les autres racines sont 

par conséquent, les racines de Téquation proposée sont 
toutes réelles, ou toutes imaginaires. 



r 



SECTION V. CHAPITBE III. 537 

Première méthode particulière relati\fe aux équations 
abéliennes dont le degré est un nombre composé. 

535. La méthode qui vient d'être exposée pour la ré- 
solution algébrique de Téquation abélienne de degré /ul, 

(i) /W = o. 

est applicable à tous les cas, que fx soit premier ou non; 
mais, quand /a est un nombre composé, on peut simpli- 
fier la solution en opérant comme nous allons l'indiquer. 
Soît fA = m/i. Les racines de l'équation (i) étant tou- 
jours 

nous pourrons les partager en m groupes de la manière 
suivante : 

•> 

$m-ljp ^îm-lj.^ ©""-l.r, ..., ©'»'«-» j:; 

OQy en posant 
et 

Ô»*X=Z O^X, 

de la manière suivante : 

(a) ' 

En appliquant donc à l'équation (i) la méthode exposée 
an n^ 531 , on pourra la décomposer en m équations. 



538 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURS. 

chacune du degré Uj qui auront respectivement pour 
racines les racines des divers groupes (q), et dont les 
coefïicients seront des fonctions rationnelles d'une 
même racine d'une équation 

(3) •Mr)=o 

de degré m. Soient 

X\-* X21 • • •! Xm 

les m racines de l'équation (3), et 

(4) î'(-^i7i) = o> ?(^, rt) = o» ••-. ?(^^rm)=o 

les m équations qui ont respectivement pour racines lei 
quantités du premier groupe (2), du deuxième, etc., du 
dernier. Je dis que, pour résoudre Téquation (i), il suffit 
de connaître une racine y de l'équation (3), et ensuite 
une racine x de l'équation 

(5) f{x,jr)z=0 

correspondante; car on aura, de cette manière, une pre- 
mière racine x de l'équation (i), et les autres seront 

L'équation proposée (i) étant résoluble algébrique- 
ment, l'équation (3) l'est aussi; car j^ désigne une fonc- 
tion rationnelle de x. Mais je dis en outre que l'équa- 
tion (3) jouit de la même propriété que l'équation (i), 
et que, par conséquent, on pourra lui appliquer la 
même méthode de résolution. 

En effet, les racines de l'équation (i), renfermées dans 
le premier des groupes (a), sont 

ct^ désigne une fonction rationnelle et symétrique ck 
ces racines, c'est-à-dire une fonction rationnelle de x* 



SECTION V. CHAPITRE III. SSp 

Posons 

y = ff\x^ B'^x, O^'^x, ..., 0(«-')'«j:] = F(jr), 
les m racines J^o J^a, . . • , y m àe l'équation (3 ) seront 

F{x), F(0.r], F(Ô*ar), ..., F(0'"-»^), 
et Ton aura 

Par conséquent, F[dx) et F(x) sont des fonctions 
rationnelles et symétriques des quantités (6), et Ton 
pourra exprimer rationnellement Tune par l'autre en 
appliquant la méthode des fonctions semblables rap- 
pelée au n°531. 
Soit donc 

F[0.r)=lF{.r)=lx; 

"kjr étant une fonction rationnelle de j^, on aura 

F{0^x]—\F{0 .r) = >Vi 
F{OKr] = \F[0^x]z=\^X^ 



et l'on voit que les m racines de l'équation (3) pourront 
être représentées par 

X désignant une fonction rationnelle telle que 

Quand l'équation (3) sera résolue,^ sera connue, et 
Ton pourra appliquer à l'équation (5) la méthode pré- 
cédemment exposée, puisque ses n racines peuvent être 
représentées par 

X, O^x, Olx, ..., 01-^x. 

On peut donc énoncer cette proposition : 

Si fi = mn, la résolution de l'équation (i) est ra- 



S4o COURS d'algèbre SUPéRlEURB. 

menée à celle de deux équations des degrés m et n 
respectwenient, et qui ont la mémo propriété que la 
proposée. 

Si n est lui-même un nombre composé nii iZ| , on rt- 
mènera, de la même manière, la résolution de l'équ»- 
tion ( 5 ) à celle d'une équation en z 

(7) ^1^.0=0 

de degré mi , et à celle d'une équation en x de degré n% 

(8) ^^[x,x,z) = o. 

Dans l'équation {'j), y fait partie des quantités con- 
nues, et dans l'équation (8) il en est de même de^ et 
de z, et, généralement, on a ce théorème : 

Théorème. — Si [>. = m^ m^ * • • m^, la résolution de 

l'équation (i) peut être ramenée à celle de n équations 

des degrés 

m|, m,, . . ., m,,, 

respectivement, et il suffit même de connattre une ra- 
cine de chacune de ces équations, lesquelles ont toutes 
la même propriété que l'équation proposée. 

Corollaire I. — Si, en décomposant fi en /acteurs 
premiers, on a 

IL = ef « cj*» . . . c''«, 

la résolution de l'équation proposée de degré fi se ra- 
mènera à celle de pt équations du degré t%, de p^ équa- 
tions du degré ej, . . ,, de p^ équations du degré «.. 

Corollaire IL — Toute équation de degré 2P, dont 
les racines peuvent être représentées par 

peut être résolue à l'aide de p extractions de racines 

carrées. 



SECTION ¥. CHAPITRE III. 54 1 

836. Exemple. — Supposons fx = 3o, les racines de 
Téquation 

(i) /W=o 

seront 

Comme 3o = 2 X i5, on prendra pour jr une fonction 
rationnelle et symétrique des quinze racines 

j^ dépendra d'une équation du deuxième degré 
(a) j*-+-Aj-4-B = o, 

dont les coefficients seront exprimables rationnellement 
par ceux de la proposée; on pourrait former ensuite 
l'équation du quinzième degré ayant pour racines x^ 
fl*x, . . ., d^*x, mais il est inutile de faire ce calcul : 
représentons, comme précédemment, par 

cette équation, où y est une quantité connue. Gomme 
i5 = 3x5, on prendra pour z une fonction rationnelle 
et symétrique des cinq racines 

X, 0«.r, Ô»«x, 6»»jr, e^*x; 

g dépendra d'une équation du troisième degré 

(3) z' -h Cz* -f- Dz -f- E = o, 

dont les coefficients seront des fonctions rationnelles 
de y et des autres quantités connues ; enfin on formera 
Téquation 

(4) ^»-4- F^* -h Gj:' -h Hx«-f- Ko: -4- L = O, 

qui a pour racines 

X, 0«x, Ô"j:, 6"x, ô**x. 



54^ COUBS d'àloebre supéribdmb. 

et dont les coedGcients seront des fonctions rationneUes 
de^ et de z. Ainsi, pour résoudre Téquation ( i)» il suffira 
de déterminer une racine de Téquation (a), puis une 
racine de Téquation (3), puis enfin une racine de Féqna- 

tion (4). 

Deuxième méthode. 

537. Revenons au cas général, et supposons 

pi = /Tti m^ . . . m^. 

Désignons par 7i|, /t^, ..., n^les quotients respectifs dep 
par mi y m^y • • • , m^^ on aura 

fl = nti /?( =: ni^ /?{ =Z /7I) /I3 = . • . = /Tt^/t^» 

Cela posé, on peut, d'après ce qui précède, ramenerla 
résolution de l'équation 

/(^)=o 

à celle de deux équations, des a> manières suivantes : 

yi(x,j^, )r=o ayant pour racines .r, ô'"«x, ô**"ix, ..., 
I 0^'»i~*^'"tjr, et dont les coefficients sont des fonctions 
^ rationnelles d'une racine j^i d'une équation ^1(^1! =« 
de degré m, ; 

(yj(x, j,)=:o ayant pour racines x, Q'^tJi, ô'^tx, ..., 
0{"t-^)^*x, et dont les coefficients sont des fooctioof 



(2) 



rationnelles d'une racine j^, d'une équation +1(^1' =0 
de degré m, ; 



ç>^(j-, ^^) — o ayant pour racines x, ô'"-x, ô*'"«j- 

0{n^-i)'n^j. gj ^ç^^i |gg coefficients sont des fooc- 
^ ' i tions rationnelles d'une racine x^ d'une ëquaboa 
\ >|/«(j«) = ode degré m^. 



SECTION V. CHAPITRE III. 543 

Supposons maintenant que /n^ m^, . . . , m«, soient premiers 
entre eux, les équations 

n*auront que la seule racine x commune ; donc on pourra 
exprimer x rationnellement par les coefïicients de ces 
équations, et, par conséquent, en fonction rationnelle 
d® yif y^i • • •> y^' Ces dernières quantités étant con- 
nues, on aura ainsi Tune des racines de Téquation (i), 
et Ton en conclura ensuite toutes les autres 

La résolution de Téquation ( i ) est donc ramenée à la 
recherche d'une racine de chacune des équations 

qui sont respectivement des degrés mi, m^, • . . , m«. En 
outre, ces équations ont la même propriété que la pro- 
posée, ainsi que nous Tavons étahli précédemment; on 
pourra donc leur appliquer la même méthode. Si l'on 
yeut que ces équations soient le moins élevées possible, 
et siy en décomposant fi en facteurs premiers, on a 



IL — «'*' i''» «''• 



il faudra prendre 



Qnant à la résolution de chacune des équations 

de degré e^, elle se ramène à celle de P équations de 
degré f , ainsi que nous l'avons démontré. 



544 COURS d'àlgèbrb supérieure. 

Des équations irréductibles dont deux racines x ei x' 

sont liées par la relation linéaire x'= —, 77 1 ak 

a y b, d^ V sont des constantes données. 

538. Soit 

(I) A') = o 

une équation irréductible, et supposons qu^entre deux 
racines x et j/ on ait la relation 

où a, bj alj V sont des constantes données. Les quan- 
tités comprises dans la série indéfinie 

X, 0x, 6«x, 6*x, ... 

doivent être racines de Téquation (i), et nous savons qne 
Tune des fonctions dx, d^x, ... est égale à x. Suppo- 
sons 

(3) ^f^x^x. 

Cette équation aura lieu identiquement, si Ton suppose 
que a, b^ al ^ V soient commcnsurablesy ou, du moins, 
que ce soient des fonctions rationnelles des quantités 
regardées comme connues, et dont dépendent rationnel- 
lement les coefficients de l'équation proposée. ParcoD- 
séquent, on aura ces formules obtenues au n^ 463 

(4) 

où X désigne un nombre entier premier avec /uu 



V" 


— 2 COS 




\ 


rt*- 


— la COS 


— 


-4-1 






_P 






a' 





SECTION V. CHAPITRE III. 545 

Dans le cas de fx= 2, la condition (3) exige seule- 
ment que Ton ait 

on peut d'ailleurs supposer dans ce cas 



et alors on a 


( l>'— a. 


(5) 


1 . — . 



a 



Le degré de l'équation (1) étant désigné par iz/x et les 
n^L racines étant représentées par 

X, Ox, O^x, ..., O^^x, 
x„ Ox„ OVr„ ..., 0:*-»Xj, 



««-Il ^•'•n-ii O*-^»-!. ..., 0«*-*a:„_i, 

si Ton pose 

/ dépendra d'une équation 

(7) Kr)=o 

de degré /i, et dont les coefGcients seront des fonctions 
rationnelles des quantités connues de Téquation ( i) et de 
la fonction Q. L'équation (7) peut n'être pas résoluble 
algébriquement, mais les -quantités 

X, O.r^ O^x, ..., 0:*-»jr 

dépendent d'une équation de degré (i dont les coefficients 

sont des fonctions rationnelles dey, et qui est, comme 

nous savons, résoluble. Dans le cas qui nous occupe, cette 

s. — ^^. sup'9 II* -^-'^ 



546 couns d'algèbre supérieure. 

dernière équation n'est autre que Téquation (6), et Ton 
voit, en conséquence, que l'équation proposée (i) doit 
résulter de l'élimination de^' entre les deux équations (6) 
et (7); la seconde équation peut être considérée comme 
ayant pour premier membre un polynôme irréductible 
quelconque de degré n. 

En d'autres termes, les équations que nous étudions 
peuvent être obtenues en multipliant un certain nombre n 
d'équations de la forme 

jr-f- 0x-f- O^x. -\'. . .-4- Oi*-*x — ^ =0, 
x-t- Oj? H- 5*.r-f-. . . -f- ©!»-»x— ^1 = o, 



9 

OÙ y, j> I, y^y • • •> J>/i-i désignent les n racines d'une 
équation irréductible dont les coeilGcients sont des quan- 
tités entièrement arbitraires. 

Il est évident qu'à l'équation (6) on peut substituer la 

suivante : 

^ X 0.r X 0-.r X ... X (f^-^x — k. 

Des équations irréductibles à coefficients numériques 
dont plusieurs racines se développent en des Jractionx 
continues terminées par les mêmes quotients, 

539. Nous avons fait connaître au n° 26 la forme dos 
rcjuations du deuxième degré dont les racines se iii*>e- 
loppcnt en des fractions continues terminées par loi 
mêmes quotients, et nous avons résolu ensuite (n°5l2 U 
mrme question à Tégard des équations du troisiôm»? 
degré. Les considérations que nous avons développées 



SECTION V. CHAPITHE lîl. 547 

précédemment nous permettent de résoudre le problème 
plus général dont voici l'énoncé : 

Quelles sont les équations irréductibles jouissant de 
la propriété que si l'on dé\^eloppe leurs racines réelles 
en fractions continues, par la méthode de Lagrange, 
deux ou plusieurs de ces fractions continues soient ter^ 
minées par les mêmes quotients? 

Pour que deux racines jfetx d'une équation se déve- 
loppent en des fractions continues terminées par les 
mêmes quotients, il faut et il sufîit (n^ 16) que Ton ait 

a x-\- b 

Gj hy ci y &' étant des entiers positifs ou négatifs liés par 
la relation 

en outre, pour que x et jr puissent représenter deux ra- 
cines d'une équation irréductible, il faut qu'on puisse 
assigner un nombre entier fx, tel qu'on ait identiquement 

si jx est > 2, cela exige, comme nous l'avons vu, qu'on 
ait 



U= — f « — 



2 cos — I 9 

u 



a^ — 2 fl cos h I 



2 étant un nombre entier premier avec /:x, et, dans le cas 

de /x= 2, on a 

b'= — a. 






35. 



548 COURS 0*ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

Or, puisque a, b, a!, V sont des nombres entiers, 

2 cos — doit être un nombre entier, ce qui ne peut arriver 

que si /u est égal à 3, le cas de fx== 2 étant réservé. On 
voit par là que la propriété que nous étudions ne peut se 
rencontrer que chez les équations irréductibles dont le 
degré a la forme 2/1 ou la forme 3/i. Nous examinerons 
successivement ces deux classes d'équations. 
Si l'on suppose fi := 2, on a 



a zizx 
ax ^ 

0:r =z= - 



a X — a 
et 

a désigne un nombre entier quelconque, et a' un diviseur 
de a-ihi. Si Ton prend pour F(^r) un polynôme irré- 
ductible quelconque de degré /i, et qu'on élimine j^ entre 
les deux équations 

ou 



x^ — y.T -f- 






on aura la forme générale des équations de degré 2 n jouis- 
sant de celte propriété, que les in racines se partageront 
en n groupes tels que, dans chaque groupe de deux ra- 
cines réelles, les fractions continues qui représentent ces 
racines seront terminées par les mêmes quotients. 

Celte proposition peut être énoncée d'une autre ma- 
nière : 

Soient a un nombre entier ijuelconque, al un diuiseur 
f/uelcontfuc de a^-h i, J une (/uantité réelle tjuelconque 
conunensurable ou incommensurable ; les deux racines 



SECTION V. — chapithe m. 549 

de V équation 

se déi^elopperont en des fractions continues terminées 
par les mêmes quotients, ce qui s'accorde avec le résultat 
obtenu au n^ 26. 

Supposons maintenantju=;3; on aura, en faisant î= i 
(le cas de X = I est identique à celui de X= 2, on passe 
de l'un à l'autre en changeant les signes de a et de a'), 



rt* -f- fl -!- I 
ax — — 



Ox = 



a' 



a A- — a -\- \ 



(/l-J- ijj: 






a X — a 



O^.r = x; 

a est un nombre entier quelconque, et a' un diviseur de 
à^-\-a-\-i. Quelle que soit rirralionncUe x, les frac- 
tions continues dans lesquelles se développent 

X, Ox, O^x 

se termineront par les mêmes quotients. Si donc F{y) 
désigne un polynôme irréductible quelconque de degré n, 
et qu'on élimine^ entre les équations 

X-hOx -^ 0'.r zzj: y„ F{j ) — O, 
OU 

[a[a-\-i]j- (2rt -t- i) («'-+-a + i)l 



5So COURS d'algèbre supérieure. 

on obtiendra Texpression générale des équations de de- 
gré 3/z qui jouissent de la propriété, que les 3/i racines 
se partageront en n groupes tels que, dans chaque groupe 
de trois racines réelles, les fractions continues dans les- 
quelles se développent ces racines seront terminées par 
les mêmes quotients. 

On voit, en particulier, que les équations du troisième 
degré qui ont cette propriété sont comprises dans la 
forme générale suivante : 

où a désigne un entier quelconque, e^ un diviseur quel- 
conque de rt* -h a -h I , et r une quantité quelconque, 
commensurable ou incommensurable. Ce résultat s^ac- 
corde avec celui que nous avons obtenu au n^ 51S. 

540. Les équations du troisième degré qui proviennent 
de la division du cercle en sept ou en neuf parties égales, 
celle du quatrième degré qui provient de la division en 
quinze parties égales, jouissent de la propriété remar- 
quable qu'on vient d'étudier. 

La division du cercle en sept parties égales conduit à 

l'équation 

X* -ha:' — .2 jr — 1 = 0, 

et si l'on représente par x la racine positive par — j, 
et — X2 les deux racines négatives, on a 



I I 

x,= -- , X, = 1-+- -; 

I -t- .r X 



la racine x est comprise entre 1 et a; on aura, par con- 



SECTION V. CHAPITRE TH. 55 1 

séquenty des résultats de cette forme : 



I 






• 



9 






I 

n 



e-f-. 






La division du cercle en neuf parties égales conduit à 

l'équation 

«* — 3-r -4- I = o. 

Si Ton désigne par — x la racine négative, laquelle est 
comprise entre — i et — 2, parxi et 0:2 les deux racines 
positives, on a 

I I 



I -h X X 



ce qui conduit aux mêmes résultats que le cas précédent. 
Enfin, l'équation du quatrième degré dont dépend la 
division du cercle en quinze parties égales est 

X* — j^ — 4-^* ~+" 4*^ H- I = G. 

Si X elX\ désignent les deux racines positives, — xf et 
— x\ les deux négatives, on a 

x' -\- 1 I 



=:IH : ,? 



y -f- I I-f-x' 



^'. -h 2 I 



^1= -rh— =!■+- 



-c, H- 1 1-4- j:', 



Des deux quantités af et x', Tune est comprise entre o 
et if l'autre entre i et 2; on aura donc des résultats de 



552 COURS d'algebue supériegre. 

cette forme 



./ 



X' = o: = i-f- 



I 



6+. 



I 

H 






s:\ = l -r : jTj = l-f- 



«'-^^ 



I 






L*équatIon que nous considérons résulte de réliinination 
de j' entre 

a: — I 



Des équations dont toutes les racines sont exprimables 
rationnellement par l'une d'entre elles, 

541 . Nous avons étudié précédcJhiment un cas étendu 
des équations dont les racines sont toutes exprimables 
rationnellement par Tune d'entre elles; savoir le cas où, 
l'équation proposée étant du degré //, les racines peuvent 
être représentées par 

alors ces racines sont exprimables par des radicaux. 

Il existe un autre cas de résolubilité ; Âbel a effective- 
ment démontré le théorème suivant : 

Théoîième. — Soit ^(x) = o une équation algébrique 
quelconque, dont toutes les racines peuvent être expri- 
mées rationnellement par l'une d'entre elles que nous 
désignerons par x. Soient Oxet Q^x deux autres racines 
quelconques; V équation proposée sera résoluble algt-^ 



SECTION V. — CHAPITRE lïl. 553 

briquement si l'on a 

Eji efTety si l'équation proposée 

(i) x(«^)=o 

n'est pas irréductible, soit 

{») /(-r)=0 

Téquation irréductible de degré fx dont dépend la ra- 
cine Xy le polynôme f{x) sera un diviseur rationnel 
de x(.r). 

Soit Bx une racine de l'équation (2), autre que x\ les 
racines de cette équation pourront être représentées par 

X, Bx, Q'x, . . ., B^-^x, 



on aura 

et, si l'on représente par 

l'équation qui a pour racines 

les coefficients A^*^, A^^^ . . . , A^"^ sont, comme on l'a 
vu, exprimables rationnellement en fonction d'une quan- 
tités^ qui dépend d'une équation de degré m, 

dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des 
quantités connues. 

CSette équation (4) est irréductible, car si le contraire 



554 coulis d'algèbre supArieurb. 

avait lieu,^ serait racine d^une équation irréductible 

(5) fCr) = o, 

d'un degré ni inférieur à m, et l'élimination de jr entre 
les équations (3) et (5) conduirait à une équation 

^(j-)~o, 

de degré wln<^^\ ce qui est impossible, car Téquft- 
tion (2) du degré fx est, par hypothèse, irréductible. 

Cela posé, la résolution de l'équation (a) est ramenée 
à celle des équations ( 3) et (4) ; nous savons que l'éqca- 
tion (3) est résoluble, et nous allons démontrer que Téqui- 
tion (4) possède la même propriété que l'équation (a). 

La quantité y est une fonction rationnelle et symé- 
trique quelconque des racines x, 6x, . . ., 0'*""*x, et si 
Ton désigne par 

y-* ^1» ^1» • • '» ym—\ 

les m racines de l'équation (4), on pourra poser 

y^ =.^(x„Oj:„ 0'.r, O^-ïx,), 

ef désignant une fonction symétrique et rationnelle. D'ail- 
leurs jr<, X2, ...» Xm^K sont, par hypothèse, des fonc- 
tions rationnelles de la racine x\ si donc on fait 

on aura, pour les valeurs i, a, . . . , m — i de l'indice i. 

Enfin, d'après l'énoncé du théorème, les fonctions (/ et S/ 
sont telles, que Ton a 



SECTION V. CHAPITHE III. 555 

il en résulte 

et, en conséquence, on peut écrire, 

ce qui montre que^,- est une fonction rationnelle et symé- 
trique des racines 

jT, Ox, e*x, .. ., 0"-^x, 

On peut conclure de là (n° 531 ) que yi , j>'2, . . . , J^m-i 
sont exprimables en fonction rationnelle de j^ 

Soient maintenant "ky et X|j^ deux racines quelconques 
de l'équation (4) autres que^, on pourra poser 

i r-F(.r). 
(6) >7-rrF(5,.r), 

et il en résultera 

>,F(.r)^F(Ôy.r). 

Or, X étant racine d'une équation irréductible, les équa- 
tions précédentes subsisteront si l'on remplace x par djX 
dans la première, et par 6iX dans la seconde; on aura 

donc 

\F(Ojx) = FiO,ejx), 

\F(0,x) = F{ÔjOix), 

d'où 

'kF(Ojx)=\F(0,x), 

puisque OiOjx = djOiX, Les équations (6) permettent de 
donner à la formule précédente la forme 

d'où il suit que l'équation (4) a bien la même propriété 
que l'équation (i). 



556 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEl^RR. 

On pourra donc, en continuant d'appliquer le même 
procédé, ramener la résolution de Téquation proposée à 
celle de plusieurs équations qui seront toutes résolubles 
algébriquement, et dont les degrés auront pour produit 
le degré fjt de Téquation (a). 

Corollaire. — Si Véquaiionf{x) = oa la propriété 
contenue dans l'énoncé du théorème précédent y et que, 
son degré fx étant décomposé en /acteurs premiers^ on 
ait 

la résolution de J\x) = o peut être ramenée à celk 
de Pi équations du degré Et y de p^ équations du degré 
£2j ' ' ' y de p^ équations du degré e^, et toutes ces équor 
tions, dont les coefficients sont rationnels, sont résolubles 
algébriq uement. 

Résolution algébrique des équations binômes. 

542. L'équation binôme 

(i) s'«-Ai-o 

se réduit à 

(2) x'"— 1 -:: O, 

si roii pose zrrrr.rT'jV, ct iious avons VU daus le Chapitre \ 
de la Section I que la recherche des racines de Téqua- 
tion ( 7. ), clans le cas où /// est un nombre composé, se ra- 
mène à la résolution d'équations binômes de degré* pre- 
miers. 

Supposons donc que Tcxposantm soit un nombre pre- 
mier; Téquation (2) admet la racine i, cl, en supprimant 
cette racine, on obtient Téquation 



SECTION Y* CHAPITRE III. 557 

qui est irréductible , ainsi que nous Tavons établi au 
n^ HO. 

L'équation (3) appartient à la classe des équations que 
nous avons nommées abéliennes, et ses racines peuvent, 
en conséquence, s'exprimer par des fonctions algébriques 
dans lesquelles les radicaux ont pour indices les fadeurs 
premiers de m — i. Effectivement, ei r est une racine 
de l'équation (3), cette équation aura pour racines 



on a d'ailleurs 






r''» — I , 



et, si l'on désigne par a une racine primitive pour le 
nombre premier m, les puissances 



a^ a\ a^, a\ ._, ,:'■''-' 



seront respectivement congrues, suivant le module m, et 
abstraction faite de Tordre, aux nombres 

i , 2, 3, . . . , m — I ; 

donc les racines de l'équation (3) peuvent être repré- 
sentées par 

(4) r, r'\ r<\ r-\ ..., r^'-\ 



en sorte que chacune d'elles s'obtient en élevant la précé- 
dente à la puissance a; et la même chose a lieu encore, à 
cause de 

81 Ton range en cercle ces m racines et que l'on considère 
successivement chacune d'elles comme étant la première. 
D'après cela, si x désigne l'une quelconque des ra- 
cines (4)> et que l'on fasse 



558 covRS d'algèbre supérieure. 

les m — I racines dont il s'agit seront représentées pir 

et Ton aura 

C'est sur cette propriété que Gauss a fondé sa méthode 
pour la résolution de Téquation (3^, méthode qo'Abeli 
généralisée ensuite comme nous Tavons expliqué. 

On peut appliquer à Téquation (2) la méthode da 
n^ 532, et Ton a ainsi l'expression des racines, savoir: 



— A -4- V <'i H- V i'* -!-... -4- V'»'m-î 

X = — 9 

m — 1 

dans laquelle u^, V27 • • •» ^/it.2 ^^ contiennent d*autrc3 
irrationnelles que les racines de l'équation 

Mais, comme m — i est un nombre composé, on obtiendra 
une solution plus simple en faisant usage des méthodes 
exposées aux n°* 535 et 537. 

EnGn, comme l'équation ( 3 ) appartient à la classe des 
équations réciproques, on peut commencer par lui ap- 
pliquer la méthode d'abaissement qui se rapporte à ces 

équations; on obtient alors une équation du degré -^^— 

dont toutes les racines sont réelles et qui consor\e le 
caractère d'équation abélicnne : c'est ce que nous allons 
développer présentement. 

Résolution afgéhrù/ue des équations dont dépend là 
division de la circonférence du cercle en un nombre 
premier de parties égales. 

543. Le problème de la division du cercle en un 
nombre m quelconque de parties égales se ramène i 1> 



SECTlOIî V, CHAPITRE III. SSg 

résolution de Téquation binôme 

(i) Z"' — I = Oî 

car, si Ton fait 



in 

m 



on obtiendra les m racines de l'équation précédente, en 
donnant à A: les m valeurs 

o, I, 1, 3, . . ., [m — i) 
dans la formule 



z = cos/yz h- y/— I sin^a; 

on connaîtra donc cosAa et sinAa lorsque l'équation 
binôme (i) sera résolue algébriquement. 

Si m est un nombre impair afx-Hi, il vient, en di- 
visant Téquation ( i ) par z — i , et en posant ensuite 
I 

1,1 1,1 

C'est de cette équation (a) que dépend directement la 
division du cercle en 2|cx+ 1 parties égales. Ses fx racines 
sont représentées par la formule 

a: = 1 cos — = 1 COSAa. 
2p-M ' 

dans laquelle on doit donner à A' les [x valeurs 

1 , 1j 0} . ■ • f p» 

ou des valeurs qui ne diffèrent de celles-là que par des 
multiples de 2fx h- i. 



56o couns d'algebue supéribure. 

Nous venons de rappeler que, sî m ou 2fx -H i est un 
nombre composé, la résolution de Téquation (i) se ra- 
mène à la résolution d^autres équations de la même forme, 
et qui ont pour degrés respectifs les nombres premier 
ou les puissances de nombres premiers qui divisent m. 
Dès lors, la même chose peut se dire de Téquation (al, 
et Ton peut se borner à considérer le cas où /w = aa -f- 1 
est un nombre premier ou une puissance d'un nombre 
premier. Lorsque m est premier, la division de la circon- 
férence en m parties égales exige seulement la résolution 
de plusieurs équations qui ont respectivement pour de- 
grés les facteurs premiers égaux ou inégaux dans lesquels 
se décompose le nombre m — i. Mais, lorsque m est une 
puissance p' d'un nombre premier )[?, la division de la cir- 
conférence en m parties égales exige d'abord la division 
en p parties égales, et, en outre, la résolution de i — i 
équations de degré y:?. Chacune de ces i — i équations de 
degré p est résoluble algébriquement; cela résulte soil 
de la formule de Moivre, soit des considérations déve- 
loppées dans la Section I. 

11 faut d'ailleurs remarquer que, quel que soit a, 
l'équation (2) appartient à la classe des équations dont 
nous nous sommes occupés au n° 541 . Car si Ton fait 

on a évidemment 

00 1 j' =. OiOx -^ '2 C0S//V7. 

5 il. Supposons a/Jt -h 1 premier, et soit n une racine 
primitive pour ce nombre premier; je dis que les a ra- 
cines de Téquation (2) seront 

(3) 1 cosa, icosna, icosn^a, ..., a cos/j'*"*^. 

II est évident que chacune de ces /x quantités satisfait à 



SECTION V. CHAPITRE III. 56 1 

l'équation (2); il sufHt donc de démontrer qu'elles sont 
toutes distinctes. Supposons, s^il est possible, que deux 
de ces quantités soient égales, et que Ton ait 

p et y étant <[ (j. ; on aura 

X désiî^nant un nombre entier. Mais a = 9 donc 

° •îft-f- 1 

n'T hif-^ dt i) 
2ft -+- 1 

est un nombre entier; d'ailleurs afx -+- i est un nombre 
premier, et n est inférieur à afx-f-i; il s'ensuit que 
afx-h I divise l'un des deux nombres w/*"^ -h I ou /i/'~^ — i; 
par conséquent il divise le produit 

de ces deux nombres ; or cela est impossible, car 2/? — 2(j 
est <^2fx, et n désigne une racine primitive de 2/:/ -H i. 
Donc les quantités (3) sont bien toutes les racines de 
l'équation (2). 

Si maintenant on fait 

jcz=i ces a, Ox=z'2, cos naj 
on aura 

i9*x = 2 cos/i'flr, 0^xz=z icosn^a, .,., Oî*~*.r = 2 cos /î»*"* a, 
et les racines de l'équation (2) seront représentées par 

on a, en outre, 0**x = jc;car, ti étant une racine primitive 

de !2i^4-i, on a n^^^ — i (mod. 2a-f-i); enfin 6x est 

une fonction rationnelle de jc, car cos na est exprimable 

S. — jilg. sup», II. 36 



56a COURS d'algèbre supérieure. 

rationnellement en fonction de cosa. On voit donc que 
Téquation (a) est comprise dans la classe des équations 
abéliennes, et Ton pourra la résoudre par les méthodes 
que nous avons exposées. 

Ici la fonction rationnelle 6x a pour valeur (n*^ 109) 



-t^ '^ ('^ — ^) ^n-* '' (" — 4) {^ —5) 



ôj? = .r'» — nx'^—*-] — jt"— * — 



.11 — i 



I .1 I .a. 3 



En appliquant à Téquation (a) les théorèmes des n^S34 
et 535, on obtient les énoncés suivants : 

1° Si [1= m^m2 ' ' » m^j on peut diviser la circonfé- 
rence entière du cercle ennfx-^i parties égales à l'aide 
de (ù équations des degrés m^ym^j . . . , w^ respectivement . 
Si les nombres mi , /n^, . . . , w^ sont premiers entre eux, 
les co(\fficients de ces équations seront des nombres ra- 
tionnels. 

2° Si |!x=: 2", on pourra dix^iser la circonférence du 
cercle en a/jt-f- i parties égales, à l'aide de ta racines 
carrées. En d^ autres termes, si a/x -i- i est un nombre 
premier, et iâ= a", on pourra di\^iscr la circonférence 
du cercle en 2(x -f- i parties égales, av^cc la rrgle et le 
compas. 

3° Pour div^iser la circonférence du cercle en q a -^ i 
parties égales, il suffit de dix^isrr la circonférence en- 
tière en lyL parties égales, de diviser un arc, qu'an peut 
construire ensuite en 2[jl parties égales, et d^ extraire 
la racine carrée d'une seule quantité. 

545. Le dernier théorème est dû à Gauss. Cet ilhistre 
géomètre a prouvé, en outre, que la quantité dont il faui 
extraire la racine carrée est simplement le nombre entier 
2|jL -t- 1 . Voici comment Abel le démontre. 

Cette quantité, que nous désignerons par p, esl^n** 53^ 



SECTION V. CHAPITRE III, 563 

la valeur numérique du produit 

OÙ 

oc = ces h V — ï sin — • 

On a donc 

rt: /) ^= 4 {cosa -+- a cosna H- a' cos /i' <»-+-... -+- a!*— ^ ces /!•*"* a) 

X (cosa -h a»*~* cos/ia -f- a»*~'cos/i'a -4-...-+- acos/i»*~*«) . 

En développant ce produit, on obtient un résultat de la 
forme 

d= p = ^0 -h ^joc -h ^ja* -h . . • -4- r^,a»^*, 

et l'on trouve facilement 
= 4(cosaco8/i"* a-4-cos/i« cos /!'"'♦■* «-f-...-+-cos/i'*~"*~'" a cos/i**~*rt) 

Au moyen de la formule 
xxsnPa rx>sn"''*-'*a = - cos(/2'"-^''a ■+• n^a] -\ coS[n"''*-Pa — m'a]. 



on donnera à tm la forme 

[cos (/!"' — 1 )ff -4-C()S (//'" — I ) //<7-;-COS (/!'" — I ) «*rt -H . . 1 
-+-COS (//'"— I )//!*-»« J' 

ou, en faisant {n^ -^ i)a = a\ (/z"' — i)a = a'', 

/,^ = 1 casa' -h Oi cosff' -f- 0' 2 cosa' -h ... -h 0^-^ 1 cosa' 

H- 2 cosa*' -i- 2 cos«" -f- O-icosa" -+-... 4- Os*-* 2 cos u\ 

36. 



564 COURS d'algèbbe supérieure. 

Cela posé, supposons d^abord que m ne soit pas nul, 

acoso' et 2Cosa'' sont des racines de Téquation (2); 

donc 

2 cos«' =. Q^x et 2 cosû*' = ô'.r, 

et l'on a, en conséquence, 

t,n = [O^^r -4- O^-^-^x -4- ... H- O'^-^x-h Jr -f- ôx -h . . . -+- C*-«x) 

OU 

f^ = 2 (x -h ô.r H- 0»jr -4- . . . H- B'^^Jr); 

d'où il résulte que tm est double de la somme des racines 
de Téqualion (2), laquelle est égale à — 1; on a donc 

^m = — ^• 
Supposons maintenant /n = o, on aura 
tQ = i[cosia -+- cosina -4- cosin^a +...4-cos2/ï'*^*rt^ -4- ib. 

Or 2C0S2acst racine de l'équation (2); donc, en faisant 

2 cos2rt = B^x^ 
on aura 

et, par conséquent, 

D'après cela, la valeur de =^ p sera 

D'ailleurs 

a -H a* -f- ... 4- a:'"* = — ^i 

donc 

Ce qu'il fallait démontrer. 



SECTION V, CHAPITRE III. 



565 



Divnsion de la circonférence en dix-sept parties égales. 

546. Si Ton fait 2]ul-|-i = i7 ou fji = 8, Téquation (2) 
du numéro précédent devient 

( I ) .r' -*- x' — 7 J-* — G.r* -f- 1 5.r* — - lox'— lox* — ^.r-^-lzizO^ 

et ses racines, comprises dans la formule 

j-= a cos 9 

«7 

peuvent être représentées par 

(1) JT, Ox, 6*j:, ô'jr, ô*jr, 0*j:, Ô^o:, O'ar. 

La plus petite racine primitive de 17 est 3 (n** 310), 
et les résidus par rapport à 17 des puissances 

^0 ril OJ 08 O* 05 06 ^7 

sont 

I, 3, 9, 10, i3, 5, i5, 11; 

si donc on pose, pour abréger, 

a=i — 9 

'7 

les quantités (2) seront 

2 cos^, 2Cos3^7, 2cos9<2, acosioa, 
icosi^a, 2cos5a, !2cosi5a, acosiia; 

ou, à cause de cos(i7 — m) a = cosma, 

acosrtr, 2C()s3rt, 2cos8a, 20057^, 
20054^9 2 cos 5 a, 2 cos 2 a, 2cosGa. 

Pour appliquer la méthode générale, il faut commencer 



566 COURS d'algèbre supéribure. 

par calculer une fonction rationnelle et symétrique j des 
quantités 

2 ces a, 2cos8a, acos4^> acosaa. 

Posons donc 

j = 2 cosa H- 2 cos8a -+- 2 cos4a -4" 2 cosaa; 

y dépendra d^une équation du deuxième degré, dont les 
deux racines seront 

(3) J=2COSrt H- 2 C0S8/Z + 2 COs4^ + 2 00820, 

(4) ^1 = 2 COs3rt -f- 2 COS7O -4- 2COs5rt -+- 2COs6a. 

Cette équation s^obtient bien facilement; car on a d'a- 
bord, par Téquation (i), 

(5) 7-+-j,= — l; 

ensuite, en multipliantj^par j^i, transformant les pro- 
duits de cosinus en sommes à Taide des formules connues, 
et ayant égard à Téquation identique 

cos( 17 — m]a'=i co&ma^ 
on trouve 

yjr^ = 4 (^ cosrt -f- 2 cos 2 rt -f- 2 cos 3rt -h 2 cos4o 

-+-2COs5^-f-2COs6«-|-2COS70 -h 2COs8fl), 

et, à cause de l'équation (i), 

(6) ^J. = -4- 

L'équation en^ sera donc 

(7) j*-+-r — 4 = 0» 

et Ton peut considérer comme connues ses deux racines 
jetri. 

Maintenant les quantités 

2cosa, 2cos8^, 2cos4^f 2cosaa, 



SECTION V. CHAPITHE III. SÔj 

sont les racines d'une équation du quiitrièrae degré dont 
les coeflicients sont des fonctions rationnelles de y^ et 
sur laquelle nous allons raisonner comme nous l'avons 
fait sur la proposée. Il faut, conformément à la méthode 
générale y chercher d'abord une fonction rationnelle et 
symétrique z des quantités 

2 cosA, 2 cos4a* 

Posons donc 

z = 2 cosa 4- 2 0054^1 

l'équation en z sera du deuxième degré , et elle aura pour 
racines 

(8) « = acosa -f- 2cos4«, 

(9] S| = 2Cos8a -f- 2COS2a. 

On a d'abord 

(10) a-4-«i=r, 

et, en multipliant z par Zj , on trouve, après avoir rem- 
placé les produits de cosinus par des sommes, 

zzx = (2 cosa -f- 2 cos2a -h 2 ces 3a -+- 2 cos4a 

-h 2 cos5a -+- 2 cos6a -+- 2 cot7 a -f- 2 cos8a), 

ou, puisque la somme des racines de l'équation (i) 
est — I , 

(11) ZZlZ=— l; 

l'équation en z sera donc 

(la) z* — X* — 1 = 0. 

Enfin il ne reste plus qu'à former l'équation du 
deuxième degré dont les racines sont 

2 cosa, 2cos4a, 

et dont les coeflicients peuvent s'exprimer en fonction 



568 COURS d'algèbre supérieure. 

rationnelle de^ et.de z. Mais on peut simplifier ici Pap- 

plication de la méthode générale. 

Considérons Téquation du quatrième degré , dont les 

racines 

2cos3a, 2 ces 7 a, a ces 5a, acos6a 

ont pour somme j^o ^^ opérons comme nous l'avons fait 
à regard de Téquation qui a pour racines les quantités 
dont la somme est j. On formera une équation do 
deuxième degré ayant pour racines 

(13) tt =r 5tCOs3a H- 2COs5a, 

(14) l/|=: 2COS7a -+- 2COs6rt, 

et, en opérant comme précédemment, on trouvera 

(15) tt-4-tt, =^1, 

(i6) £/i/i = — 15 

cette équation en u sera donc 

(17) tt* — Jii^ — Iz^O, 

en sorte que les quantités li et U| sont connues, ainsi que 
z et Z|. 

Cela posé y faisons 

(18) X z= 1 cosrtr, 

(19) rj ^= !XCOs4«> 

on aura d'abord 

( 2.0 ) a- -f- .r, =: s, 

et ensuite 

ax^ =: 4 cosa cos^a = 2 cos3a -f- a cos5a 
ou 

(21) Jrjr^ = u ; 

X et x^ seront donc racines de Téquation 



SECTION V. — châpithe m. 569 

La résolution de l'équation [1] est ainsi ramenée à celle 
des équations du deuxième degré (7), {la), (17) et (2a); 
le problème est donc résolu. Nous allons chercher main- 
tenant à déduire de l'analyse précédente une construc- 
tion géométrique, pour effectuer la division de la circon- 
férence en dix-sept parties égales. 

Construction géométrique. 

S47. Quand on se propose, dans la Géométrie élémen- 
taire, d'inscrire dans un cercle les polygones réguliers de 
trois et de cinq côtés, on commence par inscrire ceux de 
six et dix cAtés. De même, nous commencerons ici par 
inscrire le polygone régulier de trente-quatre côtés, celui 
de dix-sept côtés s'en déduira immédiatement. 

Soit une demi-circonférence partagée en dix-sept par- 
lies égales aux points 

a, b, c. d, e, /, g, h, i, J, t, l, m, n, o, p, q, r; 
la corde ah sera le côté du polygone régulier inscrit de 




trente-quatre côtés, et les cordes aâ, af, ah, aj, al, an, 
ap, diagonales de ce polygone, seront les côtés des poly- 



570 COURS D^ ALGÈBRE SUPélilCTJllB. 

gones réguliers étoiles de trente-quatre c6tés que Ton 
peut inscrire dans la circonférence. 

En prenant le rayon pour unité et en faisant, comnie 
précédemment, 



on aura 



27r 



a^ =r 2 sin -^ = -4- 2 cos4^ 

or/ = 2 sin -^7 = — 2 cosSa^ 
34 

/• . Stt 

a/=. 2Sm -r-T =:-4- 2COS3<7, 

34 

a/i = 2sin -ir? = — 2 cos6a, 
34 

. Oit 

ay = 2 sm ^ = -4- 2 cos2a, 

alz= 2sm-5-7- = — 2 €0570, 
C$4 

a/i = 2 sm -r-^ = -f- 2 cosa, 

34 

â/? = 9. sm -^jT" = — 2 cosoa. 



Conservons toutes les notations du numéro précédent: 
les équations (3) et (4) nous donnent 

jr z=an — ap-^ nb -\- aj, 
jr^ = a/ — al — ad — ah. 

On voit que^''i est négatif, car afcsK^al; par suite, 
^ est positif, puisque ^j'« = — i . Faisant donc > i = —y» 
les équations (5) et (6) deviennent 

r/ = 4. 



SECTION V. CHAPITRE III. Sjl 

les équations (8) et (9) nous donnent 

zz= an -\- ah, 
z^=i — op-\- aj ; 

z% est négatif, car ap est ^ ajy et z est positif. Les équa- 
tions (10) et (11) deviennent, en faisant z^ = — s', 

Pareillement, les équations (i3) et (i4) donnent 

ut= af— ad^ 
«1 = — al — ah\ 

If I est donc négatif, et u positif. Faisant U\ = — i/, on 
aura, par les équations (i 5) et (16), 

UU! ---. I ; 

enfin les équations (18) et (19) donnent 

X =z an, 
Xj = ab, 

en sorte que x et X| sont positifs, et les équations (20) 
et (21) conservent leur forme 

X -+- .rj =r z, 
jrxj = u. 

Le côté de notre polygone de trente-quatre côtés est X|, 
et, pour le construire, on voit qu'il suffit : 

i*> De construire deux lignes^ et^' telles, que 

a^ De construire quatre lignes z, z'f u, 1/ telles, que 



572 COUnS D^AI.GÈBRE SUPÉBIEURK. 

3^ De construire deux lignes x et Xi telles, que 



X "T" «ï^j — — Z, XJCt —^ Ut 



CoMSTRUCTioir. — i" En un point O d'une ligne indé- 




finie UV, élevons une perpendiculaire OA égale au rayon 

du cercle, c*est-à-dire égale à Tunité. Prenons OC = ^> 

puis, du point C comme centre, avec CA pour rayon, 
décrivons un cercle qui coupe en B et D la ligne U V ; on 



aura 



a 2 



car 



2OD — 20B = 40C = i et 20DX20B=:40A - 4- 

1^ Joignons AB, et du point B comme centre, avec OB 
[)Our rayon, décrivons une circonférence qui coupe en M 



SECTION V. — CHAPITRE III. Sjî 

et Pla ligne AB prolongée, on aura 

AM = z, AP=:5'; 
car 

AM — AP =PM=:20B=^ et AMxAP=: ÂÔ' =1. 

Joignons pareillement AD , e t du pointD comme centre, 
avec OD pour rayon, décrivons une circonférence qui 
coupe en N et Q la ligne AD prolongée, on aura 

AN = «, AQ — 1/'; 
car 

AQ — AN=:NQr=20D=:/ et ANXAQi^Âô'^zi. 

3° Rabattons AO en AE sur le prolongement de AD, 
décrivons sur NE, comme diamètre, un cercle qui coupe 

AB en F; du point F comme centre, avec AI = — ^ 

pour rayon, décrivons un cercle qui coupe AD en G; et, 
enfin, du point G comme centre, avec ce même rayon, 
décrivons un cercle qui coupe AD en K et H, on aura 

arj T=z AK, ûc r- AH ; 

csir 

AK -f- AH ~- 2GF = 2AI = AM = 3 

et 

AK X AH = If' == AN X AE = AN X AO = a. 

Le côté du polygone régulier de trente-quatre côtés inscrit 
dans le cercle dont le rayon est OA est donc égal à AK. 



Sur une propriété remarquable de la Jonction > 

p étant un nombre premier, 

848. Soit y? un nombre premier autre que 2, et posons 

X = " = .r/'-» H- JcP-^ ^- ... 4. a: -f- I. 
.r — I 



Sy4 COURS d'algebbe supérieurb. 

Désignons par a une racine primitive pour le nombre 
premier /?, et par r une racine de Téquation 

(i) X = o; 

les racines de l'équation (i) seront 

-a -a» -a» -a/^» 

et l'on aura 

a'^-^E^i (mod.p) et f^'"'* = r. 
Si Ton fait 

Ji = r«' -f- r«* -4- /-«• 4- . . . -4- r^*^', 
7,= r« -h r«*-4- /"' -h . . . -h T^'*'*, 

les quantités ^1 et j-, (n° 536) seront les racines d'une 
équation du deuxième degré à coedicients commensu- 
rables, et l'équation (i) se décomposera en deux autres, 

chacune du degré ? et dont les coefficients seront 

des fractions rationnelles de^i et de^j. Nous nous pro- 
posons ici d'étudier les détails de la décomposition dont 
il s'agit. 

Occupons-nous, en premier lieu, déformer l'équation 
enj) , qui a pour racines^r« et ^a. On a d'abord 

car ^ , -^Jt exprime la somme de toutes les racines de 
Tcquation (i). Ensuite, comme les fonctions symétriques 
dej) « el de j 2 ne changent pas, quand on change r en r*, 
ou en /''', ou etc., on a 



-^-~—r y, ( -^''' -^ ^''* -h x«* -+- . . . -^ .a 



y] -r y]- -.;— — >.(^^'-+-^"Vx«*-+-. ..-^.r^'/, 



le signe \ s'étendaiil à toutes les racines x de l'équa- 
tion (1). 



SECTIOir V. CHAPITRE III. Sj^ 

Or on a 

le signe > s'étendant ici à toutes les valeurs i, a, 3,..., 

^ des entiers met n; si donc on désigne par S (u) la 

somme des puissances |ui**"«» des racines de l'équation (i), 
on aura 

\ 2 j 

le signe \ s'étend à toutes les valeurs i, 2, 3 ,..., - 

des entiers m et /i, et il embrasse, en conséquence, 

(-^ j termes. Comme a est une racine primitive dep, 

on a 

rt' -f i£Hso (mod./?), 
et il ne saurait y avoir aucune puissance de a d'un degré 

inférieur à congrue à — i suivant le module p. 

D'après cela, si p est de la forme 4* H- ' > la somme 



ne sera divisible par p que pour les ai = ^ systèmes 



suivants de valeurs simultanées de m et /t : 
/w = i, 2, 3, ...,/,/■-+ I, /-+- a, ..., a/, 

si p est de la forme ^i 4-3, aucune des valeurs que 
prend la somme 



^i"» ^ ^«« 



n*est divisible par p. 



576 COURS D ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

La somme S (fjt) est égale k p — i ou à — i (n® 106 
suivant que (i est divisible ou non divisible par/;; donc, 
si /7 a la forme 4* H- i > la quantité 

V S(û»'"-Hû*'») 

sera égale à 

vi-'-[m-('-?)]^ 

si, au contraire, p a la forme 4^ -h 3, la même quantité 
sera égale à 

On a ainsi 

(3) ,.;^^î = l±^^. 

Des équations (2) et (3), on tire 

^ S 

I f) I : 

(4) 7iJ2= 

D'après cela, Téqualion qui a pour racines j, cl jj est 

(5) y-i-^-: "— ^o, 

ou 

519. Considérons niaiiilenant récpiatlon qui a pour 
racines les — racines de Téqualion ^^i) dont 7, dé- 



SECTION V. CH4PITRE III. 577 

signe la somme. Soit 

cette équation. Les coefficients A^, As, . . . peuvent 
s^exprimer par des fonctions rationnelles dej^^, et Ton 
peut supposer ces fonctions linéaires (n^ 182), puisque j^i 
est racine d'une équation du deuxième degré. Ainsi le 
coefficient A^ aura la forme 

nik et /za étant des nombres rationnels, et il est facile de 
prouver que ces nombres sont entiers. En effet , Aa est, 

au signe près, la somme des produits h kh des — ra- 
cines r^ y /•***, ... ; chacun de ces produits est une puis- 
sance de r, et, par suite, il se réduit à Tunité ou à Tune 
des racines de Téquation (i). On a donc 

ffo,ai, ... étant des nombres entiers. Cette valeur de A^ 
ne changera pas si Ton change r en r^* et, par suite, on 
aura 

Je dis que les coefficients des mêmes puissances de r sont 
égaux dans ces deux valeurs de A^. Supposons, en effet, 
que cela n'ait pas lieu; si Ton égale les deux valeurs 
de Aa et qu'on rabaisse les exposants de A* au-dessous de /;, 
en faisant usage de l'équation /•' = i, on aura une équa- 
tion du degré p — i en r qui sera évidemment satisfaite 
par r = I ; on pourra enlever cette racine i , et alors on 
voit que r sera une racine d'une équation du degré /; — 2 
S. — jélg. sup,, II. 37 



Sy8 COURS d'algèbre supérieure. 

à coefficients commensurables, ce qui est impossible, 
puisque l'équation (i) est irréductible. On a donc 



a, = a4 rr. «g rrr . . . :=r a^^j, 



cty par suite, 

Ak= «0+ «1^1-1- «iJf 

Enfin, si Ton élimine ^2 à Taide de Téquation (2}» la 
valeur de A^ prendra la forme 

^k= f^k-^ ^kXiJ 

oh nik et rik désignent des nombres entiers positifs on 
négatifs. 

Le produit des racines de Téquation (6), savoir 

r«*+rt^+. . .+«'' est égal à i , en exceptant le cas de y7=3; 
car, a étant une racine primitive de y?, Texposant 

a*+a*-f-. . .'\-aP^^ = — ^—^ ' est divisible par/?; 

on a donc 

Pul 



2 



Comparons les coefficients Aa et Aa/ de deux termes 
également distants des extrêmes, dans X| ; on a la rela- 
tion /r -h A' = entre les indices Â' et K\ La quantité 

( — I Y Aa est une somme de puissances de r, et la somme 
des inverses des mêmes puissances est égale à ( — ij^'A*/; 
car le produit de toutes les racines de Téquation (6) est 
égal à I. Cela posé, si /> =^ 4' "+~ i > les suites 



; 



n 



, r , • • • , /^ 



p-i 



I y f 9 • • » % r 

restent les mêmes quand on change r en -; donc on a, 



SECTION V. CHAPITRE III. 5yQ 

dans ce cas, 

A^ -. A* ~ /w^ H- nj^Xi . 

Si y? := 4' -r- 3, les suites 

' f ' >•••»' » 

/^\ /-'^ /-''-' 

se changent Tune en l'autre quand on change r en -; 

d'ailleurs keiV sont de parités différentes ; donc Téqua- 
tion 

kfc --. m,, -f- rikXx 

entraîne 
^ — A^ = /w^ -r- n^Xt - m^ — /î^(n- ^i;, 

et Ton a, dans ce cas, 

Aa/ - [nf, — mf,] -^ nj^xu 

Il résulte de là que le polynôme X4 peut se mettre 
sous la forme suivante : 

P et Q étant des polynômes à coefficients entiers qui ont 

respectivement pour degrés — et — — • En outre, 

Q est un polynôme divisible par x dans lequel les termes 
également distants des extrêmes sont égaux et de même 
signe; le polynôme P jouit de celte dernière propriété dans 
le cas de p -- 4' -'- i seulement, et, par suite, il en est de 
même de la fonction 2P — Q. Dans le cas de;>— -4t-;-3, 
la fonction aP — Q a cette propriété, que les coefficients 
des termes également distants des extrêmes sont égaux et 

de signes contraire.s. En effet, les coefficients de a: * 
et de X* dans la fonction 2P — Q sont alors 

2 /«A — /î^ et /Il — 2/71^* 



58o COURS d'algèbre supêriburv. 

Pour obtenir les valeurs des coefUcients A,, At, •»•! 

de X| f soit X Tun des nombres 

I, a, 3, . . ., [p — i), 
et h un exposant entier, tel que 

û'* £=!> (mod. p); 

désignons enfin par Sx la somme des puissances X'^*** des 
racines de l'équation X| = o, on aura 

d'où il suit que S^ sera égal à jr^ si h est pair, c'est-à-dire 
si X est résidu quadratique de p. Au contraire, S^ sera 
égal à j 2 oii à — 1 — ji si h est impair, c*est-à-dire si l 
est non-résidu quadratique de p. Connaissant ainsi les 
sommes de puissances semblables des racines de l'équa- 
tion (6), on calculera les coefficients A„ A3, ..., au 
moyen des formules 

Sj— rt = o, 

S,-- J,S, -4- 2A,rr:o, 

S3-- jiSj-:- 2 A, s, H- 3A3 — o, 



On pourra exprimer ainsi Aa par une fonction entière 
de î« et Ton rendra ensuite cette fonction linéaire au 
moyen de l'équation (5). 

550. L'analyse que nous venons de développer conduit 
à un théorème important que nous devons mentionner. 
Reprenons l'équation 

X, = p -t- Q.v„ 
que nous avons trouvée plus haut ; en changeant^-, en/j, 



SECTION V. CHAPITRE III. 58 1 

on aura 

on a d'ailleurs X = X| X^, donc 







X = 


p« 


-HPQ{/i + Ji) 


+ QVi j«. 


ou. 


à 


cause de 






_ é 






rl-^-r^: 


— • - 


-ï. ^1^1= - 


4 



4X = (2P-Q)«-(-ip /7Q>. 

Et| d'après les remarques faites précédemment, on peut 
énoncer ce théorème : 

Théorème. — p étant un nombre premier autre que 2, 
et X désignant le polynôme 

xP-i H- xP-^ -h ... -4- ;r -4- I, 
on aura 

^X:=Y^-pZ* si ;7r:r4/-î-I, 

et 

4X:-^Y»-:-/)Z* si ;>r=4i-:-3. 

p 3 

Z e5^, dans les deux cas y un polynôme du degré ~ — 

à coefficients entiers dans lequel les termes également 
distants des extrêmes ont le même coefficient; Y est un 

polynôme du degré- à coefficients entiers dont les 

termes également distants des extrêmes ont des coeffi- 
cients égaux et de même signe, ou égaux et de signes 
contraires, suivant que p = 4i -h ^ ou 4i -r- i» . 

Le nombre 3 échappe à notre analyse, ainsi que nous 
en avons fait plus haut la remarque. L'équation 

4(.r»--a:-hl) = Y»-4-3Z» 



58a couns d'algèbeb sdpémedbe. 

admet toutefois les trois solutions 

Y - .r -H 2, Z = x, 

Y — x — i; Z = j--f-i; 

mais les polynômes Y et Z, relatifs à l'une quelconque de 
CCS trois solutions, ne satisfont pas à toutes lesconditioDs 
indiquées dans Ténoncé du théorème. 

Enfin le résultat que nous venons de trouver relalive- 

ment à la fonction peut s'étendre à la fonction 

X — I * 

j-P yP 

plus générale 5 qu'on déduit de la première en 



,r 



cha.ageant x en -> et en multipliant ensuite parj^"*. 

On peut évidemment, d'après cela, énoncer le théo- 
rème suivant ; 

Le nombre p étant premier, on peut satisfaire à 
t équation 

Cnî xP — yP 

x—x 

en prenant pour Y etX des fonctions entières de x ety» 



Sur quelques propriétés de la fonction résol^anto 

j-P ._^ I 
qui se rapporte à l* équation ^=1 o. 

X '~~ I 

551. Soit, comme précédemment, x une quelconque 
des racines de l'équation = o, et a une racine pri- 
mitive pour le nombre premier/?. En désignant par a une 
racine quelconque de l'équation ■— o, nous po- 



SECTION V. — CHAPITRE III. 583 

serons 






et nous allons en premier lieu démontrer que Ton a 

F(a)F(a->) = « • p. 

On a 



F(«->;=y a-*x«*. 



et, par conséquent. 







Pour évaluer cette somme double, je mettrai en évi- 
dence les coefïicients des diverses puissances de a, et 
j'introduirai à cet effet le nombre entier 

Alors le coefficient de ol' sera 



or' 



1 

le signe \ s'étcndant aux p — i valeurs de k 

o, I, 2, m • , j p — 2. 

Or on peut écrire 

a^+i -4- a* =: a*' ( û' -H 1 ) ; 
si donc on n'a pas 

rt'-t-i=:2 (mod. />), 



584 COURS D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE. 

c'est-à-dire 

'A 

l'expression a* (n'-f-i) donnera, pour les diverses valeurs 
de /. et abstraction faite des multiples de py la série des 
nombres 

1,2, ...,/? — t. 

Ainsi le coefficient de «' sera 

X -f- JT* -f- . . . -!- jpp^^ ou bien — i , 
et cette conclusion aura lieu pour toutes les valeurs 

O, 1,2, ...,)» — 2 

de /, en exceptantle seul cas /=-^^ • La somme double 

que nous avons à évaluer sera donc composée du produit 

de — I par la somme des diverses puissances de a, sauf 

p-i 

la puissance a * , et, en outre, du groupe de termes co^ 

respondant à la valeur l-=— — • Lorsque l=— > 

l'exposant de x est congru à zéro pour toutes les valeurs 
de A"; par conséquent, le groupe que nous considérons 

sera composé de [p — i) fois la racine a * . Réunissant 
ces deux parties de la somme double, on trouve pour 
résultat 

a ^ [p — I ) -f- a * n: a « /^, 

ce qui démontre le théorème énoncé. 

552. Nous allons maintenant établir une seconde pro- 
position qui consiste en ce que, si T/iet/i sont deux nom- 
bres entiers quelconques, mais non liés par la relation 

mr^ — n (mod. /?), 



SECTION V. CHAPITRE III. 585 

le produit F(a'»)F(a'») est égal à la fonction F («'»+''), 
multipliée par un polynôme en a, dont les coefïicients 
sont des nombres entiers. Ainsi, en désignant par ^ (a) ce 
polynâme, on aura Tégalité 

En efiety on a 

F (a'") = Va'"^ar«\ 
F (a") ^Va-^or**, 

donc 

F ( a'" ) F (a« ) — V V a'»*^'»* :r«'+«\ 

et c'est la somme double du second membre qu^il s'agit 
d'évaluer sous la forme annoncée. Pour cela nous allons 
mettre en évidence, non plus les coefficients des diverses 
puissances de a, comme précédemment, mais les coeffi> 
cients des puissances de x. Ces puissances formant la sé- 
rie o, I, 2y. . .y p — I, occupons-nous d'abord du pre- 
mier terme qui proviendra de toutes les valeurs de i et k, 

telles qu'on ait 

a'-}-a^==o [mod, p), 

c'est-à-dire 

Sous cette condition^ la somme 

s^évanouit, car n'ayant pas m-hn^o (mod. ;:;), l'expres- 
sion {m-^n) k produit la série des entiers inférieurs kp^ 
comme on le sait. 

Maintenant, pour mettre en évidence le coefficient 



586 COURS d'algèbre supérieure. 

d^une puissance quelconque de Xy dont rexposant serait 
E=ia', posons 

«'-f-a*^<i' (mod.p}; 

ce coefïîcienl sera 



s 



^mi-^nk 



les entiers i et k devant prendre toutes les valeurs qui 
peuvent vérifier la précédente condition. Si Ton fait 

A- = / -f- V, 

la condition dont il s'agit devient indépendante de /, et 
elle se réduit à 

a»* -f- a* -iz: I ' mod. p ] . 

Nous pouvons concevoir que, pour une valeur donnée 
du nombre premier p, on ait formé d'avance le système 
des nombres fji et v, liés par cette relation ; cela fait, on 
trouvera 



.min-n» 



Donc, si Ton pose 

le coefficient de x^ sera 

et la somme double sera bien, comme nous l'avons an- 
noncé, 



.;i(a)ya('" -»-'')' x^'=';(a^F(a 



m-^n 



553. Ces polynômes, ou plutôt ces nombres complexes^ 



SECTION V. — CHÀPITHE III. 587 

(f(a), dont la formation dépend essentiellement des en- 
tiers /ut et V, et ensuite des nombres m et n, conduisent à 
d'admirables théorèmes arithmétiques dont nous allons 
donner quelques exemples. 

J'observe d'abord que la relation 

donnera, en changeant les signes de m et /z. 

Multipliant membre à membre, et ayant égard à la rela- 
tion 

on trouve immédiatement 

Un cas particulier très-simple montrera tout l'intérêt 
qui s'attache à ce résultat. Soit 

p^i ( mod. 4] i 

on satisfera à l'équation 

en prenant 

a -— v' — 1 =/. 

Alors ^{o^)y somme de puissances entières de i, sera de 
la forme a -+- bi. a et b étant entiers ; d'ailleurs - = - 
aura pour valeur — i , de sorte que 

donc tout nombre premier == i (mod. 4) est de la forme 
Ce théorème, qui a été établi par une méthode si diffé- 



5ga COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 

Donc on a, dans tous les cas, 
et, par suite, 






Cela posé, si Ton fait 

^1 = r -f- r«'-+- r*»'-*- ... -4- r"^"^^ 
7, == r« -i- r«'-f- r«*-+- ... -4- r«^", 



on aura (n**548) 



= _i:±V(-.)'^/>, 



■^' 2 a 



= -^^^V(-.)'^;>; 



•^» 2 a 



d'où 



=:r,-.r. = ^V(-«)'' />. 



Substituant cette valeur de P dans le premier membre 
de la formule (i), celui-ci se réduit à 

IzA /Lui î-ii / Q 

p • i-» ' ' - u 

quantité qui est un nombre entier. Quant au second 
membre q — - — » il se réduira donc aussi à un nombre 



SECTION V. CHAPITRE III. Sq3 

entier E, et Ton aura 



(i-)'=-'-f 



Il s'ensuit que le carré de \ A/** est une fonction symé- 
trique et entière des racines de l'équation ' = o ; 

par suite, ce carré a pour valeur un nombre entier, ce 
qui exige que E soit un multiple M^ de ^. Ainsi Ton a 

M étant un nombre entier. Par conséquent, 

P • (-•) * * -(1)=**^ = 
remarquant que 

7 — 1 / V 

p * izr [ - j -f un multiple de q, 

et supprimant de part et d'autre les multiples de q<, il 
vient 

cette formule ( 2 ) exprime précisément le théorème de 
Legendre. 



>«*M 



S«— jiig, sup,p II. 38 



594 COURS d'algèbrk supitniEuaE. 



CHAPITRE IV. 

SUR LNE CLASSE D'ÉQUATIONS DU NEUVIÈME DEGRÉ 
RKSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 



Du déterminant d^une fonction entière et homogène 

de trois variables. 

S56. Otto Hcsse a publié dans le Journal de Crelh 
(t. XXVIII, p. 68, et t. XXXIV, p. 191) deux Mé- 
moires remarquables sur la détermination des points 
d'inllcxion des courbes du troisième degré. Dans son 
second Mémoire, Féminent géomètre a démontré que: 

Les points d'inflexion d'une courbe algébrique du 
degré n sont situés sur une seconde courbe du degré 
3 (n — a )> et, par suite, que ; 

Une courbe algébrique du degré n a généralement 
in{n — 2) points d'inflexion, réeh ou imaginaires. 

Dans les cas particuliers, quelques-uns de ces points 
d'inflexion peuvent être situes a Tinfîni ou être rem- 
placés par des points multiples. 

Lorsque n -Zf on a ce théorème : 

Les points d*inJlexion d'une courbe du troisième 
desré sont situés sur une seconde courbe du troiMème 
degré, 

11 en résulte que la recherche des points d'inflexion 
d'une courbe du troisième degré dépend généralement 
de la résolution d'une équation du neuvième degré aune 
inconnue. Or il est très-remarquable que cette équation 



SECTION V. CHAPITRE IV. 5q5 

du neuvième degré soit toujours résoluble algébrique- 
ment, et qu'il suffise, pour effectuer cette résolution, de 
résoudre une seule équation du quatrième degré et trois 
équations du troisième degré. Cette proposition se dé- 
duit facilement, comme nous le ferons voir plus loin, 
du théorème de Hcsse énoncé plus haut, et d'un autre 
théorème démontré pour la première fois par Maclaurin 
dans son Essai sur les lignes du troisième degré, théo- 
rème qui consiste en ce que : 

La droite qui joint deux points d'inflexion d^une 
courbe du troisième degré rencontre la courbe en un 
troisième point d'inflexion. 

La démonstration que Hesse a donnée dans son se- 
cond Mémoire, pour établir la résolubilité de Téqua- 
tion du neuvième degré dont il s'agit, suppose égale- 
ment le théorème de Maclaurin. liesse fait voir qu'il 
existe certaines relations entre les racines, et il démontre 
généralement que toute équation du neuvième degré 
dont les racines ont cette même propriété est résoluble 
par radicaux. Cette analyse de Hesse est remarquable ; 
on en trouvera le développement à la fin de ce Chapitre. 

SS7. Soit U une fonction quelconque entière et homo- 
gène du «'*"• degré de deux variables x et j^ ; U ;:i^ o sera 
une équation quelconque du degré n si l'on prend pour 

inconnue -9 et cette équation aura trois racines égales 

si l'on peut satisfaire en même temps aux trois équa- 
tions 

Ces équations de condition sont respectivement des de- 
grés /i, /i — ly n — 2 ; mais on peut à leur place prendre 
trois équations du môme degré n — a. Elles peuvent ef- 



Sg6 COURS D'ÀLGÈBlie SUPÉEICURE. 

fectîvement s'écrire ainsi (*) ; 

u = ,7(7=:^ r 7^ -*-^'-^5^ -*-^' -^j ^^ 



dV 
d 

rf»U 



 cause de la troisième équation, la deuxième se réduit à 

- — - = o, et la première devient ensuite -t-t = o. Donc 
dxdjr * dx* 

les équations de condition relatives à l'égalité de trois 

racines de Téquation U = o sont les suivantes du degré 

n — 2 chacune : 

d^V _ d^V _ d^V _ 

dx^ -''' dVd}-""' ■^~^' 

On ferait voir de môme que généralement les équations 
de condition relatives àTégalité de m racines de Féqua- 
tion U = o sont les suivantes, du degré n — m -f- i ; 



(*) Cela résulte immédiatement du théorème connu dit tirs foneticns 
homogènes. Soit /; x, j, . . .) ^iie fonction homo;;ène du degré /i de plu- 
sieurs variables; en multipliante,^,... par i-Ha, il Tient, d'après U 
définition des fonctions homo{;ènos, 

/(x -t- ax, r -+- aj^, . . .) ~ (i -h *)•*/( x,r ). 

Développant les deux membres par rapport à a et égalant ensuite les 
coefficionts des mômes pui!>sances de a, il vient 

,lf il/ 



(Le <ii 



fPr ,/*/• ,r/ 



ir 



•*' <zn ^ '••' ;zr,7r ■^■' ^ ^- ■^- •-=■">- '>^(-^- ■'-••• •'. 



SECTION V. — chapithe TV. 597 

S58. Soit maintenant u une fonction quelconque 
entière et homogène, du ti**"* degré, de trois variables 

X, j'f z. Si l'on représente par -et -les coordonnées 

rectangulaires ou obliques d'un point variable, l'équa- 
tion 

(i) u = o 

représentera une courbe quelconque du n'*"* degré (*). 
Une droite quelconque, dont l'équation est 

(2) z = ax 4- by^ 

rencontre, comme on sait, la courbe en n points ; si l'on 
porte la valeur de z tirée de l'équation (2) dans la fonc- 
tion u, celle-ci devient une fonction homogène U des 
deux variables x et j^, et les n racines de l'équation 

U = o, où l'on considère - comme l'inconnue, sont les 

X 

rapports des coordonnées des points où la droite ren- 
contre la courbe. Mais l'équation de la ligne droite 
contient deux constantes a et b qui s'introduisent, dans 
l'équation U = o ; on peut établir entre ces constantes 
une relation telle, que deux racines de l'équation U = o 
deviennent égales : dans ce cas, la droite devient une 
tangente de la courbe. Et, si l'on donne aux constantes 
a et b des valeurs telles, que trois racines de l'équation 
U = o deviennent égales, la droite sera tangente en un 
point d'inflexion ; ce point sera déterminé, commme on 



jc y 
(*) Hcsse a eu le premier Tingénieuse idée do représenter par -> - 

les coordonnées rectilignes d'un point dans un plan, et par -» '-« ~ les 

a a w 

coordonnées dans l'espace; alors toutes les équations que l'on a à coiibi- 

dérer sont homogènes. 



5p8 COURS d'algèbre supérieure. 

Ta vu plus haut, par les trois équations 
cru cPV r/«U 

zrr O =0, r:rz 0. 

cix^ djrdy ' dy' 

Mai S, comme U est la valeur que prend u pour z;=:ar-f-6j^, 
si Ton fait, pour abréger, 

d^u d^u d^u 

d.i" d\^ flj' 



d^ u d^u d^u 

dydz a.rdz dxdy 



les trois équations précédentes pourront s'écrire comme 
il suit: 

(3) I Wi.2-^-^'"i.3-*- '^"3.1 -»- ^7^1/3.3 -_- o, 

I "f ,1 H- 2 //l/,,j -f- />' «3.3 = o. 

Si l'on élimine a et t entre ces équations, on obtiendra 
l'équation d'une courbe qui rencontre la proposée aux 
points d'inflexion. Pour effectuer cette élimination, ré- 
solvons la deuxième des équations (3) par rapport à a, ce 
qui donne 



a =r — 



''2.3 -^ /'"a.3 



et portons cette valeur dans la première équation, nous 
obtenons 

ou, en ordonnant par rapport à t, 

"l.l"3.3— ^"«.3"3.l"l.J^-''3.3«î., -^-("1.1^3.3 — ";.,)(?/^',.,-h^«tf,^ =='^ 

Si enfin on multiplie la dernière des trois équations 
que nous considérons par 



SECTION V. — CHAPITRE IV. 5gg 

et qu'on en retranche ensuite Téquation que nous ve- 
nons déformer, on obtiendra l'équation finale qui résulte 
de l'élimination de a et 6; nous la représenterons par 

(4) Al/--:zO, 

en posant, pour abréger, 

Au — Ui^i «,,, «,,, -:- 21/,,, 1/3,1 ll,,j — «1,1 l/J., — I/j,j til,t — «8,S "I.î. 

L'équation (4) est celle de la courbe cherchée, la- 
quelle rencontre la proposée m -- o aux points d'inflexion. 
Cette équation est, comme on voit, du degré 3 (/i — 2), 
d'où il suit qu'une courbe du n**"* degré a généralement 
37i(/i — *ii) points d'inflexion. En particulier, une courbe 
du troisième degré a neuf points d'inflexion. 

La fonction Au est égale au déterminant 



"l.l 


«l,î 


"1,3 


«J,l 


«2,1 


«J,S 


«3,1 


«8.S 


«3.3 



et Hesse lui a donné le nom de déterminant de la fonc^ 
tion II. 

559. Lorsque les coeflicients de la fonction u sont in^ 
déterminés, la courbe représentée par l'équation u = o 
n'a pas de points multiples. Pour de tels points on a 
simultanément 

du du 

— =o, -r=0, 11 = 0, 

ety au moyen des deux premières équations, la troisième 

se réduit à 

du 

— =0» 

dz 

par le théorème des fonctions homogènes. La relation 
entre les coeflicients de u, exigée par l'existence de 



6o<> covtis d'algèbre supérieurs. 

points multiples, résultera donc de rélimination dex 

et j^ entre 

du du du 

tLr djr ilz 

Ces équations peuvent être mises sous la forme 

et l'on en déduit évidemment 

Au = o. 

Au reste, la méthode dont nous avons fait usage pour 
trouver les points d'inflexion montre que les points mul- 
tiples, quand il en existe , satisfont à la précédente 
équation; car, si la droite z = ax+ hy devient tangente 
à la courbe en un point multiple, l'équation qui résulte 
de l'élimination de z entre 

tf ^zi o et z = ax -f- h y 

aura évidemment trois racines égales. 

11 est facile de voir qu'une courbe du troisième degré 
ne peut avoir un point triple ou trois points doubles à 
moins qu'elle ne se réduise à un système de trois droites; 
elle ne peut non plus avoir deux points doubles à moins 
qu'elle ne se réduise au système formé d'une conique et 
d'une droite. 

560. Le calcul que nous avons fait au n» 558 ne dif- 
fère pas de celui qu'il faudrait exécuter si l'on voulait 
obtenir la condition pour que la droite (2) fit partie Ja 
lieu représenté par l'équation (i). En efict, la solution 
de ce nouveau problème s'obtiendra en exprimant que 
le résultat U de la substitution de ax-^bj à :;, dans u, 



SECTION V. CHAPITIIE IV. 6oi 

est identiquement nul. On aura donc 

et il est évident que ces conditions sont suffisantes, 
puisque Ton à 

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les équations (3) ont 
lieu identiquement en vertu de Téquation (2), et par 
conséquent il en est de même de Téquation (4)* Donc 
toute droite qui fait partie du lieu de Téquation u = o 
appartient aussi au lieu de Téquation A// = o. 
Dans le cas de /i = 3, on a ce théorème : 

Si V équation u= o représente trois lignes droites, 
ces mêmes droites constituent le lieu de l'équation 
Au r=Oy et l'on a en conséquence Au = ku^ k étant une 
constante. 

Il peut arriver que le déterminant Au soit identique- 
ment nul; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que 
le lieu de Téquation it t= o soit un faisceau de n lignes 
droites. Bien que nous n'eussions pas à faire usage de 
ce théorème dû à Hesse, nous ne pouvions nous dis- 
penser de le mentionner ici. 

Sur les points d'inflexion des courbes du trozsicme 

degré. 

561. Nous commencerons par établir, à l'égard des 
courbes du troisième degré, quelques propositions gé- 
nérales sur lesquelles nous aurons à nous appuyer. 

Rappelons d'abord que le système formé d'une conique 
et d'une droite, ou le système de trois droites, constitue 
une variété des lignes du troisième degré. 



6o2 COUaS D'ALGÈBaE SUPÉRlEDaE. 

Lemme I. — Deux courbes du troisième degré se 
coupent généralement en neuf points. 

Cette proposition se déduit immédiatement du théo- 
rème de Bézout sur le degré de Téquation Gnale qui ré- 
sulte de Télirnihation d'une inconnue entre deux équa- 
tions. 

562. Lemme II. — Neuf points suffisent, en général, 
pour déterminer une courbe du troisième degré. 

Il y a efleclivement dix termes dans l'équation géné- 
rale des courbes du troisième degré. Le coefficient de 
l'un de ces termes peut être choisi arbitrairement, et il 
reste alors neuf coeflicients indéterminés dont on peut 
disposer de manière à assujettir la courbe à passer par 
neuf points donnés. On obtient ainsi neuf équations du 
premier degré entre les coefficients inconnus ; en- gé- 
néral, ces équations admettent une solution unique, et, 
par suite, on ne peut généralement faire passer qu'une 
seule courbe du troisième degré par neuf points 
donnés (*). 

Corollaihe. — Si u r=z o^ v^ -- osont les é(/uations en 
coordonnées rectilignes de deux courbes du troisième 
degré, l'équation générale des courbes du troisième 
degré qui passent par les points communs aux courbes 
données sera 

X désignant une constante indéterminée. 

D'abord il est évident que l'équation v' -^ X« — : o ri^- 



(') Dans sesboll«»9rechorches sur les courbes du troisi<>nie et du qua- 
trième degré {voir les Comptes rendus de V Accuiémie des Sciences, l. X\N 1. 
p. 913, et t. XXVII, p. 272, 437 ot 4;2}, M. Chasles a fait connaiire deux 
méthodes remarquables pour construire la courbe du troi»ième dcgrvqui 
passe par neuf points donnés. 



SECTION V. — CHAPITRE IV. 6o3 

présente une courbe qui passe par les points d'intersec- 
tion des courbes données. En second lieu, soit C l'une 
quelconque des courbes du troisième degsé qui passent 
par ces neuf points ; prenons sur cette courbe un point 
quelconque M qui n'appartienne pas aux courbes don- 
nées et désignons par i^t, Ut ce que deviennent i^ et u, 
pour le point M. Si l'on détermine A par la condition 
Ui -r-Xut =: o, la courbe représentée par l'équation 
i/ -i- Xz = G passera par le point M; cette courbe ayant 
ainsi dix points communs avec la courbe C, elle coïncide 
avec elle. 

La démonstration précédente ne s'applique pas au cas 
où les lieux des équations u= Oy i^=^ o auraient une 
droite commune ou une conique commune. Mais, dans 
ce cas, on a 

V :. r tu y U rrr. tu! \ 

i/ = o, i/ r-: o représentent des droites ou des coniques, 
et i/-f- Xié =r. o représente toute droite et toute conique 
qui passe par leurs points d'intersection. Il s'ensuit que 
♦r -I- Xm = o représente encore toutes les courbes du troi- 
sième degré qui passent par les points communs aux 
proposées. 

563. Lemme III. — Soient A|, Aj, Ay, A4, A5, A^, 

A7, Ag, A9 les neuf points d'intersection de deux 
courbes du troisième degré données ^ on peut faire 
passer par sept quelconques de ces points une infinité 
de lignes du troisième ordre qui ne passent par aucun 
des deux autres points. 

Considérons les sept points 

^1» Aj» ■"■3> "^4» ■"■*♦ -^6» ^' 

Si trois d'entre eux, A|, A2, A3, par exemple, sont en 
ligne droite, il existera trois systèmes formés de deux 



6o4 COURS d'algèbre supëriedeb. 

droites tels, que chaque système renferme les quatre 
points A4, A5, Ae, A7. L'une de ces six droites peut 
passer par Ag ou par Aq, mais elle ne saurait contenir 
en même temps ces deux points, car une courbe du 
troisième degré ne peut avoir plus de trois points en ligne 
droite; donc, parmi nos trois systèmes de droites, il y en 
a au moins un qui ne renferme aucun des points Ag, Af 
Ce système constituera, avec la droite AiAjAj, une 
ligne du troisième ordre qui remplira la condition 
énoncée. 

Si, parmi les six points considérés, il y en a six qui 
soient sur une conique, cette conique n'aura aucun autre 
point commun avec l'une ou l'autre des courbes données, 
et par suite elle ne passera ni par Ag ni par A». Si donc 
on joint à cette conique une droite arbitraire menée par 
le septième des points considérés et qui ne passe ni par 
Ag ni par A», on aura une ligne du troisième ordre qui 
remplira encore la condition énoncée 

Supposons maintenant que parmi les sept points con- 
sidérés il n'y en ait pas six sur une conique ni trois en 
ligne droite. Joignons le point A7 aux six autres; parmi 
les six droites obtenues. 

Al A-, A, A7, A3 A-, A4 A7, A5A7, As A7, 

il ne saurait y en avoir plus d'une passant par Ag, ni plus 
d'une passant par A9 ; on peut donc supposer que 

A3A7» A4 A7, A5A7, Afi A7 

ne passent ni par Ag ni par A». Pareillement, si l'on joint 

le plan Ae aux points A3, A^, A5, on obtiendra les trois 

droites 

A3 Ac, A4 Afi, A5 A„ 

parmi lesquelles il s'en trouvera une au moins qui ne 
passera ni par Ag ni par A^. D'où il suit que, parmi les 



SECTION V. — CHAPITRE IV. 6o5 

sept points considérés, on peut toujours en trouver trois 

A5» Ag, A7, 

par exemple, tels que les droites qui joignent ces points 
deux à deux ne passent par aucun des points Âgy A9. 
Cela posé y considérons les lignes du troisième ordre 
formées respectivement des coniques qui passent par 
A|« Aj, A3, A4, Aj; At, Aj, Aj, A4, Aj; A|y A^, A^, A4, A7 
et des droites 

Afi A7, A( A7f A5 Af* 

L'une des coniques peut contenir Tun des points Âg, Â9, 
mais non pas ces deux points à la fois, car une conique 
ne peut rencontrer une ligne du troisième ordre en plus 
de six points. D'ailleurs deux de nos coniques ne peu- 
vent avoir que les seuls points communs Â| , Â^, As, A4 ; 
donc Tune d'elles au moins, Â1Â2Â3Â4Â5, par exem- 
ple, ne contient ni Âg ni Â9. En joignant à cette co- 
nique la droite Â0Â7, on formera une ligne du troisième 
ordre remplissant la condition énoncée. 

Ainsi, dans tous les cas, nous savons trouver une ligne 
du troisième ordre qui passe par les sept points consi- 
dérés et qui ne contient aucun des deux autres points. 
Soit 

Féquation de cette ligne relativement à deux axes coor- 
donnés. Soient aussi 

1/ .zi: O, V =:: O 

les équations des courbes données, a et b deux con- 
stantes arbitraires; il est évident que Téquation 

au -:- ùv -'- iv z-zo 

représentera une infinité de courbes du troisième degré, 
qui toutes rempliront la condition énoncée. 



6o6 COURS DÀLGÈBUE SUPÉRIEURE. 

564. Théorème I. — Toute courbe du troisième degrés 
qui passe par huit des neuf points d'intersection de 
deux courbes du troisième degré données, passe égale- 
ment par le neus^ième point dHntersection de ces deux 
courbes. 

Soient r et Fj les deux courbes d u troisième degré don- 
nées. Supposons qu'on se propose de faire passer une 
courbe du troisième degré par les neuf points d*inter- 
scction des courbes F et Fi ; les neuf équations linéaires 
que doivent vérifier les coefficients de Téquation de la 
courbe inconnue admettront les deux solutions relatives 
aux courbes F et F| qui satisfont au problème. Il s'en- 
suit que le système de ces neuf équations est indéter- 
miné ; d'ailleurs huit quelconques d'entre elles sont dis- 
tinctes, d'après le lemme 111, et en conséquence ellef 
entraînent nécessairement la neuvième. On peut con- 
clure de là que, si l'on assujettit une courbe du troisième 
degré F2 à passer par huit des points communs aux 
courbes F et F«, et que, pour achever de la déterminer, 
on se donne une nouvelle condition arbitraire, la courbe 
F2 passera nécessairement par le ncuviome point d'in- 
tersection des courbes F et F|. 

Corollaire 1. - Si trois des neuf points d'intersec- 
tion des deux courbes du troisième dei^ré sont en Itj^ne 
droite, les six autres points d'intersection sont siliu's 
sur une conique. 

En clTcl, la droite qui passe par les trois pronii»^r< 
points d'intersection des courbes «ionnécs F et F,, et la 
conique qui passe par cinq des six autres, forîuent une 
ligne du Iroisitîuii* de;;ré (jui passe parle neuvième pt>ini 
d'intcrscol ion des courbes F et F| ; donc la conique p.î>?' 
par ce ncuvicinc point, car une courbe du Iroi-sicmo 
degré ne peut avoir (jualre points en ligue dnnie. 



SECTIOIf V. CHAPITRE IV. 607 

Corollaire II. — *Si six des neuf points d^interseC" 
tion de deux courbes du troisième degré sont situés sur 
une conique, les trois autres points d^ intersection sont 
en ligne droite. 

En efTet, la conique qui passe par les six premiers 
points d^intersection et la droite qui passe par deux des 
trois autres forment une ligne du troisième degré qui 
passe par le neuvième point d'intersection ; donc la 
droite passe par ce neuvième point, car une conique ne 
peut avoir plus de six points communs avec une courbe 
du troisième degré. 

Corollaire III. — Si trois des neuf points d^ inter- 
section de deux courbes du troisième degré sont en ligne 
droite, et que trois des six autres soient aussi en ligne 
droite, les trois dernieis seront pareillement en ligne 
droite. 

Ce corollaire est évidemment un cas particulier du 
précédent. 

565. Les propositions que nous venons d'établir con- 
duisent à un grand nombre de conséquences intéres- 
santes ; mais, pour ne pas trop nous écarter de notre 
sujet, nous nous bornerons à montrer comment on en 
déduit immédiatement le théorème connu de Pascal, re- 
latif à rhexagone inscrit dans une conique. On sait que 
ce théorème consiste en ce que : 

Si un hexagone est inscrit dans une conique, les points 
de rencontre des côtés opposés sont en ligne droite. 

En effet, soient A, B, C, D,E, F les sommets de Thcxa- 
gone ; soient M, N, P les points d'intersection des côtés AB 
et DE, BCetEF,CD et FA. Les lignes du troisième ordre 
formées. Tune des droites AB, CD, EF, l'autre des 



6o8 



COURS D'ALCiBRE SUPÉRIEURE. 



droites BC, DE, FA, se coupent aux neuf points A, B, 
CéfDyE, F y My N, P. Of Ics six premiers points sont une 




conique ; donc les trois autres sont en ligne droitei ce 
qu'il fallait démontrer. 

566. Théorème II. — La droite if ui joint deujc points 
d'inflexion d'une courbe du troisième degré rencontre 
la courbe en un troisième point d'inflexion. 

Soient A et A' deux points d^inflexion d'une courbe du 
troisième degré F, et supposons que la droite AA' ren- 
contre la courbe F au troisième point A"; je dis que A* 




•^ 



est un point d'inflexion. En clfet, menons par le point A 
une sécante quelconque qui rencontre de nouveau la 
courbe aux points B et C; par le point A une seconde 
sécante quelconque qui rencontre de nouveau la courbe 



SECTION V. CHAPITRE IV. 609 

aux points B' et C; joignons BI? et CC^ qui rencontrent 
de nouveau la courbe aux points B" et CI' respectiveraenl ; 
joîgnonsenfin A''B''. La ligne du troisième degré formée 
des trois droites ABC, A'B'C et A"B" passe par huit des 
points d'intersection de la courbe F et de la ligne du troi- 
sième degré formée de droites AA'A^', BB'B", CC'C': 
elle passera donc par le neuvième point d'intersection C; 
et, comme une courbe de troisième degré ne peut avoir 
quatre points en ligne droite, il faut nécessairement 
que les trois points A'', B'^, CI' soient en ligne droite. 
Imaginons maintenant que les sécantes BC et B'C tour- 
nent respectivement autourdes points A et A', de manière 
à devenir tangentes à la courbe ; comme A et A' sont 
deux points d'inflexion, les points B et C se confondront 
avec A à la limite : pareillement, B' et G se confondront 
avec A'; donc les droites BB'B" et CC'C" coïncideront 
avec AA'A'', et, par suite, les trois points d'intersection 
de la courbe avec la sécante AI'WC" se confondront en 
un seul A'*^, qui est ainsi un point d'inflexion. 

Remarque. — Bien que la forme de ce raisonnement 
soit géométrique, il est évident qu'il s'applique au cas 
des points imaginaires comme à celui des points réels. 

567. Théorème III. — Le nombre des droites qui 
passent chacune par trois points d' inflexion d'une 
courbe du troisième degré donnée est égal à douze. 
Ces douze droites forment quatre systèmes composés 
chacun de trois droites, et les neuf points d'inflexion 
de la courbe sont trois à trois sur les trois droites de 
chaque système. 

Si l'on joint par des droites l'un des points d'inflexion 
de la courbe à chacun des huit autres, il est évident que 
ces huit droites se réduiront à quatre distinctes, puisque 
la droite qui passe par deux points d'inflexion passe 

S. — Jilx» *up,, il. 3g 



6io COURS d'algèbre supérieure. 

aussi par un troisième, el que, d'ailleurs, quatre points 
d'inflexion ne sauraient être en ligne droite. Donc, parmi 
les droites qui joignent les neuf points d'inflexion trois 
à trois, il y en a toujours quatre qui passent par Tun 
quelconque de ces points. En comptant quatre droites 
pour chaque point d'inflexion, on aura 4 X 9 ou trente- 
six droites ; mais alors il est clair que chaque droite se 
trouve prise trois fois, et, par suite, ces trente-six droites 
se réduisent à douze distinctes. 

Considérons l'une des quatre droites qui passent par 
un même point d'inflexion ; cette droite renferme trois 
points d'inflexion, et par chacun de ceux-ci passent seu- 
lement trois autres de nos douze droites; donc, parmi 
ces douze droites, il y en a deux qui ne passent par aucuo 
des trois premiers points. L'une d'elles contient ainsi 
trois nouveaux points d'inflexion, et les trois derniers 
points seront alors sur l'autre droite, puisque les neuf 
points sont communs à deux courbes du troisième degré 
(n** 564, corollaire III). On peut conclure de là que les 
douze droites considérées forment quatre systèmes de 
trois droites passant par les neuf points d'inflexion. 

568. Pour reconnaître la loi de la distribution des 
neuf points d'inflexion sur les douze droites dont il vienl 
d'élrc question, on peut employer avec avantage la con- 
sidération des imaginaires que Galois a introduites dans 
la théorie des nombres. ISous désignerons les points dont 
il s*agit par une même lettre aflcctée d'un indice sus- 
ceptible de prendre neuf valeurs distinctes, et nous 
adopterons, pour les valeurs de cet indice, les neuf ra- 
cines ai -4- i de la congruence 

P — / =: o \ mod. 3 ; . 

L'une de ces racines est zéro et les huit autres sont con- 
grues aux puissances d'une racine primitive de la cou- 



SECTION V. CHAPITRE IV. 6 11 

gruence 

/•— lEzso (mod. 3). 

Celle-ci a quatre racines primitives : ce sont les racines 
des deux congruences irréductibles 

1* — / — I s= o, /** -f- / — I ^ o (mod. 3). 

Nous désignerons par i une racine de la première, et 
l'on aura en conséquence 

/• sir/ -f- 1 (mod. 3), 

d'où 

/•îZE 7.1 -f- I, i^^ii -+- 2, j 

/*=S2, f' = i-\-i, \ (mod. 3). ' 

i^^-iii^ /*==:i, ) 

Cela posé, considérons l'un des quatre systèmes de 
trois droites qui passent par les neuf points d'inflexion, 
et attribuons aux points situés sur ces droites les indices 
des trois lignes respectives du tableau suivant: 



O, I, 2» 

(i) \ h '-*-!» '4-2, 



\ 2/, 2/ -+- I, 2/ 



Pour former les combinaisons des indices qui répon- 
dent à l'une quelconque des neuf lignes restantes, il faut 
prendre trois indices appartenant respectivement aux 
trois lignes du précédent tableau, et, comme rien ne dis- 
tingue entre eux les trois points situés sur l'une des 
droites du premier système, on peut supposer que les 
lignes verticales du tableau (i) répondent chacune à trois 
points situés sur la même droite. On aura donc ce 
deuxième système 

( o» /\ 2/, 

(a) J I, / H- I, 2/4- 1, 

( 2, / -f- 2, 2/ -h a. 

39' 



6î4 COURS d'algèbhb supÉnnsims. 

et, en multipliant, on a 



( 



K\o) OA„.OAj,^,.OA,,^^7 ^^ JNA/.NA/^j.NAfH-î' 



n est évident qu'on trouvera la même valeur pour 



et ( — — 1 en appliquant le même théorème aux 



droites issues des points A| etÂo; on a donc 






3 



Les points considérés étant supposés réels, la précé- 
dente égalité exige que Ton ait 

MAo _ MA^ _ MA, 

KÂo "" NAj "~ WÂ, ' 

ce qui est évidemment impossible. 

Cela posé, considérons le faisceau obtenu en joignant 
un point d'inflexion imaginaire aux autres points; Tune 
quelconque des quatre droites de ce faisceau coupe la 
courbe du troisième degré en deux points d'inflexion qui 
ne peuvent être réels tous les deux, ni imaginaires con- 
jugués. L'une (le ces droites coiuiendra le point conjugué 
du sommet du faisceau avec un point réel; chacune des 
autres contiendra au moins un nouveau point imaginaire, 
et, comme le nombre des points imaginaires est pair, ii 
sera au moins égal à (). Kniîn, la droite qui passe par 
deux points imaginaires conjugués étant réelle, chaque 
couple de pareils points exige nécessairement un point 
d'inflexion réel, d'où il résulte qu'il y a toujours troi* 
[)oints d'inflexion réels et six imaginaires. 

RKMAngi E. — On pourrait faire à ce théorème Tob- 
jection que voici. On suppose que chacune des droites 
qui passent par deux points d'inflexion imaginaires 



SECTION V. CHAPITRE IV, 6l3 

869. Théorème IV. — Parmi les neuf points d' in- 
flexion d'une courbe du troisième degré réelle, il y en a 
toujours trois réels et six imaginaires. 

D'abord les neuf points d'inflexion ne peuvent pas être 
tous réels. En efl^et, admettons qu'ils le soient, et consi- 
dérons le triangle OMN formé par les trois droites de 




l'un des quatre systèmes dont nous avons établi l'exis- 
tence. Supposons, par exemple, que les côtés MN, NO, 
OM constituent le premier système de quatre droites et 
que ces côtés contiennent respectivement les points 



Aq, Al, 
A/, A 



'%h 



i-*-l> 



^«/-t-1 1 



A„ 
A 



/+2ï 



^%i-\-t* 



En appliquant la propriété connue des transversales au 
triangle OMN coupé par les trois droites issues du point 
Aq, savoir : 



AoA/A,/, Ao A/_^, A,/^.,, A© A/+^ Aj/^.,, 



on trouve 



=1 



MAo NA, OA,/ 
NAo OA/ MA,, 

MAo ^A.-^i OA,/H-, 
NAo OA,^.i MA,/4.j 

MAo NA^ 0\,f^, 
NAo OA/^., MAj/^-i 



= 1 



6l6 GOUKS d'algèbre STJPÉRIEUnC. 

formée des droites 

MAB, M' CD', M'^EF'; 

d'ailleurs les points M, M', M'' sont en ligne droite : donc 

les six points 

A, B, C, E, D', F 

sont sur une conique. 

Cette conclusion subsiste quelle que soit la sécante 
MM'JVr^; faisons tourner celle-ci autour du point M, 




jusqu'à ce qu'elle devienne tangente à la courbe F. Les 
points M' et M'' se confondront avec M, à la limite, si 
celui-ci est un point d'inflexion; alors M'CD' et M*EF 
viennent respectivement coïncider avec MCD et MEF. 
Donc les six points 

A, B, C, D, E, F 

sont sur une conique. 

Mais, si M n'est pas un point d'inflexion, quand la 
droite M M' M'' deviendra tangente à la courbe F, l'un 
des points M', M" seulement se confondra avec M, el 
l'autre point, M' par exemple, tendra vers une posi- 
tion limite M| ; pareillement le point F' coïncidera avec 



SECTION V. — CHAPITRE IV. 617 

F et le poÎDl ly aura une certaine position limite D|. 
Les six points A, B, E, F, C, D| sont sur une conique, 




et celle-ci ne peut contenir le point D ; car autrement 
elle aurait sept points communs avec la courbe F. 

Corollaire I. — Si, par un point M d'une courbe du 
troisième degré F, on mène des sécantes à cette courbe, 
et qu'on prenne sur chaque sécante la moyenne karmo- 
nique entre ses deux segments, les points de division 
ainsi obtenus seront en ligne droite, toutes les fois que M. 
sera un point d'inflexion; et réciproquement, si le lieu 
des points liarmoniques est une ligne droite, le point M 
sera un point d'inflexion de la courbe F. 

En effet, si M est un point d'inflexion et qu'on mène 
trois sécantes M AB, MCU, MEF, les points A, B, C, D, 
E, F sont sur une conique, et la polaire du point M, par 
rapport à cette conique, coupe chaque sécante en un 
point dont la distance à M est la moyenne harmonique 
des deux segments de la sécante. 

Mais, si M n'est pas un point d'inflexion et qu'on mène 
en M la tangente MM4, qui rencontre de nouveau la 
courbe en M|, et qu'on joigne M|C qui coupe de nou- 
veau la courbe en D|, les points A, B, E, F, C, D| se- 
ront sur une conique qui coupera la droite MC en un 



6t8 COURS d'algèbre supêribure. 

point D différent de D,. La polaire du point M par rap- 
port à la conique coupe chaque sécante MAB, MEF, 
MCD' en un point dont la distance à M est la moyenne 
harmonique des segments de la sécante, et il est évi- 
dent que la même chose ne peut pas avoir lieu à l'égard 
des segments MC, MD. 

CoïioLLAïuE 11. — Les neuf points d'inflexion d'une 
courbe du troisième degré donnée sont aussi les points 
d'inflexion de toutes les courbes du troisième degré 
qui les contiennent tous. 

En effet, soit M un point d'inflexion d'une courbe du 
troisième degré F. Considérons le faisceau de quatre 
droites issues de M et qui renferment chacune deux 
nouveaux points d'inflexion. Si Ton prend, sur chaque 
rayon, la moyenne harmonique des segments, les quatre 
points de division seront en ligne droite, d'après le co- 
rollaire I, et, en raison de cette circonstance, le point 
M sera point d'inflexion pour chacune des courbes du 
troisième degré que Ton p<Mit faire passer par les neuf 
points d'inflexion de la courbe donnée. 

CoROLLAïuE 111. — Si u dcsigne une /onction entière 
et liomogcne du troisième degré de trois lyariables^ qur 
la caractéristique A représente généralement le déter- 
minant d'une telle Jonction, et que / soit une constante 
quelconque donnée, on aura identiquement 

A ^ ). 1/ - - A// - A // -T- B A//, 
A et B étant des constantes. 

En effet, i'é(]iiation u -- o représente une courbe donî 
les points d'inflexion sont aussi sur la courbe qui a pour 
équation Au-.-o, PareilIenKMit, si Ton veut avoir les 
points d'inflexion de la courbe qui a pour équation 

AU -i- Su • .. o. 



SECTION V. CHAPITRE IV, GlQ 

îl faudra joindre à cette équation 

A(>w + Aw) — - o; 

or, d'après le corollaire II, celle-ci représente une courbe 
qui passe par les neuf points communs aux courbes 
M = o, /^u z= o ; donc son équation est de la forme 

fAtt4-Aw = o ou Al/ -f- BA// = o. 
On aura par suite, identiquement, 

A(>i/ -+- au] — A« -1^ BAw, 

en déterminant convenablement les constantes A et B. 
La proposition contenue dans le corollaire III est duc 
à Hesse*, le corollaire I et le théorème lui-même sont 
dus à M, Chaslcs, et c'est M. Hart qui en a tiré le pre- 
mier les conséquences que nous venons de présenter (*). 

571. Théorème VI. — Les coordonnées rectilignes 
de chacun des neuf points d' inflexion d'une courbe du 
troisième degré sont exprimables par des fonctions 
algébriques explicites des coefficients de l'équation de 
la courbe. 

En eilct, soit 

(i) u^ o 

l'équation d'une courbe du troisième degré. Les neuf 
points d'inflexion de cette courbe sont aussi, comme on 
l'a vn, sur la courbe du troisième degré qui a pour 
équation 

ÙlU z= O, 

en sorte que, si X désigne une constante indéterminée, 



(*) Foir, h co sujet, une Note de M. Salmon, insérée dans lo 
tome XXXIX du Journal de Crelle, p. 365u 



620 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE. 

l'équation 

(2) "ku -n au =zO 

représentera généralement toutes les courbes du troi- 
sième degré qui passent par les neuf points d'inflexion 
de la proposée. Or nous avons vu qu'on peut faire passer 
par ces neuf points quatre lignes du troisième degré 
formées chacune de trois droites ; donc il y a quatre va- 
leurs de i pour lesquelles l'équation (2) se* décompose 
en facteurs linéaires. En outre, d'après le corollaire III 
du précédent théorème, on a identiquement 

A(>i/ -h Aw I z=z Au -h BAa, 

A et B étant évidemment des fonctions entières de 1 du 
troisième degré. Or, si l'équation Xu -h Au = o repré- 
sente trois droites, l'équation A [lu -h Au) =^ o ou 
Au-hBAu=:o représentera aussi les mômes droites 
(n**560); donc, dans cette hypothèse, on a 

(3) A — >B — o(*). 

Si Ton résout cette équation du quatrième degré en 
1, que Ton prenne pour À Tune quelconque de ces ra- 
cines et qu'ensuite on résolve l'équation (2) par rapport 
à Tune des coordonnées, on trouvera nécessairement 
que les trois valeurs de cette coordonnée sont des fonc- 
tions linéaires de la deuxième coordonnée. La décom- 
position de l'équation (2) en facteurs linéaires étant 
ainsi effectuée, on aura les équations de trois droites 
contenant chacune trois des neuf points d'inflexion de 



(') Dans un beau Mémoire publié au tome XXXIX du JourmaJ de 
CreiUf M. Aronhold a obtenu effectivement ceUe équation du quatrième 
degré en X sous une forme bien remarquable. Car les coeflBcienls t'ei- 
priment par deux fonctions seulement des coefficients de l'èquatioj 
do la courbe proposée. 



SECTION V. CHAPITRE IV. 62I 

la proposée, et, pour avoir les coordonnées de ces neuf 
points, il sulïira de chercher successivement les solutions 
communes à Téquation (i) et à Téquation de chacune 
des trois droites, ce qui exigera seulement la résolution 
de trois équations du troisième degré à une inconnue. 
Il s'ensuit que les coordonnées des neuf points d'in- 
flexion sont exprimables par des fonctions algébriques 
explicites des coefficients de l'équation proposée. 

Corollaire. — L'équation du neuvième degré qui a 
pour racines les abscisses des points d'inflexion d'une 
courbe du troisième degré est toujours résoluble algé- 
briquement^ 

Sur un théorème de Steiner relatif aux courbes 

du troisième degré, 

572. Si u désigne une fonction homogène du degré n 
des trois variables x,j^, z, l'équation 

représentera une courbe du degré n dont les coor- 

données seront - > *-• 

z z 

L'équation de la tangente en un point {x- j, z) A% la 
courbe (i) est 

\Z z) dx \Z z) df ' 



si Fon ajoute le terme 



/Z __ 3\ ^ 

\Z l) dz 



qui est identiquement nul, la précédente équation prcn- 



6a2 COURS d'algèbbb supériburb. 

dra la forme 



à cause de 



du du du 

dx djr dz 



Si les quantités X, Y, Z se rapportent à un point 
donné M, Féquation (2) représentera une courbe du 
degré n — i , et cette courbe coupera la proposée en 
n[n — i) points. Il s'ensuit que, par le point donné M, 
on peut mener en général n[n — i) tangentes à la 
courbe (i). 

Dans le cas de ;i = 2, Téquation (2) représente une 
ligne droite qui est la polaire du point M par rapport à 
la conique (i); cette équation (2) ne change pas quand 
on remplace X, Y, Z par x, jy Zj et inversement. En 
effet, si Ton pose, comme au n® 558, 

d^ u d^u d^u 



d^u d}u €pu 



"j'S» 1 71 '— "l.J» ._ y_ "l.Sf 



dydz "" dxdz '"' dxdx 

on aura, dans le cas de n =^ 2, 

du 

du 

du 

et, comme les quantités Mi^i , u^^^i ••• sont ici des con- 
stantes, il suffit de substituer les expressions précédentes 
dans Téquation (2), pour justifier notre assertion. 



SECTION V. — CHAPITRB IV. 6a3 

573. Considérons maintenant le cas de « = 3 ; l'équa- 
tion (2) représentera une conique qui déterminera sur 
la courbe proposée les points de contact des six tan- 
gentes qu'on peut lui mener par le point donné. Pour 
abréger, je représenterai cette équation (a) par 

et le centre de la conique sera déterminé par les équa- 
tions 

dv . dv 

D'après cela, si Ton veut avoir la condition pour que 
la conique (2) se réduise au système de deux droites, il 
sufIGra d'exprimer que les trois équations précédentes 
sont satisfaites par les mêmes valeurs de x et de v. Or 

les dernières équations réduisent i^ == o à =0;. donc 

la condition demandée s'obtiendra en éliminant x clj 
entre les trois équations du premier degré 

€lv dv du 

ax dr dz 

Ces équations se déduisent de l'équation (a) en rempla- 

. * ,, . du du du . , 

çant dans celle-ci u par ~r'* ~r'* ~r'* successivement; donc , 

d'après ce qui a été dit plus haut , elles ne changeront 
pas si l'on y remplace X, Y, Z par x, y^ z, et inverse- 
ment. On pourra ainsi leur donner cette forme : 

(3) I xU,,i -f-rU,., H- 3U,,, :=r. o, 

( -^Ua.i -+-rUj,, 4- CU3.3 =-- o, 

en représentant par U, U,,,, U«,2> ••• ce que deviennent 
II, U|,i,ii«,2> ••• quand on écrit X, Y, Z aulieudex, r,z. 



624 COURS d'algèbre supérieurb* 

Maintenant Télimination de x et de j- entre les équa- 
tions (3) donne 

(4) AU = o, 

AU étant le déterminant de U; on a ainsi ce théorème : 

Théorème I. — Soient u unefonction entière et homo- 
gène du troisième degré des variables x, y^ z, et ùu 
le déterminant de u. Soient aussi U et AU ce que de^ 
viennent u et Au quand on écrit X, Y, Z au lieu de 
X, jf z. Pour que les points de contact des six tangentes 
menées à la courbe u = o par le point (X, Y, Z) soient 
situés sur deux droites, il faut et il sujjit que ton ait 

Et il en résulte cette conséquence importante : 

Corollaire. — Par un point d'injlexion et une 
courbe du troisième degré on peut mener à cette courbe 
trois tangentes indépendamment de celle qui touche Lt 
courbe au point d'inflexion, et les points de cot^tact de la 
courbe avec ces trois tangentes sont en ligne droite, 

57i. Les considérations qui précèdent nous permet- 
tent d'établir le théorème suivant, que Stciner.a public 
sans démonstration dans le tome XI du Journal de Ma- 
thématiques pures et appliquées. 

Théorème 11. — Une courbe du troisième degré con- 
tient en général 27 points en chacun desquels elle peut 
avoir un contact du cinquième ordre avec une conique. 
L'équation du vingt-septième degré qui détermine ces 
2y points est toujours résoluble algébriquement. 

En effet, soit P un point de la courbe donnée; me- 
nons PM tangente à la courbe e* P, et rencontrant de 
nouveau celle-ci en M. Menons enfin, par le point M, 



SECTION V. CHAPITRE IV. ÔsS 

trois sécantes qui rencontrent la courbe aux points A 
et B, C et D, E et F respectivement. 




Si le point M est un point d'inflexion, les six points 
A, B, C, D, E, F seront sur une conique (n**570), et si 
Ton fait varier ces sécantes de manière qu'elles tendent 
toutes les trois vers la limite MP, la conique variera, 
et, à la limite, elle aura, avec la courbe donnée, six points 
communs confondus en un seul; il y aura donc en P 
contact du cinquième ordre. 

Mais, si le point M n'est pas un point d'inflexion, la 
conique déterminée par les cinq points B, C, D, E, F ne 
passera pas par le point A, quelque voisine de MP que 
soit MAB, et elle coupera la courbe donnée en un 
sixième point A'; donc, quand on arrivera à la limite, 
la conique deviendra osculatrice en P à la courbe don- 
née, comme dans le premier cas ; mais elle coupera celle- 
ci en un nouveau point, et elle aura seulement avec elle 
un contact du quatrième ordre. 

Il résulte de là que les points P, qui possèdent la pro- 
priété contenue dans l'énoncé du théorème, sont les 
points de contact des tangentes menées à la courbe don- 
née par ses divers points d'inflexion; et puisque, par 
chaque point d'inflexion, on peut mener trois tangentes, 
le nombre total des points P est 3 X 9 ou 27. 

Enfin, les coordonnées des points d'inflexion sont 

S. -^ Alg. sup,. II. ifi 



626 COURS d'algèbre StPÉRlEURE. 

exprimables par des fonctions algébriques explicites des 
coefficients de Téquation qui représente la courbe don- 
née; en outre, la détermination des trois points P qui 
répondent au même point M dépend seulement d'une 
équation du troisième degré. Donc Téquation du vingt- 
septième degré, dont dépend la recherche des 27 points P, 
est toujours résoluble algébriquement. 



Propriété de l'équation du neuvième degré qui a pour 
racines les abscisses des points d'inJ!p.Tion d'une 
courbe du troisième degré* 

575. Soit 

(i) u^o 

l'équation d'une courbe du troisième degré entre les 

coordonnées rectilignes - et -*, nous avons vu que les 

points d'inflexion de cette courbe sont sur une seconde 
courbe du troisième degré, 

(2) Am rz: O. 

Si Ton él i mine j^' entre les équations (i)ct (q u on obtient 
une écjualion 

^3) P— o, 

homogène par rapport à a: et -^ et du neuvième dopn*. 

Cette équation, dont les racines - représentent les al>- 

srisses des points d'inflexion, est toujours résolubh^ .il- 
j^él)ri(picmenl, comme nous l'avons démontré plus hanl. 
Mais il existe, entre les racines de Téquation (3 1, d<^> 
relations remarquables que nous allons faire connaitre, 



SECTION V. CHAPITRE IV. 627 

d'après Hesse^ et desquelles ce géomètre a déduit la 
résolubililé par radicaux de l'équalion (3). 

Remarquons d*abord que la valeur de - correspondant 
à chaque racine - de Tcquation (3) peut s'exprimer en 

fonction rationnelle de - et des quantités connues de 

Téquation (i). Cela résulte immédiatement de la mé- 
thode que nous avons exposée au n° 73 pour la résolu- 
tion de deux équations simultanées. D'après cela, les 
coordonnées de chaque point d'inflexion de la courbe 
proposée doivent satisfaire à une même équation de la 
forme 

(4) 'r=F(ri' 



où F désigne une fonction rationnelle. 

Soient maintenant —> —et—» — les coordonnées de 

deux points d'inflexion de la courbe (i); la droite qui 
passe par ces deux points aura pour équation 

f _ f y, _y^ 

2 *'0 -2 ■^o 



Z Zy z z^ 



*'0 



En désignant par — 1^ la valeur commune des deux 
membres, il vient 



7(30 -i- ).3i) = Xo-h la-t. 



y 



40. 



628 COURS d'algèbre supérievrb. 

on peut disposer de z de mdLnière que Von dit z=z%'^Xz^^ 
et Ton voil alors que notre droite pourra être repré- 
sentée par les trois équations suivantes : 

Au moyen de ces équations , on obtiendra tous les points 
de la droite en donnant à X toutes les valeurs possibles. 
Or, d'après le théorème de Maclaurin démontré au 
n^ 566, cette droite coupe la courbe (i) en un troisième 
point d'inflexion ; pour avoir la valeur de X qui convient à 
ce troisième point, il suffit de porter dans Téquation (1) 
les valeurs de x,j^, z tirées des équations (5), et de 
résoudre ensuite Téquation obtenue ainsi, par rapport 
à X. Par cette substitution il vient 

les indices o et i indiquant que, dans les expressions qui 
en sont affectées, on doit mettre Xo,j>'oy ^0 ou jti , >,, j, 
à la place de x,j^, z. En effet, il résulte inunédiatenicQl 
de la formule de Taylor qu'après la substitution les 
deux premiers termes de u sont 

(«)o+'-Kr;),-^'(;7;0o-^^'Ci").]' 

et il est évident que les deux derniers termes doivciit se 
déduire de ces deux-ci, en changeant J'o» J>o» -0. .ï'i» 

y i, Zi en ax,, /Ji, ^^i, r- Xq, t-J o> r- Zq. 

A /• /* 

Si Ton supprime les termes (m)o et (w), qui sont 
nuls, l'équation (6), divisée par X, donne la valeur sui- 



SECTION V. CHAPITRE IV. 629 

vante de X : 

I€ÎU\ [€lu\ 

^'^ " l(In\ (du\ tflu\ ' 



xo 



(S) 

/V/M\ (du\ [ftu\ 



qui convient au troisième point d'inflexion. Si Ton dé- 

signe par --1 — les coordonnées de ce point, et qu'on 

porte la valeur de X, que nous venons de trouver, dans 
les équations (5), on aura 

= "• ['•(£).-"-^'(rfr).-^--(^).] -'- ["-(£).^->--(^).^--( |)J 

'•['•(ïï).-"'-(î).^'-(£).]-^'K^î).^-^'(S).-^''(£).] 
'•Kï).-^-'-(î)."--(^9.1-'"h0").-^^-(ï).-*-''(£).] 

Considérons, en particulier, la première de ces équa- 
tions : le second membre ne change pas quand on 
change jTq, j©, -o en X|, j)'i, ^i, et réciproquement; 
en divisant le numérateur et le dénominateur de ce se- 
cond membre par z\ z], il prend la forme 



\«'0 *'0 ^l •'l / 



y* désignant une fonction rationnelle qui ne change pas 
quand on transpose les indices o et i . Or, d'après l'équa- 
tion (4), on a 



•F 

^9 






F désignant une fonction rationnelle. Donc la valeur 



C3o COURS d'aLGÈBEE SrPéRlEUIlB. 

de ^ peut se réduire à la forme suivante : 



2, \^ ^1 / 



6 désignant une fonction rationnelle et symétrique des ^ 
deux quantités qu'elle renferme. Il est évident que 
l'équation précédente ne cessera pas d'être exacte si 
l'on exécute une substitution sur les indices o, i, 2; car 
on serait arrivé directement aux équations qu'on obtient 
par les substitutions, en partant du premier point d'in- 
flexion et du troisième, ou du deuxième et du troisième. 
au lieu de partir du premier et du deuxième. Donc lc£ 

abscisses — » — ♦ — de trois points d'inflexion en ligne 

Zq Zi 3j 

droite satisfont aux trois relations 

Zq \3| Zj / 3j \Zf Zq / S, \^ ^1 / 

où Of nous le répétons, désigne une fonction rationnelle 
et symétrique. De cette propriété résulte, comme on 
va le voir, la résolubilité de l'équation (3). 



Sur la resolution a/gchrif/uc d'une classe d'cquatiom 

du neuincrne degrr, 

57G. Il était intéressant de chercher à rattacher la 
question particulière dont nous venons de nous occuper 
à une théorie plus générale; c'est ce qu'a fait Irès-heu- 
reusemcnt liesse en établissant le théorème suivant : 

Théorème. — Soi en t 
(i) yJr]:=^o 

une équation du neu^ncnie degré et 6 une Jonction ra- 



SECTION V. — CHAPITRE IV. 



63 1 



tionnelle et s)'métrii/ue donnée de deux variables. Si 
l'équation proposée a cette propriété , que deux racines 
quelconques Xx et x^ fournissent une troisième racine x„ 
de telle sorte quon ait en même temps 

cette équation sera résoluble algébriquement. 

On voit queTéqualion qui a pour racines les abscisses 
des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré 
a la propriété dont il s'agit ici. 

Hcsse nomme racines conjuguées trois racines de 
l'équation (i) qui satisfont aux relations (2). 11 est évi- 
dent que chaque racine fait partie de quatre combinai- 
sons de trois racines conjuguées; par suite, en comptant 
quatre combinaisons pour chaque racine, on aurait 4 X 9 
ou trente-six combinaisons; mais, chacune de ces com- 
binaisons se trouvant répétée trois fois, on voit qu'il 
n'y a que douze combinaisons distinctes de racines con- 
juguées. Et, comme le nombie total des combinaisons 
de trois racines est 84, il y a soixante-douze combinai- 
sons de trois racines non conjuguées. 

Considérons l'un quelconque des quatre groupes de 
racines conjuguées, et désignons-le par 

.r,a'x.r^, xjx^'X^'^ x^».i\"X.^'.', 

On peut supposer que ar„ x^t, x^n ne soient point conju- 
guées, et, par suite, on pourra les considérer comme trois 
racines quelconques non conjuguées. Alors, comme rien 
ne distingue entre eux les indices X et /m, X' et [/, X" et /x", 
on aura ces trois combinaisons de racines conjuguées, 

x^'x^f/.r\j x^/fx^xx», T^x^f.i\f/' 
les six autres combinaisons de racines conjuguées sont 



63a couns d* algèbre supérieu:ii:« 

alors nécessairement 

On voit que les neuf racines sont exprimables en fonc- 
tion rationnelle de trois racines non conjuguées quel- 
conques x,, x,/, x^n'j on a effectivement 

i' x^ = x« , j'x =^ (j-,r , jy,), jc^ r [ç ( x,//, j:, ), (x. , jr/ )], 

x^n =z x,//, xv/ --: (.r, , .r/ ), x^/' ^-- ô [0 (x,/ , x,«), 6 ( J»i., x, )]. 

Cela posé, désignons par a une constante indéter- 
minée, et formons la fonction symétrique suivante de 
trois racines conjuguées quelconques x,, x^, x^du troi- 
sième degré par rapport à a, savoir : 

( 4 ) .rxa . Il ^ ( « — ^« ) ( « — ^ ) ( « — -^li ) ; 

en remplaçant x,, x^, x^ par chacune des douze combi- 
naisons de racines conjuguées, on obtiendra les douzs 

valeurs distinctes de la fonction r. ^ „. 

fc' *» *» I* 

Formons ensuite la fonction symétrique suivante : 

qui est du troisième degré par rapport à rindélermi- 
néc S. Soient rTy, C|, Z2f ^3 les quatre valeurs que prend z 
quand on y met successivement, pour 7,^1^^, jv^i»^^», 
Jx'.x-.ix-» les quatre groupes de valeurs qui conviennent à 
ces (juaulités. Formons enfin Tcquation du quatrième 



degré 



(6) ;:♦ -h Al c' -î- A,c* 4- A33 -;- A4 =:z o, 

(|ui a pour racines z^y Zi, r-, z^. 



SECTION V. CHAPITRE IV. 633 

Je dis que les coefficients de réquation (6) sont expri- 
mables rationnellement en fonction des quantités con- 
nues de Téquation (i) et de la fonction 6, En effet, on a 

(7) \ .>V,x'.ii' — {'-^ — -^xO («-■ -rv) (« — -v)' 
( Jx", i". ^// znz ( a — x,//) ( a — ^^//) ( a — x^//) ; 

en portant ces valeurs dans la formule (5) et en se ser- 
vant des formules (4), on aura la valeur de z exprimée 
en fonction rationnelle de trois racines non conjuguées 
x„ jtv, Jt>, savoir : 

(8) z=:^^{x^,jr^»,X^ff)y' 

et cette fonction ^ sera symétrique par rapport à x^, x^f, 
x^ ; car il est aisé de voir, d*après les formules ( 3 ) , qu'en 
permutant ces trois racines les quantités Jx^Xj^y O'x'Vj^k'^ 
y^^\ff^^H ne font que se changer les unes dans les autres, 
ce qui ne change pas la valeur de z. 

Élevons le second membre de l'équation (8) à une 
puissance entière quelconque de degré m; désignons par 



1 



•;;(.r», J-.SX.//)'» 



la somme des termes qu'on déduit de ^(j^», .r,/, x»//)"* en 
prenant successivcniont pour a\, x^^, x^n les soixante- 
douze combinaisons de trois racines non conjuguées ; par 



\ -M-^x"^/. -^x")* 



la somme des termes qu'on déduit de ^ {x^y x^'y ^x")'^ en 
prenant successivement pour a\, x,', x^n les douze com- 



634 cor ES d'algèbre supérirure. 

binaisoDS de racines conjuguées; enfin par 



1 



Y' (^.» •T.', X^",' 



la somme de tous les termes qu'on déduit de 'y (.r,, x^, .r,-* "" 
en prenant pour j:., x^y x^ toutes les quatrc-vingl-quatre 
combinaisons de trois racines. On aura 

(9) y, 'ï't'^*» •^*'' ^v')" -^\ 'M-^»»^«^-^*'''"=\*t'y«' •^«'- •^«''*'* 

I^ second membre de celte formule (9) est une fonc- 
tion rationnelle et symétrique de toutes les racines, 
et Ton peut, par conséquent, l'exprimer en fonction 
rationnelle des quantités connues. Il en est de même de 

\ ^{x^, x^j x^n)'^ ; en elTct, x^, x^, x,» étant des racines 

conjuguées, on a 

d'où il suit que 

•Il ( r r • r fi "^ 



I 



est égale au tiers de la somme des trente-six valeurs que 
prend 



quand on prend pour a\, x^' les trente-six combinai- 
sons de dcu\ racines. Eu désignant celte somme par L* 

si^rnc N , on a 



SECTION V. CHAPITRE IV. 635 

Cl, par su île, 

ce qui montre que > i}' (x„ a:,., x,.) est une fonction 

rationnelle et symétrique de toutes les racines ; on peut 
donc l'exprimer, en fonction rationnelle des quantités 
connues. Si maintenant on remarque qu'aux soixante- 
douze combinaisons de racines non conjuguées répon- 
dent«seulement quatre valeurs de la fonction z^, savoir : 
^7» ^7> ^T> ^r» ^^ m^^ chacune de ces valeurs revient 
dixrhuit fois, on verra que Ton a 

(12) z. -I- c7 -f- c7 -4- c7 r_-_ -L y ^ (.r,. .r,,. j-y;». 

En donnant au nombre m les valeurs i, 2, 3, 4» on ob- 
tiendra, par la formule (12), les sommes de puissances 
semblables des racines de l'équation (6) qui sont néces- 
saire pour calculer les coefficients A|, A2, A3, A4 ; on 
voit que ces coefficients se trouvent ainsi exprimés en 
fonction rationnelle des quantités connues. 

Voici maintenant comment on obtiendra les racines 
de l'équation (1). On cherchera une racine quelconque 
de l'équation (6). Celte racine sera, d'après ce qui pré- 
cède, une fonction entière et du troisième degré de 
l'indéterminée 6 ; en égalant à zéro celle racine, on aura 
une équation du troisième degré en dont les racines 
seront les trois quantités qui forment l'un des quatre 
groupes dans lesquels se partagent les douze quan- 
tités j'.^j^. En égalant à zéro une de ces nouvelles racines, 



636 COURS D* ALGEBRE SUPÉRIEURE. 

on aura une équation du troisième degré par rapport à 
rindélerminée a ; les trois valeurs de a racines de cette 
équation seront trois racines conjuguées de l'équa- 
tion (i). Pour avoir toutes les racines de l'équation (i), 
il suffit d'opérer de la même manière avec chacune des 
racines de l'équation (6). 



SECTION V. CHAPITRE V. GZ'J 



CHAPITRE V. 

SUR LES ÉQUATIONS RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 



Recherches de Galois. Théorèmes généraux. 

o77. L'analyse que nous avons développée dans les 
deux Chapilres précédents nous a conduit à la résolu- 
tion algébrique de certaines classes d'équations. Mais 
ces équations si remarquables sont-elles les seules qui 
soient susceptibles d'une telle résolution? Quelles sont, 
en d'autres termes, les équations résolubles? Telle est 
la question qui vient se poser naturellement et à laquelle 
Abel et Galois ont les premiers attaché leur nom. 

Je me propose d'exposer ici la théorie contenue dans 
le Mémoire de Galois intitulé : Sur les conditions de 
résolubilité des équations par radicaux; ce Mémoire 
a été publié pour la première fois en i84ti, dans le 
tome XI du Journal de Mathématiques pures et appli- 
quées, quinze ans après la mort de l'illustre auteur. J'ai 
suivi l'ordre des propositions que Galois avait adopté, 
mais j'ai dû le plus souvent suppléer à l'insuffisance 
des démonstrations. 

Nous avons défini avec précision (n°* 100 et 527) le 
sens qu'on doit attacher, dans chaque cas, aux déno- 
minations de diviseur rationnel d' une fonction entière, 
et généralement de quantité rationnelle y ainsi qu'à celles 
de fonction irréductible et Adéquation irréductible. 
Nous avons dit aussi qu'une équation irréductible donnée 
peut devenir réductible, lorsque l'on admet à figurer. 



638 COURS d'algèbre supÉaiEimB. 

parmi les quantités connues, certaines quantités qui 
n'étaient pas d'abord regardées comme telles. 

En général y quand nous conviendrons de regarder 
comme connue une certaine irrationnelle, par exemple 
une racine d'une fonction rationnelle des quantités 
connues, nous dirons avec Galois que nous adjoignons 
cette quantité à l'équation proposée. En d'autres termes, 
la quantité dont il s'agit sera dite adjointe à l'équation. 
Alors une quantité sera rationnellcy si elle peut s'expri- 
mer par une fonction rationnelle des quantités primiti- 
vement connues et des quantités adjointes. Ainsi l'équa- 
tion 

X* -f- jr* — 4-*'* — 4-^ -h I "^ o, 

dont dépend la division du cercle en quinze parties 
égales, est actuellement irréductible, parce que les 
quantités regardées comme connues sont ici les seuls 
nombres rationnels; mais elle deviendra réductible, si 
on lui adjoint une racine de l'équation 

c«- 5==o, 

c'csl-à-dire si on lui adjoint le radical \/j\ efiectivemrnl 
son premier membre est le produit des deux facteurs 







lesquels sont rationnels, après Tadjonclion dont il vioiil 
d'clrc question. 

Les rcclierclies de Galois reposent sur les proposi- 
tions démontrées aux n"" 502 et oOl, qui acquioroiil 
ainsi une importance considérable, et sur les proprirlé» 
des svslcmcs de substitutions conjuguées. Galois cm- 



SECTION V. CHAPITUE V. 63^ 

ploie la considération des groupes de permutations dont 
nous avons parlé aux n^' 4i2 et 443, mais il nous a paru 
préférable de nous en tenir aux substitutions. Au reste, 
ce n'est là qu'un simple changement dans la forme des 
énoncés des théorèmes, car il n'y a lieu de considérer 
les permutations qu'au point de vue des substitutions 
par lesquels on passe des unes aux autres. 

578. Théorème I. — Soit 

une équation de degré n dont les n racitu 

sont inégales. Il existe toujours un sjstème de substi- 
tutions conjuguées G jouissant de la double propriété 
suivante : 

\^ Que toute fonction rationnelle des racines dont la 
valeur numérique est invariable par les substitutions 
de G soit exprimable en Jonction rationnelle des 
quantités connues; 

2° Réciproquement y que toute fonction rationnelle 
des racines j exprimable rationnellement par les quan- 
tités connues, conserve la même valeur numérique 
quand on lui applique toutes les substitutions de G. 

Il est bien entendu que, dans cet énoncé, nous com- 
prenons parmi les quantités connues celles qui ont pu 
être adjointes à l'équation. 

Soit V une fonction rationnelle des racines ( 2 ) telle, 

que les 

N -- I . 2 . . . /i 

fonctions qu'on en déduit, par les substitutions, aient 
des valeurs numériques inégales ; par exemple, on pourra 
faire 



64o COURS d'algèbre SCPÉRIEVRE. 

«o «1? . . . , «//_! étant des nombres entiers convenable- 
ment choisis. Soient encore 

J(V)=o 

l'équation du degré N qui a pour racines les N valeurs 
de V, et F(V) un diviseur irréductible, d'un certain 
degré v, du polynôme ^(V). Désignons enfin les v ra- 
cines de Téquation 

(3) r(v:=o 

par 

(4) Vo, Vi, V„ ..., V^,. 

D'après le théorème du n° 504, les n racines x de l'é- 
quation (i) pourront être représentées par l'une quel- 
conque des lignes horizontales du tableau 

>Po(V^i), ^i(V_,), •^^.Wi; •;'«-i(V_.\ 

^o(V), ipi (V), ... étant des fonctions rationnelles de V 
et dos quantités connues. Le tableau (5) renferme ain^i 
V pernuitations des racines Xy et nous avons donionlrc 
au n® 50 1 (juc ces permutations forment un groupe, 
c'est-à-dire (juc les substitutions 

(o) I» ^1, S«, ...» S,_j, 

par lesquelles on obtient les v permutations (j) au 
moyen de la première d'entre elles, constituent un sv5- 
Icme conjugué G. Je dis que ce système G jouit de la 
double propriété énoncée. 

En efTet, désignons par il une fonction rationnelle 



SECTION V. CHAPITRE V. 6^1 

des racines (2) et posons 

Cl sera une fonction rationnelle de Vo, et l'on pourra 
écrire 

(7) n=^T(Vo). 

V étant une fonction rationnelle. 

Cela posé, supposons d'abord que la valeur numé- 
rique de û ne soit pas changée par les substitutions (6 ) 
du système G ; comme ces substitutions peuvent s'effec- 
tuer en remplaçant successivement Vo par chacune des 
valeurs (4)^ on aura 

et, par suite. 



le second membre de cette formule est une fonction sy- 
métrique des racines de l'équation (3) ; donc £2 est ex- 
primable en fonction rationnelle des quantités connues. 
Pour démontrer la réciproque, supposons que û soil 
exprimable en fonction rationnelle des quantités con- 
nues. Alors, d'après la formule (7), Vq sera l'une des 
racines de l'équation 

mais, comme V© est racine de l'équation (3) que nous 
supposons irréductible, toutes les racines de cette équa- 
tion (3) doivent satisfaire à l'équation précédente, et 
l'on a en conséquence 

n = T(Vo)r=T(V.;:z:......->K(V._,); 

la valeur numérique de iî est donc invariable par 1rs 
S. — Âi^, sup.f II. 4' 



64a COURS D'ALckBaE SUPÉRIEURE. 

subslitutions de G, ce qui achève la démonstration da 
théorème énoncé. 

Pour abréger le discours, je donnerai le nom de Jonc- 
tion résolvante à la fonction V, et Téquation irréduc- 
tible ( 3 ) sera dite équation résonante. 

579. Théorème II. — Toute substitution qui Jouit de 
la double propriété mentionnée dans t énoncé du pré- 
cédent théorème appartient au système conjugué dont 
ce théorème établit l'existence. 

Conservons toutes les notations dont nous avons fait 
usage dans la démonstration du théorème I, et désignons 
par X une fonction des n racines Xq, Xf , . . . , Xji.f qui 
prenne par les substitutions les N =:i i • a. 3 • . • n va- 
leurs 

Xoi X|, Aj, •••> Xn-i 

numériquement distinctes. Soient aussi 

'^o» '^i» '^îi • • • 1 X-iH_i 

les V valeurs que prend X quand on lui applique les y 
subslitutions de G, et posons 

a = .,x-Xo)(X-x,).. (X-x,_,), 

X désignant ici une indélerminée. La valeur de la fonc- 
tion 12 est invariable par les substilulions de G ; elle 
esl donc exprimable rationnellement en fonction des 
quantités connues, d'après le théorème I. D'ailleurs, il 
est évident que la valeur de û changera si Ton applique 
à cette fonction une substitution T non comprise dans 
le système G ; donc la substitution T n'a pas les pro- 
priétés des substitutions de G qui font l'objet du théo- 
rème I. 

Ainsi les substitutions de G jouissent, à l'égard de 
l'équation proposée, d'une propriété qui leur appartient 



SECTION V. CHAPITRE V. 643 

exclusivement; je nommerai ce système le système con^ 
jugué propre à l'équation ( * ). 

580. Théorème III. — Soit G le système conjugué 
propre à une équation donnée de degré n 

(1) /(.r) = 0. 

à laquelle plusieurs irrationnelles peuvent avoir été ad- 
jointes. Si l'on adjoint à cette équation une racine Zq 
d'une équation auxiliaire irréductible de degré m 

(2) f s) — o, 

dont les coejjicients sont rationnellement connus, et 
qu après cette adjonction le sy sterne conjugué T propre 
à l'équation [i) ne renferme quune partie des substitu- 
tions de G, auquel cas l'ordre de F sera un sous^mul^ 
tiple do l'ordre de G, les m'=.pq racines de l'équation 
(2) se partageront en un certain nombre p de groupes 
composés chacun de q racines, savoir : 

*o» *o > *o » • • • * ^» » 

*1» ^l » *| t • • •> *| t 



7 Z^*î Z*^ Z-*/-*» 



de telle manière que si l'on adjoint à l'équation pro- 
posée une quelconque des racines d'un même groupe. 



*/» *i » *i » • • • 1 *i 1 



le système conjugué Fi propre à l'équation proposée sera 



(■) Galois fait intervenir un groupe de pernutations correspondant 
an système conjugué dont il est ici question, et il l'appelle le groupe 
de l'équation, 

h'. 



G44 COURS d'algèbre SUFÉniRURE. 

le même, quelle que soit la racine adjointe. En outre, 
les p sjstcmes conjugués 

qui dev^iennent propres à V équation quand on adjoint 
respectivement une racine des groupes successifs, seront 
semblables entre eux, en sorte que chacun de ces sys- 
tèmes pourra se déduire du premier, en exécutant une 
même substitution dans les cycles qui composent les 
diverses substitutions de celui-ci. Il est évident que 
chaque groupe se réduit à une seule racine si m est 
premier. 

Désignons toujours par V la fonction résolvante et par 

(3) F(V)r_.0 

l'équation irréductible de degré v que nous avons nom- 
mée équation résolvante ; soient aussi 

''O» Vf, Vj, • • » ▼»_! 

les V racines de l'équation (3). 

Si, après radjonclion d'une racine Zq de Téqualion fa\ 
Tcquation (3) reste irréductible, il est clair que G dv 
incurera le système conjugué propre à Téqualion 'i . 
Mais il n'en sera plus ainsi si l'équation (3) se réduit: 
c'est le cas que nous avons à examiner. 

Soient X (V, Zq ) l'un des facteurs irréductibles de ¥(\ 
et jJL le degré de ce facteur ; on peut supposer que, dan> 
le polynôme )., le coefficient de la plus haute puissance 
de V soit l'unité et que les autres coeflîcients soient des 
fonctions entières de la racine Zq. Cela posé, z étant re- 
gardée comme une indéterminée, effectuons la division 
des polynômes F(\^, X(V, z) et désignons par A (\\ z\ 
0(V,r:) le quotient et le reste de celte division; on 



SECTION V. CHAPITRE V. 64^ 

aura 

F(V) = X(V, z)A(V,z)-f-e(V, z), 

Cl, d'après notre hypothèse, on a îdenliquemcnt 

0(V, zo)=:o; 

car le polynôme 0(V, z) est au plus du degré (i — i en 
V, et la précédente équation est satisfaite par chacune 
des fx racines V de Téquation 

>(V, Zq) =o. 

Ainsi, dans le polynôme 0(V, z), les coefficients des 
diverses puissances de V doivent s'annuler pour z = zo\ 
par conséquent, ces coefficients s*annuleront aussi si 
l'on y remplace z par une quelconque des racines de l'é- 
quation (2), puisque celle-ci est supposée irréductible. 
D'après cela, si l'on représente par 

les m racines de l'équation (2), le polynôme F(V) sera 
divisible par chacune des fonctions 

Le produit de ces fonctions est une fonction entière de 
V dans laquelle les coefficients sont des fonctions sy- 
métriques des racines z ; donc ce produit, que nous re- 
présenterons par n(V), est exprimable rationnellement 
par les quantités connues. 
Les racines de l'équation 

n(V) = o 

appartiennent toutes à l'équation (3), et, puisque celle-ci 
est actuellement irréductible, le polynôme n(V) est di- 
visible par F (V). Soit^ l'exposant delà plus haute puis- 



646 COURS d'algèbre supérieure. 

sance de F(V) qui divise exactement n(V) et posons 

n(v)==[F(V)]^n,(V), 

il est évident que ITi (V) doit se réduire à une constante, 
ou, si Ton veut, à l'unité, puisque, dans nos polynômes, 
le coeiïicient du terme le plus élevé est égal à i . En effeti 
si le contraire avait lieu, l'équation 

ni(v) = o 

n^ayant que des racines appartenant à Téquation (3), 
IIi (V) serait divisible par F(V), et l'exposant q ne sa- 
tisferait pas à la condition qui lui a été imposée. Ainsi 
l'on a 

n(V) = [F{V)]^ 

ou 

(4) [F(V)]^-^ ^V, Zo)MV, z/ . . . \[\. c,„_,% 

D'après notre hypothèse, le polynôme X(V. z#) est 
irréduclible, c'est-à-dire qu'il n'admet aucun divisear 
de degré inférieur au sien, dans lequel les coefficients 
seraient des fonctions rationnelles des quantités connues 
et de la racine adjointe de z^. Je dis que le polynôme 
X(V, Zi) a lui-même la propriété de n'admettre aucun 
diviseur dans lequel les coefficients des puissances de V 
seraient des fonctions rationnelles des quantités connues 
et de la racine z/. En effet, supposons qu'un tel diviseur 
existe etdcsignons-lepar J[(V, zi) ; effectuons la division 
deX(V, z) par^(V, z), jusqu'à ce qu'on parvienne à un 
reste d'un degré inférieur à celui de Î[(V, z) relative- 
ment à V; nommons Q(V, z) et R(V, z) le quotient et 
le reste de cette division. On aura 

).(v,z' --î;(v, z)q;v, c;4-R(v,z\ 

et, puisque R (V, z) est nul pour z = Zt, on en conchira, 
par un raisonnement dont nous avons fait usage plus 



SECTION V. CHAPITRE V. 64? 

haut, que le même reste est nul, quelle que soit celle des 
racines de Tcquation (2) que Ton substitue à z; on aura 
en particulier 

R(V, 2o)=o» 

ce qui exprime que ^(V, Zo) admet le diviseur Î^(V, Zo). 
Cette conclusion est contraire à l'hypothèse, et, par 
conséquent, notre assertion se trouve justifiée. 

Les racines de l'équation (3) sont toutes exprimables 
en fonction rationnelle de l'une quelconque d'entre elles. 
Cela étant rappelé, considérons les deux équations 

et désignons par V. et 6(V«) deux racines de la pre- 
mière, étant une fonction rationnelle. Je dis que, si 
Ve est une racine de la deuxième équation (5), 6(Ve) 
sera également racine de la même équation. En effet, 
on a 

>(V., Z,)rrrO, >[0 ( V,), Z,] r^ O; 

en d'autres termes, l'équation 

\[0{V),z,] = o 

est satisfaite quand on remplace Y par la racine Va de 

l'équation 

>(V, z,) = o; 

elle admettra donc toutes les racines de cette dernière, 
car celle-ci n'a aucun diviseur dont les coefficients sont 
fonctions rationnelles de Z|, ainsi que nous venons de le 
démontrer. Si l'on suppose, comme cela est permis, que 
6(V) soit une fonction entière, on peut dire que le po- 
lynôme ^[^(V), Zi] est divisible par X(V, z/), ou que le 
reste de la division du polynôme 



648 COURS D* ALGEBRE SUPÉRIEURE. 

par ^(V, z) est identiquement nul pour z = zi. Alors, 
par le raisonnement déjà employé deux fois dans cetlc 
démonstration, on conclura que le même reste est nul 
aussi pour z = Zj, c'est-à-dire que ).[0(V), zy] est divi- 
sible par X(V, Zj)\ par suite l'égalité 

entraînera 

>[ô(Ve),.y] = o 

ce qui exprime que 6(Ve) est racine de la deuxième équa- 
tion (5). Nous concluons de là que, si les équations (5) 
ont une racine commune, elles ont toutes leurs racines 
communes. 

Cette analyse établit que, dans le second membre de 
la formule (4), chacun des facteurs inégaux se trouve 
répété q fois. En employant deux indices pour repré- 
senter les m racines z, on aura 

•••• •... • • •..., 

Mv, =^_,) ^ À(v, .;i.) =/(v, z^;i,) ^: . . . = À(v, er). 

cl, en extrayant la racine ^'*^'°*« des deux membres de la 
formule (4), on aura 

(6) F(V).::3À(V, Zo)>(V, 30...a(V, 3^0, 

car, dans les polynômes F et X, on peut supposer les 
coefficients des premiers termes réduits à l'unité. 

Ainsi les m racines z se partagent en p groupes con- 
tenant chacun q racines; en outre, quelle que soit celle 
des racines d'un même groupe que Ton adjoigne à fc- 
quation proposée, celte adjonction aura le même effet, 
savoir de substituer à Téquation résolvante primitive 



SECTION V. — chàpithb V. 649 

le même diviseur de cette équation. Et, par conséquent, 
le système conjugué propre à Téquation proposée se 
trouvera lui-même réduit à un nouveau système dont 
Tordre sera un diviseur de l'ordre du système primitif. 

Il nous reste à comparer entre eux les divers systèmes 
conjugués r, Fj, . . . , r^_i qui deviennent ainsi propres 
à Téquation proposée, quand on adjoint respectivement 
à celle-ci une racine des groupes correspondants que 
nous avons distingués. 

Les racines de Téquation 

étant des fonctions rationnelles de Tune d'entre elles, 
représentons-les par 

soit aussi V^,^^ une racine de l'équation 
les quantités 

V';'. 9.(vy'). 9,(v'."). .... v.(v';>) 

seront racines de la même équation, comme nous l'avons 
dit plus haut; j'ajoute qu'elles sont distinctes, en sorte 
qu'aucune racine ne se trouve omise. En effet, V© et V|/^ 
étant racines de l'équation ( 3 ) qui est actuellement ir« 
réductible, si l'on avait 

«(.{v'iO-Mv'.") 

il en résulterait 

ô.(Vo)-rOe(Vo), 

ce qui est contraire à notre hypothèse. 



65o coons d'algèbhb supÉRnsuRs* 

Maintenant, V désignant l'une quelconque des racines 
de la résolvante (3), représentons par le symbole 

[V] 
la permutation 

*.(V). ^^,(V), •f.(V) ^„_,(V) 

des racines de la proposée, et posons 

(7) [«*(V.)] = S4V.], [9*(Vi')] = SÏ'[(VP)]; 
les substitutions du système F seront 

1 f Oi, 02 9 ...» 5>|t— î» 

et celles du système F/ seront 

I, i^i* "^a» •••* I*— 1 * 

Représentons enfin par T/ la substitution par laquelle 
on passe de la permutation [Vo] à la permutation T V*^^'; 
on aura, non-seulement 

(8) [V=;']-T,[V.], 
mais encore, quel que soit Ar, 

[«*(V'i')]-T,[9*(Vo)], 
ou, à cause de la première des formules [y] y 

(9) [«*(V:)]=T,S,.[V,]; 

enfin la formule (8) réduit la seconde formule (7) à 

(10) [e*(vp)] = s:;'T,{Vo], 

et la comparaison des formules (9) et (10) donne 

(11) Si"T, = T,S,.; 



SECTION V. CnAPlTRE V. 65 1 

d'où 

Les formules (8) et (9) expriment que le système 
conjugué G est représenté par 

I, Oj, S], •••9 ^|i— 1» 

Tu TiSi, TjSj, ..., T| Sjji_i, 



et la formule (la) exprime que les systèmes F, Fi, . . . , 
Tp^i sont 

(i4) < r, :i, T,s,'r7', T,s,T7', ..., T,s^,T7', 



Ces systèmes sont, oomme on le voit, semblables, en 
sorte que chacun d'eux peut se déduire du premier F en 
exécutant dans les cycles de chacune des substitutions 
de celui-ci une même substitution T, ce qui achève la 
démonstration du théorème énoncé. 

581 . Théorème IV. — Si le système G propre à fé- 
quationf[x) = ose réduit à un système F d^ ordre in- 
férieur y par [ adjonction d'une racine de l'équation 
auxiliaire irréductible ç(^) = o; 5«, en outre, les ra- 
cines de cette équation auxiliaire sont exprimables ra- 
tionnellement en fonction de l'une d'entre elles et des 
quantités coniques, le système F ne changera pas quand 



65a coums o*alcêbee suféeiecbk. 

o/i exécutera dans les cycles de toutes ses substitutions 
une substitution quelconque du système G. 

En cfTety soient 

Zg et Zf- z=z Oz^ 

deux racines de Féquation auxiliaire : désigne ici une 
fonction rationnelle ; Inéquation ff{z) = o étant supposée 
irréductible, elle admettra toutes les racines 

Tun des termes de cette suite se réduira à z«, et si Ton 
suppose 

0*«o =^ ^ ou Ô^-^ $Z^z=Zef 

il en résultera 

par conséquent les racines Zo et Z| sont exprimables ra- 
tionnellement Tune par Tautre. 

Il s^cnsuit que les quantités connues sont les mêmes 
après Tadjonction de Zq ou après celle de Zg ; le sys- 
tème Ti propre à réquationy(x) = o, après Tadjonc- 
tion de z/, est donc le même qyic le système T qui est 
propre à Téquation après Tadjonction de Zq- El, comme 
les systèmes F, F/ peuvent être représentés par 

I , 0|, 029 • • • » ^Ji— l» 

on voit que le système F ne changera pas si Ton mul- 
tiplie ces substitutions à droite par T/ et à gauche par 
Tî"S opération qui revient à exécuter la substitution T, 
dans les cycles des substitutions de F. 

Enfîn, toute substitution de G est la forme 



SECTION V. CHAPITRE V. 653 

ce qui donne 
d'où 

us'u-»=:T;tS,,s,s;r'Tr. . 

Par conséquent, si Ton veut exécuter la substitution U 
dans les cycles des substitutions de F, il suffira de faire, 
dans ces cycles, d'abord la substitution Sa, puis la substi- 
tution Ta; il est évident que la première opération ne 
changera pas F, puisque Sa fait partie de ce système : 
d'ailleurs nous venons de prouver que la deuxième 
opération ne produit elle-même aucun changement sur F; 
donc ce système reste invariable quand on exécute la 
substitution U dans les cycles de toutes ses substitutions. 

Corollaihe. — Si fét/uation auxiliaire est de la 
forme zP = A, et que les racines ^>'<?'«" de l'unité se trou- 
vent au nombre des quantités précédemment adjointes, 
on se trouvera dans les conditions du précédent t/iéo^ 
rème, 

582. Théorème V. — Si le système conjugué Gi , propre 
à l'équation /{x) = o, se réduit à un système F d'ordre 
inférieur, quand on adjoint à f équation toutes les ror 
cincs d'une équation auxiliaire irréductible ç (r) rrz o, 
de deg?'é m, le système F ne changera pas quand on 
exécutera y dans les cycles de toutes ses substitutions, 
une quelconque des substitutions du système G (*). 

En effet, soit Z une fonction rationnelle des m racines 



(* ) Ce théorème ne diflerc pas au fond de la proposition III du Mcmoiro 
deGalois. Sous ce titre de proposition III, Galois avait d'abord inscrit 
l'énoncé du corollaire de notre théorème IV, avec une démonstration, mais 
il a e£facé le tout pour y substituer l'énoncé qu'il a adopté définitivement. 



654 COURS d'aUÏÈBRE 8UPÉR1E0RE. 

de Téquation auxiliaire, telle que les 

M = I * 2 . 3. . . /If 

fonctions qu'on en déduit par les substitutions aient des 
valeurs différentes ; soient en outre 

^(z; = o 

Téquation du degré M qui a pour racines les M valeurs 
de Zy F(Z) un diviseur irréductible de ^(Z), et 

(2) Zo9 Zj, Z29 ..•> Z|i^-i 
les [x racines de l'équation 

(3) F{Z)=o. 

Les quantités (2) sont des fonctions rationnelles des 
quantités ( i ) , et réciproquement celles-ci peuvent s'expri- 
mer en fonction rationnelle des quantités (2) (n^ 502) : 
donc Tadjonction des unes entraîne Tadjonction des au- 
tres. Par conséquent, d'après notre hypothèse, le svs- 
tème G, propre à l'équation proposée, doit se réduire, 
par l'adjonction des racines de l'équation (3). Mais ces 
racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction 
de Tune quelconque d'entre elles; donc l'adjonction 
d'une seule racine équivaut à l'adjonction de toutes, et 
l'on se trouve alors dans les conditions du théorème IV. 

583. Théorème VI. — Soient G le sj sterne conjugué 
propre à l'équation 

(i) /(x)-o 

et 

une Jonction rationnelle des n racines x© , Xo Xj , . . . , Xji_i , 



SECTION V. CHAPITRE V. 655 

dont la valeur numérit/ue ne soit pas actuellement con- 
nue. Si l'on adjoint cette valeur numérique à Inéquation 
proposée, le système T propre à l'équation, après l'ad- 
jonction, sera formé par celles des substitutions de G 
qui n altèrent pas la valeur numérique de lajbnction ê. 

Les conditions de ce théorème se ramènent immédia- 
tement à celles du théorème III. Exécutons toutes les 
substitutions des racines x dans Texpression 

et formons le produit 4> ( ^) de tous les résultats obtenus. 
Les coefficients du polynôme 4>(z) seront des fonctions 
symétriques des racines x, et par conséquent ils seront 
rationnellement connus; décomposons ce polynôme en 
ses facteurs irréductibles, et désignons par ^{z) Tun de 
ces facteurs qui s*annulent pour z = Zq. Nous nous trou- 
vons placés alors dans le cas où Ton adjoint à l'équation 
proposée la racine Zq de Téquation irréductible 

(3) ç,(«)==o. 
Soient, comme dans le théorème III, 

les V racines de la résolvante 

(4) F(V) = o, 

qui est actuellement irréductible. Les racines x étant 
exprimables rationnellement par Tune quelconque des 
racines V, posons aussi, comme précédemment, 

la formule (2) deviendra 



656 COURS d'algèbre supérieure. 

et Ton peut faire en sorte (n° 182) que V soit une fonc- 
tion enlicre d*un degré inférieur à y. Alors Téquation 

(5) T(V)-Zo = o 

admet la racine Vo de Téquation (4). Soient 

(6) Vo, V„ ..., V^, 

les fx racines communes aux équations (4) et (5\ et po- 
sons 

>(V,3e;r=:(V-Vo)(V-V,}...(V-V^_/; 

les coefficients de Téquation 

(7) >(V,s,:=.o 

sont rationnels après Tadjonction de Zo : je dis que cette 
équation est irréductible. En efiel, si le contraire a lieo, 
soit u{\\ z^) le diviseur irréductible de ^(V, z©) qui 
s^annule pour V = V©; on aura (théorème III) 

F(V; rzzo(V,»o-o(V,5i ...C.V,Z^, , 

C|, Z2 Zp^i étant des racines de Téquation (a) di:- 

tinctes de ^c ; Téquation 

CT V , r , - : G 

n'admettra qu'une partie des racines '6\ et Tune de ces 
racines, \ i par exemple, devTa satisfaire à une équation 
telle que 

•S c: V, 3, • O. 

EfTecluons la division de 4^ ^ V ) — z par a ( V, z ) jus- 
qu'à ce que nous parvenions à un reste de degré inférieur 
au diviseur; dési^^nons par 0'V, z) ce reste, et par 
n^V, z) le quotient de la division; on aura 

H\\ — 2~-o V, 3 II V, 3 -^e V, 3,; 



SECTION V. CHAPITRE V. 657 

par hypothèse, Î'(V) — z© est divisible par X(V, Zq); 
ce polynôme Test donc aussi par ct( V, z©), et en consé- 
quence, le reste ©(V, z) de la précédente division, se 
réduit identiquement à zéro pour z=z Zq. Alors, par un 
raisonnement déjà employé, nous concluons que le même 
reste est nul pour z = Zt, et l'on a 

Maintenant nous avons supposé que V| est une racine 
de Téquation (8) ; on a donc 

ce qui est impossible, puisque V| est racine de Téqua- 
tion (5), et que z^ est différente de z©. 

Nous concluons de là que Téquation (7) est irréduc- 
tible, en sorte qu'elle devient l'équation résolvante, 
après l'adjonction de z©. Le système conjugué propre à 
l'équation proposée se compose alors des [jl substitutions 
qu'on exécute en remplaçant V© par chacune des quan- 
tités (6) dans la permutation des racines 

D'ailleurs les quantités (6) sont celles des racines de 
l'équation (5) qui appartiennent à la résolvante primi- 
tive; donc les substitutions dont nous venons de parler 
sont celles par lesquelles la valeur numérique z© de la 
fonction ^ (j:©, x^, ..., x^^i) reste invariable. 

584. Théouème VII. — Le nombre p étant premier , 
soit V = fip tordre du système conjugué G propre à une 
équation/ [x) = o. Si l'on peut former a^ec [jl substitu- 
tions de G un système conjugué F qui reste im^ariable 
quand on exécute dans les cycles de toutes ses substitua 
fions les di^f erses substitutions de G, il suffira d'extraire 
la racine p^^^^ d'une certaine quantité rationnelle, et 
S. — Alg, sup,, \U 4^ 



658 COURS d'algèbre supérieuur. 

d'adjoindre cette racine p^*"*^ à (équation, pour que T 
devienne le système propre à cette équation. On suppose 
que les racines p^^"^^^ de l'unité font partie des quantités 
précédemment adjointes. 
Soient 

(i) ij Si, Sj, . . ., Sp^j 

les substitutions du système F, et T une substitution 
de G qui n'appartienne pas à F ; on aura, par hypothèse, 
quel que soit i, 

j étant un indice convenablement choisi. Si le système 
des puissances de T, 

(3) 1, T, r, ..., r-s 

• 

d'ordre tj a quelques substitutions communes autres que 
Tunlté avec le système (i), soit T* la plus petite puissance 
de T contenue dans ce système. En multipliant les sub- 
stitutions (i) par les substitutions 

I T ï* T*— * 

'»■*>*> •••5 •■• 7 

on obtiendra les fxa produits 

T*-», T*-»S, , T— »S..,, 

qui seront distincts; car, si Ton avait 

on en conclurait 



SECTION V. CHAPITRE V. 659 

ce qui ne peut pas avoir lieu, puisque la substitution 
S^S;;"* fait partie du système (i), tandis qu'il n'en est pas 
ainsi à l'égard de T-' à cause dey <^a. Ensuite le produit 
de deux quelconques des substitutions (4) peut ôtre ra- 
mené par la formule ( a ) à la forme 

T^«+''S;t ou T^S*, 

h étant <^ a, et ce produit est l'une des substitutions (4). 
Ces substitutions forment ainsi un système conjugué 
d'ordre fxa ; elles sont d'ailleurs contenues dans le sys- 
tème G dont l'ordre est [up: donc [np est divisible par pa 
et p par a ; il s'ensuit que a est égal à i ou à /7, puisque p 
est un nombre premier. Si a = i , la substitution T appar- 
tient à r, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi a =z p; 
mais alors le système (4) contient [JLp substitutions, et, 
par conséquent, il n'est autre que le système G. Les puis- 
sances de T contenues dans F sont donc 

et l'on a 

T*'' = I ; 

on a d'ailleurs évidemment 

(/ — i)7?n=ou</ — I, kp = qt, 

q étant un entier, ce qui exige que q = i , en sorte que 
l'ordre de la substitution T est nécessairement égal à p 
ou à un multiple de p. 

Cela posé, soit une fonction rationnelle des n ra- 
cines Xo,Xi, X2j ..., x„.i de l'équation y( or) = o, telle 
que les i.a.3.../i fonctions qu'on en déduit par les 
substitutions aient des valeurs numériques inégales. 
Exécutons sur cette fonction les fx substitutions (i) de F 
et désignons par 

(3) ©0» ®i» ©a» •••> ®iir-i 

4a. 



66o COUES D'ÂLGkBUB SOPÉRIEORE. 

les résultats obtenus. Prenons enCn une fonction ration- 
nelle et symétrique Q des ft quantités (3); on pourra faire , 
par exemple, 

(4) O=z:(0-0o)(0-0j)...(3-3^_,), 

désignant ici une indéterminée. 

La fonction d est invariable par les substitutions de P, 

mais elle varie par toute autre substitution ; exécutons 

sur cette fonction les puissances de la substitution T, 

savoir : 

I, T, T*, ..., TP'\ 

et désignons par 0/ le résultat obtenu par la substitu- 
tion T'. Représentons aussi par a une racine de Féquation 

jtP— I 

=0, 

a: — 1 

et posons 

la fonction Q, est évidemment invariable par la substitu- 
tion T qui a pour eflct de déplacer circulairemcnt les 
quantités 

^07 ^l> ^«> • • • 5 "p—l î 

elle ne varie pas non plus par les substitutions de F, 
car on a 

et, en exécutant une subslilulion S, 

On peut conclure de là que la fonction Q est invariable 
par toutes les subslilutions du système G, qui esl actuel- 
lement propre à Téqualion proposée. Il s'ensuit que la 
valeur de est actuellement connue; si donc on adjoint 
à Tccpialion le radical 



SECTION V. — chapithe y. ^^^^^ 

la fonction 

sera connue. 

Les seules substitutions qui laissent cette fonction in- 
variable sont celles de F, et, par conséquent, d'après le 
théorème VI, T devient, par l'adjonction de VÛ, le sys- 
tème conjugué propre à Téquation. 

88S. Les propositions que nous venons d'établir per 
mettent d'aborder la solution de ce problème : 

Dans quel cas une équation est-elle résoluble par 
radicaux ? 

A cet effet, Galois observe que, dès qu'une équation 
est résolue, une fonction quelconque de ses racines est 
connue, même lorsqu'elle n'est invariable par aucune 
substitution. En conséquence, le système conjugue propre 
à l'équation ne contient plus alors que la seule substi- 
tution identique, celle qui est égale à l'unité. 

La solution du problème qui a pour objet la résolution 
d'une équation doit donc consister dans l'abaissement suc- 
cessif de l'ordre du système conjugué propre à l'équation. 

« Suivons, dit Galois, la marche des opérations pos- 
» sibles dans cette solution, en considérant comme opé- 
» rations distinctes l'extraction de chaque racine de de- 
» gré premier. 

» Adjoignons à l'équation le premier radical extrait 
» dans la solution. Il pourra arriver deux cas : ou bien, 
» par l'adjonction de ce radical, l'ordre du système con- 
» Jugué propre à l'équation sera diminué (*); ou bien, 

(*) J'indique par des italiques les lé(;ers changements que nécessito 
ici l'emploi exclusif des systèmes de substitutions que nous avons adoptés 
au lieu des groupes de permutations dont Galois fait usa(;o. 



602 COURS D^ÂLGÈBUE supéhieure. 

)î cette extraction de racine n'étant qu'une simple pré- 
» paration, le système propre à t équation restera le 
) même. 

» Toujours sera-t-il qu'après un certain nombre ^m 
)> d'extractions de racines, r ordre du système propre à 
» l'équation devra se trouver diminué, sans quoi l'équa- 
:) tion ne serait pas soluble. 

» Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières 
» de diminuer Tordre du système propre à l'équation 
» proposée par une simple extraction de racine, il fau- 
)) drait, pour ce que nous allons dire, considérer seule- 
» ment un radical du degré le moins haut possible parmi 
» tous les simples radicaux, qui sont tels, que la connais- 
» sance de chacun d'eux diminue Vor.dre du système 
» propre à l'équation. 

» Soit donc p le nombre premier qui représente ce 
» degré minimum, en sorte que par une extraction de 
» racine de degré p on dimiuue V ordre du système propre 
» à l'équation. 

» Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce 
» qui est relatif au système propre à l'équation, que, 
» parmi les quantités adjointes précédemment à Téqua- 
» tion, se trouve une racine yy»*^™* j^ l'unité ; car, comme 
» cette expression s'obtientpardesextractions de racines 
» de degrés inférieurs à p, sa connaissance n'altérera en 
)) rien le système propre à l'équation. » 

On voit ici toute l'importance des théoièmes ill et IV. 
Dans l'hypothèse admise, le système conjugué propre r. 
Téquation qui est actuellement G se réduit à un système F 
d'ordre inférieur; il en résulte, d'après les théorèmes III 
et IV (corollaire), que Tordre de F est un diviseur do 
l'ordre G, et que ce système reste invariable quand ou 
exécute dans les cycles de toutes ses substitutions Tune 



SECTION V. CHAPITRE V. 663 

quelconque des substitutions de G. Et réciproquement, 
d'après la proposition VII, G étant le système d'ordre 
V :=::: [jLp actuellement propre à l'équation, si l'on peut 
trouver un système F d'ordre ii qui soit contenu dans G, 
et qui reste invariable quand on exécute les substitutions 
de G dans les cycles de toutes ses substitutions, F devien- 
dra, par l'extraction d'une racine ^^*™« et par l'adjonction 
de cette racine, le système propre à l'équation. 

Ainsi ces propositions découvertes parGalois, et dont 
nous avons donné des démonstrations complètes et rigou- 
reuses, indiqucfnt la condition nécessaire et suflisante 
pour l'abaissement de l'ordre du système conjugué propre 
à l'équation. 

Cet ordre ayant été abaissé une première fois par l'ad- 
jonction d'un radical, on peut raisonner sur le nouveau 
système conjugué comme sur le précédent, et il faudra 
qu'il se réduise aussi de la même manière, et ainsi de 
suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un système qui ne con- 
tienne plus que la seule substitution égale à l'unité. 

S86. Il est aisé d'observer cette marche, comme l'a re- 
marqué Galois, dans la résolution connue de l'équation 
générale du quatrième degré. 

Soient 

a, b, Cy d 

les racines. Le système conjugué G propre à l'équation 
est ici le système des i. 2. 3. 4 = ^4 substitutions des 
quatre racines, et l'on obtient (n® 443), en faisant le pro- 
duit des quatre systèmes, 

I, [a,b)[cyd), 
I, [a,c] (6,rf), 

1, [byc). 



664 COTTHS D*ALGÈBRE SUPÉRIEmiS. 

L'équation dont il s'agit se résout au moyen d*une 
équation du troisième degré, laquelle exige l'extraction 
d'une racine carrée. Dans la suite naturelle des idées, 
c'est par cette racine qu'il faut conmiencer. En adjoi- 
gnant cette racine carrée à l'équation proposée, on réduit 
à 1 2 (théorème VII) l'ordre du système conjugué propre 
à l'équation, lequel devient alors égal an produit des trois 

I, (a, c) (*,£/), 

I, [by c, d)^ (*,€/, c). . 

Maintenant, par l'extraction d'une racine cubique, on 
réduira à 4 l'ordre du système propre à l'équation; ce 
système est le produit des deux 

I, [a,b][r,d\ 
I» («, c)[b,d). 

L'extraction d'une racine carrée réduira à a l'ordre du 
système qui deviendra ainsi 

I, [a,b)[c,d]', 

enfin, par une dernière extraclion de racine carrée, le 
système propre à l'équation se réduit à l'unité; alors 
Téquation est résolue. 

Suite des recherches de Galois, — Applications aux 
éijuations irréductibles de degré premier, 

587. Les applications de la théorie que nous venons 
d'exposer offrent encore bien des difiicultés {•). Nous 



(') M. C. Jor.lan a présenté à rAcadtxnie des Sciences des recfaorcbcs 
nouvelles sur ce sujet. 



SECTION V. CHAPITRE V. 665 

nous bornerons à celle que Galois en a faîte aux équa- 
tions irréductibles dont le degré est un nombre premier. 

Lemmc. — Une étjuafion irréductible de degré pre- 
mier ne peut dex^enir réductible par l* adjonction d'un 
radical dont l'indice serait autre que le degré même de 
V équation. 

En effet, supposons que l'équation irréductible 

(l) /W=:0, 

de degré premier /i, devienne réductible par l'adjonction 
d'un radical. Comme l'extraction d'une racine de degré 
composé se ramène à des extractions successives de ra- 
cines de degrés premiers, on peut supposer que l'indice 
du radical dont il s'agit est un nombre premier. Seule- 
ment, si la quantité soumise à ce radical ne fait pas partie 
des quantités actuellement connues, on devra la regarder 
comme adjointe à l'équation. • 

Cela posé, soit m le plus petit nombre premier tel, 
que l'équation (i) devienne réductible par l'adjonction 
d'une racine d'une équation de la forme 

(a) «'"=:A, 

A étant une quantité connue ou une quantité dont l'ad- 
jonction laisse l'équation (i) irréductible. Les racines 
de l'équation 

(3) Z"' — ! 

peuvent être regardées comme faisant partie des quan- 
tités connues, en ce sens que ces racines s'obtiennent par 
des extractions de racines de degrés inférieurs à m, et 
que, d'après notre hypothèse, leur connaissance ne suffit 
pas pour effectuer la réduction de l'équation. 

Soient r une racine de l'équation (2] et a une racine 



666 COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIBUAB. 

primitive de Téquation (3); les racines de l'équation (a' 
seront 

Maintenant, si l'adjonction de r réduit Téquation (i), 
soit 9(:r, r) le diviseur irréductible de /'{jc) qui a le 
moindre degré; le polynôme y (j:) sera divisible par 
chacune des fonctions 

Le produit de ces diviseurs est une fonction symétrique 
des racines de l'équation (2), et, par suite, il est expri- 
mable rationnellement par les quantités connues ; d'ail- 
leurs ce produit ne peut s'annuler que pour les valeurs 
de X qui satisfont à l'équation (i); donc, puisque cette 
équation est irréductible, le produit dont il s'agit estné- 
cessairemcnt une puissance dey(x), et l'on a 

Si les deux équations 

(j, r, a'r) 1-0, ç>(x, a^ r ^ ^o 

ont une racine commune, elles ont toutes leurs racines 
communes; car, si le contraire avait lieu, les premiers 
membres de ces équations auraient un diviseur commun 
^(x, /•) qui serait rationnel relativement aux quantités 
connues, et <f{jCy r) ne serait pas le diviseur dey(x) du 
degré minimum. 

Alors, si Ton extrait la racine ^'*°*' des deux membres 
de la formule (4); on aura un résultat de la forme 

(5) /(x) f{,r, r) y'x, ur)^[x,Cr) . .. ^ x, er), 

ûr, 6, ..., e désignant des racines de l'équation (3). Mais, 
le degré dey'(x) étant un nombre premier, la formule (5^ 



SECTION V. CHAPITRE V. 667 

ne peut avoîr lieu que si les polynômes cj» sont du premier 
degré, et la formule ( 4 ) montre que m est divisible par n ; 
d'ailleurs m est premier: donc on a m = /i. 

Corollaire. — Une équation irréductible de degré 
premier ne peut dev^enir réductible, à moins que le syS" 
tème conjugué qui lui est propre ne se réduise à la seule 
substitution égale à l'unité. 

En effet, d'après le lemme précédent, si Téquation pro- 
posée se réduit, son premier membre se décompose en 
facteurs linéaires, et, par suite, elle se trouve résolue. 

588. Il nous reste à faire connaître les théorèmes par 
lesquels Galois a exprimé la condition de résolubilité des 
équations de degré premier. 

Théorème I. — Si une équation irréductible/ [x) = o, 
d'un degré premier /i, est résoluble par radicaux, ses 
n racines pourront être représentées par Xz [l'indice z, 
pris suivant le module n, devant être réduit à l'un des 
nombres o, i, 2, ..., [n — i)], de telle manière que le 
système conjugué actuellement propre à l'équation ne 
renferme que des substitutions linéaires et entières y 

c'est-à-dire des substitutions de la forme ( j» 

aetb étant des constantes. 

En effet, l'adjonction successive de quantités radicales 
réduira, par hypothèse, à l'unité le système conjugué 
propre à l'équation, et, d'après le lemme précédent, cette 
équation restera irréductible jusqu'à la dernière adjonc- 
tion. Celle-ci, qui est celle d'un radical d'indice /i, opère 
non-seulement la réduction, mais encore la résolution de 
l'équation (n<*587), et, d'après le théorème du n** 580, 
elle divise par n l'ordre du système conjugué propre à 
l'équation. 



668 corms d'algèbie supÉmiEUBC. 

Donc, immédiatement avant d'être réduit à Tunilé, 
Tordre du système propre à Téquation sera égal à n. 
Mais, quand Tordre d'un système conjugué, relatif à on 
nombre premier n de lettres, est égal à n, le système 
se compose des puissances d'une substitution circulaire 
d'ordre n (n** 426, corollaire III); donc Tavant-demier 
système propre à Téquation sera formé par les puissances 
d'une substitution qui sera représentée par 



C^:) 



si les 71 indices ont été convenablement distribués entre 
les n racines. En d'autres termes, le système dont il s'agit 
se composera des n substitutions linéaires de la forme 



{ 



r) 



où l'on doit donner ^hn valeurs congrues aux nombres 

o, I, ?., . .., (/i — i) 

suivant le module n, les indices étant pris, comme nous 
l'avons dit, suivant le môme module. 

Cela posé, je dis qu'en remontant de cet avant-dernier 
système jusqu'à celui qui est actuellement propre à W- 
quation, on ne rencontrera dans chaque système que dos 
substitutions linéaires et entières de la forme 

az -\- b\ 

• 

Cette proposition étant établie à l'égard de l'avant-dcrnîcr 
système, il nous suffit de démontrer que, si elle a lieu pour 
un système quelconque F, elle subsiste pour le système G 
qui précède immédiatement T dans Tordre dos réduc- 
tions. A cet effet, remarquons que, si T n'est pas Tavanl- 



SECTION V. CHAPlTRfi V. 669 

dernier système, il renferme néanmoins les substitutions 
de celui-ci ; soit S/ Tune déciles, on aura 




6 étant l'un des nombres i, a, 3, ..., {n — i). Mainte- 
nant, si Ton désigne par T Tune quelconque des substi- 
tutions de G, on aura, quel que soit /, par le théorème 

dun«581, 

TS,T_, = Sy, ou TS, = Sj T, 

Sy étant une substitution de F : cette égalité exprime que 
Sy est une substitution semblable à S/; en conséquence, 
cette substitution est circulaire. Or, d'après notre hypo- 
thèse, le système F ne renferme que des substitutions 
linéaires et entières; il s'ensuit que ce système ne peut 
avoir deux substitutions circulaires S, et Sy d'ordre n qui 
ne seraient pas puissances l'une de l'autre, car autrement 
il contiendrait les n^ produits de la forme SfSJ qui 
seraient tous distincts, et cela est impossible, puisque le 
nombre total des substitutions linéaires est seulement 
n {n — i). Ainsi Sy est une puissance de S/, et l'on a 



Posons 



z-¥a\ 
zl' 




on aura 




!). s.,T= ('(")-:) 



et, par conséquent, 

F(z-+-e) = F(z)-t-<i; 

si l'on remplace z successivement par -z-i-o, z -i- aS, ..., 



670 cou as d'algèbre supéhieurb. 

z -:- Zo, il viendra 

F(z-h2e; --_rF(3-f-e)-f- a:~F(3) -f-2tf, 
Y[z -+-3e)--F(z -€)-f-2^7-~F(z) -h 3^, 
....•....• ••••••) 

F(2 -^- Ze; =.: F(z H- 6) 4- (Z — i)rt = F(3) -h Ztf; 

enfin, si dans la dernière de ces égalités on pose ë = 1, 
z = o, F(o) = hj on aura 

F(Z; = aZ -h ^ 

a et i étant des constantes. Ainsi le système G ne ren- 
ferme que des substitutions de la forme 



(""!) 



Cette conclusion s'applique en particulier au système qnî 
est actuellement propre à Téquation. 

589. Théorème II. — Réciproquement, si le système G 
actuellement propre à l'équation irréductible f[x) = 
de degré premier n ne renferme que des substitutions de 
la forme 



az-^-b 

z 



V équation est résoluble algébriquement. 

En effet, désignons par a une racine de l'équation 

j;" — î 
i) - ^=^0, 

et par r une racine primitive pour le nombre premiers; 
posons en outre 



SECTION V. CHAPITRE V. 67 1 

Toute substitution du système G est le produit d'une 
puissance de la substitution 

(31 {'-'-]) 

par une puissance de la substitution 

H) ('! 

Les quantités 

(5) Xl, X;., X;.*, ..., X;."-» 

sont invariables par la substitution (3) (n®494), et elles 
sont déplacées circulairement par la substitution (4); > 
donc toute fonction Z des quantités (5), qui reste inva- 
riable par la substitution (4) effectuée sur les indices 
des fonctions X, est une fonction des racines x©, JCt, ..., 
Xn^t qui est invariable parles substitutions du système G; 
par conséquent (n^ 578), cette fonction S est rationnel- 
lement connue. 

En particulier, si Ton désigne par X une racine de 
Téquation 

(6) a:""^ — 1 = 

et que Ton fasse 

la quantité S sera connue; donc la quantité 

Xj -I- >X^ H- >* X;.* -+- . . . 4- >"-« X^-1 = ""V^ 

sera elle-même connue après l'extraction d'une racine de 
degré n — i . 

En prenant successivement pour X chacune des racines 
de l'équation x'*~* — i = o, on aura n — i équations qui 
feront connaître les quantités (5); ensuite, si l'on extrait 
la racine /i»*™« des équations (a), on aura un système de 



672 COLAS d'algèbre SUPÊRIEUBE* 

n — 1 équations du premier degré qui détermineront 
les n racines x^ puisque la somme de ces racines est 
connue. 

Ainsi Téquation proposée est résoluble algébrique- 
ment dans notre hypothèse. 

590. Au moyen des théorèmes qui précèdent, Galoîsa 
pu énoncer, comme il suit, la condition de résolubilité 
des équations irréductibles de degré premier. 

Théorème III. — Pour qu'une équation irréductible 
de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et 
il suffit que la uèsolvante de Lagrange ait une racine 
rationnelle. 

En effet, cette résolvante de degré i, a, 3,..., {n — 2) 
a pour racines les diverses valeurs que prend, par les 
substitutions des racines x, une fonction symétrique des 
quantités (5) du n*' 589, par exemple la fonction 

où X représente une indéterminée. Or il résulte des 
théorèmes I et II que, si la proposée est résoluble, cette 
quantité est connue quel que soit X: donc la résoKanle 
dont oHe dépend doit avoir une racine rationnelle. 

Réciproquement, si la résolvante a une racine ration- 
nelle, la proposée est résoluble : car, dans ce cas, la fonc- 
tion que nous venons de considérer est connue, quel que 
st>it X : c'est la racine rationnelle de la résolvante; or 
cette fonction n'est invariable que par les seules substitu- 
tions de la forme 1 " j : donc le système propre à IV- 

(] nation ne renferme que de telles sul)Stituti(»ns ^ n**583 . 
et par conséquent iji^ 589) Téquatiou proposée est ré- 
soluble. 



SECTION V. CHAPITRE V. 6y3 

501. La condition de résolubilité que nous venons de 
trouver peut encore être formulée d'une autre manière : 
tel est Tobjet des propositions suivantes : 

Théorème IV. — Si une équation irréductible de de- 
gré premier est résoluble par radicaux, les racines 
sont toutes exprimables en fonction rationnelle de deux 
quelconques d'entre elle.':. 

En effet, d'après le théorème I, le système conjugué 
qui est actuellement propre à Téquation ne renferme que 

des substitutions de la forme f '^ j • Or une telle sub- 
stitution, qui ne se réduit pas à Tunité, déplace les n in- 
dices si C--I, et elle déplace n — i indices si a est 
différent de i . Il résulte de là que, si l'on adjoint à l'équa- 
tion deux racines 

le système propre à cette équation ne pourra plus con- 
tenir que la seule substitution égale à l'unité ; car, d'après 
le théorème du n** 583, les substitutions de ce système ne 
peuvent déplacer les indices a et S. Donc, les racines x^ 
et Tf étant regardées comme connues, toutes les autres 
racines sont en même temps rationnellement connues. 

592. Théorème V. — Réciproquement, si toutes les 
racines d'une équation irréductible de degré premier 
sont exprimables rationnellement en fonction de deux 
quelconques d'entre elles y l'équation est résoluble par 
radicaux. 

En effet, soient x«, x^ deux racines quelconques de 
l'équation proposée 

(i) f[']--'0. 

Soient G le système conjugué actuellement propre à 
l'équation, F ce qu'il devient après l'adjonction de x^ et 
S. — Alg, sup,. 11. 43 



674 COURS d'algèbre supérieure. 

avant celle de x^. Soit aussi 

(»-) F(V)-_-rO 

Téquation irréductible que nous avons nommée résol%fanle 
et dont le degré exprime Tordre du système G. 

L^équation (a) devient réductible par Tadjonction 
de x^, car soit V© Tune de ses racines, x« est exprimable 
en fonction rationnelle de V© ; et si Ton pose 

on pourra supposer (n^ 182) que ^ soit une fonction 
entière de degré inférieur à F (V). La racine V© est ainsi 
commune à Téquation 

et à Téquatlon ( 2); par conséquent celle-ci cesse d'être 
irréductible. Mais alors la réduction s'opère (n*^ 580) 
par la décomposition de F(V) en p facteurs du même 
degré, p étant un diviseur du degré de Téquation auxi- 
liaire irréductible dont dépend la racine adjointe. Ici 
cette équation auxiliaire n'est autre que la proposée elle- 
même dont le degré est le nombre premier n ; par consé- 
quent on di p =^ n. Ainsi l'ordre du syslème F est la 
w'^"* partie de Tordre G. 

Passons à l'adjonction de la racine x^, La racine x, fai- 
sant actuellement partie des quantités connues, la ra- 
cine Xe, qu'il reste à adjoindre, est racine d'une équa- 
tion irréductible 

(3) /i(a:, Xa) r-o, 

dont le premier membre est égal au quotient - - ou 

il un diviseur rationnel de ce quotient, et, par hypothèse, 
l'adjonction de Xç doit réduire à l'unité le système propre 
ù l'équation, lequel est actuellement F. Mais, en vertu 



SECTION V. CHAPITRE V. 6^5 

du théorème du n** 580, par radjonction dont il s'agit, 
Tordre du système propre à réquation est divisé par un 
facteur m du degré de l'équation auxiliaire, lequel est au 
plus égal kn — i ; donc Tordre de F est égal à m, et par 
suite Tordre de G est égal à nin. 

Le système G ne peut renfermer une substitution qui 
laisserait deux indices immobiles, car, les racines étant 
exprimables rationnellement par deux quelconques 
d'entre elles, supposons que Ton ait 

les différences 

sont actuellement connues, puisqu'elles sont nulles; or 
une substitution autre que l'unité, qui laisserait immo- 
biles les indices a et 6, ferait varier quelques-unes de 
ces différences. Une telle substitution ne peut donc 
appartenir à G (n** 578), et, par suite, à F. 

Maintenant le système F se compose de celles des sub- 
stitutions de G qui ne déplacent pas l'indice a (n° 583) ; 
donc il y a dans G, outre l'unité, m — i substitutions qui 
laissent l'indice a immobile, et, comme on peut en dire 
autant des autres indices, on voit que le système G ren- 
ferme [m — i)/z-hi ou mn — [n — i) substitutions qui ne 
dépIacentpassimuItanémentles/iindices.Donc le nombre 
des substitutions de G qui déplacent tous les indices est 
égal à w — 1 ; je dis que ces substitutions sont circulaires 
et puissances les unes des autres. En effet, soit T Tune 
de ces substitutions; décomposons-la en cycles, et soit 

Tordre de T est un diviseur de nm] si donc T ne se ré- 
duit pas à un cycle unique d'ordre n, Tordre de cette 
substitution sera égal à un diviseur d de m. Dans notre 

43. 



6y6 COUKS D*ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE. 

hypothèse la substitution T déplace toutes les racines : 
elle n*a donc pas de cycles du premier ordre, et elle est 
irrégulière, puisque le nombre n des lettres est premier. 
Soit $ Tordre du cycle le moins élevé ; la substitu- 
tion T* laissera deux lettres au moins immobiles : donc 
elle ne peut appartenir à G; par conséquent la substi- 
tution T ne peut elle-même faire partie de G. 

Ainsi le système G renferme une substitution circu- 
laire T de Tordre «, et les puissances de T sont les 
seules substitutions de G qui déplacent tous les indices. 
Alors, si Ton désigne par 

(l) I9 St, Sj . . . , S„;_l 

les substitutions de F, on obtiendra le système G en 
multipliant les substitutions (i), soit à droite, soit à 
gauche, par le système conjugué 

(2) I, T, r, ..., T«-«, 

formé des puissances de T. Deux des produits ainsi 
obtenus sont en effet distincts et ils font partie de G. 
Cela étant, on peut distribuer les indices o, 1 , j, • • • 
des lettres x de manière que la substitution T soit 

Désignons alors par 

une substitulionquclconquc deG; la substitution LTl"* 
semblable à ï fait partie de G, elle est circulaire, et eWe 
coïncide, d'après ce qui précède, avec Tune des puis- 
sances de T ; ainsi Ton a 

UTU-» == T' ou UT -- T'V, 

a étant un exposant convenable. Celle égalité revient 



SECTION V. CHAPITBÈ V. ^77 

remplaçant successivemcnl z par z-^-iy z -{- ij ...» 
3 -f- Z, on trouve 

F(3-4-Z)^:F(3)-4-^Z; 
faisant enfin z =- o, F(o) -- i, il vient 

ainsi le système G ne renferme que des substitutions de 
la forme az -\~ b; donc Téquation proposée est résoluble 
d'après le théorème II. 

593. La théorie que nous venons d'exposer fournit une 
démonstration nouvelle de Timpossibilité de résoudre 
algébriquement les équations générales au delà du qua- 
trième degré. EfTeclivement, dans le cas de l'équation gé- 
nérale du cinquième degré, la condition du théorème IV 
n'est pas remplie, et par conséquent l'équation n'est pas 
résoluble. L'impossibilité de résoudre l'équation générale 
du cinquième degré entraîne d'ailleursla même impossibi- 
lité à l'égard des équations générales de degré plus élevé. 

Recherches de 31, Hermite. 

594. Il ne sera pas inutile de présenter ici une analyse 
remarquable que M. Hermite m'a communiquée, et qui 
a pour objet la démonstration de ce théorème de Galois : 

Etant données deux quelconques des racines d^iCne 
équation irréductible de degré premier ^ soluble par 
radicaux j les autres s^en déduisent rationnellement, 

Lemme I. — Soient 

F(.r)n_0 

une équation irréductible de degré quelconque n, et 

•^0» "^l» '^î» • • • î •^11— 1 

ses n racines. Si toutes les /onctions des racines in" 



678 COURS d'algèbre SUPéRIEURE. 

variables par les substitutions de la forme Xk, J'a+i 

oui ~^ J (les indices étant pris comme fait Galois, 

suivant le module n) sont rationnellement connues, on 
pourra déterminer rationnellement une Jonction en- 
tière <f(x) du degré n — i , telle que ton ait 

On a, en effet, 

F(j:) =r (a: — :ro) (j: — X,) ... (jr — ^r--i)> 

et, si Ton pose 

, . V{j:] j-, F(.r) X, . F{.r) x« 

^ ^ ' X — :ro F\x„j -r — xj ¥'[Xi) Js — x«_i t (x^.jj 

il est évident que cp(x) sera une fonction entière du de- 
gré n — 1 en X et que ses coefficients seront des fonctions 
des racines invariables par les substitutions de la forma 
^A> «^^A+i ; on voit aussi immédiatement que Ton a 

ce qui démontre la proposition énoncée. 

l)\)o. Lemme II. — Si une équation irréductible de de- 
gré premier n est telle, que toutes les fonctions des ra- 
cines invariables par les substitutions de la forme Xk, 
x.v^i, et de la forme x^, x^, p désignant une racine 
prindtisfe de n, soient rationnellement connues, on 
pourra déterminer rationnellement une fonction en- 
tière de y [x) de degré n — 1 , telle que ton ait 

• •••••• • • ......«.....•..••, 



SECTION V. — CHAPITRE V. 679 

les indices étant pris toujours suivant le module n etl 
désignant une racine de l'équation binôme i""* = i. 

Pour démontrer cette proposition, nous ferons voir 
que le système des équations linéaires ainsi posées entre 
les coeflîcients indéterminés de la fonction (f n*est pas 
altéré lorsqu^à la place d'une racine quelconque x^ on 
met xa^i et aussi quand on remplace Xk par x^^» 

Le premier point est évident, puisque chaque équa- 
tion se déduit de la précédente en ajoutant une unité 
aux indices des racines, et qu'en opérant de la sorte sur 
la dernière on reproduit la première. 

Le second point se vérifie aussi immédiatement par 
rapport à l'équation 

car la [n — iy*«« puissance de la fonction linéaire 

ne change pas quand on multiplie cette fonction par 'k ; 
or cela revient à multiplier les indices des racines par p, 
ce qui ne change pas non plus le second membre cp(xo). 
Mais les autres équations du système ne se comportent 
plus de même. Dans l'une quelconque d'entre elles 

faisons (x^=^p^ (mod. /i), ce qui est possible, puisque a 
ne reçoit plus la valeur zéro ; il viendra 

[ ' ' (-^i-f-fî^-r- >-rp+e''-*" ^'•V-»-?'* -^ • • • -r- X^-'x^»- ^^.pl») '»"* '^<^{jr^:^], 

et, en multipliant les indices parp. 



68o couas d^algèbke scpêeievee. 

Or la (/2 — iy*me puissance de la fonction linéaire 

ne change pas quand on multiplie cette fonction p?-r / ; 
au lieu de Téquation (2), on peut donc écrire la suivante: 

Or, en remarquant que p'^^^zzi^i (mod. /i), on reconnaît 
que celle-ci se déduit de Téquation (i) par le change- 
ment de /x en |UL -;- 1 . 

Il suit de là que la substitution Xm, x^ ne fait que 
permuter circulairemcnt nos équations, rangées, à partir 
de la deuxième, suivant Tordre des valeurs croissantes 
de fi. En les résolvant par rapport aux coeffîcients de ç, 
on sera conduit à des fonctions rationnelles des racines, 
invariables par les substitutions xa, Xa+i et x*, x^kl de 
sorte que ces coefficients s'exprimeront bien rationnelle- 
ment, comme nous l'avons annoncé. Notre lemme est 
donc démontré, et l'on en déduit le suivant : 

596. Lemme III. — Si une équation de degré premier 
est résoluble algébriquement, l'équation de degré 
moindre d'une unité, qu'on forme en divisant son pre- 
mier membre par un de ses /acteurs linéaires, oppar^ 
tient à la classe des équations abélieimes. 

En eiret, relativement à Téqualion de degré n — i . 
qu'on obtient par la suppression du facteur x — .r^, cl 
dont les racines ont été représentées par 

on connaît rationnellement la fonction résolvante 



SECTION V. CHÀPITKE V. 



68 1 



597. Les trois Icmmes que nous venons de démontrer 
permettent maintenant d'établir très-aisément le théo- 
rème que nous avons en vue. Faisons pour un instant 

Puisque nous connaissons (lemme III), en fonction ra- 
tionnelle de x«, Tcxprcssion 

(Xo 4- aXi -h A*X, H- ... 4- ^«-'X,,-,)"-*, 

nous devons pareillement regarder comme connue toute 
fonction rationnelle des racines X^, invariable par les 
substitutions de la forme Xa, Xa+|. Cela nous place dans 
les conditions du lemme I ; ainsi nous pouvons former 
une fonction (f telle qu'on ait généralement 

D'ailleurs, les coefficients de cette fonction s'exprime- 
ront rationnellement par les quantités connues et la ra- 
cine X,; de sorte qu'en mettant cette racine en évidence 
nous aurons 

Or on peut prendre p*£:£z S, 6 étant un entier arbitraire, 
mais essentiellement différent de zéro; il vient ainsi 

Cette équation exprime précisément la relation que 
nous nous proposions d'établir; elle montre très-facile- 
ment comment toutes les racines s'expriment de proche 
en proche, au moyen des deux racines arbitraires x., 
Xe.4^ , et met immédiatement en évidence dans quel ordre 
elles naissent ainsi les unes des autres. 

508. Il est aisé de démontrer que, réciproquement, la 



68a COURS D*ÀLGÈBKC STJPÉRIEUEE. 

relation précédente, admise entre trois racines x., x.^c? 
•^'«■i-pCf entraîne la résolution par radicaux de Téquation. 
A cet cfTet, soient d une racine de Téquation binôme 
x" — I, et 

la fonction résolvante de Lagrange. D'après la propriété 
caractéristique de cette fonction, on pourra, sans altérer 
sa valeur, ajouter aux indices des racines un nombre 
entier arbitraire a, et écrire 

Cela posé, soit 6 un autre nombre entier arbitraire, mais 
différent de zéro, et prenons oo de manière qu'on ait 

on voit immédiatement que l'on a 

et il est clair qu'en employant la relation 

on pourra, par des sulislitulioiis successives, transfor- 
mer le second membre en une fonction rationnelle FI do'^ 
deux racines x,, x.^ç, de manière à avoir 

pour une valeur quelconque de Tindice arbitraire jr. 

Cela étant, soil, comme plus haut, X une racine *L" 
l'équation binôme x"~* - - i , la fonction 

conserve la même valeur qunnd on met ce au lieu de c, 



SECTION V. CnAPITRE V. 683 

c'est-à-dire qu'elle est indépendante de la valeur attri- 
buée à 6. Chacun des termes dont elle se compose est 
d'ailleurs indépendant de a; donc, en la transformant, 
au moyen de la relation 

en une fonction rationnelle des deux seules racines Xa 
et J^,+«, cette fonction devra se réduire à une quantité 
connue. Effectivement, si une fonction 

conserve la même valeur, quels que soient les indices a 
et 0,1e second indice étantdifférentde zéro, on peutécrire 

n — t n — 1 

1 

relation dont le second membre est une fonction symé- 
trique de toutes les racines Xo , X| , . . . , x„^ < . 

Il résulte de là que nous pouvons regarder les n — i 
quantités 

comme les racines d'une équation abélienne résoluble 
par l'extraction d'un seul radical de degré n — i. Or, 
ces quantités une fois obtenues, nous connaissons, pour 
toutes les valeurs de S, excepté S :^ o, la puissance n**"*' 
de la fonction résolvante F(6^«); donc, par l'extraction 
de n — I radicaux du //**"* degré, nous aurons ces diverses 
fonctions résolvantes, et, par conséquent, les racines 
elles-mêmes. On sait d'ailleurs, par une observation 
d'Abel, que ces n — i radicaux s'expriment rationnelle- 
ment en fonction de Tun d*cntre eux et des quantités sur 



684 COURS d'ai.gèbue supéhieube. 

lesquelles ils portent, quantités qui sont, comme nous 
venons de le dire, les racines d'une équation abélienne. 

Recherches de M. Kronecker. 

599. Je reproduirai ici, en terminant cet Ouvrage, la 
traduction textuelle d'un Mémoire de M. Léopold Kro- 
necker, communiqué par Lejeune-Dirichlet à la classe 
des Sciences mathématiques et physiques de l'Académie 
de Berlin, le 20 juin i853 : 

« Les recherches entreprises jusqu'à présent sur la 
possibilité de résoudre les équations de degré premier, 
et particulièrement celles d'Abel et de Galois qui ont 
servi de point de départ à tous les travaux ultérieurs sur 
le même objet, ont eu pour principal résultat de con- 
duire à deux critérium à l'aide desquels on pût j^ger si 
une équation donnée est résoluble ou non. Mais, à vrai 
dire, ces critérium ne fournissaient pas la moindre lumière 
sur la nature même des équations résolubles. On ne 
savait même pas si, en outre des équations traitées par 
Abel dans le tome IV du Journal de Crelle, et de celles 
qui se ramènent immédiatement aux équations binômes, 
on ne savait pas, dis-jc, s'il existait d'autres é(|ualionï. 
satisfaisant aux condilions données de rcsolubililé. Kn- 
core moins savait-on former de pareilles équations, et 
dans aucune recherche mathématique on n'en avait ren- 
contré. Ajoutons que ces deux théorèmes bien connus 
d'Abel et de Galois sur les équations résolubles étaient 
plus propres à en cacher la vraie nature qu'à nous la dé- 
couvrir, ainsi que je le montrerai plus particulièrement 
à l'égard de l'un de ces critérium. Le caractère propre 
des équations résolubles restait donc dans une sorte 
d'obscurité, et le seul travail (jui jette quelque lumière 
sur ce point, savoir : une Notice d'Abel sur les racines 



SIXTIOW V. CHAPITRE V. 685 

des équations du cinquième degré à coefficienls entiers, 
semble avoir été peu remarqué, sans doute à cause de son 
objet tout spécial. Mais la question ne pouvait être com- 
plètement éclaircie que par la solution du problème sui- 
vant : Trouver toutes les équations résolubles. Car, une 
fois cette solution obtenue, non-seulement on peut trou- 
ver une infinité de nouvelles équations résolubles, mais 
on a en quelque sorte devant les yeux toutes celles qui le 
sont, et à l'aide de la forme explicite de leurs racines on 
peut trouver et démontrer toutes leurs propriétés. 

» A ces remarques sur le but et le résultat de mes re- 
cherches, je dois ajouter que, pour rendre la solution pos- 
sible, il fallait encore transformer complètement le pro- 
blème qui vient d'être posé. La manière de formuler la 
question est, en effet, de la plus grande importance, el, 
de peur que la brièveté ne nuise à la clarté, je m'étendrai 
un peu sur ce point. 

» Abel, dans un Mémoire dont nous ne possédons que 
des fragments (t. II, OEuv^res complètes, n" XV), s'est 
proposé, entre autres problèmes, celui-ci : Trousser l'ex- 
pression algébrique la plus générale qui puisse satisfaire 
à une équation algébrique d'un degré donné. Si Von 
ajoute à cet énoncé ce qui est nécessaire pour rendre la 
question déterminée, il comprend tous les problèmes 
qu'on peut se proposer sur la résolution des équations, 
et il est le plus général qu'on doive substituer à ce pro- 
blème impossible : Exprimer en fonction algébrique 
des coefficients la racine d*une équation de degré quel- 
conque. Mais, ainsi qu'on vient de le dire, il fallait 
rendre la question déterminée en précisant la manière 
dont l'expression cherchée doit dépendre des coefficients 
de l'équation ; il convient donc de la poser comme il suit : 

» Tr ouvrer la fonction la plus générale de quantités 
données quelconques A, B, C, . . . , qui satisfasse à une 



686 COURS D^ALGLDllE SUPÉRIEURE» 

équation d'un degré donné dont les coefficients sont 
des fonctions rationnelles de ces quantités, 

» Observons qu'on doit supposer ici l'équation irré- 
ductible relativement à A, B, C, ..., c'est-à-dire que, A, 
By C^ ... restant quelconques, l'équation ne doit pas 
pouvoir se décomposer en facteurs d'un degré moindre 
dont les coefficients soient des fonctions rationnelles de 
A, B, C, .... Cela posé, le problème précédent peut 
s'énoncer de cette manière : 

» Etant donné un nombre entier n, trouver la fonc- 
tion algébrique la plus générale rfe A, B, C, ... telle 
que, parmi les expressions qu'on en déduit en attribuant 
aux radicaux leurs diverses valeurs, il y en ait n dont 

les fonctions symétriques soient rationnelles en A, B, 
C 

» Ce nombre n est aussi le degré de l'équation qui a 
pour racines les n expressions dont on vient de parler : 
dans le cas où il est le premier, Abel, dans le Mémoire 
cité, est parvenu à donner les deux formes suivantes aux 
expressions algébriques cherchées. La première est 

(tome II des OEuvres complétas, p. 2o4), où fx désigne 
le degré supposé premier de réqualion, po une fonction 
rationnelle de A, B, C, ...,5 une fonction algébrique des 
mêmes quantités, eiy^ (5) une fonction rationnelle de s 

et de A, B, C. La seconde forme, qu'on trouve à la 

[)age 190 du même volume, est 

1 1 \ 

où />o est une fonction rationnelle de A, B, C, ... c\ où 
Uj, Ha, . . . sont les racines d'une équation du degré 



SECTION V. — CHAPITRE V. . 687 

(i — I dont les coefficients sont des fonctions rationnelles 

de A, B, C, M. Malmsten a donné de ces deux formes 

une démonstration étendue (t. XXXIV du Journal de 
Crelle)f mais qui aurait besoin, si je ne me trompe, 
d'être complétée dans quelques-unes de ses parties. 

» 11 est bien vrai que toute fonction algébrique, satis- 
faisant au problème proposé, doit pouvoir se mettre sous 
ces deux formes ; mais ces formes sont encore trop géné- 
rales, c'est-à-dire qu'elles renferment des fonctions algé- 
briques qui ne répondent pas à la question. Je les ai donc 
étudiées de plus près^ et j'ai trouvé d'abord que, parmi les 
fonctions renfermées dans la forme (a), celles qui satis- 
font au problème proposé doivent avoir la propriété non- 
seulement que les fonctions symétriques de Il|, R2, . . . 
soient rationnelles en A, B, C, ... (ce qu'Abel a remar- 
qué), mais aussi que les fonctions cycliques des quantités 
Ri, Ro, ..., prises dans un certain ordre (* ), soient éga- 
lement rationnelles en A, B, C, . . . : en d'autres termes, 
l'éi/ nation de degré /x — i, dont Ri, R2, ... sont les 
racines y doit être une équation abélienne. J'entendrai 
toujours ici par équations abéliennes cette classe parti- 
culière d'équations résolubles qu'Abel a considérées dans 
le Mémoire XI du premier volume des OEuvres com- 
plètes, et dont je supposerai les coefficients fonctions ra- 
tionnelles de A, B, C, — En désignant par x^y x^y . . . , 
Xn des racines prises dans un ordre déterminé, ces équa- 
tions peuvent être définies soit en disant que les fonctions 
cycliques des racines sont rationnelles en A, B, C, . . . , 
soit en disant qu'on a les relations 



(*) On nomme fonction cyclique, de n quantités x^, jr„ ..., x^Tcx- 
pres»ion {^x^ -+- otx^ •+■ «'x,-+- . . . h • a"-*x.)", où a est racine do a" — 1. 



6S8 COURS d'algèbre supérieure. 

oii0(a:)estune fonction entière de x dont les coeffîcients 
sont rationnels en A, B, C, .... Nous reviendrons tout 
à l'heure sur ces équations, dont la considération est du 
plus haut intérêt au point de vue de l'analyse et de la théo- 
rie des nombres, et aussi, comme on le voit, au point de 
vue de l'Algèbre proprement dite. 

» Un nouvel examen des formes (i)et(2)foumit encore 
une détermination plus précise des quantités II qui figu- 
rent dans la seconde. On doit avoir, en effet, 

o^ ^x9 'Wi» • • • sont les [i — i racines d'une équation 
abélienne quelconque du degré v — i, c'est-à-dire où les 
fonctions symétriques et les fonctions cycliques des quan- 
tités r (prises dans l'ordre des indices) sont rationnelles 
en A, B, C, ... où, de plus, F (/•) est une fonction ration- 
nelle de r et de A, B, C, ... et où enfin y m désigne le plus 
petit reste positif de g^ suivant le module |u, g étant une 
racine primitive de/:x. Si Ton substitue cette valeur deR, 
dans l'expression (a), on obtient une forme qui, non-seu- 
lement renferme toutes les expressions satisfaisant au 
problème, mais, ce qui est ici le plus ossenliel, n'en ren- 
ferme pas d'autres. En d'autres termes, la forme ains" 
obtenue vérifie identiquement une équation du doi;ié n 
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de A , 

B, C, Les autres racines s'obtiennent par la combi 

naison des diverses valeurs des radicaux a'*"""* dans la 
forme ( ?.), de façon que la 7w»*"« racine Zm est donnée par 

la formule 

1 i i « 

(4;3,, ^/;..-i-M,^Rr-4-«^'"RÎ-T-ru^'"'R: h... ^^> '■'''-'•- r;_,, 

oj désignant une racine a'*™* imaginaire de l'unité, et les 
quantités R étant déterminées par la formule (3). 



SECTION V. CHAPITRB V. 68g 

» De là il suit d^abord que, tandis que les fonctions 
symétriques des quantités z sont rationnelles en A, 6, 
C, ... y les fonctions cycliques des mêmes quantités prises 
dans Tordre des indices sont des fonctions rationnelles de 
A, By Cy ' . . , de Ti y r^, . . . , et de ct>. On voit par là que 
toute équation résoluble algébriquement d'un degré 
premier fj. est une équation abélienne, quand on regarde 
comme connue une quantité p^ qui elle-même est racine 
d'une équation abélienne du degré fj. — i , ou bien encore 
que les fi racines d'une équation résoluble sont toujours 
liées entre elles de/açon que l'on ait 

ou/'[z. Pi) désigne une /onction rationnelle de z,depi 
et de AyByC, ... (*), et oii p^ est la racine d'une équa- 
tion abélienne dont les coefficients sont des fonctions 
rationnelles de A,, B, C, .... Cette relation entre les 
racines de toute équation résoluble est d'ailleurs la vraie 
source de la propriété assignée par Abel et Galois comme 
le caractère spécial des équations résolubles d'un degré 
premier, savoir : que chaque racine doit être une fonc- 
tion rationnelle des deux autres. Parmi les conséquences 
intéressantes qui découlent des résultats précédents, je 
me bornerai à une seule : c'est que, la quantité r^ étant 
racine d'une équation abélienne du degré (x — i et ne 
contenantque des radicaux dont les indices sont diviseurs 
de jut — I ou pouvant être ramenée à n'en contenir que 
de tels, la racine elle-même de toute équation résoluble 



(*) J'ai fait dans ce passage quelques corrections qui m*ont été indi- 
quées par M. Krunecker lui-même. La quantité que nous représentons ici 
parp, setrouTe désignée, à tort, dans les Comptes rendus de l' Actidémie 
des Sciences de Berlin, par la lettre r,. Cette nourelle racine p^ dépend 
de la racine r, d'une manii^re très-simple ; toutefois ces deux quantités 
sont difibrentes entre elles. 

S. — Atg, sup*t n* 4i 



690 COURS D*ÀLGfeB«E STJPélllEURV. 

pourra s'exprimer par les radicaux dont on vient de par- 
ler et par des radicaux d'indice fx, Âbel (autant que je 
le sache) n*a fait cette importante remarque que pour 
(1 = 5, et, pour ce cas, il a donné laforme la plus géné- 
rale de la racine d'une équation résoluble (t. II des 
OEuvres complètes, p. 253). Mais il faut observer qu'il 
s'est borné, dans cette recherche, aux équations dont les 
coefficients sont des nombres entiers. 

» Le problème primitif est maintenant ramené, en 
vertu de l'équation (3), à trouver la forme la plus géné- 
rale de la quantité ou, pour mieux dire, de l'expression ri . 
D'après ce qu'on a établi ci-dessus au sujet de r^ rj, ..., 
ce second problème peut s'énoncer ainsi : 

» Le nombre n étant donné, trouv^er laforme la plus 
générale d'une fonction algébrique rfe A, B, C, - . . , 
telle que, parmi les div^erses expressions qui résultent de 
la combinaison des valeurs des radicaux dans cette 
fonction, il y en ait n dont les fonctions symétriques et 
cycliques [celles-ci étant relatives à un ordre déterminé 
des n expressions) soient rationnelles en A, B, C, .... 

» Et l'on voit que ce second problème, énoncé en gros 
pour ainsi dire, revient à trouver toutes les équations 
abéliennes, comme le problème primitif consistait, en 
quelque sorte, à tr ouvrer toutes les équations résolubles. 

» En traitant ce second problème, on se trouve ramené 
à distinguer les cas 011 n est un nombre premier, ou une 
puissance de nombre premier, ou un nombre composé 
quelconque ; mais ce dernier cas se ramène aux deux 
autres, car la solution du problème pour un nombre 
composé n s'obtient dès qu'on l'a résolu pour les cas où 
le degré de l'équation abélienne est une des puissanrc> 
de nombre premier contenues dans n. D'ailleurs, à pari 
quelques complications, le problème n'offre pas plus de 



SECTION V. — CHAPITRE V. 69 1 

dilKicultés pour une puissance de nombre premier que 
pour un nombre premier. Seulement, dans le cas le plus 
simple en apparence, où n est égal au cube ou à une puis- 
sance plus élevée de 2, la méthode que j*ai employée avec 
succès dans tous les autres cas ne suffit plus à la solution 
complète du problème, et je n'ai pas encore trouvé la 
modification qu'elle exige alors. Comme la solution du 
problème primitif pour le nombre premier /x exige la so- 
lution du second problème pour n = [i — i, je ne pour- 
rais donc, jusqu'à présent, donner le résultat complet 
que pour les nombres premiers fi qui ne sont pas de la 
forme 8A -h i. Il suffira, du reste, au but de cette com- 
munication préliminaire et pour éclaircir la matière, 
d'examiner ici le cas du second problème, où n est un 
nombre premier impair. Je ne donnerai pas seulement le 
résultat relatif à ce cas, mais j'indiquerai brièvement la 
méthode qui m'y a conduit, attendu qu'elle est extrême- 
ment simple et qu'elle fournit les principes essentiels 
pour la solution de ce second problème dans les autres 
cas, et aussi pour la solution du problème primitif. 

» En conservant les notations employées par Abel 
(dans le Mémoire n^XI déjà cité du tome I"des OEuvres 
complètes) j et en ayant égard à la définition déjà donnée 
des équations abéliennes, on peut énoncer comme il suit 
le problème dont il s'agit : 

» Trouver la fonction algébrique la plus générale Zq 
rfe A, B, C, ..., satisfaisant à une équation du n'^'"* de- 
gré, et telle que cette/onction Zq et les autres racines Z| , 
Z2, . • . , Zn^i de l'équation vérifient les relations 

oà Q {z) est une fonction rationnelle de z et de A, B, 
» Admettons que n soit un nombre premier, et, adop- 



693 COTJUS D*ÀLGi:BRE SUPÉRIETJES. 

tant une notation introduite par M. Jacobi, posons 

«0 H- «!« -H z,a* -1- . . . 4- z^^ia*»-* = (a, z), 
OÙ a désigne une racine /i'*"' de l'unité ; nous aurons 

(5) /!«»= (l,z) -4- «-*(«,«) 4. a-»»(a*,z)-4-...-+-a-('— »>*(«»-«, «). 

En suivant la marche tracée par Abel, on montrera en- 
suite que, pour tout nombre entier x, on a les équations 

l (a%3)-=(a^z-)y(a»), ..-, 

OÙ <f{oi) est une fonction rationnelle de a et de A, B, 

» Si maintenant on met pour x une racine primitive g 
du nombre premier n, tellement choisie que g*~* — i ne 
soit divisible par aucune puissance de n plus élevée que 
la première, on obtiendra des équations de cette forme 

Elevons la première de ces équations-à la puissance g^~*, 
la seconde à la puissance g"""*, et ainsi de suite, puis mul- 
tiplions-les membre à membre ; il viendra 

(7) (a,z)*"-'-'=/(a)«^'/(«*')*^'. . ./(«*^'). 

Posons à présent 

t m n'étant pas divisible par n, d'après la supposition pré- 
cédemment faite; nous aurons, en vertu de Téqua- 
lion (6), 



SF.CTION V. CHAPITRE V. 6gZ 

et, en substituant dans Téquation (7), nous trouverons 

résultat qui subsiste pour chacune des valeurs de a y 
comme on peut le démontrer, et qu'on mettra aisément 
sous cette forme 



1 

1 \n 



8) (a'»,z) = F(a'») |/(a'»)/(««'«)«/(a''«)^../[a(»-»'~y»-» 

» Ici il faut entendre par chacun des exposants frac- 
tionnaires contenus dans la parenthèse, non pas cet expo- 
sant lui-même, mais son plus petit résidu positif relati- 
vement au module 72 ; d'ailleurs F (a) désigne commey(a) 
une fonction rationnelle de a et de A, B, C, ... . Cette 
expression de (a*», z) étant substituée dans Téquation ( 5 ), 
on obtient une forme que z^ doit nécessairement avoir, 
et qui satisfait toujours au problème, quelles que soient 
les fonctions rationnelles de a et de A, B, C, ... qu'on 
prenne poury(a) etF(a). 

» La comparaison de ce résultat avec la forme générale 
donnée ci-dessus des racines d'une équation résoluble du 
degré fx conduit à des propositions intéressantes ; mais 
des conséquences plus intéressantes encore se tirent de 
la comparaison de l'expression ( 8 ) , en y supposant que A, 
B, C, . . . soient des nombres entiers, avec l'expression 
correspondante que fournissent certaines équations abé- 
liennes qui se présentent dans la théorie de la division du 
cercle, particulièrement avec la forme très-remarquable 
donnée pour (a, x) par M. l^ummcr [Journal de C relie, 
t. XXXV, p. 363). Cette comparaison fournit en effet le 
théorème suivant, qui a lieu non-seulement pour un 
degré premier, mais dans tous les cas, savoir que : 

» Les racitws de toute équation abélienne à coejjl^ 



6g4 COURS D^ALG^BRE SUPÉRIEURE. 

cients entiers peuvent être exprimées rationnellement au 
mojren des racines de V unité, 

» Ainsi ces équations abéliennes générales ne sont rien 
autre chose en réalité que les équations de la division du 
cercle. 

» Il existe une relation pareille entre les racines des 
équations abéliennes dont les coefficients sont des nom- 
bres complexes de la forme a + b ^—i et les racines des 
équations qui se présentent dans la division de la lemnis- 
cate : on peut généraliser ce résultat et Tétendre à toutes 
les équations abéliennes dont les coefficients contiennent 
des nombres irrationnels déterminés et racines d'équa- 
tions algébriques. 

» J'ajoute encore une remarque : si Ton applique à la 
forme ( 3 ) le théorème précédent sur les racines des équa- 
tions abéliennes à coefficients entiers, on trouve que la 
racine de toute équation résoluble du degré /x à coefficients 
entiers peut être regardée comme une somme de racines 
^iëmes jg nombres complexes rationnels formés avec les 
racines de Tunité. Ainsi la forme nécessaire et suffisante 
la plus générale de toute racine d'une équation résoluble 
du degré [jl à coefficients entiers s'exprime au niovt*n de 
ces nombres complexes : toutefois, la recherche eHeclive 
de celte forme exige une suite de propositions sur lr> 
nombres qui dépasseraient les bornes de cette coniniu- 
nication. » 

FIN DU TOME SECOND. 



i<»M:i Varis. — lioiirtuierte de G.utbikk-Villam, qaal d« AagiuUiu. U. 



-ïl^t